1_12

1.12. Спиновые системы.
Квантовые спиновые модели
Спиновые операторы.
Матрицы Паули.
Квантовые спиновые модели
Спиновые операторы
 Причиной наличия магнитных степеней свободы у различных веществ
являются некомпенсированные спины либо электронов на верхних
орбиталях, либо ядер атомов
 Коммутационные соотношения:
 Для какой-либо одной из проекций оператора спина и оператора
квадрата спина всегда имеется общая система собственных функций
 Понижающие и повышающие операторы:
2
Матричные элементы
спиновых операторов
 Операторы квадрата спина и z-проекции спина на узле диагональны в
узельном базисе:
 Для других операторов:
3
Матрицы Паули
 В важном частном случае для спина с максимальной проекцией 1/2 его
компоненты часто более удобно выразить через матрицы Паули:
 Действие повышающих и понижающих матриц эквивалентно действию
операторов рождения и уничтожения в ферми-статистике или в
статистике hard-core:
4
Квантовые спиновые модели
 Взаимодействие спинов с внешним магнитным полем:
 Взаимодействие спинов между собой – обменное взаимодействие:
 Два электрона, локализованных на соседних узлах решетки:
 Кулоновская энергия взаимодействия двух электронов на узлах:
5
Квантовые спиновые модели
 Ферромагнитное упорядочение:
 Антиферромагнитное упорядочение:
6
Квантовые спиновые модели
 Модель Гейзенберга учитывает взаимодействие системы узельных
спинов между собой и с внешним полем:
 Анизотропные магнетики:
 Ось легкого намагничивания:
 Плоскость легкого намагничивания:
 XYZ-модель:
7
Квантовые спиновые модели
 XXZ-модель:
 XY-модель – предельный случай XXZ-модели:
 Модель Изинга – другой предельный случай XXZ-модели:
 XXX-модель – полностью изотропная модель Гейзенберга:
8
Квантовые спиновые модели
 Магнитный кластер
9
Гамильтонова матрица
для спиновой модели
 Фиктивные бозоны или псевдобозоны:
 Слагаемые гамильтониана, дающие диагональный вклад в
гамильтонову матрицу:
10
Гамильтонова матрица
для спиновой модели
 Слагаемые гамильтониана, дающие недиагональный вклад в
гамильтонову матрицу:
 Расчет корреляторов по основному состоянию системы:
 Каждая собственная волновая функция гамильтониана представляет
собой линейную комбинацию исходных узельных функций:
 Матричные элементы операторов в узельном базисе известны, поэтому
11
Инварианты в спиновых моделях
 Модель Гейзенберга с внешним полем, направленным вдоль оси z:
 В системе сохраняется проекция полного спина системы на ось z:
 Гамильтонова матрица разбивается на блоки, стоящие на главной
диагонали и отвечающие различным суммарным проекциям спина, все
элементы вне этих блоков равны нулю:
12
Инварианты в спиновых моделях
 Пример
 В системе 27 базисных состояний:
 Задача распадается на группу
отдельных задач для каждого
значения суммарной проекции
спина
13