Взаимное положение двух плоскостей

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ДИСЦИПЛИНЫ»
ПЛОСКОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ
И МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
ЧАСТЬ II
Методические указания по дисциплине
«Начертательная геометрия. Инженерная графика»
РПК «Политехник»
Волгоград
2007
УДК 744 (075.8)
П 39
ПЛОСКОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ И МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. Часть II:
Методические указания по дисциплине «Начертательная геометрия. Инженерная графика» / Сост. Н. В. Бережная; Волгоград, гос. техн. ун-т. –
Волгоград, 2007. – 23 с.
Излагаются теоретические основы по теме «Плоскость. Основные
позиционные и метрические задачи», даются варианты заданий.
Рекомендуются при выполнении самостоятельной графической работы студентам, обучающимся по направлениям 260700, 140200 и 150900 и
специальностям 140211, 151001 сокращенной формы подготовки студентов.
Ил. 30.
Библиогр.: 4 назв.
Рецензент: Н. И. Привалов
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Составитель: Бережная Надежда Васильевна
ПЛОСКОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ
И МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. ЧАСТЬ II
Методические указания по дисциплине
«Начертательная геометрия. Инженерная графика»
Под редакцией автора
Темплан 2007 г., поз. № 79.
Подписано в печать 17. 09. 2007 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,44. Усл. авт. л. 1,31.
Тираж 100 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.

2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2007
Взаимное положение двух плоскостей
Две плоскости могут быть параллельны или пересекаться.
Известно, что две плоскости параллельны, если двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, соответственно параллельны две пересекающиеся прямые в другой плоскости. Если же плоскости
заданны следами, то о взаимной параллельности их в пространстве можно судить по параллельности их одноименных следов (так как способ задания плоскости следами есть частный случай задания ее пересекающимися прямыми).
PV
QV
m
1
2
e
n
n
e
m
Рис. 1.
PV
x
Px
x
f
f
2
1
PH
Qx
QH
Рис. 2.
Z
QV
Px
Qx
PV
SV
PW
SW
X
PH
Рис. 3.
QH
PH
SH
Y
Y
Рис. 4.
Изображенные на рис. 1, 2, 3 плоскости параллельны. Однако о параллельности профильно проецирующих плоскостей в пространстве
можно судить, лишь построив их профильные следы (на рис. 4, 5 плоскости S и Р пересекаются, а Т и Q параллельны).
Если же у заданных плоскостей одна пара следов (или обе) пересекается, то эти плоскости пересекаются (рис. 6, 7).
Две плоскости пересекаются по прямой линии, общей для обеих
плоскостей. Но положение прямой линии определяется положением двух
3
принадлежащих ей точек. Следовательно, для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно определить две точки, общие для обеих заданных плоскостей. Если плоскости заданы следами (рис. 8), то
наиболее рационально отметить точки, являющиеся точками пересечения
их одноименных следов (точки М и N прямой MN – линии пересечения
плоскостей Р и Q).
Z
TV
QV
QV
TW
QW
X
Y1
QH
TH
X
V
Px
Qx
QH
Y
PH
Рис. 6.
Рис. 5.
SV
P
QV
TV
n
Sx
X
PV
Tx
X
Px
Qx
n
m
TH
QH m
SH
Рис. 7.
Рис. 8.
SV
PV
m
n
X
Sx
X
m
m
Рис. 9.
n
Px
m
n
n
TH
PH
PH
SH
Рис. 10.
На рис. 9 – 13 приведены примеры построения линии пересечения
4
(MN) двух плоскостей, заданных следами, когда одна из них или обе являются плоскостями частного положения.
TV
PV
m
X
Px
PV
m
n
Tx
m
QV
TH
X
n
Qx
Px
m
n
QH
PH
Рис. 11.
X
PW
m
n
m
n
PH
Рис. 12.
Z
PV
UV
n
n
m
UW
X
T1V
PV
T 2V
m
n
f
e
Px
Y
RH
UH
e f
Y
Рис. 13.
m
n
PH
Рис. 14.
Если же пересекающиеся плоскости (или одна из них) заданы не
следами, то для построения линии пересечения их применяется метод
вспомогательных секущих плоскостей. Сущность этого метода состоит в
том, что обе заданные плоскости пеPV
QV
ресекаются третьей (обычно плоскостью частного положения – гориn
m
зонтальной или фронтальной), затем
строятся линии пересечения первой
заданной плоскости с третьей, втоPx
Qx m
X
рой заданной с третьей. Там, где эти
линии пересекаются, отмечается
n
точка, общая для заданных плоскоRH
стей. Вторая общая точка находится
QH при помощи еще одной вспомогаPH
Рис. 15.
тельной секущей плоскости.
5
На рис. 14 показано построение линий пересечения двух плоскостей,
одна из которых задана следами, а вторая – параллельными прямыми. В
качестве вспомогательных секущих плоскостей использованы горизонтальные плоскости T1 и Т2.
Метод вспомогательных секущих плоскостей может быть применен
для построения линии пересечения двух плоскостей и в том случае, если
обе пересекающиеся плоскости заданы следами; например, тогда, когда
одна пара их следов в пределах чертежа не пересекается (рис. 15).
Взаимное положение прямой линии и плоскости
Прямая может находиться в плоскости, быть параллельной ей или
пересекать плоскость.
a
a
m
n
1
b
K
PV
2
b
X
b
b
a
1
Рис. 16.
a
K
2
m
Рис. 17.
e
V
d
c
K
a
n
b
b
d
X
3 (4 )
1
2
4
3
1
2
4
c
K
a
3
1(2)
e
H
Рис. 19.
Рис. 18.
Прямая параллельна плоскости, когда она параллельна какой-либо
прямой, лежащей в данной плоскости. Изображенная на рис. 16 прямая
АВ параллельна плоскости, заданной двумя параллельными прямыми М и
N, так как прямая параллельна прямой 1 – 2, лежащей в этой плоскости.
Если прямая линия пересекается с плоскостью частного положения,
то для определения точки ее пересечения никаких дополнительных построений не требуется. На рис. 17, 18 показаны точки пересечения (точки
6
К) прямой АВ с горизонтальной и фронтально проецирующей плоскостями. Искомые точки (точки К), отмечены из следующих соображений.
Точка пересечения прямой с плоскостью есть точка, принадлежащая как
прямой, так и плоскости (общая точка). Следовательно, проекции ее, исходя из принадлежности ее прямой, должны лежать на одноименных
проекциях прямой, а исходя из принадлежности ее плоскости, – на соответствующем следе плоскости (ибо любая точка, лежащая в плоскости
частного положения, обязательно будет иметь одну свою проекцию на
соответствующем следе плоскости: лежащая в горизонтально проецирующей плоскости, – на горизонтальном следе, лежащая в горизонтальной
плоскости, – на фронтальном следе и т. д.). Точка, удовлетворяющая этим
требованиям, – единственная; это точка K.
PV
X
Sx
n
K
a
Px
a
n
Px
X
b
K
a
SH
PV
d
n
K
m
b
m
a b
K
Рис. 22.
m
PH
Рис. 21.
a
Px
b m
n
Рис. 20.
X
K
b
m
PH
SV
n
a K
m
PV
SV
b
SV
c
c
nS
H
m
n b
K
e
b
e
m
K
a
n
d
PH
Рис. 23.
Плоскости (в том числе и плоскости проекций) обычно считаются
непрозрачными. Поэтому та часть прямой линии, которая находится за
плоскостью, невидима. На рис. 17, 18 невидимая часть изображена штриховой линией. Видимость прямой относительно плоскости в приведенных примерах очевидна. Однако так бывает далеко не всегда. В общих
7
случаях видимость определяется конкурирующими точками – точками,
лежащими на одном перпендикуляре к плоскости проекций (рис. 19). Относительно плоскости проекций V видимой будет точка 2, относительно
плоскости проекций Н – точка 3, т. е. относительно какой-либо плоскости
проекций видимой будет точка, находящаяся на большем удалении от
нее.
Для определения точки пересечения
e
прямой с плоскостью общего полоf
жения применяется следующий приa
ем. Через прямую проводится вспоm K
могательная плоскость (обычно плосn
кость частного положения), строится
b
SV линия пересечения заданной плоскости и проведенной, и точка пересечеa
ния прямой с линией пересечения
n
плоскостей есть искомая точка, т. е.
точка пересечения прямой с плоскоf
стью (точка K на рис. 20).
K
На рис. 21, – 24 приведены некоm
e b
торые случаи нахождения точек переРис. 24.
сечения прямой с плоскостью.
Перпендикулярность прямой линии и плоскости
c
K
1
.
a
c
.
b
b
2
. 3
K
e
a
K
f
e
K
1
2
. 3
f
Рис. 25.
Рис. 26.
На эпюре (рис. 25) двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС задана плоскость. Причем прямая АВ – горизонталь, а прямая BС – фронталь
этой плоскости. Фронтальная проекция прямой ВK проведена перпендикулярно к фронтальной проекции прямой ВС, а горизонтальная – перпендикулярно к горизонтальной проекции прямой АВ. Как видно из чертежа,
8
при этих условиях прямая ВK перпендикулярна к прямым ВС и АВ (на
основании свойств прямого угла), т. е. она перпендикулярна к плоскости,
выраженной пересекающимися прямыми AВ и ВС. Следовательно, фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости всегда перпендикулярна к
фронтальной проекции фронтали, а горизонтальная – к горизонтальной
проекции горизонтали.
K
.2
1
PV
b
K
.
c
a
Ka 2
.
1
Px
X
c
.
b
PH
Рис. 28.
Рис. 27.
K
На рис. 26, 27 из точки K опущен перпендикуляр на плоскости, заданные двумя параллельными прямыми и треугольником.
Если плоскость задана следами (рис. 28), то фронтальная проекция
перпендикуляра должна быть перпендикулярна к фронтальному следу
плоскости, а горизонтальная – к горизонтальному следу плоскости (так
как фронтальный след плоскости является одной из фронталей, а горизонтальный – одной из горизонталей плоскости).
Перпендикулярность двух плоскостей
Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них имеется прямая, перпендикулярная ко второй плоскости.
Поэтому плоскость, перпендикулярную к заданной, можно провести
через прямую, перпендикулярную к заданной плоскости, или перпендикулярно к прямой, лежащей в заданной плоскости.
На рис. 29 через прямую АВ проведена плоскость, перпендикулярная
к плоскости, заданной двумя параллельными прямыми М и N. Искомая
плоскость выражена двумя пересекающимися прямыми, одна из которых
(АС) проведена перпендикулярно к плоскости, заданной параллельными
прямыми.
9
Изображенные на рис. 30 плоскости (плоскость треугольника ABC и
плоскость Р) взаимно перпендикулярны, т. к. плоскость Р перпендикулярна к прямой А1 лежащей в плоскости треугольника.
Следует заметить, что у взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения их одноименные следы никогда не перпендикулярны.
Но если одна из заданных плоскостей (или обе) является плоскостью
частного положения, то взаимная перпендикулярность на эпюре одной
пары их следов свидетельствует о перпендикулярности плоскостей в пространстве.
b
c
.
2
1
a
n
c
.
n
1
.
1
a
3
m
m
3
PV
b
2
c
X
b
a
1
a
.
c
Рис. 30.
Рис. 29.
10
Px
b
PH
Содержание и варианты задания № 2
Вариант № 1
1. Через прямую а(Д, Е) провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника АВС. Построить линию пересечения этих плоскостей, определить видимость. А(170; 120; 80), В(140; 45; 135), С(70; 60; 50),
Д(185; 45; 55), Е(60; 70; 75).
2. Построить фронтальную проекцию треугольника АВС,
плоскость которого параллельна прямой m.
3. Определить расстояние от точки Е до плоскости R = в ║m.
m
в
а
m
в
e
c
a
в
m
11
в
m
e
Вариант № 2
1. Построить линию пересечения плоскостей Р и R = k ║ e.
PV
k
e
Px
x
k
e
Ph
2. Построить фронтальную проекцию отрезка АВ, параллельного плоскости, заданной тремя точками С, Д,
Е.
3. Из точки Е, лежащей в плоскости Т(∆АВС), восстановить перпендикуляр (длиной 20 мм) к этой
плоскости.
в
d
e
a
с
a
с
а
e
в
c
в
c
e
a
d
12
Вариант № 3
1. Через прямую а(Д, Е) провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника АВС. Построить линию пересечения этих плоскостей, определить видимость. А(10; 40; 80), В(80; 110; 120), С(140; 80; 40), Д(140;
20; 110), Е(10; 80; 60).
2. Построить горизонтальную проекцию прямой m,
принадлежащей плоскости S(A, m), если плоскость S
параллельна
плоскости
Т
=
в
║
с.
a
3. Через прямую в провести плоскость, перпендикулярную заданной Р(С, m).
m
m
c
в
в
c
m
в
a
в
c
c
12
1. Построить линию пересечения плоскостей
Р = a  в и S =е h.
Вариант № 4
2. Определить параллельна ли прямая m плоскости
R = a  в.
e
a
k
а
a
в
в
h
в
m
h
a
e
m
в
13
3. Построить горизонтальную проекцию прямой в, пересекающей заданную прямую а под прямым углом.
в
a
a
Вариант № 5
1. Через прямую а(Д, Е) провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника АВС. Построить линию пересечения этих плоскостей, определить видимость. А(50; 90; 100), В(110; 20; 10), С(180; 115; 100),
Д(80; 115; 10), Е(180; 30; 120).
13
2. Определить параллельны ли плоскости R = m ║ n и
Р(ΔАВС).
в
m
n
3. Через точку Е провести плоскость, перпендикулярную плоскостям S и Т = (ΔАВС).
e
в
SV
c
а
c
x
a
m
а
Sx
c
в
c
в
n
e
S
h
a
14
Вариант № 6
1. Построить линию пересечения плоскостей Т и S = (ΔАВС).
в
TV
2. Определить параллельны ли прямая m
плоскости Р.
PV
а
Tx
x
a
c
c
x
Px
m
m
T
h
Ph
в
14
3. Через точку А провести плоскость, перпендикулярную прямой m.
a
m
m
a
15
Вариант № 7
1. Через прямую а(Д, Е) провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника АВС. Построить линию пересечения этих плоскостей, определить видимость. А(20; 40; 30), В(90; 15; 130), С(140; 95; 95), Д(140;
15; 65), Е(20; 60; 45).
2. Построить горизонтальную проекцию прямой m,
параллельной плоскости Р(ΔАВС).
в
m
а
3 Построить горизонтальную проекцию треугольника
АВС, перпендикулярного заданной плоскости R = h  f.
f
в
a
c
c
а
c
c
h
m
f
в
h
в
15
Вариант № 8
1. Построить линию пересечения плоскостей S = e  k и
Т = n ║ m.
e
k
m
2 Через точку А провести плоскость, параллельную заданной R.
RV
n
a
e
Rx
x
16
k
Rh
n
a
m
3. Из середины отрезка АВ провести прямую k, перпендикулярную отрезку АВ и пересекающую отрезок СД.
в
d
a
c
a
c
d
в
16
Вариант № 9
1. Через прямую а(Д, Е) провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника АВС. Построить линию пересечения этих плоскостей, определить видимость. А(45; 110; 120), В(15; 20; 30), С(145; 90; 55), Д(135;
30; 110), Е(25; 70; 70).
2. Через точку А провести плоскость, параллель- 3. Построить проекции отрезка АВ, перпендикулярного к
ную заданным прямым.
плоскости S (ΔСДЕ). Определить расстояние от точки А
до плоскости S (ΔСДЕ).
n
a
c
m
d
m
a
в
c
a
e
e
n
17
d
Вариант № 10
1. Построить линию пересечения плоскостей Р и 2 Через точку А провести плоскость, параллельную заR = e ║ k.
данной S.
PV
a
SV
k
e
a
Sx
Px
x
x
e
k
Sh
Ph
17
3. Построить недостающую горизонтальную проекцию прямоугольного треугольника АВС с прямым углом
при вершине А.
c
в
в
a
a
18
Вариант № 11
1. Через прямую а(Д, Е) провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника АВС. Построить линию пересечения этих плоскостей, определить видимость. А(10; 60; 130), В(150; 10; 90), С(70; 100; 50), Д(150;
100; 130), Е(20; 40; 90).
2. Через точку K провести прямую, параллельную плос- 3. Определить расстояние от точки K до прямой m.
кости Т = n  m и горизонтальной плоскости проекций
m
Н.
k
m
n
k
m
k
m
k
n
18
Вариант № 12
1. Построить линию пересечения плоскостей Р и R(ΔАВС).
2. Через прямую а провести плоскость, параллельную прямой в.
в
P
V
a
а
в
c
x
в
a
a
в
c
Ph
3. Через прямую а провести плоскость, перпендикулярную заданной плоскости S = c ║ d.
19
a
c
d
d
a
c
Вариант № 13
1. Через прямую а(Д, Е) провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника АВС. Построить линию пересечения этих плоскостей, определить видимость. А(50; 50; 20), В(140; 20; 120), С(180; 110; 60),
Д(110; 110; 120), Е(70; 10; 20).
19
2. Построить фронтальную проекцию прямой е, принадлежащей плоскости Р(А, е), если плоскость Р параллельна
плоскости R = n  m.
m
3. Построить точку E, симметричную данной
точке K относительно плоскости Т = h  f .
f
k
а
n
n
h
f
e
a
h
k
m
20
Вариант № 14
2. Построить горизонтальную проекцию плос1. Построить линию пересечения плоскостей Т = а  в и
S = n ║ m.
кости S = h  f, параллельной прямой m.
a
в
m
f
n
m
a
m
a
h
n
в
m
a
20
3. Через прямую а провести плоскость, перпендикулярную плоскости R = в  с.
c
в
a
c
a
в
21
Вариант № 15
1. Через прямую а(Д, Е) провести плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника АВС. Построить линию пересечения этих плоскостей, определить видимость. А(60; 60; 10), В(145; 20; 120), С(185; 100; 45),
Д(185; 10; 20), Е(55; 30; 50).
2. Через прямую е провести плоскость, параллельную за- 3. Определить точку Е, симметричную данной
данной Р =n ║ m.
точке K относительно плоскости R = a  в.
m
k
e
a
n
n
e
в
m
a
21
k
в
Вариант № 16
1. Построить линию пересечения плоскостей Т и S = а ║ в. 2. Построить горизонтальную проекцию треугольника АВС, плоскость которого параллельна
TV
в
прямой m.
a
x
в
m
Tx
a
a
в
c
m
Th
a
22
3. Определить расстояние от точки А до плоскости Р.
PV
a
Px
x
a
P
h
22
c
Литература
1. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.Л. Курс начертательной
геометрии. М.: Высшая школа, 1998. – 272 с.
2. Бубенков А.Д., громов М.Я. Начертательная геометрия. – М.:
Высшая шк., 1973. – 416 с.
3. Фролов С.А. Начертательная геометрия. – М.: Машиностроение,
1983. – 239 с.
4. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1999. – 417 с.
23