Erahtina

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
“Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского”
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
Вопросы и задачи для самостоятельной работы по спецкурсу
Учебно-методическая разработка
Рекомендовано методической комиссией механико-математического
факультета для студентов высших учебных заведений, обучающихся по
направлению подготовки 010100 “Математика”
Нижний Новгород
2006
УДК 517.51/517.53
ББК В151.62
Е 69
Е 69 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА. Вопросы и задачи для самостоятельной работы по спецкурсу. Учебно-методическая разработка.Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2006.10 с.
Составитель: Ерахтина Г.М.
Рецензент:
В.Т.Шишина
кандидат
физико-математических
наук
доцент
Настоящая разработка предназначена для студентов старших курсов
механико-математического факультета, специализирующихся по кафедре
дифференциальных уравнений и математического анализа.
УДК 517.51/517.53
ББК В151.62
2
1.
Понятие непрерывной динамической системы
1.1. Проверить, задает ли указанное однопараметрическое семейство отображений непрерывную динамическую систему в соответствующем фазовом пространстве:
1) x  x(1  t 3 ) , где x  R1 , t  I ;
2) x  x 2  t 2 , где x  R1 , t  I ;
3) ( x, y)  ( xet ,2 yet ) , где ( x, y)  R 2 , t  I .
1.2. Найти уравнение траектории, проходящей через точку (0;1;0;1)  R 4 , для
системы, порождаемой уравнением
x ( 4 )  10 x ( 2 )  34 x  0 .
1.3. Изобразить траекторию системы, проходящую через указанную
начальную точку ( x0 , y0 , z0 ) :
 x  x  y  z,
1)  y  x  y,
 z  3x  z,

где x0  1, y0  z 0  0 .
u

x   x ,
2) 
 y   u ,

y
1
2
где u  (5 x 2  8 xy  5 y 2 ) , x0  1, y0  x0  y0  0.
1.4. Будут ли топологически эквивалентны (или изоморфны) динамические системы, порождаемые уравнениями:
1) x  x, и y  4 y  2  , где x  R1, y  R1;
2) x  x и y  y ( y  1), где x  R1, y  R1;
 x  y ,
3) 
и
 y  x,
 x  y,
где ( x, y)  R 2 .

2
2
 y  x  y  1,
3
2.
Состояния равновесия и периодические движения
2.1. Найти состояния равновесия и периодические движения, указать периоды движений и расположение траекторий в соответствующем фазовом пространстве для следующих динамических систем:
1) x  2 x  0;
2) x  x  4 x  4 x  0;
 x  y
3)  y  z ;
 z  4 x

 x  x(1  x 2  y 2 )
4) 
.
2
2
 y   y (1  x  y )
2.2. Найти периодические движения и указать их периоды для системы,
заданной на двумерном торе ( ( , )  T2 ) :
1)   2,   3  cos ,
2)   1  sin 4
 
 
,   1  sin 2
;
2
2
3)    ,    , где   0 ,   0.
2.3. Доказать, что при изоморфизме динамических систем периодические
движения отображаются в периодические, причем период движений
сохраняется.
2.4. Может ли непрерывная динамическая система , заданная в R1 , иметь
периодические движения, не сводящиеся к состояниям равновесия?
2.5. Пусть R n - пространство Бебутова, т.е. множество всех непрерывных
на (,) функций  (x ) с метрикой

 | x | X
 (1 , 2 )  sup min max |  2 ( x)  1 ( x) |;
X 0
в котором определена динамическая система
f t :  ( x)   ( x  t ).
4
1
,
X
Указать характер функций  (x ) , порождающих состояния равновесия,
периодические и почти периодические движения в системе Бебутова.
3.
Динамические предельные множества и устойчивость по Пуассону
3.1. Найти Ax и  x - предельные множества для каждой траектории системы в конечной части фазовой плоскости:
1) x  y(2  x 2  y 2 ), y  x( x 2  y 2  2);
2) x  (3x  2 y)( x 2  y 2  1), y  (4 x  y)( x 2  y 2  1).
3.2. Найти в фазовом пространстве R 2 множества неблуждающих точек
системы
 x  x  1,

 y  x.
3.3. Нарисовать образ квадрата ( x, y) :| x | 1,| y | 1 при преобразовании фазового потока системы
 x  2 y,

 y  x  y,
за время t  1. Будет ли указанный квадрат неблуждающим множеством для данной системы ?
3.4. Найти ограниченное множество центральных движений и указать глубину центра динамической системы:
1) x  x  y, y  x  y;
2) x  x( x 2  y 2  4), y  y(4  x 2  y 2 ),
3.5. Будут ли устойчивы по Пуассону движения системы
  1,   2  3 sin  ,
на двумерном торе (( , )  T2 ) .
5
3.6. Для системы
  F ( , ),   F ( , ),
указать движения, устойчивые по Пуассону только в положительном,
только в отрицательном направлении на торе T2 в предположении, что
  0 , F ( , )  c 2 (R 2 ), F (2k ,2m )  0 (k , m  Z) , F ( , ) - положительная
функция, если ( , )  (2k ,2m ) .
Минимальные множества и рекуррентные движения
4.
4.1. Является ли множество ( x, y) : x 2  4 xy  5 y 2  1 минимальным для системы
x  2 x  5 y, y  x  2 y,
где ( x, y)  R 2 ?
4.2. На торе с угловыми координатами ( , ) найти минимальное множества и исследовать характер движений системы:
1)   2 ,   2 3 ;
2)    ,    , где  ,  - положительные рациональные числа;
3)   sin 2 ( / 2)  sin 2 ( / 2),   2 (sin 2 ( / 2)  sin 2 ( / 2)).
4.3. Доказать, что для гладкой динамической системы в R 2 , заданной посредством дифференциальных уравнений, все рекуррентные движения
исчерпываются состояниями равновесия и периодическими движениями.
4.4. Доказать, опираясь на определения, что всякое рекуррентное движение устойчиво по Пуассону.
4.5. Доказать, что всякое ограниченное минимальное множество принадлежит центру динамической системы.
6
5.
Почти периодические движения
5.1. Доказать, что движения системы
x  x  y  x( x 2  y 2 ), y  x  y  y( x 2  y 2 )
устойчивы по Ляпунову относительно своей траектории при t   , если соответствующая траектория лежит в круге x 2  y 2  1 .
5.2. Исследовать, являются ли устойчивыми по Ляпунову относительно
своей траектории при t   движения системы
  F ( , ),   G( , ),
где ( , ) - угловые координаты точки двумерного тора, а функции
F ( , ), G ( , ) - дважды непрерывно дифференцируемы, положитель-
ны и 2 - периодичны по каждой из переменных  , .
5.3. Доказать, что сумма двух периодических функций с несоизмеримыми
периодами не является периодической.
5.4. Доказать, опираясь на определения, что всякое почти периодическое
движение устойчиво по Пуассону.
5.5. Найти почти периодические движения, не сводящиеся к периодическим, для системы, порождаемой уравнением
x ( IV )  3x  2 x  0.
5.6. Для динамической системы, заданной на торе с угловыми координатами ( , ) , исследовать, являются ли ее движения почти периодическими:
1)   1,    , где   0 ;
2)   F ( , ),   F ( , ), где F ( , ) - непрерывно дифференцируема, 2 - периодична по  и по  и обращается в нуль в единственной точке тора.
5.7. Двойной маятник состоит из двух однородных стержней ОА и АВ длины l1 и l2 , массы m1 и m2 , соответственно. Стержень ОА вращается во-
7
круг оси О, а стержень АВ – вокруг шарнира А (см. рис. 1). Определить характер малых колебаний маятника в зависимости от начальных
условий и параметров системы.
Рис. 1.
6.
Исследование динамических систем
6.1. Найти число вращения систем, заданных на торе:
1)   2,   2 (1  sin  );
2)   3,   cos3  ;
3)    / 2  cos 2 ( / 2),   5.
6.2. Построить фазовый портрет на торе для траекторий системы
   sin  ,   sin   sin .
6.3. Исследовать свойства движений (устойчивость по Пуассону, рекуррентность, периодичность, почти периодичность) системы, заданной
на торе с угловыми координатами ( , ) , если:
1)   3,   6  sin 2 2 sin   sin 3 2;
2)   1  cos2  ,   1  2 sin 2 ;
3)     sin  ,     sin  (  1,   1);
4)   5 ,   2 5  cos 2 cos  cos 2 2.
6.4. Исследовать свойства движений и расположение траекторий в R 3 для
следующих нелинейных систем:
8
 x  y  2 xz
1)  y   x  2 yz
 z   x 2  y 2  z 2  3

 x  y  2 x( z  1)
2)  y   x  2 y ( z  1)
 z  ( x 2  y 2 )  ( z  1) 2  9

 x  2 xz  y ( x 2  y 2  z 2 )

3)  y  2 yz  x( x 2  y 2  z 2 )
 z  z 2  x 2  y 2  z 2  4

ЛИТЕРАТУРА
1. В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:
Наука, 1977.
2. Дж.Д. Биркгоф. Динамические системы. М.: ГИТТЛ, 1941.
3. Ю.И. Кузнецов. Введение в теорию динамических систем. М.: Изд.
МГУ, 1991.
4. В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. Качественная теория обыкновенных
дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.
5. К.С. Сибирский. Введение в топологическую динамику. Кишинев:
Ред.-изд. отд. АН МССР, 1970.
6. А.А. Яблонский, С.С. Корейко. Курс теории колебаний. М.: Высшая
школа, 1975.
9
Топологическая динамика.
Вопросы и задачи для самостоятельной работы по спецкурсу.
Галина Михайловна Ерахтина
Учебно-методическая разработка
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Нижегородский государственный университет им. Н.И.
Лобачевского”
10