M  5.1. Предварительные замечания

5. СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ M/G/1/
5.1. Предварительные замечания
СМО M / G / 1 /  будем исследовать, как это принято, с помощью
математического аппарата полумарковских процессов, которые подробно будут рассмотрены в п. 5.2. Для лучшего понимания необходимости
введения процессов такого типа рассмотрим здесь иной, нежели в п. 4.1,
способ представления ЦМ с непрерывным временем.
Рассмотрим стохастически непрерывную консервативную ЦМ (t ) с
непрерывным временем и конечным или счетным множеством состояний
X  {0, 1, ...}. Пусть  i – интенсивность выхода из состояния i  X ,  i j –
интенсивность перехода из состояния i  X в состояние j  X . Данную
ЦМ можно представить в следующем виде.
Пусть 1 ,  2 , ... – случайные моменты изменения состояний процесса
(t ) ( ( n )  ( n ), n  0, 1, ...). Обозначим через  n  ( n ) состояние, в
которое в момент  n переходит процесс (t ) . Пусть Tn   n 1   n .
Предположим, что  0  0 ,  0  (0) . Очевидно, последовательности
{( n ,  n ), n  0, 1, ...} и {( n , Tn ), n  0, 1, ...} полностью характеризуют ЦМ
(t ) . При этом Tn является случайным временем пребывания процесса
(t ) в состоянии, в которое процесс перешел в момент времени  n .
Легко показать, что для анализируемой ЦМ (t ) случайная последовательность {( n , Tn )} для произвольных натуральных n и произвольных
положительных t 0 , t1 , ..., t n 1 , t удовлетворяет следующему равенству:
P{ n  j , Tn  t |  0  i0 , T0  t 0 ; 1  i1 , T1  t1 ; ...;  n 1  i, Tn 1  t n 1} 
 P{ n  j, Tn  t |  n1  i}  Qi j (t )  pi j (1  e it ) ,
i0 , i1 , ..., in  2 , i, j  X, pi j  P{ n  j |  n 1  i} 
(5.1)
i j
, i  j, pi i  0
i
( pi j – вероятность того, что ЦМ, находящаяся в состоянии i, в очередной
где
момент изменения состояния перейдет в состояние j).
Из формулы условной вероятности следует, что
Qi j (t )  P{ n  j , Tn  t |  n 1  i} 
 P{ n  j |  n 1  i}P{Tn  t |  n  j ,  n 1  i}  pi j Fi j (t ) ,
55
(5.2)
где Fi j (t ) – ФР времени пребывания процесса (t ) в состоянии i при
условии, что в очередной момент смены состояния процесс перейдет в
состояние j. Из соотношений (5.1) и (5.2) следует
(5.3)
Fi j (t )  P{Tn  t |  n  j,  n1  i}  1  e it .
Следовательно, для анализируемого процесса (t ) время пребывания в
произвольном состоянии i  X не зависит от того, какое состояние процесса будет следующим. Более того, время пребывания процесса в состоянии i подчиняется экспоненциальному распределению, параметр которого  i зависит исключительно от состояния i  X .
Легко убедиться, что в этом случае случайная последовательность
{ n } определяет ЦМ с дискретным временем, характеризуемую матрицей переходных вероятностей (стохастической матрицей) ( p i j ) . Последовательность { n } называется вложенной в процесс (t ) (по моментам
времени  n ) цепью Маркова.
Справедливо также и обратное утверждение. Пусть дана случайная
последовательность {( n , Tn )} , удовлетворяющая соотношению (5.1),
причем ( p i j ) представляет собой стохастическую матрицу и pii  0 , а  i
являются положительными числами. Если предположить, что
n 1
 0  0 ,  n   Ti , n  1 ; (t )   n , если  n  t   n 1 ,
(5.4)
i 0
то процесс (t ) представляет собой стохастически непрерывную консервативную ЦМ с непрерывным временем и интенсивностями переходов
 i j   i pi j . При этом, очевидно, моменты  n , n  1 , определяемые соотношениями (4), являются моментами «скачков» процесса (t ) , а  n – состояниями, в которые переходит процесс в моменты  n .
Рассмотрим, например, одну из простейших марковских СМО
M / M / 1 /  и характеризующую ее ЦМ (t ) (где (t ) является, как известно, числом требований в системе в момент времени t).
Пусть a – параметр входного потока,   параметр времени обслуживания. Известно, что процесс (t ) является в нашем случае процессом
рождения и гибели. Следовательно,  ij  0 , если i  j  2 . Очевидно,
 i i 1  a , i  0, 1, ... ;  i i 1   , i  1, 2, ... ;  0   0 1 ;  i   i i 1   i i 1 
 a   , i  1, 2, ... , как видно из графа состояний анализируемой СМО,
изображенного на рис. 8.
56
Вложенная в процесс (t ) по моментам поступления и моментам
окончания обслуживания требований ЦМ определяется в таком случае
переходными вероятностями p ii  0 ; p ij  0 , если i  j  2 ; p 0 1  1 ;
pi i 1  a (a  ) ; pi i 1   (a  ) , i  1, 2, ... .
a
0
a
1

a
a
2
…
i 1


…
i 1
i
…

Рис. 8. Граф состояний СМО M / M / 1/ 
Приняв обозначение  n  ( n ) , получаем

P{ n  i, Tn  t |  n1  i  1}  Qi 1 i (t ) 
(1  e ( a )t ) , если i  0 ;
a
P{ n  1, Tn  t |  n1  0}  Q0 1 (t )  1  e  at ;
a
(1  e ( a )t ) , если i  2, 3, ... .
a
Вложенная по моментам времени  n ЦМ в нашем случае характеризуется стохастической матрицей
 0
1
0
0
 


a
 

0
0

a

a



a


0
0


.
a
a



 0
0
0
 

a









Анализируя и несколько обобщая сказанное, можно утверждать, что
процесс (t ) представляет собой однородную ЦМ с непрерывным временем и множеством состояний X , в случае если: 1) в начальный момент
времени t  0 процесс находится в одном из состояний из множества X ;
2) в каждом из состояний i  X процесс пребывает случайное время,
подчиняющееся экспоненциальному распределению с параметром
P{ n  i, Tn  t |  n1  i  1}  Qi 1 i (t ) 
57
 i  0 ; 3) в момент завершения пребывания в определенном состоянии i
процесс мгновенно переходит в новое состояние j  X с вероятностью
pi j  0 (причем  pi j  1 для любого i  X ).
jX
Далее мы будем заниматься исследованием СМО M / G / 1 /  , для
которой время обслуживания не обязательно подчиняется экспоненциальному распределению, следовательно, процесс (t ) в общем случае не
является марковским. Но, с другой стороны, анализируемый процесс как
бы содержит марковскую компоненту, поскольку входной поток в исследуемой СМО марковский (простейший). Действительно, в системе
M / G / 1 /  промежутки времени между соседними моментами поступления требований подчиняются экспоненциальному распределению.
Распределению такого же типа подчиняются и промежутки времени
между моментами окончания обслуживания и очередными моментами
поступления требований (этот факт следует из свойства отсутствия памяти у экспоненциального распределения).
Благодаря такой «частичной марковости» возможным оказывается
исследование системы M / G / 1 /  с помощью аппарата так называемых
полумарковских процессов, представляющих собой некоторое обобщение марковских. Далее увидим, что это обобщение состоит в том,
что ФР Fi j (t ) времени пребывания процесса в состоянии i при условии,
что следующим его состоянием будет состояние j, может быть произвольной, в то время как в случае марковского процесса (t ) она не зависит от j и имеет вид Fi j (t )  1  e it .
5.2. Полумарковские процессы
Пусть X  {0, ..., N} или X  {0, 1, ...}, T  [0; ) .
Определение 1. Последовательность случайных векторов
{( n , Tn )} , n  0, 1, ... , где  n принимают значения из множества X ,
а Tn  из множества T , называется полумарковской последовательностью, если
P{ n  j , Tn  t |  0  i0 , T0  t 0 ; 1  i1 , T1  t1 ; ...;  n 1  i, Tn 1  t n 1} 
(5.5)
 P{ n  i, Tn  t |  n1  i}  Qi j (t )
для произвольных натуральных n, произвольных t 0 , ..., t n 1  T и произвольных i, j , i0 , ..., in 2  X .
58
Функция Qi j (t ) называется переходной функцией последовательности {( n , Tn )} .
Имеет место следующее утверждение, приводимое без доказательства.
Лемма 1. Случайная последовательность {( n , Tn ), n  0, 1, ...} удовлетворяет свойству (5.5), если и только если выполняются следующие
равенства:
P{ n  j | Tn  t n ;  n1  i, Tn1  t n1 ; ...;  0  i0 , T0  t 0 } 
(5.6)
 P{ n  j | Tn  t n ,  n1  i} ,
P{Tn  t n |  n1  i, Tn1  t n1 ;  n2  in2 , Tn2  t n2 ; ...;  0  i0 , T0  t 0 } 
 P{Tn  t n |  n1  i}.
(5.7)
Предположим, что T0  0 с вероятностью 1 (P{T0  0}  1) . Построим случайный процесс {(t ) , t  T} по полумарковской последовательности {( n , Tn )} следующим образом: будем считать, что (t )   0 , если
0  t  T1 ;
T1  t  T1  T2 ;
(t )   2 ,
(t )  1 ,
если
если
T1  T2  t  T1  T2  T3 и т. д. Предположим также, что на произвольном
отрезке времени [0; t ] с вероятностью 1 происходит конечное число
скачков процесса (t ) . Полученный процесс {(t ) , t  0} называется полумарковским процессом, построенным по полумарковской последовательности {( n , Tn )} .
Траектория построенного процесса формируется следующим образом. Пусть задано начальное распределение {Pi (0)  P{ 0  i}, i  X} .
Пусть i0 – величина, разыгранная в соответствии с этим распределением,
т. е. конкретное значение, которое принимает СВ  0 , имеющая данное
распределение. Далее разыгрываем величины (реализации) (1 , T1 ) , соответствующие распределению Qi0 j (t ) . Пусть результатом такого разыгрывания является пара (i1 , t1 ) , тогда полагаем, что реализация процесса
(t ) в промежутке времени [0; t1 ) принимает значение i0 . Затем разыгрываем значения вектора ( 2 , T2 ) в соответствии с распределением
Qi1 j (t ) . Пусть при этом они оказались равными (i2 , t 2 ) , тогда реализация
процесса (t ) интервале времени [t1 ; t1  t 2 ) принимается равной i1 и
т. д. Типичная траектория процесса (t ) представлена на рис. 9.
59
Реализация процесса (t )
i1
i0
i2
i4
i3
i5
t
t1
t2
t3
t4
t5
Рис. 9. Траектория полумарковского процесса
Траектории полумарковского процесса представляют собой непрерывные справа ступенчатые функции.
Пусть P{ n  j |  n1  i}  pi j  0 . Тогда имеем
Qi j (t )  P{ n  j, Tn  t |  n1  i} 
 P{Tn  t |  n  j,  n 1  i}P{ n  j |  n 1  i} 
 pi j Fi j (t ) , где Fi j (t )  P{Tn  t |  n  j,  n1  i} .
Функция Fi j (t ) имеет смысл ФР времени пребывания процесса (t )
в состоянии i, если известно, что следующим его состоянием будет состояние j.
Рассмотрим процесс (t ) в случайные моменты времени
0, T1 , T1  T2 , T1  T2  T3 , ..., т.е. рассмотрим последовательность
(0)   0 , (T1 )  1 , (T1  T2 )   2 , . Такой дискретный случайный
процесс {() ;   0, T1 , T1  T2 , ...} или, что то же самое, { n , n  0, 1, ...},
называется вложенным в случайный процесс (t ) . В данном случае процесс { n } представляет собой ЦМ с дискретным временем с матрицей
вероятностей перехода ( pi j ) . В случае, если pi j  0 , имеем Qi j (t )  0 .
Переходная функция Qi j (t ) произвольной полумарковской последовательности может быть поэтому представлена в виде
Qi j (t )  pi j Fi j (t ) ,
где в качестве Fi j (t ) может выступать ФР произвольной неотрицательной СВ.
60
Из приведенных рассуждений следует, что полумарковский процесс
полностью характеризуется следующими элементами: 1) матрицей переходных вероятностей ( pi j ) ; 2) матрицей ФР Fi j (t ) ; 3) начальным распределением {Pi 0, i  X} .
Полумарковский процесс называется вполне регулярным, если для
произвольного состояния i  X и произвольных n  1, 2, ... имеем
P{Tn  0 |  0  i}  1 . Можно доказать, что вполне регулярный полумарковский процесс является стохастически непрерывной однородной консервативной ЦМ с непрерывным временем, не содержащей поглощающих состояний, если и только если его переходная функция Qi j (t ) для
произвольных i, j  X представима в виде
Qi j (T )  pi j (1  e i t ) ,
где ( pi j ) – стохастическая матрица, такая что для произвольных i  X
имеем pii  0, pi j   i j  i , если i  j .
Следовательно, полумарковский процесс представляет собой однородную консервативную ЦМ с непрерывным временем и без поглощающих состояний, если и только если время пребывания в каждом его состоянии не зависит от того, каким будет следующее состояние, и распределено по экспоненциальному закону.
Предположим, что

mi j   t dFi j (t )  
0
для произвольных i, j  X . Величина mi j имеет смысл среднего времени
пребывания процесса (t ) в состоянии i при условии, что следующим его
состоянием будет j. В этом случае mi   mi j pi j является средним вреjX
менем пребывания процесса в состоянии i.
Можно показать, что имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Предположим: а) вложенная дискретная ЦМ с матрицей переходных вероятностей ( pi j ) является неприводимой и имеет
стационарное распределение { p k , k  X} ; б) не все функции Fi j (t ) являются решетчатыми (т. е. не все Fi j (t ) представляют собой ФР дискретных СВ, имеющие скачки в
k  0,  1,  2, ...). Введем обозначение
61
точках
a  kh ,
где
h  0;
Pj (i )  lim P{(t )  j | (0)  i}
t 
(число Pj (i) является вероятностью того, что процесс (t ) находится
в состоянии j в стационарном режиме, если начальным состоянием
процесса является i).
При указанных допущениях имеет место равенство
Pj (i )  Pj  lim P{(t )  j} 
t 
p jmj
 p k mk
,
kX
где Pj есть безусловная вероятность того, что процесс (t ) в стационарном режиме находится в состоянии j.
Как видим, в наших предположениях вероятность Pj не зависит от
начальных условий. Заметим, что величина Pj характеризует относительную долю времени, в течение которого процесс (t ) находится в состоянии j в стационарном режиме, в то время как p j в этих условиях характеризует частоту попадания процесса в состояние j.
 n

Обозначим через (t )  max  n  Ti  t  количество изменений со i 1

стояния (скачков) полумарковского процесса (t ) до момента времени t
включительно.
Процесс  * (t )  t  (T1  ...  T (t ) ) называется циклом. Двумерный
процесс ((t ),  * (t )) называется линейчатым. Моменты времени
0, T1 , T1  T2 , ... называются 0-моментами.
Таким образом, цикл  * (t ) представляет собой длительность промежутка времени от последнего 0-момента, предшествующего моменту t,
до момента t.
Линейчатый процесс является марковским. Действительно, пусть
известно, что для некоторого момента t имеем (t )  i,  * (t )  x . Последнее равенство означает, что к моменту t цикл продолжался x единиц времени. Тогда следующим состоянием процесса будет состояние j с вероятностью pi j , j  X , i  j , и в таких условиях вероятность завершения
цикла в промежутке времени ( x; x  y) оказывается равной
Fi j ( x  y )  Fi j ( x)
.
1  Fi j ( x)
62
Следовательно, дальнейшее поведение линейчатого процесса не зависит от его поведения до момента времени t, что означает, что процесс
((t ),  * (t )) является марковским.
Пусть (t ) – полумарковский процесс,  * (t )  длительность промежутка времени от момента t до момента окончания цикла, имеющего место в момент t. Легко показать, что двумерный процесс ((t ),  * (t )) также
является марковским. Такой процесс также будем называть линейчатым.
Далее в этом разделе мы будем изучать характеристики СМО
M / G / 1 /  , пользуясь методами введения дополнительного события и
теории полумарковских процессов. Основными СВ, характеризующими
эту систему, являются: 1) период занятости; 2) число требований в системе; 3) время ожидания и время пребывания.
5.3. Период занятости
Определение 2. Периодом занятости системы обслуживания
называется случайная величина  , определяющая длительность временного интервала от момента поступления требования в систему, в
которой в этот момент отсутствуют требования, до ближайшего
момента времени, после которого в системе вновь не будет ни одного
требования.
В СМО M / G / 1 /  так определенная СВ  характеризует длительность непрерывной работы единственного ОП.
Обозначим через (t )  P{  t} ФР СВ  , а через (q) ее ПЛС.
Пусть B(t )  P{  t} – ФР времени обслуживания  , а (q) – ее ПЛС.
Используя метод введения дополнительного события выведем соотношение для вычисления функции (q) .
Предположим, что независимо от поведения анализируемой системы, происходят катастрофы, моменты наступления которых формируют
простейший поток с параметром q  0 . В этом случае, очевидно,

(q )   e  qt d (t ) является вероятностью того, что за период занятости
0
системы не произойдет ни одной катастрофы. Ясно, что очередность обслуживания требований внутри периода занятости не влияет на его продолжительность. Будем считать, что эта очередность соответствует дисциплине LIFO (требования обслуживаются в порядке, обратном очередности их поступления в систему). В таком случае каждому требованию
63
можем поставить в соответствие промежуток времени от момента начала
его обслуживания до момента освобождения системы от данного требования и всех тех, что поступили после него. Такой промежуток называется периодом занятости, соответствующим данному требованию. Легко
заметить, что в случае дисциплины LIFO полный период занятости состоит из времени обслуживания первого требования, которое открывает
этот период, и суммарной длительности периодов занятости, соответствующих требованиям, поступившим в систему за время обслуживания
первого требования. Такие периоды занятости являются, очевидно, независимыми и одинаково распределенными СВ с ФР  (t ) , поскольку длительности этих периодов (в случае дисциплины LIFO) не зависят от
наличия либо отсутствия в системе других требований в моменты их
начала (т. е. в моменты начала обслуживания требований, открывающих
эти периоды).
Назовем требование плохим, если за соответствующий ему период
занятости происходит, по крайней мере, одна катастрофа. Очевидно,
произвольное требование является плохим с вероятностью 1  (q) . Следовательно, поток плохих требований – простейший с параметром
a(1  (q)) , где a – параметр входного потока, а суммарный поток катастроф и плохих требований является простейшим с параметром
q  a(1  (q)) .
Пусть за период занятости рассматриваемой СМО не произошло ни
одной катастрофы (вероятность такого события равна (q) ). Для этого
необходимо и достаточно, чтобы за время обслуживания требования, открывающего этот период, не произошло ни одной катастрофы и не поступило ни одного плохого требования (сказанное означает, что за указанное время обслуживания не должно произойти ни одного события
суммарного потока катастроф и плохих требований). В том случае, если
время обслуживания первого требования, обслуживаемого в периоде занятости, равно x, вероятность описанного события равна e  ( q  a  a( q )) x .
Поэтому

(q )   e ( q  a  a( q )) x dB( x) ,
0
или
(q)  (q  a  a(q)) .
(5.8)
Уравнение (5.8) распространяется на область комплексных q, таких
что Re q  0 , методом аналитического продолжения.
64
Справедливо следующее утверждение, приводимое без доказательства.
Теорема 2. Функциональное уравнение (5.8) определяет единственную функцию (q) аналитическую в полуплоскости Re q  0 и такую,
что (q)  1. Функция (q) является преобразованием Лапласа – Стилтьеса ФР  (t ) , собственной (т. е. такой, что ()  1 ) в случае
  a1  1 (где 1 – первый момент времени обслуживания) и несобственной (т. е. такой, что ()  1) в случае   a1  1.
Как следует из теоремы 2, в случае   a1  1 период занятости равен бесконечности с вероятностью 1  () .
В случае   1 можно с помощью дифференцирования обеих частей
уравнения (5.8) найти моменты СВ  . В частности, для первых двух
моментов находим

2
,
1  E  ' (0)  1 ;  2  E 2  ' ' (0) 
1 
(1  ) 3
где  2  E 2 – второй момент времени обслуживания.
Очевидно, при   1 имеем 1  E   . Такой же результат получаем при   1, хотя СВ  в этом случае является собственной, т. е. принимает конечные значения с вероятностью 1.
5.4. Распределение числа требований.
Метод вложенных цепей Маркова
Пусть (t ) – число требований, находящихся в системе M / G / 1 / 
в момент времени t. Как уже говорилось, время обслуживания в этой
СМО распределено произвольным образом, поэтому процесс (t ) в общем случае не является марковским.
Обозначим через t n моменты окончания обслуживания (или, иначе,
моменты выхода требований из системы), n  1, 2, ...;  n  (t n ) – число
требований в системе непосредственно после n-го по счету момента выхода требования из нее; Tn  t n  t n 1 ; t 0  0 . Легко видеть, что случайная
последовательность {( n , Tn )} удовлетворяет свойствам (5.6), (5.7) и,
следовательно, является полумарковской последовательностью. Траектория процесса (t ) является непрерывной справа ступенчатой функци65
ей. Она возрастает на единицу в моменты  n поступления требований и
понижается на единицу в моменты t n выхода требований. Вместе с процессом (t ) по полумарковской последовательности {( n , Tn )} можно
построить полумарковский процесс (t ) , определяемый как (t )   n для
всех t, таких что t n  t  t n 1 ; n  0, 1, ... . Графики траекторий процессов
(t ) и (t ) представлены на рис. 10.
(t ), (t )
3
2
1
0
1  2
T1
t1
3  4
T2
t2
t3
T3
5 t 4
t
T4
– траектория процесса (t ) ,
– траектория процесса (t ) .
Рис. 10. Траектории процессов (t ) и (t )
СМО M / G / 1 /  можно исследовать, таким образом, путем анализа
полумарковского процесса (t ) , а также при помощи анализа марковских
линейчатых процессов ((t ),  * (t )) или ((t ),  * (t )) . Легко заметить, что
процессы ((t ),  * (t )) и ((t ),  * (t )) также являются марковскими, поскольку (по сравнению с процессами ((t ),  * (t )) и ((t ),  * (t )) ), в силу
того, что входной поток является простейшим, дополнительные скачки
процесса (t ) в моменты поступления требований  n (см. рис. 10) не
нарушают марковского свойства процессов ((t ),  * (t )) и ((t ),  * (t )) .
Поэтому процессы ((t ),  * (t )) и ((t ),  * (t )) также будем называть линейчатыми.
В дальнейшем мы будем исследовать СМО M / G / 1 /  при помощи
дискретной ЦМ { n , n  0, 1, ...}, вложенной в процессы (t ) или (t )
(такой метод называется методом вложенных цепей Маркова), либо с
помощью линейчатого процесса ((t ),  * (t )) (такой метод называется
66
методом дополнительной переменной, или расширения фазового пространства).
Сначала методом вложенных ЦМ найдем распределение числа требований  n в стационарном режиме (при n   ).
Пусть t1  t 2  ... – моменты выхода требований из системы,
 n  (t n ) , где  n образуют ЦМ, вложенную в процесс (t ) . Вычислим
матрицу ( pi j ) переходных вероятностей этой цепи. Вероятность k j того,
что за время обслуживания требования в систему поступит j требований
( j  0, 1, ... ) равна, очевидно,
kj 
Ясно также, что

(at ) j  at
 j! e dB(t ) .
0
(5.9)
p0 j  k j , j  0, 1, ...;
pi j  0, j  i  1, i  1, 2, ... ;
(5.10)
(5.11)
pi j  k j i 1 , j  i  1, i  1, 2, ... .
Тогда матрица переходных вероятностей имеет вид
 k 0 k1 k 2 k 3  


 k 0 k1 k 2 k 3  
0 k k k  
0
1
2
.
( pi j )  
0 k 0 k1  
0


0
0
0
k

0





  

Предположим, что выполняется условие   a1  1 . Тогда, поскольку анализируемая ЦМ является однородной, неприводимой и непериодической, стационарное распределение этой цепи (если оно существует)
удовлетворяет системе уравнений

 j    i pi j , j  0, 1, ... .
(5.12)
i 0
Ниже мы найдем решение этой системы { i , i  0, 1, ...} , такое что
 i  0 для любых i  0, 1, ... и

 i
i 0
 1 . В соответствии с теоремой
Фостера (теорема 4 из раздела 4), распределение  i является единственным стационарным распределением цепи, которое совпадает с ее эргодическим распределением.
67
С учетом соотношений (5.10), (5.11) формулу (5.12) представим в
виде
j 1
 j   0 k j    i k j i 1 ; j  0, 1, ....
(5.13)
i 1
Введем в рассмотрение следующие ПФ:


K ( z )   k j z ; R( z )    j z j .
j
j 0
j 0
Из формулы (5.9) имеем

 
(atz) j  at
K ( z)   
e dB(t )   e ( a  az ) t dB(t )  (a  az) .
j!
j 0 0
0
Из соотношения (5.13) следует, что


j 1

i 1
i 1
R( z )   0  k j z j   z j   i k j i 1   0 K ( z )    i
j 0
  0 K ( z) 

1
 i z
z i 1
j 0

i

 k j i 1 z j

j i 1
1
 k j i 1 z j i 1   0 K ( z)  z ( R( z)   0 ) K ( z) ,
j i 1
откуда получаем
R( z ) 
 0 (1  z ) K ( z )  0 (1  z )(a  az)

.
K ( z)  z
(a  az)  z
Из условия нормировки

0

1 z

 0
z 1 (a  az)  z
1  a' (0) 1  
1    j  R(1)   0 lim
j 0
находим, что  0  1   . Окончательно получаем следующее соотношение для ПФ стационарного числа требований, находящихся в системе в
моменты окончания обслуживания (выхода требований):
(1  )(1  z )(a  a z )
.
(5.14)
R( z ) 
(a  a z )  z
Последнее выражение называется формулой Поллачека – Хинчина. Математическое ожидание числа требований E n при n   определяется
следующим образом:
a 2 2
.
R' (1)   
2(1  )
Заметим, что R' (1)   при   1.
68
5.5. Распределение числа требований.
Метод дополнительной переменной
Методом дополнительной переменной найдем стационарное распределение { pk , k  0, 1, ...} числа требований в системе M / G / 1 /  в произвольный момент времени (т. е. не обязательно в моменты выхода требований из системы). Для этого будем анализировать линейчатый марковский процесс ((t ),  * (t )) , где  * (t ) – длительность промежутка времени от начала обслуживания требования, обслуживаемого в момент t, до
самого момента t (функция  * (t ) не определена, если (t )  0 ).
Введем обозначения Pn (t )  P{(t )  n} , n  0, 1, ... ; Pn ( x, t )dx 
 P{(t )  n,  * (t ) [ x; x  dx)}, n  1, 2, ... . Пользуясь теорией полумарковских процессов (см. п. 5.2), легко показать, что в случае   a1  1
при t   существуют пределы Pn ( x, t )  p n ( x) . ПФ числа требований,
находящихся в системе в стационарном режиме, определим как

P( z )   p n z n . Очевидно, что при n  1 имеет место равенство
n 0
pn 

 p n ( x) dx .
(5.15)
0
Введем в рассмотрение еще одну ПФ:

p( z, x)   p n ( x) z n .
(5.16)
n 1
Тогда из формулы (5.15) следует, что

P( z )  p 0   p ( z , x)dx .
(5.17)
0
Найдем функцию p( z, x) . Пусть b(x) – плотность времени обслуживания (для простоты полагаем, что она существует, хотя такое предположение не является обязательным). Введем обозначение (x) 
 b( x)[1  B( x)]1 . Функция (x) представляет собой интенсивность обслуживания (см. п. 2.8). Вычислим вероятность Pn ( x  t , t  t )dx в случае t  0 . Необходимым и достаточным условием того, чтобы в системе в момент времени t  t было n требований (n  1) , и в этот момент
имело место включение  * (t  t ) [ x  t; x  t  dx) , является выполнение следующих условий:
69
1) либо в момент t в системе было n требований,  * (t ) [ x; x  dx) ,
далее в течение времени t не было завершено обслуживание
требования, обслуживаемого в момент t, и не поступало в систему других требований; вероятность этого события равна, очевидно, Pn ( x, t )dx[1  (a  ( x)) t ]  o(t )dx;
2) либо в случае n  2 в системе в момент времени t находилось
n  1 требований,  * (t ) [ x; x  dx) и за t единиц времени после момента t в систему поступило требование; вероятность этого
события равна (1   n, 1 )aPn1 ( x, t )dxt  o(t )dx , где
1, если n  1,
 n, 1  
0, если n  1.
Поскольку вероятность других событий, которые переводят систему
в состояние {(t  t )  n,  * (t  t ) [ x  t; x  t  dx)} в течение
времени t , равна o(t )dx , в итоге получаем
Pn ( x  t , t  t ) 
(5.18)
 Pn ( x, t )[1  (a  ( x))t ]  (1   n, 1 )aPn 1 ( x, t )t  o(t ) .
Найдем теперь вероятность P0 (t  t ) . Для того чтобы в системе в
момент времени t  t отсутствовали требования, необходимо и достаточно, чтобы
1) либо в момент времени t в системе отсутствовали требования
и в течение времени t новые требования не поступали в систему; вероятность такого события равна P0 (t )(1  at )  o(t ) ;
2) либо в момент t в системе находилось одно требование, которое
завершило свое обслуживание в течение времени t , вероятность
t
такого события равна  P1 ( x, t )( x)dxt  o(t ) .
0
Вероятность остальных событий, переводящих систему в состояние
{(t  t )  0}, равна o(t ) . Следовательно, в итоге получаем
t
P0 (t  t )  P0 (t )(1  at )   P1 ( x, t ) ( x) dx t  o(t ) .
0
70
(5.19)
Вероятность того, что в момент t  t в системе находилось n требований и при этом  * (t  t )  t , очевидно, равна
t
 Pn (u, t  t ) du.
С
0
другой стороны, система попадает в это состояние, если в момент t в ней
находилось n  1 требований и за время t одно требование завершило
t
обслуживание. Вероятность такого события равна
 Pn1 ( x, t )( x)dxt 
0
 o(t ) . Следует, однако, помнить, что в случае n  1 система может перейти в указанное состояние, если в момент t в ней отсутствовали требования и за время t поступило одно требование. Вероятность такого события равна P0 (t )at  o(t ) . Окончательно имеем
t
t
 Pn (u, t  t )du  t  Pn1 ( x, t ) ( x) dx   n, 1 P0 (t ) at  o(t ) .
0
(5.20)
0
Из соотношений (18)(20) обычным образом при t  0 получаем
следующую систему уравнений:
Pn ( x, t ) Pn ( x, t )

 (a  ( x)) Pn ( x, t )  (1   n, 1 ) aPn 1 ( x, t ),
t
x
(5.21)
n  1, 2, ...;
t
P0 (t )
 aP0 (t )   P1 ( x, t ) ( x) dx ;
t
0
t
Pn (0 , t )   Pn 1 ( x, t ) ( x) dx   n, 1 aP0 (t ), n  1, 2, ... .

(5.22)
(5.23)
0
Поскольку в случае   1 при t   существуют пределы
P0 (t )  p 0 и Pn ( x, t )  p n ( x) , n  1, 2, ... , то из соотношений (5.21)–(5.23)
при t   вытекает следующая система уравнений:
p n ( x)
 (a  ( x)) p n ( x)  (1   n, 1 )apn 1 ( x), n  1, 2, ... ;
(5.24)
x

0  ap0   p1 ( x) ( x) dx ;
(5.25)
0

p n (0  )   p n 1 ( x) ( x) dx   n, 1 ap0 , n  1, 2, ... .
0
71
(5.26)
Уравнение с номером n в формуле (5.24) умножим на z n , а далее
просуммируем все полученные уравнения по n (1  n   ). В результате
получим уравнение для ПФ p( z, x) , определенной формулой (5.16):
p( z, x)
(5.27)
 (a  az  ( x)) p( z, x) .
x
Подобным образом, переходя к ПФ в соотношении (5.26), получаем
p ( z, 0)  z
1


 p( z, x) ( x) dx   p1 ( x) ( x) dx  azp0 .
0
(5.28)
0

Из соотношения (5.25) следует, что
 p1 ( x) ( x) dx  ap0 , поэтому фор0
мулу (5.28) можно представить в виде

p ( z , 0)  z 1  p ( z , x) ( x) dx  a (1  z ) p 0 .
0
(5.29)
С учетом определения функции (x) (см. соотношение (2.22)) находим, что решение уравнения (5.27) имеет вид
p( z, x)  [1  B( x)] e  ( a az ) x p ( z , 0) .
(5.30)
Подставив полученное значение p( z, x) в соотношение (5.29), приходим
к соотношению
p( z, 0) 
p( z , 0) 
[1  B( x)] e ( a  az ) x ( x) dx  a(1  z ) p 0 .

z 0
(a  az) p 0 z
Поскольку ( x)  b( x)[1  B( x)] 1 , то p( z , 0) 
. Тогда из
(a  az)  z
формулы (5.30) имеем
(a  az) p 0 z
p ( z, x) 
[1  B( x)] e ( a  az ) x .
(5.31)
(a  az)  z
Заметим, что такой же результат получается в том случае, если вместо процесса ((t ),  * (t )) анализировать процесс ((t ),  * (t )) , где  * (t ) –
длительность промежутка времени от момента t до момента окончания
обслуживания требования, обслуживание которого имеет место в момент
времени t. Иными словами, в том случае, если p n* ( x) dx является вероятностью того, что в системе в стационарном режиме находится n требований (n  1) , остаток времени обслуживания  * обслуживаемого в этот
момент требования удовлетворяет включению  *  [ x; x  dx ) и
72

p * ( z, x)   pn* ( x) z n , легко получить (аналогичным образом), что
n 1
p * ( z, x)  p( z, x) , где p( z, x) определяется соотношением (5.31).
Из соотношений (5.17) и (5.31) находим
p z (1  (a  az))
P( z )  p 0  0
,
(a  az)  z
или по-другому
p (1  z )(a  az)
P( z )  0
.
(a  az)  z
Поскольку p 0  1   , как следует из условия нормировки 1  P(1) , то
в силу соотношения (5.14) окончательно получаем вновь формулу Поллачека – Хинчина:
(1  )(1  z )(a  az)
.
(5.32)
P( z )  R( z ) 
(a  az)  z
Поскольку существует взаимно-однозначное соответствие между
распределениями вероятностей { k } , { p k } , k  0, 1, ... , и ПФ R(z ) и P(z )
соответственно, то из равенства P( z )  R( z ) следует равенство  k  p k
для всех k  0, 1, ... . Этот факт, доказанный иным способом А. Я. Хинчиным, называется законом стационарной очереди.
Заметим, что соотношению (5.32) в случае вещественных z
(0  z  1) можно, воспользовавшись методом введения дополнительного
события, придать определенный вероятностный смысл: пусть каждое
требование, не зависимо от других, является красным с вероятностью z

(0  z  1) или синим с вероятностью 1  z . Тогда P( z )   p k z k имеет
k 0
смысл вероятности того, что в стационарном режиме в системе могут
находиться исключительно красные требования (или, что то же самое,
нет ни одного синего требования).
Заметим также, что распределение числа требований в системе
M / G / 1 /  не зависит от очередности их обслуживания.
Из формулы (5.32) вытекают следующие соотношения для стационарных моментов числа требований в системе:
a 2 2
E  P' (1)   
;
2(1  )
73
a 3 3
a 2 2
a 4  22
a 2 2 
2
E  P' ' (1)  P' (1)   
 a 2 


,
2(1  )
3(1  ) 2(1  ) 2
1 
2
где  3  E 3 – третий момент времени обслуживания.
5.6. Время ожидания и время пребывания
Распределение времени ожидания и времени пребывания требования
в системе зависит, очевидно, от дисциплины обслуживания. Предположим, что требования обслуживаются в порядке их поступления в систему (дисциплина FIFO). Пусть  n – время обслуживания n-го требования,
n  1, 2, ... . Обозначим через Wn время его ожидания и через Vn время его
пребывания в системе. Введем соответствующие ФР
Wn (t )  P{Wn  t}, Vn (t )  P{Vn  t} .
В случае   1 существуют пределы (это следует из теории полумарковских процессов)
W (t )  lim Wn (t ), V (t )  lim Vn (t ) ,
n 
n 
которые представляют собой ФР СВ W и V соответственно. Функции
W (t ) и V (t ) называются стационарными ФР времени ожидания и времени пребывания соответственно. Тогда
W (t )  P{W  t}, V (t )  P{V  t},
где Wn  W , Vn  V при n   в смысле сходимости по распределению.
СВ W и V называются стационарными временем ожидания и временем
пребывания соответственно. Очевидно, для анализируемой СМО имеем
Vn  Wn   n , где  n – время обслуживания n-го требования, причем СВ
Wn и  n независимы. Введем ПЛС СВ Wn и Vn :

wn ( q )   e
 qt

dWn (t ) , v n (q)   e  qt dVn (t ) .
0
0
С учетом свойств ПЛС и того факта, что обслуживание требований является рекуррентным, получаем
v n (q)  wn (q) (q) ,
(5.33)
где (q) – ПЛС времени обслуживания (СВ  ). Тогда для ПЛС

w(q )   e
 qt

dW (t ), v(q )   e  qt dV (t )
0
0
74
стационарного времени ожидания W и стационарного времени пребывания V получаем после перехода к пределу при n   в соотношении
(5.33):
(5.34)
v(q)  w(q) (q) .
Найдем w(q) . С учетом принятой дисциплины обслуживания приходим к выводу, что после окончания обслуживания некоторого требования в системе останутся те и только те требования, которые поступили
в течение времени его пребывания в системе. Поэтому необходимым и
достаточным условием того, чтобы в стационарном режиме в системе в
момент окончания обслуживания требования находилось j других требований (вероятность этого события равна, как мы знаем,  j ), есть поступление в систему за время пребывания указанного требования j требований. Отсюда следует, что

(at ) j  at
j  
e dV (t ) ,
j
!
0
откуда




( at z ) j  a t
j
a t
R( z )    j z   e 
e dV (t )   e ( a a z ) t dV (t )  v(a  a z ) 
j!
j 0
j 0
0
0
 w(a  a z ) (a  a z ) .
Из формулы Поллачека – Хинчина (5.14) следует, что
(1  )(1  z )
,
w(a  a z ) 
(a  a z )  z
откуда после подстановки q  a  az имеем
(1  )q
.
w(q) 
q  a  a(q)
(5.35)
Из формулы (5.35) вытекают следующие выражения, позволяющие
вычислить два первых момента стационарного времени ожидания:
w1  EW   w(0) 
a 2
;
2(1  )
a 3
(a 2 ) 2
w2  EW  w' ' (0) 

.
3(1  ) 2(1  ) 2
2
Из соотношений (5.34) и (5.35) следует, что
(1  )q(q)
v(q ) 
.
q  a  a(q)
75
Моменты стационарного времени пребывания можно определить
непосредственно из последнего соотношения, а также пользуясь тем, что
СВ W и  (время обслуживания) независимы, а следовательно
v1  EV  w1  1 ;
v 2  EV 2  w2   2  2w11 .
Легко проверить, что для анализируемой СМО справедливы формулы Литтла.
5.7. Виртуальное время ожидания
и виртуальное время пребывания
Определение 3. Под виртуальным временем ожидания (пребывания), соответствующим моменту времени , понимают длительность
W  ( V  ) времени ожидания (пребывания) в системе фиктивного требования, если предположить, что оно поступило в систему в момент времени .
В ТМО понятия виртуального времени ожидания и виртуального
времени пребывания вводятся с целью упрощения вычислений, поскольку для некоторых конкретных СМО вычисление виртуальных характеристик оказывается более простым. Пусть, например, имеется СМО
BM / G / 1 /  , в которой входной поток не является ординарным, т. е.
требования поступают в систему группами случайного размера. Определение времени ожидания для такой СМО требует, очевидно, установления очередности обслуживания требований внутри каждой поступившей
группы. В то же время определение виртуального времени ожидания в
такой системе является простым и естественным.
Найдем распределение введенных СВ в стационарном режиме для
СМО M / G / 1 /  в случае дисциплины FIFO.
Пусть W (, t )  P{W  t} , V (, t )  P{V  t} – ФР виртуального времени ожидания и виртуального времени пребывания соответственно.
Из теории полумарковских процессов следует, что при   1 существуют не зависимые от начальных условий пределы
W * (t )  lim W (, t ), V * (t )  lim V (, t ) ,

 
которые представляют собой ФР неотрицательных СВ W * и V * , называемых стационарным виртуальным временем ожидания и стационарным виртуальным временем пребывания соответственно, так что
W * (t )  P{W *  t} , V * (t )  P{V *  t} , т. е. W  W *, V  V * при   
76
по распределению. Кроме того, очевидно, V *  W *  и СВ W * и  независимы. Введем следующие ПЛС:

w(, q )   e
qt

d t W (, t ) , w * (q )   e  q t dW * (t ) .
0
0
Очевидно, w * (q )  lim w(, q ) . Найдем функцию w * (q) в случае дисци
плины FIFO.
Предположим, что в начальный момент времени t  0 в системе отсутствовали требования (такие начальные условия называются нулевыми), т. е. P0 (0)  1 . Очевидно, что W (, t ) является ФР длительности
промежутка времени, начинающегося в момент  и заканчивающегося (в
случае дисциплины FIFO) в момент освобождения системы от требований, поступивших в нее до момента  .
Далее будем пользоваться методом введения дополнительного события. Будем считать, что независимо от поведения системы происходят
катастрофы, образующие простейший поток с параметром q  0 . Назовем требование плохим, если за время его обслуживания наступит, по
крайней мере, одна катастрофа (вероятность такого события равна
1  (q) ). Поток плохих требований является, очевидно, простейшим с
параметром a(1  (q)) . Необходимым и достаточным условием того,
чтобы во временном интервале [0; ) в систему не поступило ни одного
плохого требования (вероятность такого события равна e  a (1( q ))  ), является наступление одного из следующих несовместных событий:
1) либо катастрофа не наступила ни за время  (вероятность этого
события равна e q ), ни в промежутке времени от момента  до
момента освобождения системы от требований, поступивших до
момента  (вероятность этого есть w(, q) );
2) либо катастрофа наступила в некоторый момент времени x до
момента  (вероятность этого события равна d (1  e  qx ) 
 qe  qx dx ), когда в системе отсутствовали требования (вероятность этого есть P0 ( x) ), а далее за время   x в систему не поступали плохие требования (вероятность этого события равна
e  a (1( q ))(  x ) ) для всех x [0; ) .
В результате получаем уравнение
e
 a (1 ( q )) 
e
 q

w(, q )  q  P0 ( x) e  a (1( q ))(  x ) e  q x dx ,
0
77
решение которого относительно w(, q) дает

 a (1 ( q ))(  x )
P0 ( x)dx ,
(5.36)
1  q  e
0


откуда при    можно найти w * (q) . Для этого правую часть формулы (5.36) представим в виде



1  q  e a (1( q ))(  x ) P0 ( x)dx  e ( q a  a( q ))  .


0


Пользуясь правилом Лопиталя, находим
q
w * (q)  lim w(, q) 
lim P0 () ,
 
q  a  a(q) 
где, как известно, lim P0 ()  p 0  1   . В результате получаем
w(, q)  e
( q  a  a ( q ))  


(1  )q
,
q  a  a(q)
и аналогично для ПЛС v * (q) стационарного виртуального времени пребывания имеем
v * (q)  w * (q) (q)  v(q) .
Следовательно, для СМО M / G / 1 /  стационарные распределения
виртуального времени ожидания и виртуального времени пребывания
совпадают со стационарными распределениями «обычных» времени
ожидания и времени пребывания соответственно.
w * (q)  w(q) 
5.8. Частные случаи системы M/G/1/
Рассмотрим два важных случая.
1. Система M/M/1/. В этом случае ФР времени обслуживания имеет вид B (t )  1  e  t ,   0 ;   a  ; (q )   (  q ) . Из формулы Поллачека – Хинчина (5.32) следует, что


1 
P( z ) 
  (1  ) k z k   p k z k ,
1   z k 0
k 0
откуда получаем
p k  (1  )  k , k  0, 1, ... .
Отсюда вытекают следующие соотношения:
(1  )


2
2


E 
; E 2 
;
D


E


E


.
1 
(1  ) 2
(1  ) 2
78
Из формулы (5.35) следует, что
(1  ) (q  )
.
w(q) 
q    
Обращением преобразования Лапласа w( q ) q можем в этом случае
найти явный вид ФР стационарного времени ожидания:
 (1  ) (q  ) e q t

W (t )   Res
; 0,  (1  )  1   e (1) t .
 q(q    )

Первые два момента времени ожидания при этом равны

2
w1 
; w2  2
.
(1  )
 (1  ) 2
Для ФР V (t ) стационарного времени пребывания имеем
t
V (t )   W (t  u ) dB(u )  1  e (1)  t .
0
Заметим, что анализируемая СМО является также частным случаем
системы M / M / n /  .
2. Система M/D/1/. Для данной СМО имеем   t 0  const. Поэтому

(q)   e  qt (t  t 0 ) dt  e  q t0 ;   a t 0 .
0
ПФ числа требований в СМО в стационарном режиме, как следует
из формулы (5.32), имеет вид
(1  )(1  z )
P( z ) 
,
1  ze  (1 z )
откуда с помощью дифференцирования функции P(z ) в точке z  0 используя свойства ПФ, получаем
p 0  1  ; p1  (1  )(e   1);
k i
 k k 1
(i) k i 1  
k i i  (i)
p k  (1  )e   (1) e 

 , k  2.
(
k

i
)
!
(
k

i

1
)
!

i 1

 
Из соотношения (5.35) следует, что
w(q ) 
(1  )q
q  a  ae  qt0
79
.
(5.37)
Обращая преобразование Лапласа w( q ) q (например, с помощью
таблиц), приходим к выводу, что ФР стационарного времени ожидания в
этом случае имеет вид
[a ( jt 0  t )] j
,
j
!
j 0
где n  [t t 0 ] , что означает выполнение неравенства n t 0  t  (n  1) t 0 ;
n
W (t )  (1  ) e a t  e  j
 t0
 t 02 (2  )
.
w1 
; w2 
2(1  )
6(1  )
Очевидно, ФР V (t ) стационарного времени пребывания в этом случае имеет вид
если t  t 0 ;
0,
V (t )  
W (t  t 0 ) , если t  t 0 .
80