задачи линейного программирования

40
1.4. Анализ оптимального решения на чувствительность
к изменениям исходных условий
Анализ моделей на чувствительность позволяет выявить чувствительность оптимального решения к определенным изменениям исходных условий, например:
1) изменениям запасов исходных продуктов,
2) изменениям рыночного спроса на изделия,
3) изменениям рыночных цен на изделия.
Каждое ограничение задачи линейного программирования представляется прямой, соответствующей уравнению ограничений линейной модели. В нашем примере (см. задачу в
п.1.3) это прямые 1  6 (рис. 1.12):
z  2 x 1  3 x 2  max
при ограничениях
1 2 x1 
x2  6 ,
2
x1  2 x 2  8 ,
3
x1  x 2  1 ,
4
x1
 2,
5
x1
0,
6
x 2  0.
Рис. 1.12.
Дефицитным ограничением называется то, для которого прямая, соответствующая
ограничению, проходит через оптимальную точку. В этом случае выражение ограничения
используется как уравнение, т.е. описываемое им условие выполняется на пределе. В нашем
примере это прямые 1 и 2.
41
В противном случае ограничение относится к разряду недефицитных, т.е. выполняющихся с запасом. В нашем примере это прямые 3  6.
Изменению ограничения соответствует изменение правой части неравенства. Изменение
значения правой части неравенства выражается параллельным перемещением отображающей его прямой.
1.4.1. Улучшение оптимального решения за счет
изменения дефицитного ограничения
Увеличение недефицитных (избыточных) ресурсов не приводит к изменению оптимального значения целевой функции. Рассмотрим увеличение дефицитных ресурсов.
Ресурс

(запас исходного продукта
 ) соответствует прямой 1 . При его увеличении
прямая 1 перемещается вверх параллельно самой себе.
Пределом увеличения ресурса
точке ресурс


является точка пересечения прямых 2 и 4 , т.к. в этой
еще остается дефицитным, а его дальнейшее увеличение переводит его в
разряд недефицитных и это ограничение уже не влияет на оптимальное решение. Оптимальная точка теперь лежит не пересечении прямых 1  , 2 и 4 , которые соответствуют дефицитным ограничениям. Координаты этой точки могут быть рассчитаны из системы уравнений (2) и (4):
 x1  2 x2  8,
x
 2;
 1
x 1  2 , x 2  3.
Таким образом, суточный запас исходного продукта
2 x 1  x 2  A,
2  2  3  7.

можно увеличить до 7 тонн:
42
Это приведет к увеличению оптимального значения целевой функции, т.е. максимального суточного дохода фирмы до 13 тыс. у.е.:
z  2 x 1  3 x 2  2  2  3  3  13.
Аналогично можно увеличивать ресурс Б :
2 x 1  x 2  6 ,
 x
 0;
 1
x 1  0 , x 2  6.
Суточный запас исходного продукта x 2 можно увеличить до 12 тонн:
x 1  2 x 2  Б,
0  2  6  12.
Это приведет к увеличению оптимального значения целевой функции до 18 тыс. у.е.:
z  2 x 1  3 x 2  2  0  3  6  18.
1.4.2. Изменение недефицитного ограничения
без изменения оптимального решения
Сокращение дефицитного ресурса не улучшает значения целевой функции. Поэтому будем рассматривать уменьшение недефицитных ресурсов.
43
Перемещение прямых, соответствующих недефицитным ограничениям, можно осу-


ществлять до их пересечения с оптимальной точкой  x 1  1
1
1
, x 2  3  , после чего
3
3
они становятся дефицитными.
Прямую 4 можно спускать вниз до пересечения с оптимальной точкой без изменения
оптимального решения. Это соответствует уменьшению предельного уровня спроса на изделие 1-ого вида до величины 1
1
.
3
Прямую 3 можно двигать вправо до пересечения с оптимальной точкой. Это соответствует тому, что ранее полученное оптимальное решение не изменится, если спрос на изделие 2-ого вида превысит спрос на изделие 1-ого вида не менее, чем на 2 :
x1  x 2  1
1
1
 3  2 ,
3
3
или
x 2  x 1  2.
1.4.3. Степень чувствительности оптимального решения
к изменениям дефицитных ограничений
По результатам предыдущего анализа известны пределы увеличения дефицитных ресурсов и приращения дохода за счет этого. Можно найти величину ценности y i единицы i -ого
дефицитного ресурса из соотношения:
yi 
Максимальное приращение оптимального значения z
.
Максимально допустимый прирост объема ресурса i
Для дефицитных ограничений 1 и 2 :
2
3  1,
7 6
3
13  12
yA 
2
1
5
3  3 4.
y2 
12  8
4
3
18  12
Полученные результаты свидетельствуют о том, что дополнительные вложения выгоднее направить на увеличение ресурса Б .
44
1.4.4. Пределы изменения коэффициентов целевой функции
без изменения оптимального решения
Цены реализации изделий представляются коэффициентами целевой функции, которые
определяют наклон прямой, отображающей эту функцию в принятой системе координат.
Обозначим цену изделия 1-ого вида через α , 2-ого вида – через β . Тогда целевая функция представляется следующим образом:
z  αx 1  βx 2 .
Можно показать, как вращается вокруг оптимальной точки прямая, отображающая целевую функцию z .
Оптимальная точка не изменится до тех пор, пока наклон прямой не выйдет за пределы,
определяемые наклонами прямых для ограничений 1 и 2 , т.е.
3
α6
2
или
1  β  4.
Вопросы для самопроверки

К каким изменениям исходных условий позволяет выявить чувствительность оптималь-
ного решения анализ модели задачи линейного программирования на чувствительность?

Какое ограничение задачи линейного программирования называется дефицитным?

За счет изменения каких ограничений осуществляется улучшение оптимального решения
задачи линейного программирования?

До какого предела может изменяться дефицитное ограничение?
45

До какого предела может изменяться недефицитное ограничение?

Как определяется степень чувствительности оптимального решения к изменениям дефи-
цитных ограничений?

В каких пределах могут изменяться коэффициенты целевой функции без изменения оп-
тимального решения?
Задания для самостоятельной работы
▼
Пример
Использовать графическое решение задачи линейного программирования:
2 x1 
x2  m a x
при ограничениях
1
x1 
x2 
2,
2
x1 
x2 
6,
3
4
2 x1  5 x2  2 5 ,
x1  0 , x 2  0
.
В ответе указать:
1) номера ограничений, являющихся дефицитными;
2) номер дефицитного ограничения, увеличение которого приводит к наибольшему увеличению целевой функции.
Решение
Рассмотрим графическое решение задачи.
46
Оптимальное решение соответствует опорной точке Б с координатами 4 ; 2  , являющейся пересечением прямых 1 и 2 . Следовательно, соответствующие этим прямым ограничения 1 и 2 являются дефицитными, т.к. они выполняются на пределе, т.е. выполняются
как уравнения:



x1 
x1 
x2 
x2 
2.
6
Увеличение дефицитных ограничений приводит к увеличению оптимального значения
целевой функции.
Графически увеличение ограничения 1 выражается перемещением прямой 1 параллельно самой себе вверх по оси x 1 .
Пределом увеличения ограничения 1 является точка пересечения прямых 2 и 4 , т.к. в
этой точке с координатами 6 ; 0  ограничение 1 становится недефицитным и его дальнейшее увеличение не влияет на оптимальное решение.
Рассчитаем величину целевой функции в этой точке:
47
z  2 x 1  x 2  2  6  0  12 .
Графически увеличение дефицитного ограничения 2 выражается перемещением прямой
2 параллельно самой себе до точки пересечения прямых 1 и 3 с координатами 5 ; 3  ,
соответствующими решению системы уравнений:
x  2,
 x1 
 2 x  5 x2  2 5 ,

1
2
x1  5 , x2  3 .
В указанной точке ограничение 2 становится недефицитным и его дальнейшее увеличение не влияет на оптимальное решение.
Величина целевой функции рассчитывается:
z  2 x1  x2  2  5  3  7 .
Следовательно, сравнивая возможности увеличения значения целевой функции за счет
увеличения дефицитных ограничений, приходим к выводу, что увеличение ограничения 1
влечет наибольшее увеличение целевой функции.
Ответ:
1) 1, 2;
2) 1.
▲
Для анализа оптимального решения на чувствительность к изменениям ограничений использовать графическое решение задач линейного программирования 1÷32 из предыдущего
задания в п. 2.3.
В ответе указать:
1) номера ограничений, являющихся дефицитными;
48
2) номер дефицитного ограничения, увеличение которого приводит к наибольшему увеличению целевой функции.
1.5. Каноническая форма представления области решений
задачи линейного программирования
Учитывая, что множество точек, удовлетворяющих уравнению
a 1 x 1  a 2 x 2  ...  a n x n  b ,
при n  2 является прямой, при n  3 - плоскостью, а при n  3 - ее обобщением в n мерном векторном пространстве - гиперплоскостью, сделанные ранее выводы по результатам изучения области решений задачи линейного программирования в двумерном пространстве можно распространить на случай трех и более переменных. Тогда множество всех решений линейного неравенства с n переменными
a 1 x 1  a 2 x 2  ...  a n x n  b
является одним из полупространств, на которые все пространство делится гиперплоскостью
a 1 x 1  a 2 x 2  ...  a n x n  b ,
включая и эту гиперплоскость. Далее область решений задачи линейного программирования
определяется как пересечение всех полупространств, каждое из которых соответствует каждому линейному неравенству из входящих в ограничения этой задачи. Отсюда множество
решений совместной системы m линейных неравенств с n переменными
a 11 x 1  a 12 x 2  ...  a 1 n x n  b1 ,

a 21 x 1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2 ,

 ...........................................
a m 1 x 1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
является выпуклым многогранником (выпуклой многогранной областью) в n -мерном векторном пространстве.
Обобщением понятия отрезка для k точек является их выпуклая линейная комбинация:
точка (вектор)
X называется выпуклой линейной комбинацией точек (векторов)
X 1 , X 2  ,..., X k  , если выполняются условия
49
X   1  X 1    2  X 2   ...   k  X k  ,
αj  0
 j  1,k ,
k
α j  1.
j 1
Можно доказать, что выпуклый n -мерный многогранник является выпуклой линейной
комбинацией своих угловых точек. Отсюда следует, что выпуклый многогранник, т.е. область решений задачи линейного программирования, порождается своими угловыми
точками. Поэтому главное внимание при решении систем линейных неравенств, соответствующих многогранникам (многогранным областям) решений задач линейного программирования, должно быть уделено нахождению координат угловых точек.
Рассмотрим общий вид системы линейных неравенств
a 11 x 1  a 12 x 2  ...  a 1 n x n  b1 ,

a 21 x 1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n  b2 ,

 ...........................................
a m 1 x 1  a m 2 x 2  ...  a mn x n  bm
с дополнительными ограничениями
x 1  0 , x 2  0 ,..., x n  0
и m  n.
Можно доказать, что всякому решению
x n  ( x 1 , x 2 ,..., x n )  ( x 1  k 1 , x 2  k 2 ,..., x n  k n )  ( k 1 , k 2 ,...,k n )
неравенства
a i 1 x 1  a i 2 x 2  ...  a in x n  bi
соответствует определенное решение
x n 1  ( k 1 , k 2 ,...,k n , k n i )
уравнения
a i 1 x 1  a i 2 x 2  ...  a in x n  x n i  bi ,
в котором
xn  i  0 ,
и наоборот, каждому решению
x n 1  ( k 1 , k 2 ,...,k n , k n i )
уравнения
a i 1 x 1  a i 2 x 2  ...  a in x n  x n i  bi
50
и неравенства
xn  i  0
соответствует определенное решение
x n  ( k 1 , k 2 ,...,k n )
неравенства
a i 1 x 1  a i 2 x 2  ...  a in x n  bi .
Используя это утверждение, представим рассматриваемую систему линейных неравенств
в каноническом виде, т.е. в виде эквивалентной системы линейных уравнений:
 b1 ,
a 11 x 1  a 12 x 2  ...  a 1 n x n  x n 1

 x n 2
 b2 ,
a 21 x 1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n

 ......................................................................
a m 1 x 1  a m 2 x 2  ...  a mn x n
 x n m  bm .
Любую систему линейных неравенств с дополнительными ограничениями неотрицательности переменных можно представить в каноническом виде. Так, в рассматриваемой системе все неравенства вида "  ", поэтому дополнительные неотрицательные переменные
вводились со знаком"  ". Неравенства вида "  " могут быть приведены к виду "  " (умножением правой и левой частей на "  1 "), что равносильно вводу со знаком "  " дополнительных неотрицательных переменных для неравенств вида "  ".
Считая, что в полученной системе линейных уравнений (системе линейных неравенств в
каноническом виде) все m уравнений независимы, т.е. ранг r матрицы системы Am ,n m 
меньше числа переменных, любые m переменных назовем базисными, если определитель
матрицы коэффициентов при них отличен от нуля. Тогда остальные n переменных называются свободными.
Базисными могут быть разные группы из n  m  переменных. Максимально возможное число групп базисных переменных равно числу способов выбора m переменных из их
общего числа n  m , т.е. числу сочетаний C n m . Но так как могут встретиться случаи,
m
когда определитель матрицы коэффициентов при m переменных равен нулю, то общее чисm
ло групп базисных переменных не превосходит C n m .
Оставим в левых частях уравнений полученной системы (системы линейных неравенств
в каноническом виде) члены с переменными
x n 1 , x n 2 ,..., x n m ,
51
а члены с переменными
x 1 , x 2 ,..., x n
перенесем в правые части. Получим:
 x n  1  b1  a 11 x 1  a 12 x 2  ...  a 1 n x n ,
 x n  2  b 2  a 2 1 x 1  a 22 x 2  ...  a 2 n x n ,
........................................................
x
 n  m  bm  a m 1 x 1  a m 2 x 2  ...  a nm x n .
Задавая свободным переменным
x 1 , x 2 ,..., x n
произвольные значения, каждый раз будем получать новое решение. Следовательно, полученная система линейных уравнений (система линейных неравенств в каноническом виде)
будет иметь бесконечное множество решений.
Если bi  0
i  1 ,2 ,...,m 
и свободные переменные приравнять нулю, то получаем
первоначальный план, которым называется начальное решение задачи линейного программирования, так как соответствующая ему точка является угловой точкой, или опорным планом. Тогда для отыскания оптимального плана (решения) необходимо исследовать только
опорные планы. Поэтому требуется иметь схему, позволяющую осуществить упорядоченный
переход от одного опорного плана к другому. Такой схемой является симплекс-метод, который позволяет, исходя из известного (начального) опорного плана задачи, за конечное
число шагов получить ее оптимальный план. Каждый из шагов (или итераций) состоит в
нахождении нового плана по предыдущему. Причем новому плану соответствует большее
(при максимизации) или меньшее (при минимизации) значение линейной целевой функции,
чем значение этой же функции в предыдущем плане. Процесс продолжается до получения
оптимального плана или до установления неограниченности целевой функции на многограннике решений (за конечное число шагов-итераций).
Вопросы для самопроверки

Можно ли распространить на случай трех и более переменных выводы по результатам
изучения области решений задачи линейного программирования в двумерном пространстве?

Как представляется система линейных неравенств в каноническом виде?

Какую систему линейных неравенств нельзя представить в каноническом виде?

Как с помощью базисных и свободных переменных находится каждое из множества ре-
шений задачи линейного программирования?
52

При каком условии найденное решение задачи линейного программирования будет
опорным планом?

Почему для отыскания оптимального плана (решения) необходимо исследовать только
опорные планы?

Какую схему, позволяющую осуществить упорядоченный переход от одного опорного
плана к другому, называют симплекс-методом?

Что получается в результате каждого шага (итерации) симплекс-метода?
53
1.6. Решение задачи линейного программирования
симплексным методом
Симплексный метод реализует направленный на оптимизацию значения целевой функции перебор опорных точек области ограничений задачи линейного программирования.
Итерацией называется переход от одной опорной точки к другой путем перехода от одного базиса к другому.
В симметричной форме задача линейного программирования имеет вид:
n
z   c j  x j  max
j 1
при ограничениях
n
 a ij  x j
j 1
 bi , i  1 , m ;
x j  0 , j  1, n.
Каноническая форма задачи линейного программирования эквивалентна и используется
для применения симплексного метода:
n
z   c j x j  max
j 1
при ограничениях
n
 aij x j  xni  bi ,
i  1, m ;
j 1
x j  0,
j  1 ,( n  m ) .
Для ограничений задачи линейного программирования в канонической форме легко выбрать исходное опорное решение: переменные x j при j  ( n  1 ), ( n  m ) , коэффициенты при которых образуют единичную матрицу, равны свободным членам, а небазисные
x j  0 при j  1 , n .
Имея исходное опорное решение, нужно проверить, является ли оно оптимальным. Если
нет, то требуется перейти к другому опорному решению, оптимизирующему целевую функцию. Вычисления при переходе от одного базиса к другому удобно вести в симплексных
таблицах (табл. 1.1).
54
Итерационный процесс максимизации плана путем замены некоторой базисной переменной на небазисную осуществляется следующими шагами.
i
Б
c
Пла
с2
x2
…
н
с1
x1
Табл. 1.1
…
0
0
0
…
сn
xn
x n 1
x n 2
…
x n m
1
x n 1 c n 1
b1
a 11
a 12
…
a1n
1
0
…
0
2
x n  2 c n 2
b2
a 21
a 22
…
a2n
0
1
…
0
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
m
x n m c n m
bm
am 1
am 2
…
a mn
0
0
…
1
z
 c1
 c2
…
 cn
0
0
…
0
…
Шаг 0. Проверка плана на оптимальность. Если в последней строке симплексной таблицы нет отрицательных значений, то план максимален. Иначе к шагу 1.
Шаг 1. Выбор включаемой в базис переменной (разрешающего столбца). Выбирается
столбец (переменная), соответствующий (любому) максимальному по абсолютной величине
отрицательному числу в последней строке. К шагу 2.
Шаг 2. Выбор исключаемой из базиса переменной (разрешающей строки). Выбирается
строка (переменная) с (любым) наименьшим отношением элемента столбца "План" к положительному элементу разрешающего столбца. К шагу 3. Если в разрешающем столбце нет
положительных чисел, то задача неразрешима (целевая функция неограничена).
Шаг 3. Пересчет строки вводимой базисной переменной в новой симплексной таблице.
Вместо выводимой переменной записывается вводимая переменная в столбце "Б". В столбце
" c " записывается коэффициент при новой переменной в целевой функции. Остальные элементы этой строки равны элементам разрешающей строки, деленным на разрешающий элемент, стоящий не пересечении разрешающих строки и столбца. К шагу 4.
Шаг 4. Пересчет остальных строк в новой симплексной таблице по правилу треугольника. Для пересчета элемента с индексами i ,
j  берут это число в старой таблице и из не-
го вычитают произведение числа, стоящего в той же i -ой строке, но в разрешающем столбце
старой таблицы, на число, стоящее в том же j -ом столбце в строке введенной базисной переменной новой таблицы. Результат записывают на место элемента i ,
К шагу 0.
j  новой таблицы.
55
Задания для самостоятельной работы
▼
Пример
Требуется решить симплексным методом задачу:
z 
2 x1  3 x2  x3  m a x
при ограничениях
4 x1  x2  2 x3  8 ,
 x1  x2  x3  1 ,
 2 x1  3 x2  x3  9 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
Решение
Представим задачу линейного программирования в канонической форме:
z 
2 x1  3 x2  x3  m a x
при ограничениях
4 x1  x2  2 x3  x4
 x1  x2  x3
 8,
 x5
 2 x1  3 x2  x3
 1,
 x6
 9,
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 , x 4  0 , x5  0 , x6  0 .
Построим исходную симплексную таблицу:
2
3
-1
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
8
4
-1
2
1
0
0
0
1
-1
1
1
0
1
0
0
9
0
-2
-2
3
-3
1
1
0
0
0
0
1
0
I
Б
С
План
1
x4
x5
x6
0
2
3
Шаг 0. План неоптимальный, т.к. в последней строке есть отрицательные значения. К
шагу 1.
56
Первая итерация.
Шаг 1. Разрешающим столбцом будет x 2 , т.к. в последней строке ему соответствует
максимальное по абсолютной величине отрицательное число. К шагу 2.
Б
I
1
2
3
2
3
-1
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
8
4
-1
2
1
0
0
0
1
-1
1
1
0
1
0
0
9
0
-2
-2
3
-3
1
1
0
0
0
0
1
0
С
План
x4
x5
x6
Шаг 2. Разрешающей строкой будет x 5 , т.к. x 4 в разрешающем столбце соответствует
отрицательное число, для x 6 отношение числа 9 , стоящего в столбце "План", к числу 3 в
разрешающем столбце равно 9 : 3  3 , а для x 5 аналогичное отношение равно 1 : 1  1 и
является наименьшим. К шагу 3.
2
3
-1
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
8
4
-1
2
1
0
0
0
1
-1
1
1
0
1
0
0
9
0
-2
-2
3
-3
1
1
0
0
0
0
1
0
I
Б
С
План
1
x4
x5
x6
0
2
3
Шаг 3. Строим новую симплексную таблицу. Заполняем вместо x 5 переменную x 2 в
столбце "Б" и соответствующие значения в столбце "С". Остальные элементы в строке x 2
заполняем значениями соответствующих элементов разрешающей строки старой таблицы,
деленными на разрешающий элемент. К шагу 4.
I
Б
С
1
x4
x2
x6
0
2
3
3
0
План
2
3
-1
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
1
0
1
0
0
1
-1
1
0
0
57
Шаг 4. Остальные незаполненные элементы в новой таблице вычисляем по правилу треугольника. К шагу 0.
2
3
-1
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
8
4
-1
2
1
0
0
0
1
-1
1
1
0
1
0
0
9
0
-2
-2
3
-3
1
1
0
0
0
0
1
0
x4
x2
x6
0
9
3
1
1
0
1
0
x4
x5
x6
0
8
4
-1
2
1
0
0
0
1
-1
1
1
0
1
0
0
9
0
-2
-2
3
-3
1
1
0
0
0
0
1
0
x4
x2
x6
0
9
3
1
1
0
1
0
0
6
x4
x5
x6
0
8
4
-1
2
1
0
0
0
1
-1
1
1
0
1
0
0
9
0
-2
-2
3
-3
1
1
0
0
0
0
1
0
x4
x2
x6
0
9
3
1
1
0
1
0
0
6
3
I
Б
С
План
1
x4
x5
x6
0
2
3
1
2
3
8-(-1)∙1=9
1
2
3
1
2
3
9-31=6
1
2
3
1
2
3
0-(-3)∙1=3
0
-1
0
1
0
0
0
-1
1
0
0
0
-1
1
0
0
58
2
3
-1
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
8
4
-1
2
1
0
0
0
1
-1
1
1
0
1
0
0
9
0
-2
-2
3
-3
1
1
0
0
0
0
1
0
x4
x2
x6
0
9
3
0
3
1
-1
1
1
0
1
0
0
6
3
1
-5
0
0
x4
x5
x6
0
8
4
-1
2
1
0
0
0
1
-1
1
1
0
1
0
0
9
0
-2
-2
3
-3
1
1
0
0
0
0
1
0
x4
x2
x6
0
9
3
0
3
1
3
1
-1
1
1
0
1
0
0
6
3
1
-5
0
0
-2
4
0
0
x4
x5
x6
0
8
4
-1
2
1
0
0
0
1
-1
1
1
0
1
0
0
9
0
-2
-2
3
-3
1
1
0
0
0
0
1
0
x4
x2
x6
0
9
3
0
3
1
1
0
3
1
-1
1
1
0
1
0
I
Б
С
План
1
x4
x5
x6
0
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0
6
1
0
-2
0
1
-3
3
0
4
0
0
-5
3
Шаг 0. План неоптимальный, т.к. в последней строке есть отрицательные значения. К
шагу 1.
Вторая итерация.
Шаг 1. Разрешающим столбцом будет x 1 , т.к. в последней строке только этого столбца
есть отрицательное значение. К шагу 2.
59
2
3
-1
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
9
3
0
3
1
1
0
1
-1
1
1
0
1
0
I
Б
С
План
1
x4
x2
x6
0
3
2
3
0
6
0
-2
0
-3
1
1
3
0
4
0
3
0
-5
Шаг 2. Разрешающей строкой будет x 4 , т.к. x 2 в разрешающем столбце соответствует
отрицательное число, для x 6 отношение числа 6 , стоящего в столбце "План", к числу 1 в
разрешающем столбце равно 6 : 1  6 , а для x 4 аналогичное отношение равно 9 : 3  3 и
является наименьшим. К шагу 3.
2
3
-1
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
9
3
0
3
1
1
0
1
-1
1
1
0
1
0
I
Б
С
План
1
x4
x2
x6
0
3
2
3
0
6
0
-2
0
-3
1
1
3
0
4
0
3
0
-5
Шаг 3. Строим новую симплексную таблицу. Заполняем вместо x 4 переменную x 1 в
столбце "Б" и соответствующие значения в столбце "С". Остальные элементы в строке x 1
заполняем значениями соответствующих элементов разрешающей строки старой таблицы,
деленными на разрешающий элемент. К шагу 4.
2
3
-1
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
1
0
1
1/3
1/3
0
3
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
I
Б
С
План
1
x1
x2
x6
2
3
2
3
Шаг 4. Остальные незаполненные элементы в новой таблице вычисляем по правилу треугольника. К шагу 0.
2
3
-1
0
0
0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
3
1
0
1
1/3
1/3
0
3
4
0
1
2
1/3
4/3
0
0
3
18
0
0
0
0
-3
9
-1/3
5/3
-10/3
14/3
1
0
I
Б
С
План
1
x1
x2
x6
2
2
3
60
Шаг 0. План оптимален, т.к. в последней строке нет отрицательных значений. Решение
завершено. Переменные из столбца "Б" принимают оптимальные значения из столбца
"План", а остальные переменные нулевые. Последний элемент столбца "План" является оптимальным (максимальным) значением целевой функции.
Ответ:
1) x

6
 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6   3 ,4 ,0 ,0 ,0 ,3  ;

2) z  18 .
▲
Решить симплексным методом задачу линейного программирования.
В ответе указать:







1) оптимальное решение x 6  ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 ) (значения представлять в виде неправильных дробей);

2) оптимальное значение целевой функции z (значение представлять в виде неправильной
дроби).
1.
z  2 x1  x2  3 x3  m a x
при ограничениях
4 x1  2 x2 

x1 
x2 
x3  8 ,
x3  1 ,
 2 x1  x2  3 x3  7 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
2.
z   x1  3 x 2  2 x 3  m a x
при ограничениях
2 x1 
x1 
x2  4 x3  8 ,
x2 
x3  1 ,
x1  3 x 2  2 x 3  8 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
61
3.
z  3 x1  2 x2  x3  m a x

при ограничениях
x1  4 x 2  2 x 3  8 ,
x1 
x2 
x3  1 ,
3 x1  2 x 2 
x3  9 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
4.
z  2 x1  3 x2  x3  m a x
при ограничениях
4 x1 

x1 
x2  2 x3  8 ,
x2 
x3  1 ,
 2 x1  3 x 2 
x3  1 0 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
5.
z   x1  2 x2  3 x3  m a x
при ограничениях
2 x1  4 x 2 
x1 
x2 
x3  8 ,
x3  1 ,
x1  2 x 2  3 x 3  1 1 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
6.
z  3 x1  x2  2 x3  m a x

при ограничениях
x1  2 x 2  4 x 3  8 ,
x1 
3 x1 
x2 
x3  1 ,
x2  2 x3  1 2 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
62
7.
z  2 x1  x2  3 x3  m a x
при ограничениях
4 x1  2 x 2 

x1 
 2 x1 
x2 
x3  8 ,
x3  1 ,
x2  3 x3  9 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
8.
z   x1  3 x2  2 x3  m a x
при ограничениях
2 x1 
x1 
x2  4 x3  8 ,
x2 
x3  1 ,
x1  3 x 2  2 x 3  1 0 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
9.
z  3 x1  2 x2  x3  m a x

при ограничениях
x1  4 x2  2 x3  8 ,
x1 
x2 
x3  1 ,
3 x1  2 x2 
x3  1 1 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
10.
z  2 x1  3 x2  x3  m a x
при ограничениях
4 x1 

x1 
x2  2 x3  8 ,
x2 
x3  1 ,
 2 x1  3 x2 
x3  1 2 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
63
11.
z   x1  2 x2  3 x3  m a x
при ограничениях
2 x1  4 x2 
x1 
x2 
x3  8 ,
x3  1 ,
x1  2 x2  3 x3  7 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
12.
z  3 x1  x2  2 x3  m a x

при ограничениях
x1  2 x2  4 x3  8 ,
x1 
3 x1 
x2 
x3  1 ,
x2  2 x3  8 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
13.
z  2 x1  x2  3 x3  m a x
при ограничениях
4 x1  2 x2 

x1 
 2 x1 
x2 
x3  8 ,
x3  1 ,
x2  3 x3  1 1 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
14.
z   x1  3 x2  2 x3  m a x
при ограничениях
2 x1 
x1 
x2  4 x3  8 ,
x2 
x3  1 ,
x1  3 x2  2 x3  1 2 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
64
15.
z  3 x1  2 x2  x3  m a x

при ограничениях
x1  4 x 2  2 x 3  8 ,
x1 
x2 
x3  1 ,
3 x1  2 x 2 
x3  7 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
16.
z  2 x1  3 x2  x3  m a x
при ограничениях
4 x1 

x1 
x2  2 x3  8 ,
x2 
x3  1 ,
 2 x1  3 x2 
x3  8 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
17.
z   x1  2 x2  3 x3  m a x
при ограничениях
2 x1  4 x2 
x1 
x2 
x3  8 ,
x3  1 ,
x1  2 x2  3 x3  9 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
18.
z  3 x1  x2  2 x3  m a x

при ограничениях
x1  2 x2  4 x3  8 ,
x1 
3 x1 
x2 
x3  1 ,
x2  2 x3  1 0 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
65
19.
z  2 x1  x2  3 x3  m a x
при ограничениях
4 x1  2 x2 

x1 
 2 x1 
x2 
x3  8 ,
x3  1 ,
x2  3 x3  8 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
20.
z   x1  3 x2  2 x3  m a x
при ограничениях
2 x1 
x1 
x2  4 x3  8 ,
x2 
x3  1 ,
x1  3 x2  2 x3  9 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
21.
z  3 x1  2 x2  x3  m a x

при ограничениях
x1  4 x2  2 x3  8 ,
x1 
x2 
x3  1 ,
3 x1  2 x2 
x3  1 0 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
22.
z  2 x1  3 x2  x3  m a x
при ограничениях
4 x1 

x1 
x2  2 x3  8 ,
x2 
x3  1 ,
 2 x1  3 x2 
x3  1 1 ,
x1  0 , x2  0 , x3  0 .
66
23.
z   x1  2 x 2  3 x 3  m a x
при ограничениях
2 x1  4 x 2 
x1 
x2 
x3  8 ,
x3  1 ,
x1  2 x 2  3 x 3  1 2 ,
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 .
24.
z  3 x1  x 2  2 x 3  m a x

при ограничениях
x1  2 x 2  4 x 3  8 ,
x1 
3 x1 
x2 
x3  1 ,
x2  2 x3  7 ,
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 .
25.
z  2 x1  x 2  3 x 3  m a x
при ограничениях
4 x1  2 x 2 

x1 
 2 x1 
x2 
x3  8 ,
x3  1 ,
x2  3 x3  1 0 ,
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 .
26.
z   x1  3 x 2  2 x 3  m a x
при ограничениях
2 x1 
x1 
x2  4 x3  8 ,
x2 
x3  1 ,
x1  3 x 2  2 x 3  1 1 ,
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 .
67
27.
z  3 x1  2 x 2  x 3  m a x

при ограничениях
x1  4 x 2  2 x 3  8 ,
x1 
x2 
x3  1 ,
3 x1  2 x 2 
x3  1 2 ,
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 .
28.
z  2 x1  3 x 2  x 3  m a x
при ограничениях
4 x1 

x1 
x2  2 x3  8 ,
x2 
x3  1 ,
 2 x1  3 x 2 
x3  7 ,
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 .
29.
z   x1  2 x 2  3 x 3  m a x
при ограничениях
2 x1  4 x 2 
x1 
x2 
x3  8 ,
x3  1 ,
x1  2 x 2  3 x 3  8 ,
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 .
30.
z  3 x1  x 2  2 x 3  m a x

при ограничениях
x1  2 x 2  4 x 3  8 ,
x1 
3 x1 
x2 
x3  1 ,
x2  2 x3  9 ,
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 .
68
31.
z  2 x1  x 2  3 x 3  m a x
при ограничениях
4 x1  2 x 2 

x1 
 2 x1 
x2 
x3  8 ,
x3  1 ,
x2  3 x3  1 2 ,
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 .
32.
z   x1  3 x 2  2 x 3  m a x
при ограничениях
2 x1 
x1 
x2  4 x3  8 ,
x2 
x3  1 ,
x1  3 x2  2 x3  7 ,
x1  0 , x 2  0 , x 3  0 .
33÷72. Предприятие производит 3 вида продукции: A1 , A2 , A3 , используя сырье двух
видов: B 1 и B 2 . Известны затраты сырья i -ого вида на единицу изделия j -ого вида a i j ,
количества сырья каждого вида bi
делия j -ого вида c j
i  1 ,2  , а также прибыль, полученная от единицы из-
 j  1,2 ,3 .
Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, чтобы получить (33, 35, 37, 39,
41, 43, 45, 47, 49, 51) максимум прибыли, (34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52) максимум товарной продукции?
 
Обозначения: приведена матрица затрат A2 , 3   a i j , справа от которой значение
bi
i  1 ,2  и внизу - c j  j  1,2 ,3 .
 1 2 2  1100


33÷34.  3 4 2  1500
2 1 3
 2 3 4  1200


35÷36.  3 1 2  1600
2 1 3
 1 2 1  1000


37÷38.  3 5 2  1500
2 1 3
 2 1 4  1600


39÷40.  2 1 3  1800
2 1 3
 4 1 3  1500

2 1  2000
2 1 3
41÷42.  4
 2 1 1  800

3 2  1200
3 3 3
43÷44.  2
69
 3 1 2  900


45÷46.  1 2 3  100
3 3 2
 3 1 1  1800


47÷48.  2 3 1  2400
3 3 2
 2 2 1  1300

2  900
3 3 2
 2 1 2  2100

2 1  1200
3 3 2
49÷50.  3 2
51÷52.  2
53÷62) Решить задачу при дополнительных условиях: предприятие платит за хранение
единицы сырья B 1 и B 2 соответственно 0,1 и 0,3 денежных единицы.
63÷72) Решить задачу при условии, что задан план выпуска изделий, который можно перевыполнять:
63. 100 , 100 , 300 
64. 200 , 100 , 50 
65. 100 , 100 , 200 
66. 200 , 100 , 250 
67. 100 , 200 , 100 
68. 200 , 100 , 100 
69. 100 , 300 , 100 
70. 100 , 200 , 500 
71. 300 , 100 , 100 
72. 200 , 100 , 600 
73÷77. Для приготовления четырех видов продукции (А, В, С, D) используют три вида
сырья. Ресурсы сырья, норма его расхода на единицу продукции и цена продукции заданы в
соответствующей таблице.
Определить план выпуска продукции из условия максимизации его стоимости.
73.
Сырье
I
II
III
Цена c
 
4
Норма расходов
Ресурсы
А
В
С
D
b 
2
1
3
1
5
-
0,5
3
6
4
0
1
2400
1200
2000
7,5
3
6
12
3
74.
Сырье
I
II
III
Цена c
 
4
Норма расходов
Ресурсы
А
В
С
D
b 
1
2
3
1
3
-
0,5
3
5
4
0
1
4500
1200
2300
7,5
3
4
12
3
70
75.
Сырье
I
II
III
Цена c
 
4
Норма расходов
Ресурсы
А
В
С
D
b 
4,5
1
-
1
5
10
0,5
3
6
4
2,6
1
2400
820
2000
10,5
3
6
12
3
76.
Сырье
I
II
III
Цена c
 
4
Норма расходов
Ресурсы
А
В
С
D
b 
2
1,5
3
1
5
2
3,5
3
6
4
7
1
2600
2200
1000
9
3
5,6
12
3
77.
Сырье
I
II
III
Цена c
 
4
Норма расходов
Ресурсы
А
В
С
D
b 
2
1
3
1
5
-
0,5
3
6
4
0
1
2700
3200
1500
13
3
11
8,5
3
78÷82. Из 4 видов кормов необходимо составить рацион, в состав которого должно входить не менее b 1 ед. вещества A , b 2 ед. вещества B и b 3 ед. вещества C . Количество
единиц вещества, содержащегося в 1 кг корма каждого вида, указано в соответствующей
таблице. В ней же приведена цена 1кг корма каждого вида.
Составить рацион, содержащий не менее нужного количества указанных питательных
веществ и имеющий минимальную стоимость.
78.
Вещество
А
В
С
Цена 1 кг корма
(руб)
Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг корма каждого вида
1
2
3
4
10
5
7
4
10
13
20
7
12
5
9
11
12
10
71
79.
Вещество
А
В
С
Цена 1 кг корма
(руб)
80.
Вещество
А
В
С
Цена 1 кг корма
(руб)
81.
Вещество
А
В
С
Цена 1 кг корма
(руб)
82.
Вещество
А
В
С
Цена 1 кг корма
(руб)
Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг корма каждого вида
1
2
3
4
12
5
8
3
4
13
22
7
17
4,5
11
9
12
10
Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг корма каждого вида
1
2
3
4
10
7
4,5
20
14
15
6
7
12
5
9
11
12
17
Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг корма каждого вида
1
2
3
4
10,5
5
7
4
10
13
20
12
5
16
15
12
20
Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг корма каждого вида
1
2
3
4
10
5
7
6
7
8
9
20
7
12
9
11
12
10
83. Предприятие располагает тремя производственными ресурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией ) и может организовать производство продукции двумя различными
способами. Расход ресурсов за один месяц и общий ресурс при каждом способе производства
даны в таблице.
Производственные
ресурсы
Сырье
Оборудование
Электроэнергия
Расход ресурсов за 1 месяц при работе
1-м способом
2-м способом
1
2
1
1
2
1
Общий ресурс
4
3
8
При первом способе производства предприятие выпускает за один месяц 3 тыс. изделий,
72
при втором – 4 тыс. изделий.
Сколько месяцев должно работать предприятие каждым из этих способов, чтобы при
наличных ресурсах обеспечить максимальный выпуск продукции?
84. Механический завод при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя
различными технологическими способами. Необходимые исходные данные приведены в
таблице.
Детали
1
Оборудование
Технологические способы
2
1
2
3
1
1
1
1
6
9
1
2
3
0
11
Фрезерное
Токарное
Сварочное
Прибыль, у.е.
2
2
0
2
4
6
Полезный
фонд
времени,
станко-час
20
37
30
85. Торговая фирма для продажи товаров трех видов использует ресурсы: время и площадь торговых залов. Затраты ресурсов на продажу одной партии товаров каждого вида даны в таблице.
Ресурсы
Время, чел.-час
Площадь, м
Вид товара
2
0,7
0,3
1
0,5
0,1
2
Объем
ресурсов
370
90
3
0,6
0,2
Прибыль, получаемая от реализации одной партии товаров 1-ого вида, - 5 у.е., 2-ого вида
– 8 у.е., 3-ого вида – 6 у.е.
Определить оптимальную структуру товарооборота, обеспечивающую фирме максимальную прибыль.
86. Фирма выпускает четыре пользующихся спросом изделия, причем месячная программа выпуска составляет 10 изделий типа 1 и 3, 200 изделий типа 2 и 120 изделий типа 4.
Нормы затрат сырья на единицу различных типов изделий приведены в таблице.
Вид
сырья
1
2
3
1
5
4
1
Нормы затрат на одно изделие
2
3
1
0
2
2
0
2
4
2
1
1
Запасы
сырья, ед.
1000
600
150
Прибыль от реализации изделий типа 1 равна 6 у.е., изделий типа 2 – 2 у.е., изделий типа
3 – 2,5 у.е. и изделий типа 4 – 4 у.е.
73
Определить, является ли месячная программа выпуска изделий оптимальной, и если нет,
то определить оптимальную месячную программу и дополнительный доход, который фирма
может при этом получить.
87. Металлургический завод из металлов А1 , А2 , А3 может выпускать сплавы В 1 ,
В 2 , В 3 . В течение планируемого периода завод должен освоить не менее 640 т металла А1
и 800 т металла А2 , при этом металла А3 может быть израсходовано не более 860 т.
Определить минимальные затраты, если данные о нормах расхода и себестоимость даны
в таблице.
Технологические нормы расхода металла
на усл. ед. сплава
Вид
металлов
А1
А2
А3
Себестоимость
1 т сплава
В1
В2
В3
Наличие
металла
у завода
1,0
4,3
2,6
640
5,0
1,5
3,0
800
3,0
3,9
4,3
860
18
15
15
88. Ткань трех артикулов производится на ткацких станках двух типов с различной производительностью. Для изготовления ткани используются пряжа и красители. В таблице указаны мощности станков в тысячах станко-часов, ресурсы пряжи и красителей в 1000 кг, производительности станков в метрах за час, нормы расхода пряжи и краски в килограммах на
1000 м и цена 1 м ткани.
Вид ресурсов
Объем ресурсов
Станки 1-го типа
Станки 2-го типа
Пряжа
Красители
Цена, у.е.
30
45
30
1
1
20
8
120
10
15
Нормы расхода
2
10
20
180
5
15
3
25
10
210
8
20
По этим исходным данным решить следующие задачи:
1) определить оптимальный ассортимент, максимизирующий товарную продукцию
предприятия;
2) определить оптимальный ассортимент, максимизирующий доход предприятия, если
цена 1 м ткани составляет 8, 5, 15 у.е. соответственно.
89. Фирма выпускает три вида изделий, располагая при этом сырьем 4 типов: А, Б, В, Г
соответственно в количествах 18, 16, 8 и 6 т. Нормы затрат каждого типа сырья на единицу
74
изделия первого вида составляют соответственно 1, 2, 1, 0, второго вида – 2, 1, 1. 1 и третьего вида – 1, 1, 0, 1. Прибыль от реализации единицы изделия первого вида равна 3 у.е., второго – 4 у.е., третьего – 2 у.е.
Требуется составить план производства трех видов, максимизирующих прибыль.
90÷99. Дана задача линейного программирования:
  c x
Lx
1
4
1
 c 2 x 2  c 3 x 3  c 4 x 4  max min 
при ограничениях
a 1 1 x 1  a 1 2 x 2  a 1 3 x 3  a 1 4 x 4  b1

a 2 1 x 1  a 2 2 x 2  a 2 3 x 3  a 2 4 x 4  b 2 .
 x j  0 , j  1 ,4

Решить задачу симплексным методом при стремлении целевой функции к максимальному и минимальному значениям.
Значения коэффициентов целевой функции и системы ограничений
№
варианта
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
1
2
2
2
2
-3
-2
-1
3
-2
-2
3
-1
-1
1
1
-2
2
2
-1
3
-1
3
0
-1
3
3
-1
1
-1
1
-1
1
3
-1
-1
0
3
-1
3
1
1
2
1
1
1
-2
3
1
-3
а1 2
-1
1
1
2
-1
2
1
-1
3
2
а1 3
3
-7
2
3
2
-1
3
2
-1
-1
а1 4
2
-1
-3
-1
1
1
1
-1
2
1
в1
а21
3
3
3
1
2
2
2
5
7
5
2
2
-1
3
2
2
2
-1
2
1
а2 2
-3
3
-2
2
1
-2
3
2
-1
3
а2 3
5
-1
1
1
-3
3
4
1
2
1
а2 4
-1
5
2
-1
1
3
0
2
1
2
в2
4
8
5
5
6
9
1
0
1
10
с1
с2
с3
с4
а11
100÷109. Составить математическую модель и решить задачу симплексным методом.
В производстве пользующихся спросом двух изделий, А и В, принимают участие 3 цеха
фирмы. На изготовление одного изделия А 1-й цех затрачивает а 1 ч, 2-й цех - а 2 ч, 3-й цех -
75
а 3 ч. На изготовление одного изделия В 1-й цех затрачивает d 1 ч, 2-й цех - d 2 ч, 3-й цех -
d 3 ч. На производство обоих изделий 1-й цех может затратить не более в 1 ч, 2-й цех – не
более в 2 ч, 3-й цех – не более в 3 ч.
От реализации одного изделия А фирма получает доход с 1 р., изделия В - с 2 р.
Определить максимальный доход от реализации всех изделий А и В.
Значения коэффициентов условия задачи
№
варианта
a1
a2
a3
d1
d2
d3
в1
в2
в3
с1
с2
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
7
10
8
8
10
5
3
7
7
5
6
9
7
7
9
6
9
7
7
9
5
3
7
7
5
7
10
8
8
10
8
18
12
10
6
7
5
13
5
7
3
15
9
5
3
6
3
8
2
9
1
1
5
2
1
1
2
2
1
8
476
1238
612
459
735
256
414
363
347
343
364
1118
492
379
765
283
723
327
300
587
319
523
562
459
455
363
788
429
357
587
11
11
11
9
8
9
12
6
11
11
10
13
9
9
4
7
16
4
7
7
110. Собственник располагает четырьмя видами ресурсов m  4  . Это, например, денежные средства, производственные помещения, оборудование, сырье. Ресурсы необходимо
распределить между шестью предприятиями n  6  . Предприятия различаются по экономическим условиям деятельности: месту расположения, системе налогообложения, стоимости энергии, оплате труда и т.д., в связи с чем имеют разные издержки производства. Относительные уровни издержек заданы таблицей.
Относительные уровни издержек на предприятиях
Предприятия
Издержки
1
0,4
2
0,5
3
0,2
4
0,8
5
0,6
6
0,3
Распределение ресурсов по предприятиям сопряжено с необходимостью учета ряда
ограничений, которые могут быть описаны системой четырех уравнений с шестью неизвестными:
76
1й
2й
3й
4й
вид
вид
вид
вид
рес у рсов
рес у рсов
рес у рсов
рес у рсов

4x1  x 4  16 ;

2 x 2  x 5  10 ;

x 3  2 x 4  6 x 5  76 ; 
4 x 1  3 x 2  x6  24 ;
x j  0  j  1 ,2 ,...,4 . 
Смысл первого уравнения в нашем примере в том, что ресурс вида 1, общий ресурс которого составляет 16 единиц, может размещаться в количестве четырех единиц на предприятии первого типа и одной единицы – на предприятии четвертого типа. Аналогично раскрывается смысл второго и последующих уравнений. Последнее условие говорит о том, что число
предприятий не может быть отрицательным.
Необходимо определить, какое количество предприятий каждого типа следует иметь,
чтобы общие издержки были минимальными.
В соответствии с таблицей целевая функция, подлежащая оптимизации, примет вид:
y  0,4x 1  0 ,5 x 2  0 ,2 x 3  0 ,8 x 4  0 ,6 x 5  0 ,3 x6 .
77
1.7. Интерпретация симплексной таблицы
при анализе оптимального решения
задачи линейного программирования
на чувствительность
Вернемся к задаче, решаемой в п.1.3 и анализируемой в п.1.4. Рассмотрим оптимальную
симплексную таблицу на третьей итерации решения рассматриваемой задачи.
i
Б
С
План
x1
x2
x3
x4
x5
x6
1
x1
2
4/3
1
0
2/3
-1/3
0
0
2
x2
3
10/3
0
1
-1/3
2/3
0
0
3
x5
0
3
0
0
-1
1
1
0
4
x6
0
0
0
-2/3
1/3
0
1
0
0
1
4
0
0
2
3
12 2
3
3
3
По значениям дополнительно введенных переменных для приведения задачи к канонической форме можно определить:
1-е ограничение дефицитное, т.к. ему соответствует x 3  0 ;
2-е ограничение дефицитное, т.к. x 4  0 ;
3-е и 4-е ограничения недефицитные, т.к. x 5  3  0 и x6  2
3
0.
Значения дополнительно введенных переменных, соответствующих дефицитным ограничениям, в последней строке заключительной оптимальной симплексной таблицы показывают:
увеличение на единицу первого ресурса (соответствует дополнительно введенной переменной x 3 ) дает прирост целевой функции на 1 , а второго ресурса (соответствует дополни-
3
тельно введенной переменной x 4 ) - на 4
3
.
78
1.8. Двойственные задачи линейного программирования
1.8.1. Экономическая интерпретация задачи, двойственной
задаче об использовании ресурсов
Рассмотрим задачу об использовании ресурсов (задачу планирования производства).
Для изготовления двух видов продукции p 1 и p 2 используют четыре вида ресурсов s 1 ,
s 2 , s 3 и s 4 . Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной
единицы продукции, приведены в таблице 1.2.
Таблица 1.2
Число единиц ресурсов, затрачиваемых на
Вид ресурса
Запас ресурса
изготовление одной единицы продукции
p1
p2
s1
18
1
3
s2
16
2
1
s3
5
-
1
s4
21
3
-
Прибыль, получаемая от единицы продукции p 1 и p 2 , - соответственно 2 и 3 руб.
Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее
реализации будет максимальной.
Решение
Обозначим x 1 , x 2 - число единиц продукции соответственно p 1 и p 2 , запланированных к производству. Для их изготовления (см. табл. 1.2) потребуется 1  x 1  3 x 2  единиц ресурса s 1 , 2 x 1  1  x 2  единиц ресурса s 2 , 1  x 2  единиц ресурса s 3 и 3 x 1 единиц ресурса s 4 . Так как потребление ресурсов s 1 , s 2 , s 3 и s 4 не должно превышать их запасов, соответственно 18, 16, 5 и 21 единицы, то связь между потреблением ресурсов и их
запасами выразится системой неравенств:
 x 1  3 x 2  18 ,
 2 x 1  x 2  16 ,

x2  5 ,
3 x
 21 .
 1
(1.4)
79
По смыслу задачи переменные
x1  0 , x 2  0 .
(1.5)
Суммарная прибыль z составит 2 x 1 руб. от реализации продукции p 1 и 3 x 2 руб. – от
реализации продукции p 2 , т.е.
z  2 x1  3 x2 .
(1.6)
Итак, экономико-математическая модель задачи: найти такой план выпуска продукции
X   x 1 , x 2  , удовлетворяющий системе (1.4) и условию (1.5), при котором функция (1.6)
принимает максимальное значение.
Экономико-математическая модель и содержательная интерпретация этой задачи  представлены в левой части таблицы 1.3. В приведенной модели bi
i  1 ,2 , . . . , m  обозначает
запас ресурса s i ; a i j - число единиц ресурса s i , потребляемого при производстве единицы
продукции p j
 j  1 ,2 , . . . , n ; c j - прибыль (выручка) от реализации единицы продукции
p j (или цена продукции p j ).
Предположим, что некоторая организация решила закупить ресурсы s 1 , s 2 , . . ., s m
предприятия и необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы y 1 , y 2 , . . . , y m .
Очевидно, что покупающая организация заинтересована в том, чтобы затраты на все ресурсы z  в количествах b1 , b2 , . . . , bm по ценам соответственно y 1 , y 2 , . . . , y m были минимальны, т.е.
z   b1 y 1  b2 y 2    bm y m  min .
С другой стороны, предприятие, продающее ресурсы, заинтересовано в том, чтобы полученная выручка была не менее той суммы, которую предприятие может получить при переработке ресурсов в готовую продукцию. На изготовление единицы продукции p 1 расходуется a 1 1 единиц ресурса s 1 , a 2 1 единиц ресурса s 2 , …, a i 1 единиц ресурса s i , …, a m 1
единиц ресурса s m по цене соответственно y1 , y 2 , . . . , y i , . . . , y m . Поэтому для удовлетворения требований продавца затраты на ресурсы, потребляемые при изготовлении единицы
продукции p 1 , должны быть не менее ее цены c 1 , т.е.
a1 1 y1  a 2 1 y 2    a m 1 y m  c1 .
80
Аналогично можно составить ограничения в виде неравенств по каждому виду продукции p2 , . . . , pn . Экономико-математическая модель и содержательная интерпретация полученной таким образом двойственной задачи  приведены в правой части таблицы 1.3.
Цены ресурсов y 1 , y 2 , . . . , y m в экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, “ненастоящие” цены. В отличие от “внешних” цен c1 , c 2 , . . . , c n на продукцию, известных, как
правило, до начала производства, цены ресурсов y 1 , y 2 , . . . , y m являются внутренними, ибо
они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.
Таблица 1.3
Задача  (исходная)
Задача  (двойственная)
F  c1 x 1  c 2 x 2    c n x n  max
Z  b1 y1  b2 y 2    bm y m  min
при ограничениях
при ограничениях
a 1 1 x 1  a 1 2 x 2    a 1 n x n  b1 ,
a 2 1 x 1  a 2 2 x 2    a 2 n x n  b2 ,

a x  a x    a x  b
m2 2
mn n
m
 m1 1
a1 1 y1  a2 1 y2    am 1 ym  c1 ,

a1 2 y1  a2 2 y2    am 2 ym  c2 ,


a y  a y    a y  c
2n 2
mn m
n
 1n 1
и условии неотрицательности
x 1  0 , x 2  0 , , x n  0 .
Составить такой план выпуска продукции
и условии неотрицательности
y1  0 , y 2  0 , , y m  0 .
Найти такой набор цен (оценок) ресурсов
X   x 1 , x 2 , , x n  , при котором при- Y   y , y , , y , при котором общие
1
2
m
быль (выручка) от реализации продукции затраты на ресурсы будут минимальными
будет максимальной при условии, что по- при условии, что затраты на ресурсы при
производстве каждого вида продукции бутребление ресурсов по каждому виду продут не менее прибыли (выручки) от реалидукции не превзойдет имеющихся запасов. зации этой продукции.
1.8.2. Взаимно двойственные задачи линейного программирования
и их свойства
Представим задачу линейного программирования в общем виде:
n
z   c j x j  max
j 1
при ограничениях
81
n
 aij x j  bi ,
i  1, m ;
j 1
xj  0 ,
j  1,n.
Для этой исходной задачи максимизации производственного результата может быть составлена двойственная задача минимизации затрат следующим образом:
-
заменить вектор x
-
в целевой функции заменить коэффициенты c
n
на вектор y
m
;
n
на b m и условие max изменить
на min ;
-
транспонировать матрицу Am,n  коэффициентов ограничений;
-
изменить знак неравенства в ограничениях, а в правых частях ограничений заменить
b m на c n .
Двойственная задача линейного программирования будет иметь вид:
m
z    bi y i  min
i 1
при ограничениях
m
 a ji y i  c j ,
j  1,n ;
i 1
yi  0 ,
i  1,m .
Для любого неоптимального плана
maxz(x
n
)  min z ( y m ),
а для оптимального плана
maxz(xn )  min z ( y m ).
Схематично исходную и двойственную ей ЗЛП можно представить:
x1
…
xj
…
xn
c1
…
cj
…
cn
a 11
…
a1 j
…
a1n
b1
y1
…
…
…
…
…
…
…
ai 1
…
ai j
…
ai n
bi
yi
…
…
…
…
…
…
…
am 1
…
am j
…
am n
bm
ym
82
▼
Пример
Рассмотрим ЗЛП:
Составим двойственную ей задачу:
z  x 1  x 2  max
z   3y 1  4 y 2  min
при
при
x1  3 x 2  3 ;
4 x1  x 2  4 ;
x1  0 , x 2  0 .
y1  4 y 2  1 ,
3 y1  y 2  1 ,
y1  0 , y 2  0.
Решим эти задачи графически:
x 2 
9
8
;
11 11
y 2 
3
2
;
11 11
Приведем исходную задачу к канонической форме и решим ее симплексным методом:
z  x 1  x 2  max
при
x1  3 x 2  x 3
 3,
4 x1  x 2 
x4  4 ,
x 1  0 , x 2  0 , x 3  0 , x 4  0.
83
I
Б
План
x1
x2
x3
x4
1
x3
3
1
3
1
0
2
x4
4
4
1
0
1
0
-1
-1
0
0
1
x3
2
0
11/4
1
-1/4
2
x1
1
1
1/4
0
1/4
1
0
-3/4
0
1/4
1
x2
8/11
0
1
4/11
-1/11
2
x1
9/11
1
0
-1/11
3/11
17/11
0
0
3
11
2
11
Оптимальному решению y

2
двойственной задачи соответствуют значения допол-
нительных переменных в последней строке оптимальной симплексной таблицы.
▲
Вопросы для самопроверки

Что называют «внешними» ценами на продукцию и оценками ресурсов?

Какое выполняется соотношение для целевых функций исходной и двойствен-
ной задач линейного программирования при неоптимальном плане и при оптимальном плане?

Каким образом для исходной задачи максимизации производственного резуль-
тата составляется двойственная задача минимизации затрат?
84
Задания для самостоятельной работы
▼
Пример
Представим задачу линейного программирования в общем виде:
n
z   c j x j  max
j 1
при ограничениях
n
 aij x j  bi
, i  1, m ;
j 1
xj  0 .
Представьте эту задачу в матричном виде:
z  C1 ,n X n ,1  max
при ограничениях
Am ,n X n ,1  Bm ,1 ,
X n ,1  0 .
Составьте двойственную этой задаче линейного программирования:
z  B1 ,m Ym ,1  min
при ограничениях
An ,m Ym ,1  Cn ,1 ,
Ym ,1  0 .
Представим двойственную задачу линейного программирования в общем виде:
m
z    bi y i  min
i 1
при ограничениях
m
 a ji yi  c j
, j  1,n ;
i 1
yi  0 , i  1, m .
85
Рассмотрим задачу линейного программирования:
z  5 x 1  2 x 2  max
при ограничениях
x1  x 2  6 ,
4 x 1  3 x 2  60 ,
x 1  x 2  18 ,
x1  0 , x 2  0 .
Составим двойственную этой задаче линейного программирования:
z   6 y1  6 0 y 2  1 8 y 3  min
при ограничениях
y1  4 y 2 
y3  5 ,
 y1  3 y 2 
y 3  2 ,
y1  0 , y 2  0 , y 3  0 .
Задание: составьте двойственную полученной двойственной задаче линейного программирования (должна получиться исходная задача линейного программирования).
▲
Для следующих задач составить математические модели двойственных задач и по
решению исходной найти оптимальное решение двойственной.
  x
1. L x
4
1
 3 x 3  3 x 4  min
при ограничениях
 x1  x2  4 x3  x4  2
 x  x 
3 x4   1

1
2
x j  0 , j  1 ,4
86
  2x
2. L x
4
1
 x 2  3 x 3  x 4  max
при ограничениях
x4  4
 x1  2 x2 
 x  x  x 3x 1
1
2
3
4

x j  0 , j  1 ,4
  x
3. L x
4
1
 x 2  6 x 3  x 4  min
при ограничениях
 2 x1  x2  2 x3  x4  2
 2 x  x  3 x  x  6
1
2
3
4

x j  0 , j  1 ,4
   3 x
4. L x
4
2
 x 3  x 4  max
при ограничениях
 3 x 1  5 x 2  x 3  x 4  32
- x  3 x  x  x  8
1
2
3
4

x j  0 , j  1 ,4
   3 x
5. L x
4
1
 2 x 2  3 x 3  4 x 4  min
при ограничениях
 2 x 1  2 x 2  3 x 3  3 x 4  9
 x1  2 x2  x3  x4  0
 x 1  x 2  2 x 3  x 4  0
x j  0 , j  1 ,4
   1,5 x
6. L x
2
1
 2 x 2  m ax
при ограничениях
 2 x 1  x 2  7
 x1  2 x2  8
 3 x 1  4 x 2  12
x j  0 , j  1 ,2
87
  x
7. L x
4
1
 2 x 2  x 4  min
при ограничениях
 3 x1  x2  8 x3  3 x4  5
 2 x  x 5 x 4 x 4
1
2
3
4

x j  0 , j  1 ,4
   2 x
8. L x
2
1
 x 2  min
при ограничениях
 2 x1  x2  8
 x1  3 x2  6

 3 x1  2 x2  3
 x 1  3 x 2   5

x j  0 , j  1 ,2
9. Для производства трех изделий А, В и С используются три вида сырья. Каждый
из них используется в объеме, не превышающем 180, 210 и 236 кг. Нормы затрат каждого из видов сырья на одно изделие и цена единицы изделий приведены в таблице.
Вид сырья
1
2
3
Цена изделия, у.е.
А
4
3
1
10
Нормы затрат сырья на одно изделие, кг
В
2
1
2
14
С
1
3
5
12
Определить план выпуска изделий, обеспечивающий получение максимального дохода.
Составить для данной задачи двойственную и найти оптимальный план двойственной задачи.
88
1.9. Транспортная задача
Транспортная модель используется для составления наиболее экономичного плана
перевозок одного вида продукции из нескольких пунктов отправления в пункты назначения. Такая модель может применяться также для оптимизации управления запасами,
составления сменных графиков, назначения служащих на рабочие места, оборота
наличного капитала и т.п.
Графически транспортная модель представляется в виде сети с m пунктами отправления и n пунктами назначения.
Пунктам отправления (ПО) и назначения (ПН) соответствуют вершины, соединенные дугами, представляющими маршрут перевозки.
Количество груза в i -ом пункте отправления обозначено через a i ( i  1 , m ) , а
количество потребляемого груза в j -ом пункте назначения – через b j ( j  1 , n ) . Обозначим с i j - стоимость перевозки единицы груза из
i -ого пункта в j -ый пункт, а
x i j - количество груза, перевозимого из i в j .
Пусть соблюдается баланс отправляемого и потребляемого груза:
m
n
i 1
j 1
 ai   b j .

Требуется найти оптимальный план перевозок X m,n  из условия
m
z
i 1
n
 ci j xi j
j 1
 min
89
при ограничениях
количество груза , отправляемое из
i  1, m  любого i  ого пункта отправления
во все j  1, n пункты назначения;
n
 xi j  ai ,
j 1
j  1, n 
количество груза , завозимого в любой
j  ый пункт назначения из всех
i  1, m пунктов отправления;
i  1, m ,
j  1, n .
m
 xi j  b j ,
i 1
xi j  0 ,
При несоблюдении баланса отправляемого и потребляемого груза вводится фиктивный пункт:
- если суммарная потребность пунктов назначения больше имеющегося суммарного
запаса в пунктах отправления, то фиктивный m  1 -ый пункт отправления с количеством груза
n
m
j 1
i 1
am 1   b j   ai ;
- если суммарный запас в пунктах отправления превышает суммарную потребность
пунктов назначения, то фиктивный n  1 -ый пункт назначения с потребностью
m
n
i 1
j 1
bn1   a i   b j .
При этом полагают, что стоимость перевозок в фиктивный пункт назначения или из
фиктивного пункта отправления c i ,n  1  c m  1 , j  0 (i  1, m ; j  1 , n ) , и после решения задачи принимают x i ,n  1  x m  1 , j  0 (i  1, m ; j  1 , n ).
В общем виде любую транспортную модель можно представить таблицей.
90
пн
…
1
по
…
j
n
c1 j
c1 1
c1 n
1
x1 1
…
x1 j
…
x1 n
a1
…
…
…
…
…
…
…
ci 1
i
xi 1
…
…
ci j
xi j
…
…
…
…
cm 1
m
ci n
…
xi n
ai
…
…
cm j
cm n
xm 1
…
xm j
…
xm n
b1
…
bj
…
bn
▼
Пример (начало)
Запасы в пунктах отправления - a
3
 ( 15 ,20 ,30 );
потребности в пунктах назначения - b
2
 ( 40 ,25 );
стоимость перевозок - с 3 ,2 
3 5
 7 2  .


3
1


Баланс: 15  20  30  40  25.

Требуется найти оптимальный план перевозок X 3 , 2  :
am
91
z  3 x1 1  5 x1 2 
 7 x2 1  2 x2 2 
 3 x 3 1  x 3 2  min
при ограничениях
x1 1  x1 2  1 5 ,
x2 1  x2 2  2 0 ,
x31  x3 2  3 0 ,
x1 1  x 2 1  x 3 1  4 0 ,
x1 2  x 2 2  x 3 2  2 5 ,
x1 1  0 , x1 2  0 ,
x2 1  0, x2 2  0,
x 3 1  0 , x 3 2  0.
Представим транспортную модель в табличном виде:
ПН
1
ПО
2
3
5
1
15
7
2
2
20
3
1
3
30
40
▲
25
92
1.10. Решение транспортной задачи
Транспортная задача представляет собой задачу линейного программирования, которую можно решать симплексным методом. Однако специфическая структура условий
задачи позволяет разработать более эффективный вычислительный метод ее решения.
Основные шаги алгоритма:
Шаг 0. Найти начальное допустимое решение.
Шаг 1. Если все небазисные (нулевые) переменные удовлетворяют условию оптимальности, закончить вычисления, в противном случае выделить из числа небазисных
переменных вводимую в базис и перейти к шагу 2.
Шаг 2.Выбрать выводимую из базиса переменную, найти новое базисное решение и
вернуться к шагу 1.
1.10.1. Определение начального решения
Для нахождения начального решения используем правило "северо-западного угла":
-
приписываем переменной, расположенной в северо-западном углу таблицы,
максимальное значение, допускаемое ограничениями;
-
вычеркиваем соответствующий столбец или строку с остальными нулевыми пе-
ременными и возвращаемся в начало с преобразованной таблицей.
▼
Пример (продолжение 1)
ПН
1
ПО
1
2
3
15
5
----------
----------
7
2
20
----------
5
----------
----------
20
1
25
40
15
2
3
3
----------
30
25
93
Целевая функция для начального решения:
z  3  15  5  0  7  20  2  0  3  5  1  25  225 .
▲
1.10.2. Нахождение вводимой в базис переменной
Используем метод потенциалов, по которому каждому i -ому пункту отправления
ставят в соответствие потенциал u i , а каждому j -ому пункту назначения – потенциал
v j . Для каждой базисной переменной x i j текущего решения потенциалы u i и v j
должны удовлетворять уравнению:
ui  v j  c i j .
Значения потенциалов можно определить из системы этих уравнений, придавая одному из потенциалов произвольное значение.
▼
Пример (продолжение 2)
u1  v 1  3
u2  v 1  7
u3  v 1  3
u3  v 2  1
Полагая u1  0 , получим значения потенциалов:
v1  3
u2  4
u3  0
v2  1
▲
Оценка для каждой небазисной переменной x i j определяется по соотношению:
94
c i j  ui  v j  c i j .
▼
Пример (продолжение 3)
с 1 2  u1  v 2  c 1 2  0  1  5  4 ,
c 2 2  u 2  v 2  c 2 2  4  1  2  3.
▲
Если среди вычисленных оценок есть положительные, то начальное решение неоптимальное (аналогично симплексному методу).
Для включения в базис выбирается небазисная переменная, имеющая самую большую положительную оценку с i j (аналогично симплексному методу).
▼
В нашем примере выбирается переменная x 2 2 .
▲
1.10.3. Нахождение выводимой из базиса переменной
Для этого строится замкнутый цикл, соответствующий вводимой в базис переменной. Цикл начинается и заканчивается выбранной небазисной переменной. Он состоит
из последовательности горизонтальных и вертикальных связанных отрезков, концами
которых должны быть базисные переменные.
95
▼
Пример (продолжение 4)
ПН
1
ПО
2
3
1
5
15
15
7
20
2
-
x2 2
-
20
+
-
3
-
3
2
5
1
25
30
+
40
25
Из таблицы видно, что увеличение выбранной небазисной переменной приведет к
соответствующим изменениям значений базисных переменных. Этот процесс изменений обозначим знаками "+" и "-".
▲
Переменная, выводимая из базиса, выбирается из находящихся на изломах цикла
переменных со знаком "-". Выводимой из базиса переменной становится та, которая
имеет наименьшее значение (аналогично симплексному методу).
▼
Для нашего примера x 2 1  20.
Найдем новое решение:
-
исключаем значение выводимой базисной переменной, а ее значение присваива-
ем вводимой небазисной переменной;
-
с помощью этого заменяемого значения пересчитываем значения базисных пе-
ременных в соответствии со знаками "+" или "-".
96
ПН
1
ПО
2
3
1
5
15
15
7
2
2
20
20
3
3
25
1
5
40
30
25
Ему соответствует значение целевой функции:
z  3  15  5  0  7  0  2  20  3  25  1  5  165,
что меньше, чем для начального решения.
После этого итерация решения задачи повторяется.
Для рассматриваемого примера повторение итерации показывает, что найденное
решение оптимально:
X

3 , 2 
15
0
 0 20
25
5 .
▲
Вопросы для самопроверки

Для оптимизации каких экономических процессов мажет использоваться транс-
портная модель?

Как графически представляется транспортная модель?

Что означает соблюдение баланса отравляемого потребляемого груза?

Как устраняют в модели несоблюдение баланса отравляемого и потребляемого
груза?

Какой таблицей в общем случае можно представить любую транспортную мо-
97
дель?

Из каких шагов состоит алгоритм решения транспортной задачи?

Какое правило используется для нахождения начального решения транспортной
задачи?

Какой метод применяется для нахождения вводимой в базис переменной?

Какому уравнению должны удовлетворять потенциалы для каждой базисной пе-
ременной в транспортной задаче?

По какому соотношению определяется оценка для каждой небазисной перемен-
ной в транспортной задаче?

Что является признаком неоптимальности решения транспортной задачи?

По какому признаку выбирается небазисная переменная транспортной задачи
для включения в базис?

Как находится выводимая из базиса переменная транспортной задачи?
Задания для самостоятельной работы
▼
Пример
Запасы в пунктах отправления (ПО) - a
3
 ( 15 ,25 ,5 );
потребности в пунктах назначения (ПН) - b 4  ( 5 ,15 ,15 ,10 );
стоимость перевозок - с 3 ,4 
 10 0 20 11 
  12 7 9 20  .


 0 14 16 18 
Баланс: 15  25  5  5  15  15  10.
Составить оптимальный план перевозок.
Решение
Представим модель в табличном виде.
98
ПН
1
ПО
2
10
3
0
4
20
11
1
15
12
7
9
20
2
25
0
14
16
18
3
5
5
15
15
10
Содержание таблицы означает, что имеется 3 пункта отправления (ПО) и 4
пункта назначения (ПН), а также указано, сколько единиц груза имеется или требуется доставить на эти пункты. В соответствующих ячейках таблицы проставлено планируемое количество единиц груза для перевозки, а в окошках этих ячеек стоимость
перевозки единицы груза.
Определение начального решения (с помощью правила "северо-западного угла").
ПН
1
ПО
1
2
10
15
3
0
4
20
11
10
12
2
15
7
5
0
9
15
14
20
5
16
3
18
5
5
15
Целевая функция для начального решения:
15
25
10
5
99
z  10  15  0  10  7  5  9  15  20  5  18  5  510.
Нахождение вводимой в базис переменной (с помощью метода потенциалов).
u1  v 1  10 ,
u1  v 2  0 ,
u2  v 2  7 ,
u2  v 3  9 ,
u2  v 4  20 ,
u3  v 4  18 .
Полагая u1  0 , получим значения потенциалов:
v 1  10 ,
v2  0 ,
u2  7 ,
v3  2 ,
v 4  13 ,
u3  5 .
Оценка для каждой небазисной переменной:
с13  u1  v 3  c13  0  2  20  18 ,
c14  u1  v 4  c14  0  13  11  2 ,
c 21  u2  v 1  c 21  7  10  12  5 ,
c 31  u3  v 1  c 31  5  10  0  15 ,
c 32  u3  v 2  c 32  5  0  14  9 ,
c 33  u3  v 3  c 33  5  2  16  9.
Т.к. среди вычисленных оценок есть положительные, то начальное решение неоптимальное.
Для включения в базис выбирается небазисная переменная x 31 , имеющая самую
большую положительную оценку.
100
Для нахождения выводимой из базиса переменной строится замкнутый цикл, соответствующий вводимой в базис переменной.
ПН
1
ПО
2
10
1
5
3
0
4
20
11
10
15
Θ

12
7
2
5
9
15
20
5

Θ
0
14
16
18
5
x 31
3
25

5
5
Θ
15
15
10
Выводимой из базиса переменной со знаком "-" будет та, которая имеет наименьшее значение x 11  x 22  x 34  5 , пусть x 34 .
Найдем новое решение.
ПН
1
ПО
1
2
10
0
0
4
20
11
15
12
2
15
7
0
0
3
3
9
15
14
20
10
16
18
5
5
25
5
15
15
Ему соответствует значение целевой функции
z  10  0  0  15  7  0  9  15  20  10  0  5  335,
что меньше, чем для начального решения.
10
101
После этого итерация решения задачи повторяется.
Нахождение вводимой в базис переменной.
u 1 + v 1 = 10 ,
u1 + v 2 = 0 ,
u2 + v 2 = 7 ,
u2 + v 3 = 9 ,
u 2 + v 4 = 20 ,
u3 + v 1 = 0 .
Полагая u 1 = 0 , получим значения потенциалов:
v 1 = 10 ,
v2 = 0 ,
u2 = 7 ,
v3 = 2 ,
v 4 = 13 ,
u 3  10 .
Определим оценку для каждой небазисной переменной:
c 13  u1  v 3  c 13  0  2  20  18 ,
c 14  u1  v 4  c 14  0  13  11  2 ,
c 21  u2  v1  c21  7  10  12  5 ,
c 32  u 3  v 2  c 32  10  0  14  24 ,
c 33  u3  v 3  c 33  10  2  16  24 ,
c 34  u3  v 4  c34  10  13  18  15 .
Т.к. среди вычисленных оценок есть положительные, то текущее решение неоптимальное.
Для включения в базис выбирается небазисная переменная x 21 , имеющая самую
большую положительную оценку.
102
Нахождение выводимой из базиса переменной.
ПН
1
ПО
2
10
1
0
3
0
4
20
11
15
15
Θ

12
7
x 21
2
3
0
9
15

Θ
0
14
20
10
16
25
18
5
5
5
15
15
10
Выбираем на изломах цикла переменную со знаком "-" и с наименьшим значением:
x 11 или x 22 . Выведем из базиса x 11 .
Получаем новое базисное решение:
ПН
1
ПО
2
10
1
0
20
11
0
15
7
0
0
3
4
15
12
2
3
9
15
14
20
10
16
18
5
5
5
15
15
10
Составляем уравнения с потенциалами для базисных переменных:
u1  v 2  0 ,
25
103
u 2  v 1  12 ,
u2  v 2  7 ,
u2 + v 3 = 9 ,
u 2 + v 4 = 20 ,
u3 + v 1 = 0 .
Получим значения потенциалов при u 1 = 0 :
v2 = 0 ,
u2 = 7 ,
v1  5 ,
v3 = 2 ,
v 4 = 13 ,
u 3  5 .
Определим оценки небазисных переменных:
c 11  u1  v 1  c 11  0  5  10  5 ,
c 13  u1  v 3  c 13  0  2  20  18 ,
c 14  u1  v 4  c 14  0  13  11  2 ,
c 32  u 3  v 2  c 32  5  0  14  19 ,
c 33  u 3  v 3  c 33  5  2  16  19 ,
c 34  u 3  v 4  c 34  5  13  18  10 .
Т.к. есть положительная оценка, то текущее решение неоптимальное.
В связи с тем, что положительная оценка одна, то она же и наибольшая и в базис
вводится небазисная переменная x 14 .
104
Построим для этой переменной замкнутый цикл:
ПН
1
ПО
2
10
1
3
0
4
20
11
x 14
15

Θ
12
2
0
7
0
9
15
20
10

0
3
15
25
Θ
14
16
18
5
5
5
15
15
10
Из переменных на изломах цикла со знаком "-" наименьшей является x 24 .
Выводим ее из базиса и получаем новое решение:
ПН
1
ПО
2
10
1
0
20
0
11
10
7
10
0
3
4
5
12
2
3
9
20
15
14
25
16
18
5
5
15
5
15
15
10
105
Для базисных переменных составляем уравнения с потенциалами:
u1  v 2  0 ,
u 1  v 4  11 ,
u 2  v 1  12 ,
u2  v 2  7 ,
u2 + v 3 = 9 ,
u3 + v 1 = 0 .
Получим значение потенциалов при u 1 = 0 :
v2 = 0 ,
v 4  11 ,
u2 = 7 ,
v1  5 ,
v3 = 2 ,
u 3  5 .
Определим оценки небазисных переменных:
c 11  u1  v 1  c 11  0  5  10  5 ,
c 13  u1  v 3  c 13  0  2  20  18 ,
c 24  u 2  v 4  c 24  7  11  20  2 ,
c 32  u 3  v 2  c 32  5  0  14  19 ,
c 33  u 3  v 3  c 33  5  2  16  19 ,
c 34  u 3  v 4  c 34  5  11  18  12 .
Поскольку все оценки отрицательные, то полученное решение оптимально:
106
X 3 , 4 
5
0 1 0
0



 0 10 15
0


5
0
0
0  ,

z   0  5  1 1  1 0  7  1 0  9  1 5  0  5  315 .
▲
1. Составить оптимальное распределение специалистов четырех профилей, имеющихся в количествах 60, 30, 45, 25 между пятью видами работ, потребности в специалистах для каждого вида работ соответственно равны 20, 40, 25, 45, 30, а матрица
С 4 , 5 
7
4

 5
6
5
0
6
4
2
8
0
5
0
6
9
7
4
3

8
6 
характеризует эффективность использования специалиста на данной работе.
2. Выпуск продукции на трех заводах составляет 500, 700 и 600,причем затраты на
производство единицы равны 9, 8 и 2 соответственно. Потребности четырех потребителей на эту продукцию составляют 350, 200, 450 и 100. Матрица С 3 , 4  транспортных
расходов на доставку единицы продукции с i -ого завода j -ому потребителю:
С 3 , 4 
 3 4 6 1
  5 1 2 3 .


 4 5 8 1
Определить оптимальный план прикрепления потребителей к заводам при условии
минимизации суммарных затрат на производство и транспортировку.
Ответ: 13600, (100, 300, 0, 0, 0, 500, 200, 0, 300, 0, 0, 300).
3. Строительный песок добывается в трех карьерах с производительностью за день
46, 34 и 40 т. И затратами на добычу одной тонны 1, 2 и 3 руб. соответственно. Песок
доставляется на четыре строительные площадки, потребность которых составляет 40,
35, 30, 45 т. Транспортные расходы на перевозку одной тонны песка заданы матрицей:
С 3 , 4 
4 3 2 5
 1 1 6 4 .


3 5 9 4
Недостающее количество песка – 30 т в день можно обеспечить двумя путями: уве-
107
личением производительности а) 1-ого карьера, что повлечет дополнительные затраты в
3 руб. на добычу 1 т; б) 2-ого с дополнительными затратами в 2 руб./т.
Определить оптимальный план закрепления строительных площадок за карьерами и
оптимальный вариант расширения поставок песка.
Ответ: 511; а) 900, б) 764 – выгоднее увеличить производительность второго карьера.
4. Имеется три сорта бумаги в количествах 10, 8 и 5 т, которую необходимо использовать на издание четырех книг тиражом в 8000, 6000, 15000 и 10000 экз. Расход
бумаги на одну книгу составляет 0,6; 0,8; 0,4 и 0,5 кг, а себестоимость (в коп.) песатания
книги при использовании i -ого сорта бумаги задается матрицей:
С 3 , 4 
 24 16 32 25 
  18 24 24 20  .


 30 24 16 20 
Определить оптимальное распределение бумажных ресурсов.
Ответ: 3016 руб.; остается 5,2 и 0,8 т первого и второго сортов бумаги.
5. Четыре ремонтные мастерские могут за год отремонтировать соответственно
700, 500, 450 и 550 машин при себестоимости ремонта одной машины в 500, 700, 650 и
600 рублей. Планируется годовая потребность в ремонте пяти автобаз: 350, 350, 300,
300 и 200 машин.
Избыточные мощности 1-ой и 2-ой мастерских могут быть использованы для обслуживания других видов работ.
Дана матрица
С 4 , 5 
 40
 10

 70
 50
20
80
30
10
60
30
30
40
10
40
50
50
20 
30 
,
10 
40 
характеризующая транспортные расходы на доставку машины с j -ой автобазы в i -ую
ремонтную мастерскую. Определить минимальную годовую потребность в кредитах на
выполнение указанного объема ремонтных работ по всем автобазам. Составить программу ремонтных работ, имеющую минимальную стоимость.
6. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в
таблице, при дополнительных условиях: из А1 в В 2 и из А3 в В 5 перевозки не могут
быть осуществлены, а из А2 в В 4 будет завезено 60 единиц груза.
108
Пункты
отправления
А1
А2
А3
Потребности
Пункты назначения
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы
1
2
3
1
4
180
6
3
4
5
2
220
8
120
2
80
1
160
9
90
3
50
100
500
7. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в
таблице, при дополнительных условиях: из А2 в В 4 и из А3 в В 1 перевозки не могут
быть осуществлены, а из А4 в В 2 будет завезено 40 единиц груза.
Пункты
отправления
А1
А2
А3
Потребности
Пункты назначения
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы
1
2
3
1
4
160
6
3
4
5
2
220
8
120
2
80
1
140
9
90
3
50
100
8. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в
таблице, при дополнительных условиях: из А3 в В 2 и из А4 в В 5 перевозки не могут
быть осуществлены, а из А1 в В 3 будет завезено 35 единиц груза.
Пункты
отправления
А1
А2
А3
Потребности
Пункты назначения
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы
1
2
3
1
4
160
6
3
4
5
2
220
8
120
2
80
1
160
9
90
3
50
100
9. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в
таблице, при дополнительных условиях: из А1 в В 2 и из А2 в В 5 перевозки не могут
быть осуществлены, а из А2 в В 4 будет завезено 45 единиц груза.
109
Пункты
отправления
А1
А2
А3
Потребности
Пункты назначения
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы
1
2
3
1
4
180
6
3
4
5
2
230
8
120
2
80
1
160
9
90
3
50
100
10. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в
таблице, при дополнительных условиях: из А1 в В 1 и из А2 в В 5 перевозки не могут
быть осуществлены, а из А2 в В 1 будет завезено 60 единиц груза.
Пункты
отправления
А1
А2
А3
Потребности
Пункты назначения
В1
В2
В3
В4
В5
Запасы
1
2
3
1
4
180
6
3
4
5
2
220
8
120
2
80
1
160
9
90
3
50
100
500
11. На складах А1 , А2 , А3 имеются запасы продукции в количествах 90, 400, 110
т соответственно. Потребители В 1 , В 2 , В 3 должны получить эту продукцию в количествах 140, 300, 160 т соответственно. Найти такой вариант прикрепления поставщиков к потребителям, при котором сумма затрат на перевозки быоа бы минимальной.
Расходы по перевозке 1 т продукции заданы матрицей (у.е.)
 2 5 2
 4 1 5 .


3 6 8
12. На трех складах имеемся мука в количестве 60, 130 и 90 т, которая должна быть
в течение месяца доставлена четырем хлебозаводам в количестве 30, 80, 60, 110 т соответственно.
Составить оптимальный план перевозок, имеющий минимальные транспортные
расходы, если стоимость доставки 1 т муки на хлебозаводы задана матрицей
 6 8 15 4 
 9 15 2 3  .


 6 12 7 10 
13. Фирма осуществляет поставку бутылок на четыре завода, занимающиеся произ-
110
водством прохладительных напитков. Она имеет три склада ,причем на складе 1 находится 6000 бутылок, на складе 2 – 3000 бутылок и на складе 3 – 4000 бутылок. Первому
заводу требуется 4000 бутылок, второму заводу – 5000 бутылок, третьему заводу – 1000
бутылок, четвертому заводу – 3000 бутылок. Стоимость перевозки одной бутылки от
каждого склада к каждому заводу задана матрицей
6 4 9 8
5 3 2 8.


 2 3 6 8
Как следует организовать доставку бутылок на заводы, чтобы стоимость перевозки
была минимальной?
14. составить оптимальный план перевозки грузов от трех поставщиков с грузами
240, 40, 110 т к четырем потребителям с запросами 90, 190, 40 и 130 т. Стоимости перевозок единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю даны матрицей
 7 13 9 8 
 14 8 7 10  .


 3 15 20 6 
15. Три торговых склада могут поставлять некоторое изделие в количестве 9, 4 и 8
т. Величины спроса трех магазинов розничной торговли на это изделие равны 3, 5 и 6 т.
Единичные издержки транспортировки в у.е. даны в матрице
 10 20 5 
 2 10 8  .


 1 20 7 
Какова минимальная стоимость транспортировки от поставщиков к потребителям?
16÷19. Решить следующие транспортные задачи, заданные таблицей.
16.
ПН
1
ПО
1
2
1
3
3
4
4
5
90
5
3
1
2
2
30
2
1
4
2
3
40
70
30
20
40
111
17.
ПН
1
2
ПО
1
6
3
8
4
15
4
60
9
15
2
3
2
130
6
12
7
1
3
90
30
80
60
110
18.
ПН
1
ПО
1
2
2
3
4
2
100
5
5
6
2
70
4
6
3
3
70
6
8
1
4
20
120
80
60
1
2
3
19.
ПН
ПО
1
2
4
2
90
5
5
6
2
190
4
6
3
3
40
6
8
1
4
130
240
40
110
20. Требуется спланировать наиболее дешевую перевозку строительного материала
112
с трех заводов к четырем строительным площадкам, используя железнодорожную сеть.
В течение каждого квартала на четырех площадках требуется соответственно 5, 10, 20,
15 вагонов строительных материалов. Возможности различных заводов соответственно
равны 10, 15 и 25 вагонов в квартал. Стоимости перевозки одного вагона (у.е.) даны в
матрице
8 3 5 2
4 1 6 4 .


 1 9 4 3
21. В трех пунктах производства имеется одинаковая продукция в объеме 200, 170,
130 т. Эта продукция должна быть доставлена потребителям в количестве 50, 220, 80,
110 и 140 т. Стоимости перевозок единицы продукции от каждого поставщика к каждому потребителю заданы матрицей
 2 10 8 15 5 
4 2 3 4 6.


 7 3 12 2 3 
Составить оптимальный план перевозок, при котором суммарные затраты на них
минимальные.
22÷31. Решить транспортную задачу, заданную таблицей
ПН
1
2
с11
ПО
3
с1 3
с1 2
1
30
с2 1
с2 2
с2 3
2
25
с31
с3 2
с3 3
3
15
с4 1
с4 2
с4 3
4
30
40
20
40
113
Значения коэффициентов таблицы
№
варианта
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
с11
3
6
2
5
5
5
2
3
2
3
с1 2
5
2
6
4
3
3
5
1
4
1
с1 3
4
4
4
3
4
1
4
3
3
4
с2 1
4
2
4
2
2
3
1
5
2
6
с2 2
2
1
3
3
6
4
4
4
5
3
с2 3
1
5
5
3
5
5
5
2
2
2
с31
1
5
3
3
4
4
2
4
4
6
с3 2
3
6
1
1
4
2
6
3
1
5
с3 3
2
3
5
2
3
3
5
5
4
3
с4 1
5
1
5
1
5
2
4
1
5
2
с4 2
3
3
2
2
3
4
3
5
3
3
с4 3
5
2
5
5
2
5
1
5
5
5
32÷41. Решить транспортную задачу, заданную таблицей
ПН
1
2
с11
ПО
с1 2
1
15
с2 1
с2 2
2
35
с31
с3 2
3
20
30
25
114
Значения коэффициентов таблицы
№
варианта
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
с11
4
4
2
3
1
4
3
3
2
3
с1 2
3
1
4
5
1
3
4
1
3
4
с2 1
1
3
1
2
3
1
2
2
1
5
с2 2
2
4
3
3
2
3
5
1
1
2
с31
3
2
1
1
4
1
1
4
5
2
с3 2
5
2
5
1
5
5
1
2
4
1
42. Рассмотрим некую производственную ситуацию. Например, организация, занимающаяся механизацией трудоемких работ, располагает набором однородных технических средств в количестве 30 единиц, которые размещаются в трех базах: A1 , A2 , A3 .
При этом базы A1 и A2 имеют по 11 единиц техники, а база A3 - 8 единиц. Использование этой техники планируется на четырех объектах Б 1 , Б 2 , Б 3 , Б 4 . Причем объект
Б 1 нуждается в 5 единицах, объекты Б 2 и Б 3 - в 9 единицах каждый, а объект Б 4 - в
7 единицах техники.
Эффективность эксплуатации технических средств во многом зависит от того,
насколько интенсивно они используются, т.е. чем меньше простои, тем выше эффективность. В данном случае простой машин определяется главным образом тем, на каком
объекте они работают. Например, машины базы A3 , занятые на объекте Б 1 , простаивают в среднем 6 ч в неделю, а те же машины на объекте Б 3 бездействуют лишь 1 ч в
неделю.
Общая картина использования техники с указанием ее наличия в базах и потребностей на объектах показана в таблице.
115
Простои машин (в часах за неделю)
Объекты
Базы
A1
11
A2
11
A3
8
Б1
Б2
Б3
Б4
5
9
9
7
7
8
5
3
2
4
5
9
6
3
1
2
Необходимо разработать такой план распределения машин по объектам, при котором суммарное время простоя техники окажется наименьшим.