1.3. цель работы

Министерство образования и науки РФ
Министерство образования Ульяновской области
ОГБОУ СПО механико-технологический колледж р.п. Старая Кулатка
ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ ОБРАБОТКИ
ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
Методические указания
по выполнению лабораторных работ по дисциплине
«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ
ИНФОРМАЦИИ»
Для специальностей:
080802 «Прикладная информатика» (по отраслям)
230205 «Информационные системы»
р. п. Старая Кулатка
2012 год
ОДОБРЕНО
Предметной (цикловой) комиссией
естественно-научных и математических
дисциплин
Протокол № ____
от “_____”______________2012 г.
Председатель ___________ Р.Х. Джамаев
Составлено на основе рабочей программы,
разработанной в соответствии с
Государственными требованиями к минимуму
содержания и уровню подготовки выпускника по
специальности
Заместитель директора по УР
_____________ З.М. Вальшина
«___» ____________ 2012 г.
Автор - разработчик:
Григорьева Г. Д., преподаватель математики высшей категории
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ
ЗАПИСКА.
Данный ПРАКТИКУМ
предназначен для
обучения
студентов
лабораторной работе на персональных компьютерах в режиме пользователя.
ПРАКТИКУМ
включает
перечень
лабораторных работ для
сопровождения занятий по дисциплине Математические методы обработки
экономической информации.
По программе курса на проведение лабораторных работ отведено 40 часов.
Проведение лабораторных работ способствует более глубок ому усвоению знаний.
Задания разделены на 20 лабораторных работ, которые были разработаны и
апробированы в течение нескольких лет. Все лабораторные работы объединены
единым подходом, основанным на моделировании типовых процессов создания,
редактирования и работы с документами.
Основной задачей ПРАКТИКУМА является:
 получение навыков самостоятельной работы на персональных компьютерах
класса IBM PC в режиме работы пользователя;
 обучение анализу состояния персонального компьютера;
 знание и умение выполнять операции запуска программ и основные
действия для обеспечения корректной работы аппаратно- программных
систем, включая обращение к внешним
носителям
информации, к
устройствам записи и вывода информации и данных.
Квалификационным уровнем в результате занятий в ПРАКТИКУМЕ
является умение:
 самостоятельно работать на персональном компьютере;
 оценивать текущее состояние компьютера;
 разрабатывать вычислительные алгоритмы, составлять и отлаживать
простейшие программы для вычисления;
 работать в прикладных программных средах и системах.
Лабораторные занятия в ПРАКТИКУМЕ рекомендуется проводить для
закрепления знаний по темам/разделам дисциплины Математические методы
обработки экономической информации.
Лабораторные работы содержат вводный раздел, где указаны цель работы,
порядок ее выполнения и отчета по выполняемой работе.
Лабораторное занятие, как правило, имеет следующую структуру:





организационная часть, во время которой сообщается тема и цель
предстоящей работы, кратко повторяется теоретический материал по
данной теме;
затем проводится вводный инструктаж, в ходе которого студенты под
руководством преподавателя намечают ход выполнения работы, или в случае
более сложных работ, по готовым описаниям разбирают наиболее трудные
для выполнения моменты лабораторной работы;
выполнение работы;
составление отчета по ней;
подведение итогов.
Так как преподаватель проводит занятия с подгруппой, то он имеет
возможность по ходу выполнения работы проводить текущий инструктаж,
индивидуальную работу с учащимися.
Отчет по каждой лабораторной работе должен содержать:






название и номер работы,
цели ее проведения,
постановку задачи,
описание алгоритма выполнения,
результат,
анализ возникших ошибок.
Для успешного и своевременного выполнения работ студент, готовясь к
промежуточной аттестации должен:

ознакомиться с содержанием предстоящей работы и порядком ее
выполнения;
 изучить соответствующие разделы в рекомендуемой литературе
Если по каким-то причинам не удается вовремя выполнить практические
работы, следует сделать это во внеурочное время.
Краткие рекомендации по выполнению лабораторных работ
В процессе проведения лабораторной работы студент получает раздаточные
материалы (методические материалы и задание на проведение работы) от
преподавателя в электронном виде; копирует их на свой носитель (дискету,
лазерный диск, USB флэш); изучает методические и краткие теоретические
материалы по теме работы; выполняет задание по лабораторной работе;
составляет отчет о выполненной работе в электронном и бумажном виде в
соответствии с изложенными ниже требованиями и сдает его преподавателю.
Сдача лабораторных работ происходит в конце каждого учебного занятия при
наличии электронной версии отчета о проделанной работе. При сдаче
лабораторной работы преподаватель проверяет отчет о проделанной работе,
проверяет теоретические знания (с помощью контрольных вопросов) и оценивает
выполненную работу. Оценка является комплексной - она учитывает
теоретические знания в объеме лекционного курса, практические навыки работы
на ПК, активность в процессе проведения лабораторных занятий в компьютерном
классе, выполнение графика учебного процесса и качество оформления
документов на электронном и бумажном носителях.
Сразу же после создания текстового (любого) файла необходимо сохранять
его в нужной папке и под нужным именем.
Работая в классе за компьютером, всегда файл сохраняется (для запоминания
сделанных исправлений и добавлений) с периодичностью не более 3-5 минут.
Все документы, открытые в момент отключения компьютера, будут
восстановлены при запуске Word по состоянию на момент последнего
сохранения. Восстановленные документы лучше сохранить на диске под новым
именем.
Соблюдение этих простых правил избавит от многих неприятностей и от
лишней работы при «зависании» ПК или отключении электропитания.
Отчет о работе начинается с титульного листа, затем следует описание
самой практической работы (максимальное количество 3 листа) и ответы на
контрольные вопросы.
Рекомендуемые параметры при наборе в редакторе Microsoft Word:
междустрочный интервал - одинарный, шрифт - Times New Roman, кегль —14.
Однако эти параметры следует уточнить у преподавателя.
При создании электронного документа студент решает три основные
задачи: создать исходный текст, грамотно его отредактировать и качественно его
отформатировать. Создавая отчет по практическим работам, студент вступает на
тернистый путь обучения правилам решения перечисленных задач.
На последнем занятии учебного процесса студент сдает сводный отчет обо
всех выполненных лабораторных работах в электронном и печатном (на бумаге)
видах, оформленных в полном соответствии с изложенными ниже требованиями к
печатному и электронному документам.
ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ,
рекомендуемое для изучения и сопровождения учебных занятий по курсу
«Математические методы обработки экономической информации»
1. Программное обеспечение среды MS DOS.
2. Программное обеспечение NORTON COMMANDER.
3. Утилиты NC.
4. Текстовый редактор Microsoft Office Word
5. Электронная таблица Microsoft Office Excel
6. Графический редактор - Microsoft Paint, Microsoft PowerPoint
7. Программы- утилиты.
8. Программы для создания СУБД Microsoft Access
9. Профессиональное программное обеспечение.
.
ФОРМА ОТЧЕТА
Министерство образования и науки РФ
Министерство образования Ульяновской области
ОГБОУ СПО механико- технологический колледж р.п. Старая Кулатка
ОТЧЕТ
по лабораторной работе № ______
«_______________________________________________________
_______________________________________________________
_______________________________________________________»
ФИО__________________________________________________
_______________________________________________________
Группа ______________
Рабочее место __________________
Дата «________» __________________ 20___ г
__________________________________________________________________
ПЕРЕЧЕНЬ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
ПЕРЕЧЕНЬ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
Лабораторная работа № 1. Решение задачи оптимального планирования в
табличном процессоре Excel
Лабораторная работа № 2. Решение задач линейного программирования с
использованием процессора Excel
Лабораторная работа № 3. Решение задачи использования ресурсов средствами
табличного процессора Excel
Лабораторная работа № 4. Анализ чувствительности одноиндексных задач ЛП
Лабораторная работа № 5. Решение задачи о диете средствами табличного
процессора Excel
Лабораторная работа № 6. Решение задач линейного программирования симплексметодом.
Лабораторная работа № 7. Решение транспортной задачи средствами табличного
процессора Excel
Лабораторная работа № 8. Решение транспортной задачи различными методами
Лабораторная работа № 9. Обработка и анализ результатов коллективных решений
Лабораторная работа № 10. Определение временных параметров сетевых моделей
Лабораторная работа № 11. Парная линейная регрессия
Лабораторная работа № 12. Нелинейные модели регрессии и их линеаризация
Лабораторная работа № 13Изучение спроса и предложения
Лабораторная работа № 14.Оптимизация межотраслевого баланса
Лабораторная работа № 15. Экономико-математическая модель межотраслевого
баланса
Лабораторная работа № 16. Экономико-математическая модель международной
торговли
Лабораторная работа № 17. Экономическое моделирование методами теории игр
Лабораторная работа № 18. Игра с природой
Лабораторная работа № 19. Построение функции спроса
Лабораторная работа № 20. Балансовые модели
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература:
1.
Горчаков А.А., Орлова И.В., Половников В.А. Методы экономико-
математического
моделирования
и
прогнозирования
в
новых
условиях
хозяйствования: Учебное пособие. – М.: ВЗФЭИ, 1991.
2.
Замков О.О., Толстопятенко А.Я., Черемных Ю.Н. Математические методы в
экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, ДИС, 2001.
3.
Исследование операций в экономике: Учебное пособие для вузов /Н.Ш.
Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман: Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.
– М.: ЮНИТИ, 2002.
4.
Красс М.С., Чупрунов Б.П. Основы математики и ее применения в
экономическом образовании: Учебник. – М.: Дело, 2000
5.
Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах,
бизнесе: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.
Дополнительная литература:
6.
Демидович Б.П., Кудрявцева В.А. Краткий курс высшей математики. – М.:
Наука, 1989.
7.
Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. – М.:
Инфра-М, 1998.
8.
Ричард Томас. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности
/Пер. с англ. – М.: Дело и связь, 1999.
9.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике:
Учебник: В 2-х частях. – М.: Финансы и статистика, 2001.
10. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности:
Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2001.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ В
ТАБЛИЧНОМ ПРОЦЕССОРЕ EXCEL
Научиться решать
процессоре Excel
1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
задачи оптимального планирования
в
табличном
1.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.
Структура таблицы для решения конкретной задачи состоит из
трех основных частей:
- области заголовков, которая содержит информацию о цели и
содержании таблицы;
- области констант (предположений), которая содержит данные,
используемые многократно без изменений в таблице при создании формул,
необходимых для расчетов;
- рабочей области таблицы (область расчетов), которая содержит
заголовки строк и столбцов, независимые переменные и вычисляемые формулы.
2.
Заполнение рабочей области таблицы производится следующим
образом: сначала заполняют заголовки строк и столбцов, затем - независимые
переменные и, наконец, - формулы.
3.
При вводе формул целесообразно вводить адреса ячеек, выбирая их
мышкой.
4.
Ссылки на ячейки области констант, как правило, абсолютные. Для
преобразования относительной ссылки в абсолютную используется клавиша F4,
которая нажимается при необходимости после выбора соответствующей ячейки
мышкой.
5.
Ссылки на ячейки рабочей области таблицы, как правило,
относительные (принятые по умолчанию).
6.
Формулы расчетов вводятся только в самые верхние ячейки столбцов,
а затем копируются в остальные при помощи мышки (метод протаскивания).
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
Задание 1. Создание структуры задачи и выполнение первичных расчетов
Порядок работы:
1. Создать таблицу по образцу (рис. 11):
2. Ввести формулу расчета размера начисленной заработной платы, которая
учитывает, что работнику выплачивается его оклад, деленный на количество
рабочих дней в месяце и умноженный на количество фактически отработанных
сотрудником дней.
3. Ввести формулу для расчета премии, приняв во внимание, что она
вычисляется в проценте от начисленной суммы заработной платы.
4. Рассчитать величину подоходного налога, используя соответствующий
процент.
5. Рассчитать денежную сумму к выдаче.
6. Отформатировать таблицу, применяя цветовое оформление заголовка;
установить границы и денежный формат для соответствующих столбцов таблицы.
7. Подвести итог столбца «К выдаче».
Базовая показатели для расчёта
Премия, % 50%
от оклада
Ставка
13%
подоходного
налога
Количество 21
рабочих
дней
в
месяце
Рис. 11. Структура таблицы
Задание 2. Дополнительные вычисления и изменения в таблице.
Порядок работы :
№
п/п
Ф.И.О
Должность
Оклад
1
Комаров
Ю.П
Петров З.И
Козлов И.М
Морозов
Ю.Б
Симонов
А.И
Ильин П.А
Николаев
И.Д
Соболева
А.М
Никитин
В.И
Орлов Т.П
директор
7000
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Колво
Отраб
Дн.
21
Гл.бухгалтер 6000
бухгалтер
4500
секретарь
4000
20
18
21
менеджер
5500
17
продавец
продавец
3500
3500
19
21
кассир
4500
21
водитель
4000
15
сторож
2000
20
Начислено
Премия Подоходный
налог
1. Дополнить Базовые показатели для расчета данными:
Налоговые вычеты
400,00р.
300,00р
К
выдаче
2. Вставить столбец «Кол-во иждивенцев» между столбцами «Оклад» и «Колво отработанных дней». Заполнить его по своему усмотрению.
3. Между столбцами «Премия» и «Подоходный налог» вставить столбцы
«Налоговые вычеты» и «Облагаемая налогом сумма».
4. Рассчитать налоговые вычеты, учитывая, что они составляют 400 руб. на
работника и по 300 руб. на каждого его иждивенца.
5. Рассчитать сумму, облагаемую налогом, величину подоходного налога и
сумму к выдаче.
Задание 3. Подведение итогов, применение трехмерных ссылок. Порядок
работы:
1. Переименовать лист, дав ему название соответствующего месяца.
2. Скопировать информацию на лист 2, воспользовавшись методом
копирования листов.
3. Внести исправления в заголовке – заменить январь на февраль.
4. Переименовать лист, дав ему название соответствующего месяца.
5. Изменить количество рабочих дней в феврале на 24 и величину
премиального процента на 35%. Изменить количество отработанных каждым
сотрудником дней.
6. Выполнить аналогичные действия с листом 3, переименовав его
соответствующим образом и разместив на нем информацию о зарплате
сотрудников в марте (рабочих дней – 23, процент премии – 40%).
7. На отдельном листе составить таблицу, содержащую итоговую
информацию о работе и зарплате сотрудников фирмы за первый квартал 2003
года.
Указание. Данная информация должна быть представлена в виде таблицы
со следующими заголовками столбцов: «ФИО», «Должность», «Количество
отработанных дней за квартал», «Подоходный налог за квартал», «К выдаче за
квартал». В данных столбцах создать формулы, позволяющие суммировать
соответствующие значения, содержащиеся на разных листах рабочей книги
(трехмерные ссылки, включающие название листа).
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Какую информацию содержит области заголовков?
2. Что содержит области констант (предположений)?
3. Что содержит рабочая область таблицы (область расчетов)?
4. Как заполняется рабочая область таблицы?
5. какие ссылки являются абсолютными, а какие относительными?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОЦЕССОРА Microsoft Excel
1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков решения задач линейного программирования
(ЛП) в табличном редакторе Microsoft Excel.
1.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Для модели ЛП, соответствующей номеру Вашего варианта, найдите
оптимальное решение в табличном редакторе Microsoft Excel и
продемонстрируйте его преподавателю.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
Для того чтобы решить задачу ЛП в табличном редакторе Microsoft Excel,
необходимо выполнить следующие действия.
1. Ввести условие задачи:
a) создать экранную форму для ввода условия задачи:
 переменных,
 целевой функции (ЦФ),
 ограничений,
 граничных условий;
b) ввести исходные данные в экранную форму:
 коэффициенты ЦФ,
 коэффициенты при переменных в ограничениях,
 правые части ограничений;
c) ввести зависимости из математической модели в экранную
форму:
 формулу для расчета ЦФ,
 формулы для расчета значений левых частей ограничений;
d) задать ЦФ (в окне "Поиск решения"):
 целевую ячейку,
 направление оптимизации ЦФ;
e) ввести ограничения и граничные условия (в окне "Поиск
решения"):
 ячейки со значениями переменных,
 граничные условия для допустимых значений переменных,
 соотношения между правыми и левыми частями ограничений.
2. Решить задачу:
a) установить параметры решения задачи (в окне "Поиск
решения");
b) запустить задачу на решение (в окне "Поиск решения");
c) выбрать формат вывода решения (в окне "Результаты поиска
решения").
1.3.1. Одноиндексные задачи ЛП
Рассмотрим пример нахождения решения для следующей одноиндексной
задачи ЛП:
L X   130,5x 1  20 x 2  56 x 3  87,8x 4  max;
 1,8x 1  2x 2  x 3  4x 4  756,
 6x  2x  4x  x  450,
1
2
3
4

4x  1,5x  10,4x  13x  89,
2
3
4
 1
x j  0; j  1,4.

(1.1)
1.3.1.1. Ввод исходных данных
Создание экранной формы и ввод в нее условия задачи
Экранная форма для ввода условий задачи (1.1) вместе с введенными в
нее исходными данными представлена на рис.1.1.
Рис.1.1. Экранная форма задачи (1.1) (курсор в ячейке F6)
В экранной форме на рис.1.1 каждой переменной и каждому
коэффициенту задачи поставлена в соответствие конкретная ячейка в Excel.
Имя ячейки состоит из буквы, обозначающей столбец, и цифры, обозначающей
строку, на пересечении которых находится объект задачи ЛП. Так, например,
переменным задачи (1.1) соответствуют ячейки B3 ( x1 ), C3 ( x 2 ), D3 ( x 3 ), E3
( x 4 ), коэффициентам ЦФ соответствуют ячейки B6 ( c1  130,5), C6 ( c 2  20),
D6 ( c 3  56), E6 ( c 4  87,8), правым частям ограничений соответствуют ячейки
H10 ( b1  756), H11 ( b 2  450), H12 ( b 3  89) и т.д.
Ввод зависимостей из математической модели в экранную форму
Зависимость для ЦФ
В ячейку F6, в которой будет отображаться значение ЦФ, необходимо
ввести формулу, по которой это значение будет рассчитано. Согласно (1.1)
значение ЦФ определяется выражением
130,5x1  20 x 2  56 x 3  87,8x 4 .
(1.2)
Используя обозначения соответствующих ячеек в Excel (см. рис.1.1), формулу
для расчета ЦФ (1.2) можно записать как сумму произведений каждой из
ячеек, отведенных для значений переменных задачи (B3, C3, D3, E3), на
соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов ЦФ (B6, C6, D6,
E6), то есть
(1.3)
B6  B3  C6  C3  D6  D3  E6  E3 .
Чтобы задать формулу (1.3) необходимо в ячейку F6 ввести следующее
выражение и нажать клавишу "Enter"
=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B6:E6),
(1.4)
где символ $ перед номером строки 3 означает, что при копировании этой
формулы в другие места листа Excel номер строки 3 не изменится;
символ : означает, что в формуле будут использованы все ячейки,
расположенные между ячейками, указанными слева и справа от двоеточия
(например, запись B6:E6 указывает на ячейки B6, C6, D6 и E6). После этого в
целевой ячейке появится 0 (нулевое значение) (рис.1.2).
Рис.1.2. Экранная форма задачи (1.1) после ввода всех необходимых формул
(курсор в ячейке F6)
Примечание 1.1. Существует другой способ задания функций в Excel с
помощью режима "Вставка функций", который можно вызвать из меню
"Вставка" или при нажатии кнопки " f x " на стандартной панели
инструментов. Так, например, формулу (1.4) можно задать следующим
образом:
 курсор в поле F6;
 нажав кнопку " f x ", вызовите окно "Мастер функций – шаг 1 из 2";
 выберите в окне "Категория" категорию "Математические";
 в окне "Функция" выберите функцию СУММПРОИЗВ;
 в появившемся окне "СУММПРОИЗВ" в строку "Массив 1" введите
выражение B$3:E$3, а в строку "Массив 2" – выражение B6:E6 (рис.1.3);
 после ввода ячеек в строки "Массив 1" и "Массив 2" в окне
"СУММПРОИЗВ" появятся числовые значения введенных массивов
(см. рис.1.3), а в экранной форме в ячейке F6 появится текущее значение,
вычисленное по введенной формуле, то есть 0 (так как в момент ввода формулы
значения переменных задачи нулевые).
Рис.1.3. Ввод формулы для расчета ЦФ в окно "Мастер функций"
Зависимости для левых частей ограничений
Левые части ограничений задачи (1.1) представляют собой сумму
произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи
(B3, C3, D3, E3), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов
конкретного ограничения (B10, C10, D10, E10 – 1-е ограничение; B11, C11,
D11, E11 – 2-е ограничение и B12, C12, D12, E12 – 3-е ограничение). Формулы,
соответствующие левым частям ограничений, представлены в табл.1.1.
Таблица 1.1
Формулы, описывающие ограничения модели (1.1)
Левая часть ограничения
Формула Excel
 1,8x1  2x 2  x 3  4x 4 или
=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B10:E
10)
B10  B3  C10  C3  D10  D3  E10  E3
 6x1  2x 2  4x 3  x 4 или
=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B11:E
11)
B11  B3  C11  C3  D11  D3  E11  E3
4x1  1,5x 2  10,4x 3  13x 4 или
=СУММПРОИЗВ(B$3:E$3;B12:E
12)
B12  B3  C12  C3  D12  D3  E12  E3
Как видно из табл.1.1, формулы, задающие левые части ограничений
задачи (1.1), отличаются друг от друга и от формулы (1.4) в целевой ячейке F6
только номером строки во втором массиве. Этот номер определяется той
строкой, в которой ограничение записано в экранной форме. Поэтому для
задания зависимостей для левых частей ограничений достаточно скопировать
формулу из целевой ячейки в ячейки левых частей ограничений. Для этого
необходимо:
 поместить курсор в поле целевой ячейки F6 и скопировать в буфер
содержимое ячейки F6 (клавишами "Ctrl-Insert");
 помещать курсор поочередно в поля левой части каждого из
ограничений, то есть в F10, F11 и F12, и вставлять в эти поля содержимое
буфера (клавишами "Shift-Insert") (при этом номер ячеек во втором массиве
формулы будет меняться на номер той строки, в которую была произведена
вставка из буфера);
 на экране в полях F10, F11 и F12 появится 0 (нулевое значение) (см.
рис.1.2).
Проверка правильности введения формул
Для проверки правильности введенных формул производите поочередно
двойное нажатие левой клавиши мыши на ячейки с формулами. При этом на
экране рамкой будут выделяться ячейки, используемые в формуле (рис.1.4 и
1.5).
Рис.1.4. Проверка правильности введения формулы в целевую ячейку F6
Рис.1.5. Проверка правильности введения формулы в ячейку F12
для левой части ограничения 3
Задание ЦФ
Дальнейшие действия производятся в окне "Поиск решения", которое
вызывается из меню "Сервис" (рис.1.6):
 поставьте курсор в поле "Установить целевую ячейку";
 введите адрес целевой ячейки $F$6 или сделайте одно нажатие левой
клавиши мыши на целевую ячейку в экранной форме  это будет равносильно
вводу адреса с клавиатуры;
 введите направление оптимизации ЦФ, щелкнув один раз левой
клавишей мыши по селекторной кнопке "максимальному значению".
Рис.1.6. Окно "Поиск решения" задачи (1.1)
Ввод ограничений и граничных условий
Задание ячеек переменных
В окно "Поиск решения" в поле "Изменяя ячейки" впишите адреса
$B$3:$E$3. Необходимые адреса можно вносить в поле "Изменяя ячейки" и
автоматически путем выделения мышью соответствующих ячеек переменных
непосредственно в экранной форме.
Задание граничных условий для допустимых значений переменных
В нашем случае на значения переменных накладывается только
граничное условие неотрицательности, то есть их нижняя граница должна быть
равна нулю (см. рис.1.1).

Нажмите кнопку "Добавить", после чего появится окно
"Добавление ограничения" (рис.1.7).

В поле "Ссылка на ячейку" введите адреса ячеек переменных
$B$3:$E$3. Это можно сделать как с клавиатуры, так и путем выделения
мышью всех ячеек переменных непосредственно в экранной форме.

В поле знака откройте список предлагаемых знаков и выберите  .

В поле "Ограничение" введите адреса ячеек нижней границы
значений переменных, то есть $B$4:$E$4. Их также можно ввести путем
выделения мышью непосредственно в экранной форме.
Рис.1.7. Добавление условия неотрицательности переменных задачи (1.1)
Задание знаков ограничений  ,  , =

Нажмите кнопку "Добавить" в окне "Добавление ограничения".

В поле "Ссылка на ячейку" введите адрес ячейки левой части
конкретного ограничения, например $F$10. Это можно сделать как с
клавиатуры, так и путем выделения мышью нужной ячейки непосредственно в
экранной форме.

В соответствии с условием задачи (1.1) выбрать в поле знака
необходимый знак, например =.

В поле "Ограничение" введите адрес ячейки правой части
рассматриваемого ограничения, например $H$10.

Аналогично введите ограничения: $F$11>=$H$11, $F$12<=$H$12.

Подтвердите ввод всех перечисленных выше условий нажатием
кнопки OK.
Окно "Поиск решения" после ввода всех необходимых данных задачи
(1.1) представлено на рис.1.6.
Если при вводе условия задачи возникает необходимость в изменении
или удалении внесенных ограничений или граничных условий, то это делают,
нажав кнопки "Изменить" или "Удалить" (см. рис.1.6).
1.3.1.2. Решение задачи
Установка параметров решения задачи
Задача запускается на решение в окне "Поиск решения". Но
предварительно для установления конкретных параметров решения задач
оптимизации определенного класса необходимо нажать кнопку "Параметры"
и заполнить некоторые поля окна "Параметры поиска решения" (рис.1.8).
Рис.1.8. Параметры поиска решения, подходящие для большинства задач ЛП
Параметр "Максимальное время" служит для назначения времени (в
секундах), выделяемого на решение задачи. В поле можно ввести время, не
превышающее 32 767 секунд (более 9 часов).
Параметр "Предельное число итераций" служит для управления
временем решения задачи путем ограничения числа промежуточных
вычислений. В поле можно ввести количество итераций, не превышающее
32 767.
Параметр "Относительная погрешность" служит для задания точности,
с которой определяется соответствие ячейки целевому значению или
приближение к указанным границам. Поле должно содержать число из
интервала от 0 до 1. Чем меньше количество десятичных знаков во введенном
числе, тем ниже точность. Высокая точность увеличит время, которое
требуется для того, чтобы сошелся процесс оптимизации.
Параметр "Допустимое отклонение" служит для задания допуска на
отклонение от оптимального решения в целочисленных задачах. При указании
большего допуска поиск решения заканчивается быстрее.
Параметр "Сходимость" применяется только при решении нелинейных
задач.
Установка флажка "Линейная модель" обеспечивает ускорение поиска
решения линейной задачи за счет применение симплекс-метода.
Подтвердите установленные параметры нажатием кнопки "OK".
Запуск задачи на решение
Запуск задачи на решение производится из окна "Поиск решения"
путем нажатия кнопки "Выполнить".
После запуска на решение задачи ЛП на экране появляется окно
"Результаты поиска решения" с одним из сообщений, представленных на
рис.1.9, 1.10 и 1.11.
Рис.1.9. Сообщение об успешном решении задачи
Рис.1.10. Сообщение при несовместной системе ограничений задачи
Рис.1.11. Сообщение при неограниченности ЦФ в требуемом направлении
Иногда сообщения, представленные на рис.1.10 и 1.11, свидетельствуют
не о характере оптимального решения задачи, а о том, что при вводе условий
задачи в Excel были допущены ошибки, не позволяющие Excel найти
оптимальное решение, которое в действительности существует (см. ниже
подразд.1.3.5).
Если при заполнении полей окна "Поиск решения" были допущены
ошибки, не позволяющие Excel применить симплекс-метод для решения задачи
или довести ее решение до конца, то после запуска задачи на решение на экран
будет выдано соответствующее сообщение с указанием причины, по которой
решение не найдено. Иногда слишком малое значение параметра
"Относительная погрешность" не позволяет найти оптимальное решение.
Для исправления этой ситуации увеличивайте погрешность поразрядно,
например от 0,000001 до 0,00001 и т.д.
В окне "Результаты поиска решения" представлены названия трех
типов отчетов: "Результаты", "Устойчивость", "Пределы". Они
необходимы при анализе полученного решения на чувствительность (см. ниже
подразд.3.3). Для получения же ответа (значений переменных, ЦФ и левых
частей ограничений) прямо в экранной форме просто нажмите кнопку "OK".
После этого в экранной форме появляется оптимальное решение задачи
(рис.1.12).
Рис.1.12. Экранная форма задачи (1.1) после получения решения
1.3.2. Целочисленное программирование
Допустим, что к условию задачи (1.1) добавилось требование
целочисленности значений всех переменных. В этом случае описанный выше
процесс ввода условия задачи необходимо дополнить следующими шагами.

В экранной форме укажите, на какие переменные накладывается
требование целочисленности (этот шаг делается для наглядности восприятия
условия задачи) (рис.1.13).

В окне "Поиск решения" (меню "Сервис""Поиск решения"),
нажмите кнопку "Добавить" и в появившемся окне "Добавление
ограничений" введите ограничения следующим образом (рис.1.14):
 в поле "Ссылка на ячейку" введите адреса ячеек переменных задачи,
то есть $B$3:$E$3;
 в поле ввода знака ограничения установите "целое";
 подтвердите ввод ограничения нажатием кнопки "OK".
Рис.1.13. Решение задачи (1.1) при условии целочисленности ее переменных
Рис.1.14. Ввод условия целочисленности переменных задачи (1.1)
На рис.1.13 представлено решение задачи (1.1), к ограничениям которой
добавлено условие целочисленности значений ее переменных.
1.3.3. Двухиндексные задачи ЛП
Двухиндексные задачи ЛП вводятся и решаются в Excel аналогично
одноиндексным задачам. Специфика ввода условия двухиндексной задачи ЛП
состоит лишь в удобстве матричного задания переменных задачи и
коэффициентов ЦФ.
Рассмотрим решение двухиндексной задачи, суть которой заключается в
оптимальной организации транспортных перевозок штучного товара со складов
в магазины (табл.1.2).
Таблица 1.2
Исходные данные транспортной задачи
Тарифы, руб./шт.
1-й магазин 2-й магазин 3-й магазин
1-й склад
2
9
7
2-й склад
1
0
5
3-й склад
5
4
100
4-й склад
2
3
6
Потребности, шт.
45
90
50
Целевая функция и ограничения данной задачи имеют вид
L X   2x11  9x12  7x13  x 21  5x 23  5x 31 
Запасы, шт.
25
50
35
75
 4x 32  100 x 33  2x 41  3x 42  6x 43  min;
x11  x12  x13  25,
x  x  x  50,
22
23
 21
x 31  x 32  x 33  35,

x 41  x 42  x 43  75,
x  x  x  45,
21
31
 11
x12  x 22  x 32  90,

x13  x 23  x 33  50,
x  0, x  целые i  1,4; j  1,3 .
ij
 ij

(1.5)

Экранные формы, задание переменных, целевой функции, ограничений и
граничных условий двухиндексной задачи (1.5) и ее решение представлены на
рис.1.15, 1.16, 1.17 и в табл.1.3.
Рис.1.15. Экранная форма двухиндексной задачи (1.5)
(курсор в целевой ячейке F15)
Таблица 1.3
Формулы экранной формы задачи (1.5)
Объект математической модели
Выражение в Excel
Переменные задачи
Формула в целевой ячейке F15
Ограничения по строкам
в ячейках F3, F4, F5, F6
Ограничения по столбцам
в ячейках С7, D7, E7
Суммарные запасы и потребности
в ячейках H8, G9
C3:E6
=СУММПРОИЗВ(C3:E6;C12:E15)
=СУММ(C3:E3)
=СУММ(C4:E4)
=СУММ(C5:E5)
=СУММ(C6:E6)
=СУММ(C3:C6)
=СУММ(D3:D6)
=СУММ(E3:E6)
=СУММ(H3:H6)
=СУММ(C9:E9)
Рис.1.16. Ограничения и граничные условия задачи (1.5)
Рис.1.17. Экранная форма после получения решения задачи (1.5)
(курсор в целевой ячейке F15)
1.3.4. Задачи с булевыми переменными
Частным случаем задач с целочисленными переменными являются
задачи, в результате решения которых искомые переменные x j могут
принимать только одно из двух значений: 0 или 1. Такие переменные в честь
предложившего их английского математика Джорджа Буля называют
булевыми. На рис.1.18 представлена экранная форма с решением некоторой
двухиндексной задачи с булевыми переменными.
Рис.1.18. Решение двухиндексной задачи с булевыми переменными
Помимо задания требования целочисленности (см. подразд.1.3.2) при
вводе условия задач с булевыми переменными необходимо:

для наглядности восприятия ввести в экранную форму слово
"булевы" в качестве характеристики переменных (см. рис.1.18);

в окне "Поиск решения" добавить граничные условия, имеющие
смысл ограничения значений переменных по их единичной верхней границе
(рис.1.19).
Рис.1.19. Добавление условия единичной верхней границы значений
переменных двухиндексной задачи с булевыми переменными
Вид окна "Поиск решения" для задачи с булевыми переменными,
представленной на рис.1.18, приведен на рис.1.20.
Рис.1.20. Окно "Поиск решения" для задачи с булевыми переменными,
представленной на рис.1.18
1.3.5. Возможные ошибки при вводе условий задач ЛП
Если при решении задачи ЛП выдается сообщение о невозможности
нахождения решения, то возможно, что причина заключается в ошибках ввода
условия задачи в Excel. Поэтому, прежде чем делать вывод о принципиальной
невозможности нахождения оптимального решения задачи, ответьте на
вопросы из табл.1.4.
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Каковы основные этапы решения задач ЛП в MS Excel?
2. Каков вид и способы задания формул для целевой ячейки и ячеек
левых частей ограничений?
3. В чем смысл использования символа $ в формулах MS Excel?
4. В чем различие использования в формулах MS Excel символов ; и :?
5. Почему при вводе формул в ячейки ЦФ и левых частей ограничений в
них отображаются нулевые значения?
6. Каким образом в MS Excel задается направление оптимизации ЦФ?
7. Какие ячейки экранной формы выполняют иллюстративную функцию,
а какие необходимы для решения задачи?
8. Как наглядно отобразить в экранной форме ячейки, используемые в
конкретной формуле, с целью проверки ее правильности?
9. Поясните общий порядок работы с окном "Поиск решения".
10.Каким образом можно изменять, добавлять, удалять ограничения в
окне "Поиск решения"?
11.Какие сообщения выдаются в MS Excel в случаях: успешного решения
задачи ЛП; несовместности системы ограничений задачи; неограниченности
ЦФ?
12.Объясните смысл параметров, задаваемых в окне "Параметры
поиска решения".
13.Каковы особенности решения в MS Excel целочисленных задач ЛП?
14.Каковы особенности решения в MS Excel двухиндексных задач ЛП?
15.Каковы особенности решения в MS Excel задач ЛП с булевыми
переменными?
1.5. ВАРИАНТЫ
Используя MS Excel, найти решение для модели ЛП, соответствующей
заданному варианту (табл.1.5).
Таблица 1.5
Варианты задач к лабораторной работе №1
№ варианта
Математическая модель
L(X)  5x1  7 x 2  6x 3  9x 4  8x 5  max;
1
0,7 x 1 0,9x 2  1,5x 3  2,3x 4  1,8x 5  50000 ,

0,4x 1 1,1x 2  0,5x 3  1,3x 4  2,8x 5  32000 ,

0,5x 1 1,8x 3  0,7 x 4  2x 5  40000 ,
2,2x  1,4x  0,8x  0,9x  15000 ,
1
2
3
4

x j  0 j  1,5 .



L( X )  x 1  4 x 3  8x 4  12 x 5  min;
2
x  9 x  2 x  4 x  250,
2
3
4
 1
0,4 x 1  x 2  5x 3  3x 4  8x 5  460,

0,5x 1  10x 2 - 8x 3  6 x 4  2 x 5  190,
11x  8,5x  3x  2x  210,
2
3
4
5

x j  0 j  1,5 .



№ варианта
3
Математическая модель
L(X)  45x1  65x 2  2 x 4  3x 5  max;
15x 1 18x 2  34x 4  22x 5  56,

2 x1  7 x 3  4 x 4  3x 5  91,

0,2 x 1 0,8x 2  1,5x 3  0,9 x 4  4 x 5  26,
1,8x  42x  6,4 x  3x  15,
1
2
3
5

x j  0 j  1,5 .


4

L(X)  14 x1  9x 2  x 4  6,4x 5  min;
0,9x  10 x  28x  5x  245,
1
2
4
5

0,8x 1  1,7 x 2  0,2x 3  0,5x 4  9,

6x 1  4x 3  7 x 4  6,3x 5  54,
8x  6,2x  4,8x  2,9x  17,
2
4
5
 1
x j  0 j  1,5 .



L(X)  46 x1  2,3x 2  9,4x 3  4x 5  max;
5
3x  7,8x  12 x  9x  49,
3
4
5
 1
2,3x 2  5x 3  5,6x 4  x 5  86,

16 x 1  40 x 4  29 x 5  50,
190 x  98 x  4x  150 x  300,
1
2
4
5

x j  0 j  1,5 .



L(X)  0,5x 1  1,8x 3  9,2x 4  14 x 5  min;
6
9,6x  15,7 x  24 x  8x  74,
2
3
4
5

0,8x 1 11,1x 2  4,5x 3  1,5x 4  6,3x 5  22,

14 x 1 45 x 2  38x 4  26 x 5  46,
220 x  148 x  7 x  95 x  150,
1
2
3
5

x j  0 j  1,5 .



L(X)  12 x 2  89 x 3  5x 5  max;
7
2x  9,6x  15,7 x  22 x  8x  73,
2
3
4
5
 1
0,9x 1 11,1x 2  4,3x 3  1,5x 4  6,4x 5  19,

14 x 1  45x 2  38x 4  26 x 5  49,
220 x  150 x  3x  95x  133,
1
2
3
5

x j  0 j  1,5 .


№ варианта

Математическая модель
L(X)  4x 1  6x 2  14 x 3  49 x 5  min;
8
21x 1 9x 2  2x 4  12 x 5  58,

110 x 2  60 x 3  80 x 4  45 x 5  290,

5x 2  27 x 3  14 x 4  x 5  72,
87 x  6,4x  130 x  140,
1
2
4

x j  0 j  1,5 .


9

L(X)  38 x 1  60 x 2  x 3  4x 4  8x 5  max;
18 x  4x  2x  12 x  86,
1
2
3
5

2x 2  19 x 3  7 x 4  10 x 5  130,

0,4x 1 3x 2  4,2 x 3  2x 4  5x 5  34,
2,1x  13x  20 x  6x  18,
1
2
3
4

x j  0 j  1,5 .



L(X)  10 x 1  40 x 3  13x 4  56 x 5  min;
10
7 x  16 x  5x  25x  600,
3
4
5
 1
8x 1 1,7 x 2  0,5x 4  4,7 x 5  890,

6x 1 4x 3  7 x 4  6,3x 5  270,
84 x  62 x  80 x  14 x  2300 ,
1
2
3
5

x j  0 j  1,5 .



L(X)  84 x1  5,7 x 2  10 x 4  3x 5  max;
11
4x  8,5x  16 x  10 x  50,
2
3
5
 1
10,4x 1  6x 3  2x 4  4x 5  120,

19 x 1 18 x 2  20 x 4  30 x 5  600,
200 x  45x  8x  3,4x  210,
1
2
3
4

x j  0 j  1,5 .



L(X)  0,84 x 2  4x 3  3,8x 4  12 x 5  min;
12
15x 1 9,6x 2  34 x 4  8x 5  180,

0,6x 1 11,1x 2  2,6x 3  1,5x 4  6,3x 5  68,

14 x 1 64 x 3  38 x 4  12 x 5  81,
190 x  148 x  7 x  84 x  230,
1
2
3
5

x j  0 j  1,5 .



ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕСУРСОВ СРЕДСТВАМИ
ТАБЛИЧНОГО ПРОЦЕССОРА EXCEL
1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение
навыков
построения
математических
одноиндексных задач ЛП и решения их в Microsoft Excel.
моделей
1.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Согласно номеру своего варианта выберите условие задачи и постройте
ее модель.
2. Найдите оптимальное решение задачи в Excel и продемонстрируйте его
преподавателю.
Примечание 1.1. Расчет числовых данных, которые непосредственно не
заданы в условии задачи, производите непосредственно в ячейках экранной
4
формы. Например, для ввода коэффициента
при x A в левой части (2.3) в
60
соответствующую ячейку надо ввести выражение =4/60, после чего в ячейке
отобразится результат вычисления, то есть 0,066666667. Для ввода правой
части ограничения (2.3) в соответствующую ячейку надо ввести выражение
=14*8*1*22, при этом в ячейке отобразится число 2464. Этот способ позволяет
четко представлять путь получения числовых данных в ячейках экранной
формы, избегать ошибок при расчете параметров задачи, а также обеспечивает
высокую точность расчетов.
3. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:
 титульный лист (рис.2.1);
 исходные данные варианта;
 построенную модель задачи с указанием всех единиц измерения;
 результаты решения задачи.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
Если в какой-либо системе (экономической, организационной, военной и
т.д.) имеющихся в наличии ресурсов не хватает для эффективного выполнения
каждой из намеченных работ, то возникают так называемые
распределительные задачи. Цель решения распределительной задачи –
отыскание оптимального распределения ресурсов по работам. Под
оптимальностью распределения может пониматься, например, минимизация
общих затрат, связаных с выполнением работ, или максимизация получаемого в
результате общего дохода.
Для решения таких задач используются методы математического
программирования. Математическое программирование – это раздел
математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных
значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Слово
"программирование" заимствовано из зарубежной литературы, где оно
используется в смысле "планирование".
Наиболее простыми и лучше всего изученными среди задач
математического
программирования
являются
задачи
линейного
программирования.
Характерные черты задач ЛП следующие:
1) показатель эффективности L представляет собой линейную функцию,
заданную на элементах решения x1, x2 ,..., x n ;
2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют
вид линейных равенств или неравенств.
В общей форме записи модель задачи ЛП имеет вид:
целевая функция (ЦФ)
L  c1x1  c2 x2 ... c n x n  max(min) ;
при ограничениях
a11x1  a12 x 2  ...  a1n x n  (, )b1,
a x  a x  ...  a x  (, )b ,
2n n
2
 21 1 22 2
 ................................. . ..........................
a x  a x  ...  a x  (, )b ,
mn n
m
 m1 1 m 2 2
x1, x 2 ,..., x k  0 k  n  .
(2.1)
Допустимое решение – это совокупность чисел X   x1, x2 ,..., x n  ,
удовлетворяющих ограничениям задачи (2.1).


Оптимальное решение – это план X  x*1, x*2 ,..., x*n , при котором
ЦФ принимает свое максимальное (минимальное) значение.
Для построения математической модели необходимо ответить на
следующие три вопроса.
1. Что является искомыми величинами, то есть переменными этой
задачи?
2. В чем состоит цель, для достижения которой из всех допустимых
значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать
наилучшему, то есть оптимальному, решению?
3. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы
выполнялись условия, описанные в задаче?
В данной лабораторной работе рассматривается одноиндексная задача
ЛП, представляющая собой общую распределительную задачу, которая
характеризуется различными единицами измерения работ и ресурсов.
Рассмотрим следующую задачу (вариант 0 из табл.2.1).
Постановка задачи
Мебельный комбинат выпускает книжные полки А из натурального
дерева со стеклом, полки B1 из полированной ДСП (древесно-стружечной
плиты) без стекла и полки B2 из полированной ДСП со стеклом. Габариты
полок А, B1 и В2 следующие: длина 1100 (d) мм, ширина 250 (w) мм, высота 300
(h) мм (рис.2.2). Размер листа ДСП 2 3 м.
h
d
w
Рис.1.1. Габариты полок, выпускаемых мебельным комбинатом
При изготовлении полок А выполняются следующие работы: столярные,
покрытие лаком, сушка, резка стекла, упаковка. Все операции, производимые в
ходе столярных работ и упаковки, выполняются вручную. Полки B1 и В2
поставляются в торговую сеть в разобранном виде. За исключением операции
упаковки, все остальные операции (производство комплектующих полки, резка
стекла) при изготовлении полок B1 и В2, выполняются на специализированных
автоматах.
Трудоемкость столярных работ по выпуску одной полки А составляет 4
(Тр1) ч. Производительность автомата, покрывающего полки А лаком – 10
(Пр1) полок в час, автомата, режущего стекло – 100 (Пp2) стекол в час.
Сменный фонд времени автомата для покрытия лаком – 7 (ФВ1) ч, автомата для
резки стекла – 7,5 (ФВ2) ч. Сушка полок, покрытых лаком, происходит в
течение суток в специальных сушилках, вмещающих 50 (V1) полок. На
упаковку полки А требуется 4 (Тр2) минуты. В производстве полок заняты 40
(Р1) столяров и 14 (Р2) упаковщиков.
Производительность автомата, производящего комплектующие полок B1
и В2, равна 3 (Пр3) полки в час, а его сменный фонд времени равен 7,4 (ФВ3) ч,
трудоемкость упаковочных работ составляет 8 (Тр3) мин для полки В1 и 10
(Тр4) мин для полки В2.
От поставщиков комбинат получает в месяц 400 (Z1) листов
полированной ДСП, 230 (Z2) листов ДВП (древесно-волокнистой плиты), а
также 260 (Z3) листов стекла. Из каждого листа ДВП можно выкроить 14 (К1)
задних стенок полок B1 и В2, а из каждого листа стекла – 10 (К2) стекол для
полок А и В2.
Склад готовой продукции может разместить не более 350 (V2) полок и
комплектов полок, причем ежедневно в торговую сеть вывозится в среднем 40
(N) полок и комплектов. На начало текущего месяца на складе осталось 100
(Ост) полок, произведенных ранее. Себестоимость полки А равна 205 (C1) руб.,
полки В без стекла – 142 (C2) руб., со стеклом – 160 (С3) руб.
Маркетинговые исследования показали, что доля продаж полок обоих
видов со стеклом составляет не менее 60% (Д) в общем объеме продаж, а
емкость рынка полок производимого типа составляет около 5300 (V3) штук в
месяц. Мебельный комбинат заключил договор на поставку заказчику 50 (З)
полок типа В2 в текущем месяце.
Составьте план производства полок на текущий месяц. Известны цены
реализации полок: полка А – 295 (Ц1) руб., полка В без стекла – 182 (Ц2) руб.,
полка В со стеклом – 220 (Ц3) руб.
Построение модели
I этап построения модели заключается в определении (описании,
задании, идентификации) переменных. В данной задаче искомыми
неизвестными величинами является количество полок каждого вида, которые
будут произведены в текущем месяце. Таким образом, x А – количество полок А
(шт./мес.); x B1 – количество полок В1 (шт./мес.); x B 2 – количество полок В2
(шт./мес.).
II этап построения модели заключается в построении целевой функции,
представляющей цель решения задачи. В данном случае цель – это
максимизация прибыли, получаемой от продажи полок всех видов в течение
месяца. Поскольку в этой задаче прибыль может быть определена как разность
между ценой (Ц1, Ц2, Ц3) и себестоимостью (С1, С2, С3), то ЦФ имеет вид
L X   295  205 x A  182  142 x B1  220  160  x B2  max руб.  шт.  руб.
шт. мес. мес.
III этап построения модели заключается в задании ограничений,
моделирующих условия задачи. Все ограничения рассматриваемой задачи
можно разделить на несколько типов.
Ограничения по фонду времени (с использованием трудоемкости работ)
Левая часть ограничений по фонду времени представляет собой время,
затрачиваемое на производство полок в течение месяца в количестве x А , x B1 ,
x B 2 штук. Правая часть ограничения – это фонд рабочего времени исполнителя
работы (рабочего или автомата) за смену. Неравенство (2.2) описывает
ограничение по фонду времени на выполнение столярных работ. Коэффициент
4 ч/шт. (Тр1) – это время, затрачиваемое на столярные работы при
производстве одной полки типа А (трудоемкость); 40 чел. (Р1) – это количество
столяров, участвующих в производстве; 8 ч чел.  см. – количество часов
работы одного человека в течение смены; 1 см./дн. – количество смен в одном
рабочем дне; 22 дн./мес . – количество рабочих дней в месяце (табл.2.1):
ч
ч

мес. мес.
ч шт.
ч
см. дн.

 чел. 


шт. мес.
чел.  см. дн. мес.
4 x A  40  8 1  22
(2.2)
Примечание 1.2. Важным моментом проверки правильности составления
ограничений является проверка совпадения единиц измерения левой и правой
частей ограничения. В ограничении (2.2) левая и правая части измеряются в
часах, потраченных на выпуск продукции в течение месяца.
Аналогично записывается ограничение (2.3) по фонду времени на
упаковочные работы, в котором 14 чел. (Р2) – это количество упаковщиков:
4
8
10
ч
ч
x A  x B1  x B 2  14  8 1  22

60
60
60
мес. мес.
мин
ч
см. дн.
шт.  шт.  чел. 


мин
мес.
чел.  см. дн. мес.
ч
(2.3)
Ограничения по фонду времени (с использованием производительности работ)
Неравенство (2.4) описывает ограничение по фонду времени на покрытие
лаком полок типа А. Отличие ограничений, учитывающих данные о
производительности работ, от ограничений, учитывающих данные о
трудоемкости работ, состоит в том, что производительность необходимо
преобразовать в трудоемкость. Трудоемкость является величиной, обратной
1
1
производительности. Коэффициент
(
) при x A в (2.4) – это количество
10 Пр1
часов, приходящихся на покрытие лаком одной полки типа А. При записи
правой части ограничения учитываем, что автомат, выполняющий покрытие
лаком, работает не полную смену (8 ч), а в течение сменного фонда времени 7 ч
(ФВ1). Это связано с необходимостью подготовки автомата к работе и
обслуживанием его после окончания работы.
1
ч
ч
x A  7 1  22

10
мес. мес.
ч шт.
ч см. дн.




шт. мес. см. дн. мес.
(2.4)
Неравенство (2.5) описывает ограничение по фонду времени на резку
стекла для полок типа А и В2:
ч
ч
2
2
xA 
x B2  7,5 1  22

100
100
мес. мес.
ч шт.
ч см. дн.




шт. мес. см. дн. мес.
(2.5)
Неравенство (2.6) описывает ограничение по фонду времени на
производство комплектующих полок типа В1 и В2:
1
1
x B1  x B 2  7,4 1  22
3
3
ч.
ч.

мес. мес.
(2.6)
ч. шт.
ч см. дн.




шт. мес. см. дн. мес.
Ограничения по запасу расходуемых в производстве материалов
(по запасу используемых для производства полок деталей)
Неравенство (2.7) описывает ограничение по запасу листов ДСП,
поставляемых на комбинат ежемесячно. При этом следует учесть, что из листа
ДСП надо выкраивать комплекты (верхнюю и нижнюю стороны полок, 2
боковые стороны) для производства полок. Поэтому при задании ограничения
имеет смысл ориентироваться не на количество листов ДСП, а на количество
комплектов для полок [правая часть (2.7)], которые можно получить из
имеющегося запаса ДСП. Но поскольку листы ДСП можно раскраивать
различными способами и получать при этом различное количество деталей и
комплектов, то обозначим месячный запас комплектов в правой части (2.7) как
Yкомпл и рассмотрим способ его численного определения позже. В левой части
ограничения (2.7) задается количество комплектов (по одному на полку),
необходимых на производство полок в течение месяца в объеме x B1 , x B 2 :
1x B1  1x B 2  Yкомпл
компл. компл.

мес.
мес.
компл. шт. компл.


шт. мес.
мес.
(2.7)
Аналогично ограничению по ДСП неравенство (2.8.) – это ограничение
по запасу задних стенок из ДВП для полок В1 и В2, а неравенство (2.9) –
ограничение по запасу стекол для полок А и В2. В отличие от ДСП листы ДВП
и листы стекла кроятся стандартным способом, и из каждого листа ДВП
получается 14 (К1) задних стенок полок, а из каждого листа стекла получается
10 (К2) стекол. Ежемесячный запас листов ДВП и стекла составляет
соответственно 230 (Z2) и 260 (Z3). При составлении левых частей ограничений
(2.8) и (2.9) следует учесть, что на каждую полку В1 и В2 приходится по одной
задней стенке, а на каждую полку А и В2 – по 2 стекла:
задняя стенка задняя стенка
1x B1  1x B 2  230 14

мес.
мес.
(2.8)
задняя стенка шт. лист ДВП задняя стенка



шт.
мес.
мес.
лист ДВП
стекло стекло

мес.
мес.
стекло шт. лист стекла
стекло



шт. мес.
мес.
лист стекла
2x А  2x B 2  260  10
(2.9)
Ограничения по емкости вспомогательных помещений и рынка
Неравенство (2.10) является ограничением по количеству полок А,
которые может вместить сушилка. В правой части (2.10) представлено
количество полок, которые могут быть просушены в течение месяца (в день
может быть просушено 50 (V1) полок):
шт. шт.
x A  50  22

мес. мес.
(2.10)
шт. шт. дн.


мес. дн. мес.
Неравенство (2.11) описывает ограничение по количеству полок всех
видов, которые может вместить склад готовой продукции. При этом правая
часть (2.11) учитывает, что общая емкость склада уменьшена на 100 (Ост)
полок, которые остались невывезенными с прошлого месяца. Кроме того, в
течение месяца каждый день будет освобождаться по 40 (N) мест для полок:
шт. шт.
x A  x B1  x B2  350  100  40  22

мес. мес.
(2.11)
шт. шт. шт. шт. дн.




мес. мес. мес. дн. мес.
Неравенство (2.12) описывает ограничение по примерной емкости рынка,
равной 5300 (V3) полкам всех видов:
шт. шт.
x A  x B1  x B 2  5300

(2.12)
мес. мес.
Ограничения по гарантированному заказу
Неравенство (2.13) показывает, что необходимо произвести как минимум
50 (З) заказанных полок В2, а возможно, и большее количество, но уже для
свободной продажи:
шт. шт.
x B 2  50

(2.13)
мес. мес.
Ограничения по соотношению объемов продаж различных товаров
Неравенство (2.14) показывает, что доля полок А и В2 в общем объеме
полок, производимых для свободной продажи, должна составлять не менее 60%
(Д). К такому выводу приводят результаты маркетинговых исследований.
Поскольку из всех полок В2 в свободную продажу поступит лишь x B2  50 , то


это учитывается при составлении ограничения (2.14), которое после
алгебраических преобразований принимает вид (2.15).
шт. шт.
x A  x B2  50  0,6 [ x A  x B1  x B 2  50 ]

(2.14)
мес. мес.




0,4 x A  0,6x B1  0,4x B 2  20
(2.15)
Определение количества комплектов для полок В1 и В2
Рассмотрим подробно вопрос определения максимально возможного
количества комплектов для полок В1 и В2, которое можно произвести из
ежемесячного запаса ДСП. В зависимости от размеров листов ДСП
( 2000  3000 мм) и габаритов полок (1100  250  300 мм) детали полок В1 и В2
можно выкроить различными способами. Рассмотрим три возможных варианта
такого раскроя, представленные на рис.2.3 (затемненные участки – это
неиспользованная площадь ДСП).
Согласно 1-му варианту из одного листа ДСП для полок В1 и В2 можно
выкроить 19 деталей верхней или нижней стенок, а также 9 деталей боковых
стенок. По 2-му варианту раскроя получаем 12 деталей верхней или нижней
стенок и 36 деталей боковых стенок. По 3-му варианту раскроя получаем 16
деталей верхней или нижней стенок и 18 деталей боковых стенок. Обозначим
количество листов ДСП, раскроенных в течение месяца: по 1-му варианту через
y1 (лист./мес.); по 2-му варианту - y 2 (лист./мес.); по 3-му варианту – y 3
(лист./мес.). При производстве полок нам выгодно стремиться к такому
раскрою листов ДСП, при котором из полученных деталей можно
укомплектовать максимальное количество полок. Количество комплектов,
получаемых из раскроенных деталей, мы ранее обозначили через Yкомпл . Таким
образом, наша цель описывается целевой функцией
L(Y)  Yкомпл  max
1 9 вер хн и х и н и ж н и х стен ок,
9 боковы х стенок
компл./мес.
12 верхних и ниж них стенок,
3 6 боко вы х стено к
1 6 вер хн и х и н и ж н и х стен ок,
1 8 бо ко вы х стено к
Рис.2.3. Возможные варианты раскроя листов ДСП
Количество всех раскроенных листов ДСП не должно превышать 400
(Z1), то есть ежемесячный запас их на складе:
y1  y 2  y3  400
лист./мес.
При этом, поскольку в каждый комплект входит одна верхняя и одна
нижняя стенки, количество нижних и верхних стенок, получаемых при раскрое
всех листов ДСП [левая часть (2.16)], должно быть не меньше чем 2Yкомпл :
19 y1  12 y 2  16 y3  2Yкомпл
дет. дет.

мес. мес.
(2.16)
дет. лист.
дет. компл



лист. мес. компл мес.
Аналогичный смысл имеет ограничение (2.17), которое задает нижнюю
границу количества боковых стенок полок:
9 y1  36 y 2  18 y 3  2Yкомпл.
дет. дет.

мес. мес.
(2.17)
После преобразования описанных неравенств получим модель задачи
(2.18), позволяющую раскроить максимальное количество комплектов:
L(Y)  Yкомпл  max ;
 y1  y 2  y3  400,
19 y  12 y  16 y  2Y
 1
2
3
компл  0,

9 y1  36 y 2  18 y3  2Yкомпл  0,
 y1, y 2 , y3 , Yкомпл  0.
(2.18)
Таким образом, при решении задачи (2.18) симплекс-методом (например,
в MS Excel) переменная Yкомпл непосредственно определяет значение ЦФ, а
переменные y1 , y 2 и y 3 влияют на изменение значения ЦФ косвенно, через
ограничения. Решив задачу (2.18) для варианта 0, мы получим значение правой
части ограничения (2.7) Y=3387 компл, после чего сможем решить исходную
задачу, модель которой имеет вид:
LX   90 x A  40 x B1  60 x B2  max ;
4 x A  7040 ;
0,067 x  0,133 x  0,167 x  2464 ;
A
B1
B2

0,1x  154 ;
A

0,02 x A  0,02 x B2  165 ;

0,333 x B1  0,333 x B 2  162,8 ;
x  x  3387 ;
B2
 B1
x B  x B  3220 ;
2
 1
2 x  2 x  2600 ;
B2
 А
x  1100 ;
 A
x A  x B1  x B2  1220 ;

x A  x B1  x B2  5300 ;
x  50 ;
 B2
0,4 x A  0,6x B  0,4 x B  20 ;
1
2

x A , x B , x B  0 .

1
2
Решив задачу (2.19), получаем
x A  1100 шт./мес., x B1  0 шт./мес., x B2  120 шт./мес.,
(2.19)
(2.20)
LX   106 200 руб./мес.,
то есть в текущем месяце необходимо произвести 1100 полок А и 120 полок В2,
а производство полок В1 нецелесообразно. После реализации всех
произведенных полок комбинат получит прибыль в размере 106 200 рублей.
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Что такое распределительная задача, общая распределительная задача?
2. Что такое математическое и линейное программирование?
3. Какова общая форма записи модели ЛП?
4. Что такое допустимое и оптимальное решения?
5. Каковы основные этапы построения математической модели ЛП?
6. Каков экономический смысл и математический вид ЦФ задачи о
производстве полок?
7. Как можно классифицировать ограничения задачи о полках по их
экономическому смыслу?
8. Чем отличается построение ограничений, использующих данные о
трудоемкости и производительности работ?
9. Объясните способ построения каждого конкретного ограничения
задачи о полках.
10. Каким образом решается задача оптимального раскроя листов ДСП?
№
вар.
D
w
h
Тр1
Тр2
Тр3
Тр4
Р1
Р2
Пp1
Пp2
Пp3
ФВ1
ФВ2
ФВ3
Z1
Z2
Z3
К1
К2
V1
V2
V3
N
Ост
0
1100
250
300
4
4
8
10
40
14
10
100
3
7
7,5
7,4
400
230
260
14
10
50
350
5300
40
100
Таблица 2.1
1
1070
240
290
4,4
10
15
16
22
16
4
150
4
7,1
7,6
7,5
390
240
200
15
11
20
400
2000
45
110
2
1140
260
280
3,6
5
10
12
19
12
9
170
5
7,2
7,7
7,6
365
235
250
5
12
65
360
3700
67
90
3
1030
230
270
4,8
9
13
14
6
11
5
250
6
7,3
7,0
7,7
380
220
190
16
5
40
300
3000
50
170
4
1180
270
260
3,2
6
9
10
27
7
2
180
7
7,4
7,1
7,8
415
215
240
6
13
55
370
1100
72
80
5
990
240
250
5,2
8
13
14
16
5
6
130
8
7,5
7,2
7,4
370
200
180
17
6
75
310
4000
55
160
6
1220
260
240
2,8
7
10
11
9
13
4
190
9
7,6
7,3
7,5
405
195
230
7
14
45
380
2500
44
70
7
950
230
310
5,6
5
8
9
25
3
7
120
10
7,7
7,4
7,6
350
180
290
12
7
60
320
1500
60
150
8
1260
270
320
2,4
8
11
14
11
6
4
200
11
7,1
7,5
7,7
395
205
220
8
15
35
390
1400
38
60
9
910
240
330
6
6
10
13
8
8
3
110
12
7,2
7,6
7,8
410
160
230
13
8
70
330
2700
65
140
Исходные данные вариантов задач к лабораторной работе №2
10
1300
260
340
2
9
15
18
30
10
5
210
13
7,0
7,7
7,4
385
175
210
18
16
25
410
4300
30
50
11
870
230
350
6,4
7
14
16
14
2
8
140
14
7,3
7,1
7,5
420
140
270
11
9
30
340
3100
70
120
12
1340
270
360
1,6
10
16
20
7
9
6
220
15
7,4
7,2
7,6
375
155
200
9
17
80
420
1900
35
40
50В2
205
142
160
295
182
220
C1
C2
C3
Ц1
Ц2
Ц3
224
202
256
170
150
210
30А
15A
1
158
149
213
133
125
145
206
190
284
178
164
200
147
154
192
134
120
150
243
230
243
205
187
215
3
4
5
15(B1,B 43(A,B1
10B1
72A
2)
)
10A,
5A,
40B1,
15B1
18B1 12B2
3B2
2
180
175
198
148
125
170
60В2
242
246
274
197
176
220
24А
167
194
203
142
129
165
80B1
7
8
16(B1,B 23(A,B2
12B2
2)
)
6
267
263
281
210
195
225
14A,
21B1
46A
9
202
214
224
162
143
180
246
287
276
214
207
230
187
186
249
146
126
195
11
12
13(B1,B
59B1
9(A,B1)
2)
38A, 23B1,
84B2
62B2 20B2
10
3 варианта раскроя листов ДСП; 8 ч в смене; работа в 1 смену; 22 рабочих дня в месяце
0
60(A,B2
)
З
№
вар.
Д
Продолжение табл.2.1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ОДНОИНДЕКСНЫХ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков анализа чувствительности задач ЛП на основе
различных типов отчетов, выдаваемых Microsoft Excel, о результат поиска решения.
1.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Для задачи, решенной в лабораторной работе №2 (часть I) , получите в
Excel все типы отчетов по результатам поиска решения, необходимые для анализа
чувствительности.
2. Проанализируйте задачу на чувствительность к изменениям параметров
исходной модели.
3. Результаты анализа задачи на чувствительность внесите в общий отчет по
лабораторной работе №2.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
1.3.1. Задачи анализа оптимального решения на чувствительность
На практике многие экономические параметры (цены на продукцию и сырье,
запасы сырья, спрос на рынке, заработная плата и т.д.) с течением времени меняют
свои значения. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП, полученное для
конкретной экономической ситуации, после ее изменения может оказаться
непригодным или неоптимальным. В связи с этим возникает задача анализа
чувствительности задачи ЛП, а именно того, как возможные изменения параметров
исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение.
Ограничения линейной модели классифицируются следующим образом
(рис.3.1). Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку,
например (1) и (2). Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную
точку, например (3), (4) и (5). Аналогично ресурс, представляемый связывающим
ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим
ограничением, – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том
случае, если его исключение не влияет на область допустимых решений и,
следовательно, на оптимальное решение, например, (5). Выделяют следующие три
задачи анализа на чувствительность.
1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов:
1) на сколько можно увеличить (ограничения типа  ) или уменьшить
(ограничения типа  ) запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального
значения ЦФ?
2) на сколько можно уменьшить (ограничения типа  ) или увеличить
(ограничения типа  ) запас недефицитного ресурса при сохранении полученного
оптимального значения ЦФ?
2. Увеличение (уменьшение) запаса какого из ресурсов наиболее
выгодно?
3. Анализ изменения целевых коэффициентов: каков диапазон изменения
коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?
1.3.2. Графический анализ оптимального решения на чувствительность
Область допустимых решений задачи на рис.3.1 – многоугольник ОABCDE.
Если связывающее ограничение (дефицитный ресурс) (2) передвигать до точки F, то
это приведет к расширению области допустимых решений до многоугольника
ОABCFE и к получению нового оптимального решения в точке F. При этом
ограничение (2) станет избыточным. Новое решение (F) лучше прежнего (C),
поскольку для пересечения с точкой F линия ЦФ должна пройти по направлению
вектора (выходящего из начала координат и показывающего направление
максимизации ЦФ) дальше точки С (рис.3.2).
(3)
(5)
(2)
(4)
В
А
С
F
D
О
(1)
Е
LX   max
Рис.3.1. Исходная задача ЛП для графического анализа чувствительности
(3)
(5)
(2)
(4)
В
А
С
F
(1)
О
E
LX   max
Рис.3.2. Анализ максимального изменения запаса
дефицитного ресурса (2) с целью улучшения оптимального решения C  F
Таким образом, чтобы графически определить максимальное изменение
запаса дефицитного ресурса, улучшающее оптимальное решение, необходимо
передвигать соответствующую прямую в направлении улучшения ЦФ до тех пор,
пока это ограничение не станет избыточным.
Графический анализ максимально возможного изменения запаса
недефицитного ресурса показан на рис.3.3. Передвинем несвязывающее
ограничение (3) до пересечения с оптимальным решением в точке С.
(5)
(4)
(2)
(3)
С
F
G
(1)
D
О
E
LX   max
Рис.3.3. Анализ максимального изменения запаса
недефицитного ресурса (3), не изменяющего оптимальное решение С
Это соответствует уменьшению запаса недефицитного ресурса (3), который в
оптимальной точке С исходной задачи (см. рис.3.1) расходовался не полностью.
Областью допустимых решений станет многоугольник OGCDE. Оптимальное
решение останется прежним (точка С). Таким образом, чтобы графически
определить максимальное изменение запаса недефицитного ресурса, не меняющее
оптимального решения, необходимо передвигать соответствующую прямую до
пересечения с оптимальной точкой.
Для того чтобы выяснить, запас какого из дефицитных ресурсов выгоднее
увеличивать в первую очередь, необходимо определить, какую пользу (например,
прибыль) принесет увеличение запасов каждого из них на единицу. Для этих целей
вводится понятие ценности дополнительной единицы i-го ресурса (теневая цена):
max приращение оптимального значения LX 
.
yi 
max допустимый прирост объема i - го ресурса
То есть сначала наращивается запас ресурса, имеющего максимальное значение y i ,
затем – второе по величине и т.д.
Графический анализ изменения целевых коэффициентов (например, цен на
производимую продукцию), не приводящих к изменению оптимального решения,
проводится путем вращения линии ЦФ. При увеличении коэффициента ЦФ c1 или
уменьшении коэффициента c2 целевая прямая на графике вращается вокруг
оптимальной точки по часовой стрелке. Если c1 уменьшается или же увеличивается
c2 , то целевая прямая вращается вокруг оптимальной точки против часовой стрелки
(рис.3.4).
Уменьшение цены 1 ( c1 )
или уменьшение
цены 2 ( c2 )
(2)
(3)
(4)
Н
С
(5)

c
(1)
J
Увеличение
LX   max
цены 1 ( c1 )
или уменьшение
цены 2 ( c2 )
Рис.3.4. Анализ изменения коэффициентов c1 и c2 ЦФ
Зафиксируем значение c2 . Оптимальное решение в точке С не будет меняться
при увеличении c1 до тех пор, пока целевая прямая не совпадет с прямой (2).
Аналогично оптимальное решение в точке С не будет меняться при уменьшении c1
до тех пор, пока целевая прямая не совпадет с прямой (1).
При таких поворотах точка С будет оставаться оптимальной до тех пор, пока
наклон целевой прямой не выйдет за пределы, определяемые наклоном прямых
ограничений (1) и (2). Если целевая прямая выйдет за пределы наклона (1) или (2),
то оптимальной станет соответственно точка H или J.
Таким образом, нижний и верхний пределы изменения цены 1 определяются
значениями коэффициента c1 , при которых наклон целевой прямой совпадает
соответственно с наклонами прямых ограничений (1) и (2).
1.3.3. Анализ оптимального решения на чувствительность в Excel
Проведем анализ чувствительности задачи о мебельном комбинате из
лабораторной работы №2 (часть I). Для этого необходимо после запуска в Excel
задачи на решение в окне "Результаты поиска решения" выделить с помощью
мыши два типа отчетов: "Результаты" и "Устойчивость" (рис.3.5).
Рис.3.5. Выделение типов отчетов требуемых для анализа чувствительности
1.3.3.1. Отчет по результатам
Отчет по результатам состоит из трех таблиц (рис.3.6):
1) таблица 1 содержит информацию о ЦФ;
2) таблица 2 содержит информацию о значениях переменных, полученных в
результате решения задачи;
3) таблица 3 показывает результаты оптимального решения для ограничений
и для граничных условий.
Рис.3.6. Лист отчета по результатам
Если ресурс используется полностью (то есть ресурс дефицитный), то в графе
"Статус" ("Состояние") соответствующее ограничение указывается как
"связанное"; при неполном использовании ресурса (то есть ресурс недефицитный)
в этой графе указывается "не связан". В графе "Значение" приведены величины
использованного ресурса.
Для граничных условий (строки 24, 25, 26 на рис. 3.6) в графе "Разница"
показана разность между значением переменной в найденном оптимальном
решении и заданным для нее граничным условием.
Таблица 3 отчета по результам дает информацию для анализа возможного
изменения запасов недефицитных ресурсов при сохранении полученного
оптимального значения ЦФ. Так, если на ресурс наложено ограничение типа  , то в
графе "Разница" дается количество ресурса, на которое была превышена
минимально необходимая норма. Например, анализ строки 26 (см. рис. 3.6) отчета
по результатам для задачи о мебельном комбинате показывает, что полок выпущено
на 70 шт. больше, чем было заказано. То есть из 120 полок только 70 шт. пойдут в
свободную продажу. Таким образом, можно дать следующий ответ на вопрос об
изменении запаса недефицитного ресурса “Значение XB2”: обязательный заказ на
производство полок В2 можно увеличить на 70 шт., то есть заказывать до 120
шт., и при этом оптимальное решение (2.20) задачи не изменится.
Если на ресурс наложено ограничение типа  , то в графе "Разница" дается
количество ресурса, которое не используется при реализации оптимального
решения. Так, анализ строки 13 (см. рис. 3.6) отчета по результатам для задачи о
мебельном комбинате показывает, что время столярных работ составило 4440 ч.
Неизрасходованным остается 2640 ч из общего фонда времени, отведенного на
столярные работы. Из этого следует, что запас недефицитного ресурса “Фонд
времени по столярным работам” можно уменьшить на 2640 ч и это никак не
повлияет на оптимальное решение (2.20). Отсюда следует, что количество столяров
можно уменьшить на 15 человек
2640 ч мес.
 15 чел.
8 ч чел.  см. 1см. дн.  22 дн. мес.
или перевести их на выпуск другой продукции.
Анализ строки 23 показывает, что общее количество выпускаемых полок
составляет 1220 шт., что меньше предполагаемой емкости рынка на 4080 шт.
То есть запас недефицитного ресурса “Емкость рынка” может быть уменьшен
до 1220 полок и это никак не повлияет на оптимальное решение (2.20). Другими
словами, уменьшение спроса до 1220 полок в месяц никак не скажется на
оптимальных объемах выпуска полок.
На основании проведенного анализа можно сделать вывод о том, что
существуют причины (ограничения), не позволяющие мебельному комбинату
выпускать большее количество полок и получать большую прибыль.
Проанализировать эти причины позволяет отчет по устойчивости.
1.3.3.2. Отчет по устойчивости
Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц (рис.3.7).
Таблица 1 содержит информацию, относящуюся к переменным.
1. Результат решения задачи.
2. Нормированная стоимость, которая показывает, на сколько изменится
значение ЦФ в случае принудительного включения единицы этой продукции в
оптимальное решение. Например, в отчете по устойчивости для рассматриваемой
задачи (см. рис.3.7) нормированная стоимость для полок В1 равна –20 руб./шт.
(строка 5). Это означает, что если мы, несмотря на оптимальное решение (2.20),
потребуем включить в план выпуска 1 полку В1, то новый план выпуска ( x A  1100 ;
x B1  1 ; x B2  119 ) принесет нам прибыль 106 180 руб./мес., что на 20 руб. меньше,
чем в прежнем оптимальном решении.
3. Коэффициенты ЦФ.
4. Предельные значения приращения целевых коэффициентов c j , при
которых сохраняется первоначальное оптимальное решение. Например, допустимое
увеличение цены на полки В1 равно 20 руб./шт., а допустимое уменьшение –
практически не ограничено (строка 5 на рис.3.7). Это означает, что если цена на
полки В1 возрастет более чем на 20 руб./шт., например станет равной 61 руб./шт., то
оптимальное решение изменится: станет целесообразным выпуск В1 в количестве 70
шт. А если их цена будет снижаться вплоть до нуля, то оптимальное решение (2.20)
останется прежним.
Примечание 3.1. При выходе за указанные в отчете по устойчивости пределы
измения цен оптимальное решение может меняться как по номенклатуре
выпускаемой продукции, так и по объемам выпуска (без изменения номенклатуры).
Рис.3.7. Отчет по устойчивости для задачи о мебельном комбинате
Таблица 2 (см. рис.3.7) содержит информацию, относящуюся к ограничениям.
1. Величина использованных ресурсов в колонке "Результ. значение".
2. Предельные значения приращения ресурсов bi . В графе "Допустимое
Уменьшение" показывают, на сколько можно уменьшить (устранить излишек) или
увеличить (повысить минимально необходимое требование) ресурс, сохранив при
этом оптимальное решение. Рассмотрим анализ дефицитных ресурсов, так как
анализ недефицитных ресурсов был дан в подразд.3.3.3.1. Анализируя отчет по
результатам, мы установили, что существуют причины (ограничения), не
позволяющие мебельному комбинату выпускать большее, чем в оптимальном
решении, количество полок и получать более высокую прибыль. В рассматриваемой
задаче (вариант 0) такими ограничениями являются дефицитные ресурсы “Емкость
сушилки” и “Емкость склада готовой продукции”. Поскольку знак ограничений этих
запасов имеет вид  , то возникает вопрос, на сколько максимально должна возрасти
емкость этих помещений, чтобы обеспечить увеличение выпуска продукции. Ответ
на этот вопрос показан в графе "Допустимое Увеличение". Емкость сушилки
имеет смысл увеличить самое большее на 70 полок, а емкость склада готовой
продукции – на 80 полок. Это приведет к новым оптимальным решениям,
увеличивающим прибыль по сравнению с (2.20). Дальнейшее увеличение емкостей
сушилки и склада сверх указанных пределов не будет больше улучшать решение,
т.к. уже другие ресурсы станут связывающими.
3. Ценность дополнительной единицы i-го ресурса (теневая цена)
рассчитывается только для дефицитных ресурсов. После того как мы установили,
что увеличение емкостей сушилки и склада приведет к новым планам выпуска,
обеспечивающим более высокую прибыль, возникает следующий вопрос. Что
выгоднее в первую очередь расширять: сушилку или склад? Ответ на этот вопрос
дает графа "Теневая цена". Для емкости сушилки она равна 30 руб./шт., а для
склада – 60 руб./шт. (см. рис.3.7), то есть каждая полка, которую дополнительно
можно будет поместить в сушилку, увеличит прибыль на 30 руб., а каждая полка,
которую дополнительно можно будет поместить на склад, увеличит прибыль на 60
руб. Отсюда вывод: в первую очередь выгодно увеличивать емкость склада готовой
продукции.
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Что такое связывающие, несвязывающие, избыточные ограничения;
дефицитные и недефицитные ресурсы?
2. Каковы предпосылки и основные задачи анализа оптимального решения на
чувствительность?
3. Как графически проводится анализ изменения запаса дефицитных ресурсов?
4*. Каким образом, опираясь на результаты графического анализа, можно
численно рассчитать новый (улучшенный) запас дефицитного ресурса?
5. Как графически проводится анализ изменения запаса недефицитных
ресурсов?
6*. Каким образом, опираясь на результаты графического анализа, можно
численно рассчитать новый запас недефицитного ресурса?
7. Что такое ценность дополнительной единицы i-го ресурса?
8. Как проводится графический анализ изменения коэффициентов ЦФ?
9*. Как численно определить диапазон изменения коэффициентов ЦФ, не
изменяющий оптимального решения?
10. Какую информацию о чувствительности оптимального решения задачи ЛП
можно получить из отчета по результатам и отчета по устойчивости?
11. Проанализируйте на чувствительность задачу о производстве полок
(согласно своему варианту)?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ СРЕДСТВАМИ ТАБЛИЧНОГО
ПРОЦЕССОРА MS EXCEL
1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков решения задач оптимизации в табличном редакторе
Microsoft Excel.
1.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Для производства столов и шкафов мебельная фабрика использует
необходимые ресурсы. Нормы затрат ресурсов на одно изделие данного вида,
прибыль от реализации одного изделия и общее количество имеющихся ресурсов
каждого вида приведены в следующей таблице:
Ресурсы
Древесина:
1 вида
2 вида
Трудоемкость
(человеко-часов)
Нормы затрат Обще
ресурсов на
е
стол
шкаф
одно изделие коли
чест
0,2
0,1
40
во
0,1
0,3
60
ресу
1,2
1,5
371,4
рсов
Прибыль
от
реализации
одного изделия
(руб.)
6
8
Определить, сколько столов и шкафов фабрике следует изготовлять, чтобы
прибыль от их реализации была максимальной.
Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель.
Процесс построения модели можно начать с ответа на следующие три вопроса:
1. Для определения каких величин строится модель?
2. В чем состоит цель, для достижения которой из множества всех
допустимых значений переменных выбираются оптимальные?
3. Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные?
В данном случае мебельной фабрике необходимо спланировать объем
производства столов и шкафов так, чтобы максимизировать прибыль. Поэтому
переменными являются: х1 - количество столов, х2 - количество шкафов
Суммарная прибыль от производства столов и шкафов равна z=6*x1+8*x2.
Целью фабрики является определение среди всех допустимых значений х1 и х2
таких, которые максимизируют суммарную прибыль, т.е. целевую функцию z
Ограничения, которые налагаются на х1 и х2:
 объем производства шкафов и столов не может быть отрицательным,
следовательно: х1, х2  0.
 нормы затрат древесины на столы и шкафы не может превосходить
максимально возможный запас данного исходного продукта, следовательно:
0.2x1+ 0.1x2 40
0.1x1 +0.3x2 60
Кроме того, ограничение на трудоемкость не превышает количества
затрачиваемых ресурсов
1.2x1+ 1.5х2  371.4
Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид:
Максимизировать
z = 6х1 + 8х2
при следующих ограничениях:
0.2x1+ 0.1x2 40
0.1x1 +0.3x2 60
1.2x1+ 1.5х2  371.4
Данная модель является линейной, т.к. целевая функция и ограничения линейно
зависят от переменных.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
1. Отвести ячейки A3 и ВЗ под значения переменных х1 и х2 (рис. 1).
Рис. 1. Диапазоны, отведенные под переменные, целевую функцию и
ограничения
2. В ячейку С4 ввести функцию цели: =6*АЗ+8*ВЗ, в ячейки А7:А9 ввести
левые части ограничений:
=0,2*А3+0,1*ВЗ
=0,1*А3+0,3*ВЗ
= 1,2*АЗ+1,5*ВЗ,
а в ячейки В7:В9 - правые части ограничений. (рис.1.)
3. Выбрать команды Сервис/Поиск решения и заполнить открывшееся
диалоговое окно Поиск решения как показано на рис 2. Средство поиска решений
является одной из надстроек Excel. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск
решения, то для ее установки необходимо выполнить команду Сервис/
Надстройки/ Поиск решения.
Для ввода ограничений нажмите кнопку Добавить.
Внимание! В диалоговом окне Параметры поиска решения необходимо
установить флажок Линейная модель (Рис.3.).
Рис. 2. Диалоговое окно Поиск решения задачи о максимизации прибыли на
фабрике
Рис 3. Параметры поиска решения
4. После нажатия кнопки Выполнить открывается окно Результаты поиска
решения, которое сообщает, что решение найдено (рис. 4).
Рис. 4. Результаты поиска решения
5. Результаты расчета задачи представлены на рис. 5, из которого видно, что
оптимальным является производство 102 столов и 166 шкафов Этот объем
производства принесет фабрике 1940 руб. прибыли.
Рис. 5. Результаты расчета
Задание 2 «Транспортная задача»
Контрольный пример
Фирма имеет 4 фабрики и 5 центров распределения ее товаров. Фабрики фирмы
располагаются в Денвере, Бостоне, Новом Орлеане и Далласе с производственными
возможностями 200, 150, 225 и 175 единиц продукции ежедневно, соответственно.
Центры распределения товаров фирмы располагаются в Лос-Анджелесе, Далласе,
Сент-Луисе, Вашингтоне и Атланте с потребностями в 100, 200, 50, 250 и 150 единиц
продукции ежедневно, соответственно. Хранение на фабрике единицы продукции, не
поставленной в центр распределения, обходится в $0,75 в день, а штраф за
просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем в центре
распределения, но там не находящейся, равен $2,5 в день Стоимость перевозки
единицы продукции с фабрик в пункты распределения приведена в таблице
"Транспортные расходы":
Таблица "Транспортные расходы"
1
2
3
4
5
ЛосДаллас Сен- Вашин- Атланта
Анджелес
Луис гтон
1 Денвер
1,50
2,00
1,75
2,25
2,25
2 Бостон
2,50
2,00
1,75
1,00
1,50
3 Новый
Орлеан
4 Даллас
2,00
1,50
1,50
1,75
1,75
2,00
0,50
1,75
1,75
1,75
Необходимо так спланировать перевозки, чтобы минимизировать суммарные
транспортные расходы.
 Поскольку данная модель сбалансирована (суммарный объем произведенной
продукции равен суммарному объему потребностей в ней), то в этой модели не надо
учитывать издержки, связанные как со складированием, так и с недопоставками
продукции.
Для решения данной задачи построим ее математическую модель.
4
5
Z   cij xij
i 1 j 1
Неизвестными в данной задаче являются объемы перевозок. Пусть xij - объем
перевозок с i-ой фабрики в j-й центр распределения. Функция цели - это
суммарные транспортные расходы, т. е. где сij – стоимость перевозки единицы
продукции с i-и фабрики j-й центр распределения.
Неизвестные в данной задаче должны удовлетворять следующим
ограничениям:
 Объемы перевозок не могут быть отрицательными.
 Так как модель сбалансирована, то вся продукция должна быть вывезена с
фабрик,
а потребности всех центров распределения должны быть полностью
удовлетворены.
В результате имеем следующую модель: Минимизировать:
4
5
Z   cij xij
i 1 j 1
при ограничениях:
4
x
i 1
ij
 bij , j  [1,5]
xij  0, i [1,4], j [1,5
4
x
i 1
ij
 а i , i [1,4],
где aij - объем производства на i-й фабрике, bj — спрос в j-м центре
распределения.
Решение задачи с помощью MS Excel.
1. Ввести данные, как показано на рис. 6.
В ячейки А1:Е4 введены стоимости перевозок. Ячейки А6:Е9 отведены под
значения неизвестных (объемы перевозок). В ячейки G6:G9 введены объемы
производства на фабриках, а в ячейки А11:Е11 введена потребность в
продукции в пунктах распределения. В ячейку F10 введена целевая функция
=СУММПРОИЗВ(А1:Е4;А6:Е9).
Рис. 6. Исходные данные транспортной задачи
В ячейки А10:Е10 введены формулы
=СУММ(А6:А9)
=СУММ(В6:В9)
=СУММ(С6:С9)
=СУММ(06:О9)
=СУММ(Е6:Е9) определяющие объем продукции, ввозимой
распределения.
в центры
В ячейки F6:F9 ведены формулы
=СУММ(А6:Е6)
=СУММ(А7:Е7)
=СУММ(А8:Е8)
=СУММ(А9:Е9) вычисляющие объем продукции, вывозимой с фабрик.
2. Выбрать команду Сервис/Поиск решения и заполнить открывшееся
диалоговое окно Поиск решения, как показано на рис. 7.
Внимание! В диалоговом окне Параметры поиска решения необходимо
установить флажок Линейная модель.
Рис. 7. Диалоговое окно Поиск решения для транспортной задачи
3. После нажатия кнопки Выполнить средство поиска решений находит
оптимальный план поставок продукции и соответствующие ему транспортные
расходы (рис. 8).
Рис. 8. Оптимальное решение транспортной задачи
1.
2.
3.
4.
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
Построить математическую модель задачи, согласно Вашего варианта.
Решить задачу с помощью средства MS Exscel Поиск решения.
Как строится математическая модель?
По какой структуре решается задача в программе MS Exscel?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
СИМПЛЕКС- МЕТОДОМ.
1.3. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Решить задачу линейного программирования тремя способами: 1) графическим
методом; 2) симплекс – методом; 3) при помощи средства «Поиск решения» в
Microsoft Excel.
1.4. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
 Графический способ решения задач линейного программирования в случае 2
независимых переменных (хотя возможно решение в случае 3 переменных).
Алгоритм решения задач: 1) изобразить область, соответствующую системе
неравенств 2) если целевая функция имеет вид: f(x1,x2)=c1x1+c2x2, то очевидно:
f
f
 c1 ;
 c 2 . Следовательно вектор градиента имеет вид: grad(f)=(c1,c2). На
x1
x 2
плоскости изобразить вектор градиента и перпендикулярную ему линию уровня
функции f 3) для нахождения максимума функции f требуется перемещать линию
уровня параллельным переносом в направлении вектора градиента. Для
нахождения минимума линию уровня следует перемещать в направлении
противоположном градиенту. Перемещение линии уровня продолжать до тех
пор, пока она имеет общие точки с областью допустимых решений 4) при
достижении «крайнего положения» перемещение прекратить, зафиксировать
полученный ответ. В зависимости от конкретной задачи ответом может служить:
одна точка; все точки некоторого отрезка; бесконечно удаленная точка.
 Симплекс-метод. Идея метода заключается в следующем: в качестве начального
приближения рассматривается координата некоторой вершины многогранника
допустимых решений. Требуется найти все ребра, исходящие из этой вершины.
Путем движения вдоль ребра, по которому целевая функция убывает, придем в
новую вершину. Далее требуется найти все ребра, выходящие из полученной
вершины и продолжить процедуру. После конечного числа шагов придем в
такую вершину, движение из которой невозможно, т.к. вдоль всех ребер,
выходящих из этой вершины целевая функция возрастает. Координаты
полученной вершины являются решением задачи.
 Способ поиска максимума или минимума функции помощи средства «Поиск
решения» в Microsoft Excel основывается на встроенных функциональных
возможностях программы Microsoft Excel. Краткий алгоритм: 1) в меню
«Сервис» в разделе «Надстройки» необходимо активизировать функцию «поиск
решения» 2) выделить область листа размером 2х2, в ячейки этой области будут
занесены результаты решения, а именно координаты точки максимума или
минимума, соответственно 3) в соседних клетках ввести значения, которые
лежат в левой и правой частях неравенств 4) в отдельной таблице размера 1х2
запишем значение целевой функции 5) вызвать средство «поиск решения», в
качестве целевой ячейки выбрать ту, в которой хранится значение целевой
функции, выбрать вариант максимум или минимум, в окне «изменяя ячейки»
указать ячейки, содержащие x1 и x2, добавить каждое из ограничений, указав в
виде ссылки ячейку левой части неравенства и правой части, выставив между
ними требуемый знак 6) в параметрах установить неотрицательные значения 7)
нажав на кнопку «выполнить», получить результат.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
Найти максимум и минимум функции F ( x1, x2 )  3x1  3x2 при заданных
ограничениях:
 x1  2 x2  2
 2 x  x  6
1
2

2 x1  x2  6

 x1  2 x2  6
 x1  0

 x2  0
Решить задачу линейного программирования тремя способами:
 симплекс-методом
 графическим методом
 средством «Поиск решения» в программе Microsoft Excel
1. Решим поставленную задачу графическим методом.
Изобразим область допустимых решений, соответствующую
ограничений-неравенств.
 x1  2 x2  2
 2 x  x  6
1
2

2 x1  x2  6

 x1  2 x2  6
 x1  0

 x2  0
l1 : x1  2 x2  2
l2 : 2 x1  x2  6
l3 : 2 x1  x2  6
l4 : x1  2 x2  6
2;0
0;6
0;6
0;3
4;1
1;8
1;4
2;2
системе
x2
l2
l1
l3
grad F(x1,x2)
A
1
l4
x1
1
f0
 F x1 , x2  F x1 , x2  
  3,3
,
x2
 x1

Найдем градиент функции F x1, x2  : grad F x1 , x2   
На плоскости переменных x1 и x2 изобразим вектор-градиент grad F x1, x2  и
перпендикулярную ему линию уровня f 0 . Перемещая линию уровня вдоль вектораградиента, мы придем в бесконечность, т.е. f max   . Таким образом, исследуемая
функция не имеет точки максимума. Перемещая линию уровня в направлении
антиградиента  grad F x1, x2 , получим «точку выхода» с координатами A(2;2). При
этом исследуемая функция принимает свое минимальное значение равное
F (2,2)  3  2  3  2  12
2. Решим поставленную задачу симплекс-методом.
Найдем минимум исследуемой функции.
F ( x1, x2 )  3x1  3x2  min
 x1  2 x2  2
 2 x  x  6
1
2

2 x1  x2  6

 x1  2 x2  6
 x1  0

 x2  0
Так как симплекс-метод разработан для задач линейного программирования в
канонической форме, то требуется перейти от ограничений-неравенств к
ограничениям-равенствам путем введения балансовых переменных.
 x1  2 x2  x3  2
 2 x  x  x  6

1
2
4

2 x1  x2  x5  6
 x1  2 x2  x6  6
(1)
Из системы уравнений (1) видно, что в качестве свободных переменных проще всего
выбрать x1, x2 . Тогда базисные переменные x3 , x4 , x5 , x6 выражаются через свободные
так:
 x3
x
 4

 x5
 x6
  x1  2 x2  2
 2 x1  x2  6
(2)
 2 x1  x2  6
 x1  2 x2  6
Если положить все свободные переменные равные нулю, то, используя систему
уравнений (2), получим базисное решение:
x1  0 x2  0 x3  2 x4  6 x5  6 x6  6
Это базисное решение является недопустимым, так как не выполняются условия:
x5  0 x6  0
Пусть x2  0 . Тогда из системы уравнений (2) следует, что:
 x1  2  0
 x1  2
 x  3
2 x  6  0

 1
  1
 x1  6

 x1  3
2 x1  6  0
 x1  6
 x1  6  0
Используя систему уравнений (2) найдем базисное решение с учетом x1  6 :
x1  6 x2  0 x3  4 x4  18 x5  6 x6  0
Так как свободными переменными стали x2 и x6 , то необходимо «переразрешить»
систему уравнений (2), а именно выразить переменную x1 , ставшей базисной, через
переменные x2 , x6 и подставить полученное выражение в оставшиеся уравнения
системы:
 x1  2 x2  x6  6
 x   2 x  x  6  2 x  2
 3
2
6
2

 x4  2   2 x2  x6  6  x2  6
 x5  2   2 x2  x6  6  x2  6

 x1  2 x2  x6  6
x  4x  x  4
 3
2
6

 x4  5 x2  2 x6  18
 x5  3x2  2 x6  6
(3)
Этому набору свободных и базисных переменных соответствует базисное решение:
x1  6 x2  0 x3  4 x4  18 x5  6 x6  0
Значение целевой функции при данном базисном решении:
F ( x1 , x2 )  3x1  3x2  3   2 x2  x6  6  3x2  3x2  3x6  18  18
Найденное базисное решение является недопустимым, поскольку не выполняется
условие
x3  0
В выражении целевой функции F ( x1 , x2 )  3x2  3x6  18 , которая выражена через
свободные переменные x2 и x6 , коэффициент при x2 отрицателен. Значит,
увеличивая x2 , можно уменьшить значение целевой функции F ( x1, x2 ) .
Пусть x6  0 . Тогда из системы уравнений (3) следует, что:
  2 x2  6  0
 x2  3
4 x  4  0
x  1
 2
 2

 x2  2



5
x

18

0
x

3
.
6
2
2


 3 x2  6  0
 x2  2
Используя систему уравнений (3) найдем базисное решение с учетом x2  2 :
x1  2 x2  2 x3  4 x4  8 x5  0 x6  0
Так как свободными переменными стали x5 и x6 , то необходимо «переразрешить»
систему уравнений (3), а именно выразить переменную x2 , ставшей базисной, через
переменные x5 , x6 и подставить полученное выражение в оставшиеся уравнения
системы:
1
2

 x2   3 x5  3 x6  2

 x  2    1 x  2 x  2   x  6

 6
5
6
 1
3
 3



 x3  4    1 x5  2 x6  2   x6  4

3
 3


 x  5    1 x  2 x  2   2 x  18
4
5
6
6
3
 3


2
1

 x1  3 x5  3 x6  2

x   1 x  2 x  2
5
6
 2
3
3

x   4 x  5 x  4
5
6
 3
3
3

5
4
 x4  x5  x6  8
3
3

(4)
Этому набору свободных и базисных переменных соответствует базисное решение:
x1  2 x2  2 x3  4 x4  8 x5  0 x6  0
Значение целевой функции при данном базисном решении:
2
 1

F ( x1 , x2 )  3 x2  3x6  18  3    x5  x6  2   3x6  18  x5  x6  12  12
3
 3

Найденное базисное решение является допустимым, поскольку xi  0, i  1,6 .
В выражении целевой функции коэффициенты при свободных переменных x5 и x6
неотрицательны. Значит, найденное базисное решение является оптимальным, т.е.
решение x1  2 x2  2 доставляет минимум целевой функции F ( x1, x2 )  3x1  3x2 ,
значение которого равно 12.
Найдем максимум исследуемой функции.
F ( x1, x2 )  3x1  3x2  max
 x1  2 x2  2
 2 x  x  6
1
2

2 x1  x2  6

 x1  2 x2  6
 x1  0

 x2  0
Для того, чтобы применить симплекс-метод необходимо перейти от задачи
максимизации к эквивалентной задаче минимизации и от ограничений-неравенств к
ограничениям-равенствам. Задача, удовлетворяющая указанным требованиям и
эквивалентная исходной, будет выглядеть следующим образом:
F ' ( x1 , x2 )  3x1  3x2  min
 x1  2 x2  x3  2
 2 x  x  x  6

1
2
4
(5)

2 x1  x2  x5  6
 x1  2 x2  x6  6
Из системы уравнений (5) видно, что в качестве свободных переменных проще всего
выбрать x1, x2 . Тогда базисные переменные x3 , x4 , x5 , x6 выражаются через свободные
так:
 x3   x1  2 x2  2
x  2x  x  6
 4
1
2

 x5  2 x1  x2  6
 x6  x1  2 x2  6
(6)
Если положить все свободные переменные равные нулю, то, используя систему
уравнений (6), получим базисное решение:
x1  0 x2  0 x3  2 x4  6 x5  6 x6  6
Это базисное решение является недопустимым, так как не выполняются условия:
x5  0 x6  0
Пусть x1  0 . Тогда из системы уравнений (6) следует, что:
 x3  0
2 x 2  2  0
 x2
x  0
x
 x  6  0

 4
 2
 
  2

 x2
 x5  0
 x2  6  0
 x2
 x6  0
2 x2  6  0
x2  6
 1
6
6
(7)
3
Используя систему уравнений (6) найдем базисное решение с учетом x2  6 :
x1  0
x2  6
x3  14
x4  0
x5  0
x6  6
Так как свободными переменными стали x1 , x4 и x5 , то необходимо «переразрешить»
систему уравнений (6), а именно выразить переменную x2 , ставшей базисной, через
переменные x1 , x4 , x5 и подставить полученное выражение в оставшиеся уравнения
системы:
 x2  2 x1  x4  6
 x  2 x  x  6
 2
1
5

 x3   x1  2 x2  2
 x6  x1  2 x2  6
В полученной системе уравнений имеются два выражения для базисной переменной
x2 . Так как ограничивающим неравенством в системе неравенств (7) является
неравенство x2  6 , соответствующее неравенству x4  0 , то из двух выражений для
базисной переменной x2 следует выбрать выражение x2  2x1  x4  6 :
 x2  2 x1  x4  6

 x3   x1  2  2 x1  x4  6  2 
 x  x  2  2 x  x  6  6
1
1
4
 6
 x2  2 x1  x4  6

 x3  3x1  2 x4  14 (8)
x  5x  2 x  6
1
4
 6
Этому набору свободных и базисных переменных соответствует базисное решение:
x1  0
x2  6
x3  14
x4  0
x5  0
x6  6
Значение целевой функции при данном базисном решении:
F ' ( x1, x2 )  3x1  3x2  3x1  3  2x1  x4  6  9x1  3x4  18  18
Найденное базисное решение является допустимым, поскольку xi  0, i  1,6 .
В выражении целевой функции F ' ( x1, x2 )  9x1  3x4 18 , которая выражена через
свободные переменные x1 и x4 , коэффициент при x1 отрицателен. Значит,
увеличивая x1 , можно уменьшить значение целевой функции F ' ( x1, x2 ) .
Пусть x4  0 . Тогда из системы уравнений (8) следует, что:
2 x1  6  0
 x1  3


3x1  14  0   x1  4.(6)
5 x  6  0
 x  1.2
 1
 1
(9)
Из системы неравенств (9) видно, что свободная переменная x1 неограниченна
сверху. Это значит, что ее значение можно увеличивать до бесконечности. При этом
минимальное значение целевой функции F ' ( x1, x2 ) равно   . Возвращаясь к
первоначальной задаче, делаем вывод, что исследуемая функция F ( x1, x2 )  3x1  3x2 не
имеет точки максимума.
3. Решим поставленную задачу с помощью средства «Поиск решения» в
программе Microsoft Excel.
Структура листа в Microsoft Excel.
x1
x2
F
0
0
=3*A2+3*B2
Ограничение 1 =A2-2*B2
2
Ограничение 2 =-2*A2+B2
6
Ограничение 3 =2*A2+B2
6
Ограничение 4 =A2+2*B2
6
Найдем минимум исследуемой функции F ( x1, x2 )  3x1  3x2 :
x1
2
x2
2
F
12
Найдем максимум исследуемой функции F ( x1, x2 )  3x1  3x2 :
x1
x2
F
107374184,4 107374184,4 644245106,4
Так как графический и симплекс-методы показали, что исследуемая целевая
функция F ( x1, x2 )  3x1  3x2 не имеет максимума, то можно сделать вывод, что
полученный результат является неверным и был получен в результате достижения
предельного значения представления чисел в Microsoft Excel.
Вывод.
В результате проделанной работы были приобретены навыки при решении
задач линейного программирования с помощью графического метода, симплексметода и при помощи средства «Поиск решения» в Microsoft Excel.
1.5. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1.Как решается задача графическим методом?
2. Как решается задача симплекс-методом?
3. Как решается задача с помощью средств «Поиск решения»?
4. Зачем перепроверяют решение задачи разными методами?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7
РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ СРЕДСТВАМИ
ПРОЦЕССОРА EXCEL
ТАБЛИЧНОГО
1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков решения транспортной задачи средствами табличного
процессора Microsoft Excel.
1.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Для модели ТЗ найдите оптимальное решение в табличном редакторе
Microsoft Excel и продемонстрируйте его преподавателю.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL ДЛЯ
РЕШЕНИЯ ТЗ
Для решения классической транспортной задачи с помощью программы
Ms Excel необходимо задать конкретные значения параметрам исходной
задачи. Для определения рассмотрим задачу оптимального планирования
перевозок бензина некоторой марки между нефтеперерабатывающими
заводами (НПЗ) и автозаправочными станциями (АЗС). В этом случае в
качестве транспортируемого продукта рассматривается бензин, в качестве
пунктов производства- 3 нефтеперерабатывавающих завода (т=3), а в качестве
пунктов потребления- 4 автозаправочные станции (п=4).
Объемы производства бензина следующие: НПЗ №1- 10 т, НПЗ №2- 14 т,
НПЗ №3- 17 т. Объемы потребления бензина следующие: АЗС №1-15 п, АЗС
№2- 12 п, АЗС №3-8,5 т, АЗС №4-5,5 т. Стоимость транспортировки одной
тонны бензина между НПЗ и АЗС заданна в форме следующей таблицы:
Таблица 2.1. Стоимость транспортировки бензина
Между НПЗ и АЗС (в тысяч тенге)
Пункты потребления /
Пункты производства
НПЗ №1
АЗС №1
АЗС №2
АЗС №3
АЗС №4
3
5
7
11
НПЗ №2
1
4
6
3
НПЗ №3
5
8
12
7
Соответствующая
математическая
постановка
рассматриваемой
индивидуальной транспортной задачи может быть записана в следующем виде:
3х11+5х12+7х13+11х14+х21+4х22+6х23+3х24+ (2.6)
min .
+5х31+8х32+12х33+7х34→ 

где множество допустимых альтернатив
системой ограничений типа равенств:

формируется следующей
 х11  х12  х13  х14  10;
 х  х  х  х  14;
23
24
 21 22
 х31  х32  х33  х34  17

 х11  х21  х31  15;

 х12  х22  х32  12;
 х13  х23  х33  8,5;

 х14  х24  х34  5,5;
 х  0, i  1,2,3, j  1,2,3,4.
 ij
(2.7)
Заметим, что первые 3 ограничения данной задачи соответствуют общему
ограничению (2.2), следующие 4 ограничения- общему ограничению (2.3), а
последнее ограничение- общему ограничению (2.5).
При этом общее ограничение (2.4), соответствующее требованию
сбалансированности транспортной задачи не входит в математическую модель
рассматриваемой индивидуальной задачи. Это вполне допустимо, поскольку
непосредственная проверка позволяет установить выполнение общего
ограничения (2.4), а значит, исходная транспортная задача (2.6) и (2.7) является
сбалансированной.
Для решения сформулированной индивидуальной транспортной задачи с
помощью программы MS Excel создадим в книге Линейное программирование
новый лист и изменим его имя на Транспортная задача. Для решения задачи
выполним следующие подготовительные действия:
1.Внесем необходимые надписи в ячейки A5:A10, B1, F1. B5:G5, как это
изображено на рисунке 2.1. Следует отметить, что конкретное содержание этих
надписей не оказывает никакого влияния на решения рассматриваемой
транспортной задачи.
1.
В ячейки В2:Е4 введем значение коэффициентов целевой функции
(таблица 2.1).
2.
В ячейки F2, введем формулу: =суммпроизв(В2:Е2; В6:Е8), которая
представляет целевую функцию (2.6).
3.
В ячейки G6:G8 и B10:E10 введем значения, соответствующие
правым частям ограничений (2.7).
4.
В ячейку F6 введем формулу: =сумм (В6:Е6), которая представляет
первое ограничение (2.7).
5.
Скопируем формулу, введенную в ячейку F6, в ячейки F7 и F8.
6.
В ячейку В9 введем формулу: =сумм (В6:В8), которая представляет
четвертое ограничение (2.7).
7.
Скопируем формулу, введенную в ячейку В9, в ячейки C9, D9 и E9.
Внешний вид рабочего листа MS Office Excel с исходными данными для
решения транспортной задачи показан на рисунке 2.1.
Для дальнейшего решения задачи следует вызвать мастер поиска
решения, для чего необходимо выполнить операцию главного меню:
Сервис│Поиск решения…
После появления диалогового окна Поиск решения следует выполнить
следующие действия:
1.В поле с именем Установить целевую ячейку: ввести абсолютный
адрес ячейки $F$2.
2.Для группы Равной: выбрать вариант поиска решения- минимальному
значению.
Рисунок. 2.1 Исходные данные для решения
транспортной задач
3. В поле с именем Изменяя ячейки: ввести абсолютный адрес диапазона
ячеек $B$2:$E$4.
4.Добавить 7 ограничений, соответствующих базовым ограничениям
исходной постановки решаемой транспортной задачи. С этой целью выполнить
следующие действия:
 для задания первого ограничения в исходном диалоговом окне Поиск
решения нажать кнопку с надписью Добавить;
 в появившемся дополнительном окне выбрать ячейку $F$6, которая
должна отобразиться в поле с именем Ссылка на ячейку;

в качестве знака ограничений из выпадающего списка выбрать
строгое неравенство “=”;

в качестве значения правой части ограничения выбрать ячейку
$С$6;

для добавления первого ограничения в дополнительном окне
нажать кнопку с надписью Добавить;

аналогичным образом задать оставшиеся 6 ограничений.
5.Добавить последнее ограничение на неотрицательность значений
переменных задачи. Внешний вид диалогового окна мастера поиска решения с
ограничениями для транспортной задачи изображен на рисунке 2.2.
6.В дополнительном окне параметров поиска решения следует выбрать
отметки Линейная модель и Неотрицательные значения.
Рисунок 2.2. Параметры мастера поиска решения и базовых
ограничения для транспортной задачи
После задания ограничений и целевой функции можно приступить к
поиску численного решения, для чего следует нажать кнопку Выполнить.
После выполнения расчетов программой MS Excel будет получено
количественное решение, которое имеет следующий вид рисунок 2.3.
Рисунок 2.3 Результат количественного
решения транспортной задачи
Результатом решения транспортной задачи являются найденные
оптимальные значения переменных: х11=0, х12=1,5, х13=8,5, х14=0, х21=14,
х22=0, х23=0, х24=0, х31=1, х32=10,5, х33=0, х34=5,5, которым соответствует
значение целевой функции: f opt = 208,5. При выполнении расчетов для ячеек
В6:Е8 был выбран числовой формат с тремя знаками после запятой.
Анализ найденного решения показывает, что для удовлетворения
потребностей АЗС №1 следует транспортировать 14т бензина из НПЗ №2 и 1тиз НПЗ №3, для удовлетворения потребностей АЗС №2 следует
транспортировать 1,5 т бензина из НПЗ №1 и 10,5т – из НПЗ №3, для
удовлетворения потребностей АЗС №3 следует транспортировать 8,5 т бензина
из НПЗ №1 и, наконец, для удовлетворения потребностей АЗС №4 следует
транспортировать 5,5 т бензина из НПЗ №3. При этом общая стоимость
найденного плана перевозок составит 208,5 тысяч тенге.
Рисунок 2.4 Отчет по результатам поиска решения
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Что необходимо сделать для решения классической транспортной задачи?
2. Что такое целевая ячейка?
3. Как вызывается мастер поиска решения?
4. Что входит в систему ограничений?
5. Что называется целевой функцией?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8
РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ
1.6. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Научиться решать транспортные задачи различными методами.
1.7. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Решить задачу с помощью методов потенциалов.
2. Решить задачу с помощью надстройки Поиск решения.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
1. Решение транспортной задачи с помощью методов потенциалов
Для того чтобы исходная закрытая транспортная задача линейного
программирования имела оптимальное решение, необходимо и достаточно
существование таких неотрицательных чисел {v1,v2,v3,…,vn, u1,u2,…,um},
которые обеспечивают выполнение двух групп условий:
u i  u j  cij , (i  {1,2,..., m}, j  {1,2,..., n})
и если некоторое
xij
>0 то ui+uj=cij.
,
Соответствующие данным условиям числа {v1,v2,…,vn, u1,u2,…,um}
получили название потенциалов. Очевидно, данные условия могут служить
признаком окончания поиска решения транспортной задачи.
Общая идея определения оптимального решения транспортной задачи
методом потенциалов аналогична идее решения задачи линейного
программирования симплекс-методом, а именно: сначала находят некоторое
начальное допустимое решение транспортной задачи, а затем его
последовательно улучшают до получения оптимального решения. В общем
случае алгоритм метода потенциалов имеет итеративный характер и
заключается в выполнении следующих действий:
1. Если исходная транспортная задача линейного программирования
является открытой, то она преобразуется к замкнутому виду. С этой целью
могут быть введены дополнительные переменные {xm+1,j} (j  {1,2,..., n}) для
фиктивного пункта производства am+1, если выполняется неравенство:
m
n
 a  b ,
i 1
i
j 1
j
или дополнительные переменные
{xi , n 1}(i  {1,2,..., m})
m
для фиктивного
n
 ai   b j .
j 1
пункта потребления bn+1, если выполняется неравенство: i 1
При этом дополнительным переменным должны соответствовать
нулевые коэффициенты целевой функции: cm+1,1=cm+1,2=…=cm+1,n=0 или
c1,n+1=c2,n+1=…=cm,n+1=0. Тем самым, с точностью до обозначений индексов
переменных, в качестве исходной транспортной задачи будем рассматривать ее
математическую модель в замкнутой форме.
2. Для транспортной задачи в замкнутой форме находится некоторое
начальное допустимое решение, которое записывается в специальную таблицу
следующего вида таблица 1.
Рассмотрим особенности построение данной таблицы. Верхняя строка и
левый столбец содержат искомые значения потенциалов, которые требуется
отыскать на последующих этапах алгоритма, и значения правых частей
ограничений.
Таблица 1 Общий вид таблицы метода потенциалов
v1
v2
….
vn
F(x)
b1
b2
bn
u1
c11
c12
c1n
…
a1
x11
x12
x1n
u2
c12
c22
c2n
a2
x12
x22
x2n
…
…
…
…
…
um
cm1
cm2
cmn
…
am
xm1
xm2
xmn
В каждой ячейке таблицы содержится два значения: cij- стоимость
транспортировки единицы продукта из i–го пункта производства в j–й пункт
потребления и xij - значения переменных начального допустимого решения.
При этом значения cij соответствуют коэффициентам целевой функции
исходной замкнутой транспортной задачи (1) и в последующем не изменяются.
Элементы xij соответствуют значениям переменных промежуточных решений
транспортной задачи линейного программирования и изменяются на каждой
итерации алгоритма. Если в некоторой ячейке xij=0, то такая ячейка
называется свободной, если же xij>0, то такая ячейка называется занятой.
Самая верхняя слева ячейка исходной таблицы содержит значение целевой
функции (1) для содержащегося в таблице промежуточного решения. При этом
значение
целевой
функции
рассчитывается
по
формуле:
F(x)=c11x11+c12x12+…+cnmxnm, где хij-ненулевые элементы таблицы 2.2,
соответствующие переменным решаемой задачи.
Следует заметить, что первые два этапа метода потенциалов является
подготовительными. Все последующие действия имеют итеративный
повторяющийся характер и выполняются в рамках построенной исходной
таблицы.
3. Для построенной таблицы 2 находятся значения потенциалов пунктов
производства и потребления: v1, v2,… vn, u1,u2,…um. С этой целью
составляется и решается следующая система линейных уравнений:
v j  ui  cij i  1,2,..., m, j  1,2,..., n,
где индексы i и j соответствуют только ненулевым значениям
переменных xij или занятым ячейкам таблицы 2.2. Как не трудно заметить,
существование решения системы уравнений (2.10) обеспечивает выполнение
второй группы условий критерия оптимальности (2.9). Для удобства
найденные значения записываются в таблицу 2.2.
1.
Для найденного решения системы уравнений проверяется первая
группа условий (2.8) критерия оптимальности. С этой целью вначале
рассчитываются оценки свободных ячеек таблицы 2 по следующей формуле:
 ij  cij  v j  ui (i  1,2,..., m, j  1,2,..., n),
где индексы i и j соответствуют только нулевым значениям переменных
xij или занятым ячейкам таблицы 2.2. В этом случае проверка первой группы
условий критерия оптимальности найденного решения сводится к проверке
следующего условия только для ячеек:
iji  0(i  1,2,..., m, j  1,2,..., n).
Если условие (2.12) выполняется, то найденное решения является
оптимальным, и на этом дальнейшие расчеты могут быть завершены. Если же
условие (2.12) не выполняется, то следует перейти к выполнению следующего
этапа алгоритма метода потенциалов.
 0
Из всех ij
выбирается наименьшее значение (если их несколько- то
любое из них). Соответствующая свободная ячейка помечается знаком (+), и
для нее в таблице метода потенциалов строится цикл. При этом циклом в
таблице метода потенциалов называется ломаная, вершины которой
расположены в занятых ячейках таблицы, а звенья - вдоль строк и столбцов,
причем в каждой вершине цикла встречается ровно два звена, одно из которых
находится в строке, а другое - в столбце. Если ломаная линия, образующая
цикл, пересекается, то точки самопересечения не являются вершинами. При
правильном построении таблицы допустимого решение для любой свободной
ячейки можно построить лишь один цикл.
2.
После того как построен цикл для выбранной свободной ячейки,
следует рассчитать значения переменных нового допустимого решения. Для
этого необходимо изменить значение переменных предыдущего допустимого
решения в пределах ячеек, связанных с данной свободной ячейкой. Это
изменение производят по следующим правилам:
 каждой ячейки, принадлежащей построенному циклу от выбранной
свободной ячейки, приписывают определенный знак, причем свободной клетке
– знак (+), а всем остальным клеткам – поочередно (+) и (-). Соответствующие
ячейки называют также минусовыми и плюсовыми;
 в выбранную свободную ячейку записывают меньшее из чисел хij,
стоящих в минусовых ячейках. Одновременно это число прибавляют к
соответствующим числам, стоящим в плюсовых ячейках, и вычитают из чисел,
стоящих в минусовых ячейках таблицы. При этом ячейка, которая ранее была
свободной, становится занятой, а минусовая ячейка, в которой стояло
минимальное из чисел хij , считается свободной.
В результате указанного изменения значений переменных в пределах
ячеек, связанных циклом с данной свободной ячейкой, находится новое
допустимое решение транспортной задачи, которому соответствует меньшее по
сравнению с предыдущим решением значение целевой функции. После
получения новой таблицы метода потенциалов следует прейти к выполнению
действий этапа 3 настоящего алгоритма.
Рассмотренный алгоритм метода потенциалов может быть изображен
графически в форме диаграммы деятельности языка UML.
В заключении следует отметить, что при определении начального
допустимого решения или в процессе решения задачи может быть получено
вырожденное решение. Чтобы избежать в этом случае зацикливания
алгоритма, следует соответствующие нулевые элементы допустимого решения
заменить сколь угодно малым положительным числом ε, после чего решать
задачу как невырожденную. В оптимальном решении такой задачи необходимо
считать ε равным нулю.
Для нахождения исходного допустимого решения транспортной задачи на
этапе 2 алгоритма может быть использован так называемый метод
минимального элемента. Сущность этого метода состоит в том, что начальное
допустимое решение находится за п+т-1 шагов. При этом на каждом шаге
находится значение только одной переменной хij, которая записывается в
соответствующую ячейку. После чего данная ячейка становится занятой.
Первоначально все ячейки таблицы свободные и среди них отыскивается
такая ячейка, которой соответствует минимальное значение из коэффициентов
целевой функции сij .Если таких ячеек несколько, то следует выбрать любую
из них. Для найденной свободной ячейки определяется значение
соответствующей переменной: хij = min{ai , bj}.
Заполнение выбранной ячейки обеспечивает полностью либо
удовлетворение потребности в пункте потребления, если хij = bj = min{ai , bj },
либо вывоз всех запасов из пункта производства, если хij = ai = min{ai , bj}.
В первом случае исключают из дальнейшего рассмотрения столбец
таблицы, соответствующий bj , а для i-й строчки полагают новое значение .Во
втором случае исключают из дальнейшего рассмотрения строку
соответствующую ai, а для j-го столбца полагают новое значение .
После исключения строки или столбца из дальнейшего рассмотрения
происходит нахождение среди свободных ячеек следующего минимального
значения сij и заполнение найденной ячейки очередным значением
переменной: хij = min{ai , bj } с соответствующим исключением строки или
столбца. В итоге после п+т-1 шагов метод минимального элемента позволяет
получить начальное допустимое решение закрытой транспортной задачи
линейного программирования.
Проиллюстрируем использование рассмотренного алгоритма метода
потенциалов для решения индивидуальной транспортной задачи (2.6) и (2.7).
Поскольку исходная задача является закрытой, то выполнение действий этапа
1 рассмотренного алгоритма метода потенциалов не требуется.
Исходная таблица метода потенциалов, необходимая для нахождения
начального допустимого решения задачи и , будет иметь следующий вид
таблица 2.
Для нахождения начального допустимого решения воспользуемся
методом минимального элемента. Для этого в таблице 2. следует найти
минимальное значение сij , которое равно 1. этому значению соответствует
второй пункт производства и первый пункт потребления, при этом х21 =
min{a2 , b1 }=14. Из дальнейшего рассмотрения следует исключить второй
пункт производства, а для первого пункта потребления определить новое
значение b’=b1-a1=15-14=1.
Таблица 2 Исходная таблица для нахожденияначального допустимого
решения
V
V
V1
3
V4
2
F(x)
15
8,
5,5
12
5
u1
3
5
7
11
10
u2
1
4
5
8
6
3
14
u3
17
1
2
7
На следующем шаге метода минимального элемента в сокращенной
таблице таблица 2 найдем минимальное значение сij , которое равно 3. Этому
значению соответствует первый пункт производства и первый пункт
потребления, при этом х11 = min{a1 , b1 }=1. Из дальнейшего рассмотрения
следует исключить первый пункт потребления, а для первого пункта
производства определить новое значение a’=a1-b1=10-1=9.
Поступая аналогичным образом, в результате будет получено начальное
допустимое решение транспортной задачи
и, исходная таблица метода
потенциалов которой будет иметь следующий вид таблица 3.
Таблица 3. Исходная таблица метода потенциалов с начальным
допустимым решением
V1
V2
V3
V4
15
12
8,5
5,5
3
5
F(x)
u1
10
u2
1
9
1
4
11
6
3
8
12
7
3
8,5
5,5
14
14
7
U3
5
17
Непосредственной проверкой можно убедиться, что найденное начальное
решение действительно является допустимым. Этому начальному решению
соответствует значение целевой функции:
F(x)=3*1+1*14+5*9+8*3+12*8,5+7*5,5=226,5
После выполнения подготовительных этапов 1 и 2 метода потенциалов
можно приступить к проверке условия получения оптимального решения (этап
3). Для этого необходимо найти потенциалы пунктов производства и
потребления. Поскольку число заполненных ячеек исходной таблицы равно
п+т-1=6, то искомая система должна содержать п+т=7 неизвестных для 6
уравнений. А именно, для определения значений потенциалов следует решить
следующую систему уравнений: {v1+u1=3, v1+u2=1, v2+u1=5, v2+u3=8,
v3+u3=12, v4+u3=7}, содержащую шесть уравнений с семью неизвестными.
Поскольку число неизвестных превышает на единицу число уравнений, то
одно из неизвестных можно положить равным произвольному числу, например
v1=0. Далее можно найти последовательно из данной системы уравнений
значения остальных неизвестных: v2=2, v3=6, v4=1, u1=3, u1=2, u3=6.
На этом действия этапа 3 заканчиваются, а найденные значения
потенциалов записываются в исходную таблицу, которая на первой итерации
алгоритма будет иметь следующий вид таблица 4.
Таблица 4. Таблица метода потенциалов на первой итерации
0
2
6
1
15
12
8,5
5,5
3
5
F(x)
3
10
1
1
9
1
4
6
3
8
12
7
3
8,5
5,5
14
14
6
5
17
11
7
Для выполнения этапа 4 алгоритма по формуле необходимо
последовательно рассчитать значения оценок для свободных ячеек:
13  7-3-6=-2,
 31  5-6-0=-1.
22  4-1-2=1,  23  6-1-6=-1,
24  3-1-1=1,
Поскольку среди оценок свободных ячеек имеются отрицательные, то условие
(2.12) не выполняется, и найденное решение не является оптимальным, т.е. его
можно улучшить.
 0
13 
ij
Из
всех
выбирается
наименьшее
значение
-2.
Соответствующая свободная ячейка для помечается знаком (*), и для нее х13 в
таблице метода потенциалов строится цикл содержащий занятые ячейки: х12,
х32, х33. После этого следует перейти к выполнению действий этапа 5.
Таблица 5. Таблица метода потенциалов после выполнения первой
итерации
V
V1
V2
V3 4
F(x)=20
9,5
15
12
8,5
5,
5
u1
3
10
1
u2
1
5
7
11
0,5(
-)
8,5(
+)
4
6
14
14
3
8
U3
5
17
11,
5(+)
7
12
(-)
5,
5
Поскольку ячейка для х13 имеет знак (+), то соседние с ней в цикле
занятые ячейки х12 и х33 будут иметь знак (-). Следуя по правилу чередования
знаков, оставшаяся ячейка х32 будет иметь знак (+). Наименьшее из чисел в
минусовых ячейках равно 8,5.
Ячейка х33 , в которой находится это число, становится свободной в
новой таблице метода потенциалов. Другие значения ячеек цикла в новой
таблице получаются следующим образом: новое значение в минусовой ячейке
'
равно: x12  x12  8.5  0.5 , новое значение в плюсовой ячейке равно:
'
x32
 x32  8.5  11.5
.
В полученной таким образом новой таблице ячейка x33  0 становится
свободной. После выполненных на этапе 5 преобразований получаем новое
допустимое решение транспортной задачи с лучшим значением целевой
функции F(x)=209.5. Этому допустимому решению соответствует новая таблица
метода потенциалов, которая имеет следующий вид, таблица 6.
После получения таблицы 6. следует приступить к проверке условия
получения оптимального решения (вторая итерация, этап 3).
Таблица 6. Метода потенциалов на второй итерации
'
F(x)=20
9,5
3
10
1
0
2
4
1
15
12
8,5
5,5
3
5
1
0,5
1
4
14
14
8
6
5
17
11,
5
7
11
8,5
6
3
12
7
5,5
Для этого предварительно необходимо найти новые потенциалы пунктов
производства и потребления. Для определения значений потенциалов следует
решить следующую систему уравнений: {v1+u1=3, v1+u2=1, v2+u1=5, v2+u3=8,
v3+u1=7, v4+u3=7}. Полагая v1=0, находятся значения остальных неизвестных:
v2=2, v3=4 v4=1, u1=3, u2=1 u3=6.
На этом действия этапа 3 заканчиваются, а найденные значения
потенциалов записываются в таблицу, которая на второй итерации алгоритма
будет иметь следующий вид, таблица6.
Для выполнения этапа 4 на второй итерации алгоритма по формуле
необходимо последовательно рассчитать значения для свободных ячеек:
14  11-3-1=-7, 22  4-1-2=1,  23  6-1-4=1, 24  3-1-1=1,  31  5-6-0=-1, 33  12-6-4=2.
Поскольку среди оценок свободных ячеек имеется единственная
отрицательная, то условие не выполняется, и найденное решение не является
оптимальным, т.е. его можно улучшить. Для единственного значения 31  1
соответствующая свободная ячейка для х31 помечается знаком (+), и для нее в
таблице метода потенциалов строится цикл, содержащий занятые ячейки: х11,
х12,х32. После этого следует перейти к выполнению действий этапа 5 второй
итерации.
На этапе 5 необходимо определить плюсовые и минусовые ячейки.
Поскольку ячейка для х31 имеет знак (+), то соседние с ней в цикле занятые
ячейки х11 и х32 будут иметь знак (-). Следуя правилу чередования знаков,
оставшаяся ячейка х12, будет иметь знак (+). Наименьшее из чисел в
минусовых ячейках равно 1. Ячейка х11, в которой находится это число,
становится свободной в новой таблице метода потенциалов. Другие значения
ячеек цикла в новой таблице получаются следующим образом: новое значение
в минусовой ячейке равно: x’32=x32-1=10.5, а новое значение в плюсовой
ячейке равно: x’12=x12+1=1,5. В полученной таким образом новой таблице
ячейка x’31=0 становится свободной. После выполненных на этапе 5
преобразований получаем новое допустимое решения транспортной задачи с
лучшим значением целевой функции F(x)= 208.5. Этому допустимому решению
соответствует новая таблица методов потенциалов, которая имеет следующий
вид, таблица 7.
После получения таблицы 7 следует снова проверить условия получения
оптимального решения (третья итерация, этап 3). Для этого необходимо найти
новые потенциалы пунктов производства и потребления, т. е. решить следующую
систему уравнений: {v1+u2=1, v1+u3=5, v2+u1=5, v2+u3=8, v3+u1=7, v4+u3=7}.
Полагая v1=0, находятся значения остальных неизвестных: v2=3, v3=5 v4=2, u1=2,
u2=1 u3=5. На этом действия этапа 3 заканчиваются, а найденные значения
потенциалов записываются в таблицу, которая на третьей итерации алгоритма будет
иметь следующий вид , таблица 8.
После получения таблицы 7 следует снова проверить условия получения
оптимального решения (третья итерация, этап 3).
Для этого необходимо найти новые потенциалы пунктов производства и
потребления, т. е. решить следующую систему уравнений: {v1+u2=1, v1+u3=5,
v2+u1=5, v2+u3=8, v3+u1=7, v4+u3=7}. Полагая v1=0, находятся значения остальных
неизвестных: v2=3, v3=5 v4=2, u1=2, u2=1 u3=5.
На этом действия этапа 3 заканчиваются, а найденные значения потенциалов
записываются в таблицу, которая на третьей итерации алгоритма будет иметь
следующий вид , таблица 8.
Таблица 7 Таблица метода потенциалов после выполнения второй итерации
F(x)=209,
5
V1
V2
V3
V4
15
12
8,5
5,5
5
3
u1
(-)
10
7
)
8,5
1
u2
4
14
14
8
5
U3
6
3
12
7
10,5
1(
17
11
1,5(-
5,5
(-)
+)
Для выполнения этапа 4 на третьей итерации алгоритма по формуле
необходимо последовательно рассчитать значения оценок для свободных ячеек:
11  3-2-0=1, 14  11-2-2=7, 22  4-1-3=0,  23  6-1-5=0, 24  3-1-2=0, 33  12-5-5=2.
Поскольку среди оценок свободных ячеек отсутствуют отрицательные значения, то
условие выполняется, и найденное решение является оптимальным.
Таблица 8. Таблица метода потенциалов на третьей итерации
F(x)=
209,5
2
0
3
5
2
15
12
8,5
5,5
3
5
1,5
10
1
1
5
5
11
8,5
4
6
14
14
7
8
3
7
12
17
1
10,5
5,5
Таким образом, искомое оптимальное решение исходной транспортной
задачи, полученное с использованием описанного алгоритма метода потенциалов,
содержится в таблице9 и равно: х12=1,5, х13=8,5, х21=14, х31=1, х32=10,5, х34=5,5,
значения остальных переменных равны 0. Оптимальное значение целевой функции
при этом равно: F(x)=208.5.
Сравнение найденных оптимальных решений транспортной задачи с помощью
программы MS Excel и метода потенциалов показывает их полное совпадение, что
может свидетельствовать о достоверности соответствующих результатов.
2 Решению задач оптимизации с помощью надстройки Поиск решения.
Построение математической модели задачи.
Работа по решению некоторой оптимизационной задачи всегда
начинается с построения математической модели, для чего необходимо
ответить на следующие вопросы:

Каковы переменные модели (для определения каких величин строится
модель)?

В чем состоит цель, для достижения которой из множества всех
допустимых значений переменных выбираются оптимальные?

Каким ограничениям должны удовлетворять неизвестные?
Стоит также учесть, что при конструировании модели формулировка
ограничений является самой ответственной частью конструкции. В некоторых
случаях ограничения очевидны, например, ограничение на количество сырья.
Другие же ограничения могут быть менее очевидны и могут быть указаны
неверно. Например:

В модели с несколькими периодами времени величина материального
ресурса на начало следующего периода должна равняться величине этого ресурса на
конец предыдущего периода;

В модели поставок величина запаса на начало периода плюс количество
полученного должна равняться величине запаса на конец период плюс количество
отправленного;

Многие величины в модели по своему физическому смыслу не могут
быть отрицательными, например, количество полученных единиц товара.
Таким образом, на данном этапе делаются выводы об исходных данных
(детерминировать или случайные), искомых переменных (непрерывные или
дискретные), о пределах, в которых могут находиться значения искомых
величин, о зависимостях между переменными (линейные или нелинейные), о
критериях, по которым необходимо находить оптимальное решение. Сюда же
входит преодоление несовместимости, а также неограниченности целевой
функции: при максимизации целевой функции область допустимых решений
должна быть ограничена сверху, при минимизации - ограничена снизу.
Решение задач с помощью надстройки Поиск решения.
Прежде всего подготовьте рабочий лист MS Excel-корректно разместите на
нем все исходные данные, грамотно введите необходимые формулы для целевой
функции и для других зависимостей, выберите место для значений переменных.
Правильно выберите все ограничения, переменные, целевую функцию и
другие значения в окно Поиск решения.
Большую часть задач оптимизации представляют собой задачи линейного
программирования, т.е. такие, у которых критерий оптимизации и ограничениялинейные функции. В этом случае для решения задачи следует установить флажок
Линейная модель в окне Параметры поиска решения. Это обеспечит применение
симплекс-метода. В противном случае даже для решения линейной задачи будут
использованы более общие (т.е. более медленные)методы.
Поиск решения может работать также и с нелинейными зависимостями и
ограничениями. Это, как правило, задачи нелинейного программирования или,
например, решение системы нелинейных уравнений. Для успешной работы средства
Поиск решения следует стремиться к тому, чтобы зависимости были гладкими или,
по крайней мере, непрерывными. Наиболее часто разрывные зависимости
возникают при использовании функции ЕСЛИ(), среди аргументов которой имеются
переменные величины модели. Проблемы могут возникнуть также и при
использовании в модели функций типа ABS(), ОКРУГЛ() и т.д.
Решая задачи с нелинейными зависимостями, следует:

Ввести
предварительно
предположительные
значения
искомых
переменных (иногда легко получить графическое представление решение и сделать
приблизительные выводы о решении).

В окне Параметры поиска снять (если установлен) флажок Линейная
модель.
Решая задачи целочисленного программирования, не следует забывать также о
требованиях целочисленности и булевости.
Анализ решения задачи оптимизации.
При необходимости анализ решения. Часто добавляется также
представление в виде графиков или диаграмм. Можно получить и отчет о
поиске решения.
Отчеты бывают трех типов: Результаты, Устойчивость, Пределы.
Тип отчета выбирается по окончании поиска решения в окне Результаты
поиска решения в списке Тип отчета (можно выбрать сразу два или три типа).

Отчет типа Результаты содержит окончательные значения
параметров задачи целевой функции и ограничений.

Отчет типа Устойчивость показывает результаты малых изменений
параметров поиска решения.

Отчет типа Пределы показывает изменения решения при поочередной
максимизации и минимизации каждой переменной при неизменных других
переменных.
Линейная оптимизация.
Линейное
программирование-это
раздел
математического
программирования, посвященный нахождению экстремума линейных функций
нескольких переменных при дополнительных линейных ограничениях,
которые налагаются на переменные. Методы, с помощью которых решаются
задачи, подразделяются на универсальные (например, симплексный метод) и
специальные. С помощью универсальных методов решаются любые задачи
линейного
программирования.
Особенностью
задач
линейного
программирования является то, что экстремум целевой функции достигается
на границе области допустимых решений.
Пример. Планирование производства материалов.
Фирма выпускает два типа строительных материалов: А и В. продукция
обоих видов поступает в продажу. Для производства материалов используются
два исходных продукта:1 и 2. Максимально возможные суточные запасы этих
продуктов составляют 7 и 9 тонн соответственно. Расходы продуктов 1 и 2 на 1
тонну соответствующих материалов приведены в табл. 7.4.
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на материал В
никогда не превышает спроса на материал А более чем на 1 тонну. Кроме того,
спрос на материал А никогда не превышает 3 тонн в сутки. Оптовые цены
одной тонны материалов равны: 4000 у.е. для В и 3000 у.е. для А. Какое
количество материала каждого вида должна производить фабрика, чтобы
доход от реализации был максимальным?
Таблица 9. Расход продуктов
Расход
исходных
Макси
Исходн продуктов, т
мально
(на
одну
тонну
ый
Возмож
продук материалов)
ный
т
Матери
запас, т
Материл А
ал В
1
3
2
7
2
2
3
9
Решение
1.
Формулировка математической задачи:

переменные для решения задачи: х1- суточный объём производства
материала А, х2- суточный объём производства материала В;

определение функции цели (критерия оптимизации). Суммарная
суточная прибыль от производства х1 материала А и х2 материала В равна:
F=4000x2+3000x1
поэтому цель фабрики- среди всех допустимых значений х2 и х1 найти
такие, которые максимизируют суммарную прибыль от производства
материалов F:
F=4000x2+3000x1max;

ограничения на переменные:
 объём производства красок не может быть отрицательным, т.е.
х2  0, х1  0;
 расход исходного продукта для производства обоих видов материалов
не может превосходить максимально возможного запаса данного исходного
продукта, т.е.:
2х2+3х1  7,
3х2+2х1  9,
 ограничения на величину спроса на материалы:
х1-х2  1,
х1  3,

Найти максимум следующей функции:
F=4000x2+3000x1max,

При ограничениях вида:
2х2+3х1  7,
3х2+2х1  9,
х1-х2  1,
х1  3,
х2  0, х1  0;
2.Подготовка листа рабочей книги MS Excel для вычислений- на рабочий
лист вводим необходимый текст, данные и формулы в соответствии с рис. 7.3.
Переменные задачи х1 и х2 находятся, соответственно, в ячейках С3 и С4.
Целевая функция находится в ячейке С6 и содержит формулу:
=4000*С4+3000*С3.
Ограничения на задачу учтены в ячейках С8:D11.
Рисунок 1. Рабочий лист MS Excel для решения задачи
планирования производства материалов
3.Работа с надстройкой Поиск решения- воспользовавшись командой
Сервис \ Поиск решения, вводим необходимые данные для рассматриваемой
задачи (установка данных в окне Поиск решения приведена на рисунке 2).
Результат работы по поиску решения помещен на рисунке 2
Рисунок 2. Установка необходимых параметров задачи
планирования материалов в окне Поиск решения
Рисунок 3. Результат расчета надстройки Поиск решения
Рисунок 4. Отчета по результатам Поиска решения
Описание отчетов о решении задачи
 Отчет по результатам –таблица Целевая ячейка выводит сведения о
целевой функции; таблица Изменяемые ячейки показывает значение искомых
переменных, полученных в результате решения задачи; таблица Ограничения
отображает результаты оптимального решения для ограничений и для
граничных условий. В поле Формула приведены зависимости, которые были
введены в окно Поиск решения, в поле Разница- величина использованного
материала. Если материал используется полностью, то в поле Статус
указывается связанное, при неполном использовании материала в этом поле
указывается не связан. Для граничных условий приводятся аналогичные
величины с той лишь разницей, что вместо величины с той лишь разницей, что
вместо величины неиспользованного продукта показана разность между
значением переменой в найденном оптимальном решении и заданным для неё
граничным условием.
 Отчет по устойчивости –в таблице Изменяемые ячейки приводится
результат решения задачи.
В таблице Ограничения выводятся значения для ограничений, при
которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в
оптимальное решение.
Рисунок 4. Отчет по устойчивости Поиска решения
Отчет по пределам- в отчете показано, в каких пределах может
изменяться количество материалов, вошедших в оптимальное решение, при
сохранении структуры оптимального решения; приводятся значение
переменных в оптимальном решение, а также нижние и верхние пределы

изменения значений переменных; здесь также указаны значения целевой
функции при выпуске данного типа продукции на верхнем и нижнем пределах.
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Что необходимо, чтобы исходная закрытая транспортная задача линейного
программирования имела оптимальное решение?
2. Изложите идею решения транспортной задачи методом потенциалов.
3. Как решается задача с помощью метода «Поиска решения»?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9
ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ КОЛЛЕКТИВНЫХ РЕШЕНИЙ
1.8. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
При выполнении работы необходимо определить коллективную оценку
объектов (факторов и пр.) с точки зрения их воздействия на некоторую цель или
показатель. Конкретная постановка задач содержится в описании вариантов
работы, выбираемых студентом по указанию преподавателя.
1.9. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
личные
ранговые
оценки
факторов
1. Проставить
в
столбце
R вашей анкеты.
2.Заполнить ранговую табл. ПЗ. Р1, занеся в первую колонку личные ранговые
оценки, а в четыре следующие — оценки 4 студентов, следующих за вами в списке
учебной группы.
3.Построить индивидуальные веса X (матрица п х т).
4.Рассчитать групповые ранги, заполнив колонку Rо табл. ПЗ.Р1.
5. Посчитать
коэффициент
корреляции
своего
ранжирования
и группового (коэффициент Спирмена):
rij=1-
6 n
6s(d 2 )
2
 ( Rij  Ril )  1  n3  n
n3  n i 1
6.
Построить вектор компетентности путем последовательных приближений (в
упрощенном варианте).
6.1. Построить матрицу В = Хг х X размерности т х т.
6.2. Взять в качестве нулевого приближения (q(0))
1
 
5
1
 
5
(0)  . 
вектор q =
. 
 
. 
 
 1 
5
6.3. Рассчитать q(1) - В х К(0), а затем пронормировать:
ь
(0)
qi =  bik Ki ; K i 
(1)
л 1
(1)
qi
(1)
q
.
(1)
i
6.4. q(2) = В х К(1) и т. д.; осуществить 4—5 итераций. Векторы каждой итерации
записывать в задании.
7. Рассчитать коэффициент конкордации, используя табл. ПЗ. Р1:
W=
12 s
m (n 3  n)
2
8. Осуществить поверку значимости коэффициента конкордации по критерию х2
Варианты выбрать из табл. П3.1. Для вычисления,  использовать соотношение
 = т ( п - l)W.
Квантили распределения Пирсона приведены в табл. П3.2.
Отчет о работе должен содержать:
• вариант задания (номер группы, порядковый номер студента, номер анкеты,
величина уровня значимости);
• личное ранжирование;
• таблицу групповых оценок и итоговое групповое ранжирование (Ri);
• расчет весов компетентности;
• расчет коэффициента конкордации и анализ его значимости;
• содержательный анализ результатов, в том числе:
— причины неудачного опроса (если окажется, что результаты незначимы);
—причины расхождения результатов личных и групповых ранжирований;
—каким образом можно использовать результаты опроса;
—какие дополнительные факторы, объекты следовало бы, по вашему мнению,
включить в анкету;
—прочие предложения по опросу.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
Анкета № 1. Оцените различные формы контроля знаний с точки зрения их
влияния на усвоение материала по специальным дисциплинам
№ п/п
Наименование форм контроля
Личный ранг R
1
Контрольная работа
3
2
Коллоквиум
3
Зачет
2
4
Выступление на семинаре
5
Защита домашних заданий
6
Защита лабораторной работы
7
Защита практики
5
8
Защита курсовой работы
4
9
Экзамен
1
Анкета № 2. Оцените влияние указанных факторов на усвоение материала по
специальным дисциплинам
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
Наименование фактора
Посещение лекций
Качество лекций
Участие в научных кружках
Наличие текущего контроля знаний в семестре
(на лабораторных занятиях, семинарах и пр.)
Наличие курсового экзамена
Проведение рейтинговых аттестаций
Наличие курсового зачета
Качество расписаний занятий
Личный ранг R
Анкета № 3. Оцените различные формы обучения с точки зрения их влияния на
усвоение материала по специальным дисциплинам
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Наименование форм обучения Личный ранг R
Курсовое проектирование
Лабораторные работы
Домашние задания
Самостоятельная работа с литературой
Семинарские занятия
Лекции
Практика
Факультативные занятия
Написание рефератов
Таблица ПЗ. 1. Величины уровня значимости для проверки значимости коэффициента
конкордации (по вариантам)
Варианты — номера студентов по списку
группы
№
1
2
3
4
5
6
P0
7
8
9
0,05 0,01 0,05 0,01 0,1 0,001 0,05 0,005 0,10
Варианты — номера студентов по списку
№
10 и
12 13 14 15 16 17
18
группы
|Ро __ 0,01 0,10 0,01 0,001 0,005 0,05 0,01 0,001 0,10
Варианты — номера студентов по списку
№
19 20 21 22 23 24 25 26 27
группы
W j 0,005 0,05 0,001 0,1 0,005 0,01 0,05 0,001 0,05
Таблица П3.2. Квантили распределения Пирсона { х2 }
Число
Значение  при P0
степеней
0,10
0,05
0,01
0,005
0,001
6
10,6
12,6
16,8
18,6
22,5
свободы (к)
7
12,0
14,1
18,5
20,3
24,5
8
13,4
15,5
20,1
21,9
26,1
9
14,7
16,9
21,7
23,6
27,9
10
16,0
18,3
23,2
25,2
29,6
Отчет о работе
1. Номер варианта: анкета, уровень значимости
_________________________________________________
Фамилии опрашиваемых:
1.___________________
2.________________
3.________________
4.________________
5. _________________
Таблица ПЗ.Р1. Групповые оценки (Rij)n x m п = 9, т = 5
Факто
ры
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
2
8
3
4
6
5
7
Опрашиваемые лица
(эксперты)
2
3
4
2
1,5
2
1
1,5
1
8
3,5
3
4
3,5
7
6
6
4
3
7
5
5
5
6
7
8
8
Rij
5
2
1
6
3
4
5
5
7
9
2. Расчеты.
Расчет коэффициентов компетентности.
Матрица В = Хг х X и т. д.
Расчет коэффициента конкордации W
Оценка значимости коэффициента конкордации.
3.Выводы и рекомендации по работе
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Что такое ранговая таблица?
2. В чем смысл индивидуального веса?
3. Как рассчитывается коэффициент корреляции ранжирования?
4. Как рассчитывается коэффициент Спирмена?
5. Как строится вектор компетентности путем последовательных приближений?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ
1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Знакомство с методикой и приобретение навыков проведения оптимизации
сетевых моделей по критерию "Время -затраты".
1.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Согласно номеру своего варианта получите следующие исходные данные:
С н i, j - стоимость выполнения работы
i, j , имеющей нормальную
продолжительность Tн i, j ; Tу i, j - время ускоренного выполнения работы i, j ;
С п i, j - повышенную стоимость выполнения работы i, j , имеющей ускоренную
С к - ежедневные косвенные затраты организации,
продолжительность;
выполняющей проект; C 0 - ограничение по средствам, выделенным на проведение
оптимизации.
2. Используя компьютерную программу, проведите максимально возможное
сокращение времени выполнения проекта без учета заданного ограничения на
денежные средства C 0 (см. п.3.3.1).
3. Постройте график прямых, косвенных и общих затрат для проведенной
оптимизации (см. п.3.3.2).
4. Определите минимально возможную длительность выполнения проекта с
учетом заданного ограничения на денежные средства C 0 , отобразите принятое
решение на графике затрат.
5. Отчет по лабораторной работе должен содержать:
 номер варианта;
 исходные данные варианта;
 коэффициенты нарастания затрат работ сети;
 описание каждого шага оптимизации, а именно: критические пути и их
длительность; код сокращенной работы (работ);
 график затрат.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
1.3.1. Методика оптимизации сетевых моделей по критерию "Время - затраты
Целью оптимизации по критерию "Время - затраты" является сокращение
времени выполнения проекта в целом. Эта оптимизация имеет смысл только в том
случае, когда время выполнения работ может быть уменьшено за счет
задействования дополнительных ресурсов, что приводит к повышению затрат на
выполнение работ (см. рис.3.1). Для оценки величины дополнительных затрат,
связанных с ускорением выполнения той или иной работы, используются либо
нормативы, либо данные о выполнении аналогичных работ в прошлом. Под
параметрами работ Cн i, j и C п i, j понимаются так называемые прямые затраты,
непосредственно связанные с выполнением конкретной работы. Таким образом,
косвенные затраты типа административно-управленческих в процессе сокращения
длительности проекта во внимание не принимаются, однако их влияние учитывается
при выборе окончательного календарного плана проекта.
Затраты
C п i, j
Cн i, j
Z max i, j
Tу i, j
Tн i, j
Время
Рис.3.1. Зависимость прямых затрат на работу от времени ее выполнения
Важными параметрами работы i, j при проведении данного вида оптимизации
являются:
 коэффициент нарастания затрат
C i, j  C н i, j
,
k i, j  п
Т н i, j  Т у i, j
который показывает затраты денежных средств, необходимые для сокращения
длительности работы i, j на один день;
 запас времени для сокращения длительности работы в текущий момент
времени
Z т i, j  t т i, j  Tу i, j ,
где t т i, j - длительность работы i, j на текущий момент времени,
максимально возможное значение запаса времени работы равно
Zmax i, j  Tн i, j  Tу i, j .
Эта ситуация имеет место, когда длительность работы i, j еще ни разу не
сокращали, т.е. t т i, j  Т н i, j .
Общая схема проведения оптимизации "время -затраты"
1. Исходя из нормальных длительностей работ Tн i, j , определяются
критические L к р и подкритические L п пути сетевой модели и их длительности
Tк р и Tп .
2. Определяется сумма прямых затрат на выполнение всего проекта C0пр при
нормальной продолжительности работ.
3. Рассматривается возможность сокращения продолжительности проекта, для
чего анализируются параметры критических работ проекта.
3.1. Для сокращения выбирается критическая работа с min коэффициентом
нарастания затрат ki, j , имеющая ненулевой запас времени сокращения Z т i, j .
3.2. Время ti, j , на которое необходимо сжать длительность работы i, j ,
определяется как
t i, j  min Z т i, j, T ,

где
T  Tк р  Tп
-
разность
между

длительностью
критического
и
подкритического путей в сетевой модели. Необходимость учета параметра T
вызвана нецелесообразностью сокращения критического пути более, чем на T
единиц времени. В этом случае критический путь перестанет быть таковым, а
подкритический путь наоборот станет критическим, т.е. длительность проекта в
целом принципиально не может быть сокращена больше, чем на T .
4. В результате сжатия критической работы временные параметры сетевой
модели изменяются, что может привести к появлению других критических и
подкритических путей. Вследствие удорожания ускоренной работы общая
стоимость проекта увеличивается на величину
Cпр  k i, jt i, j .
5. Для измененной сетевой модели определяются новые критические и
подкритические пути и их длительности, после чего необходимо продолжить
оптимизацию с шага 3. При наличии ограничения в денежных средствах, их
исчерпание является причиной окончания оптимизации. Если не учитывать
подобное ограничение, то оптимизацию можно продолжать до тех пор пока у работ,
которые могли бы быть выбраны для сокращения, не будет исчерпан запас времени
сокращения.
Примечание. Рассмотренная общая схема оптимизации предполагает наличие
одного критического пути в сетевой модели. В случае существования нескольких
критических путей необходимо либо сокращать общую для них всех работу, либо
одновременно сокращать несколько различных работ, принадлежащих различным
критическим путям. Возможна комбинация этих двух вариантов. В каждом случае
критерием выбора работы или работ для сокращения должен служить минимум
затрат на их общее сокращение.
1.3.2. Пример проведения оптимизации сетевой модели по критерию "Время затраты"
Проведем максимально возможное уменьшение сроков выполнения проекта при
минимально возможных дополнительных затратах для следующих исходных
данных (табл.3.1, рис. 3.2).
Таблица 3.1
Исходные данные для оптимизации "Время -затраты"
(i, j)
Нормальный режим
Tн i, j
Cн i, j
Ускоренный режим
Tу i, j
C п i, j
1,2
1,4
2,3
2,4
3,5
4,5
5
5
3
19
6
6
4
12
3
8
1
15
7
10
3
18
6
6
1
9
4
9
1
12
C к  1,50 руб./день
C 0  73,00 руб.
3
3
2 10
2 5
5
1
0
6
7
5
0
8
6
4
4 12
0 0
0 12
5 16
0 16
Рис.3.2. Исходная сетевая модель
Исходя из нормальных
характеристики сетевой модели.
длительностей
 Общие затраты на проект С0п р 
работ
получаем
следующие
 Cн i, j  44,00 руб.
i, j
0
 Длительность проекта Tкр
 16 дней.
 Критический путь L0кр  12
, ,4,5 или L0кр  12
, ; 2,4; 4,5 .
, ,3,5 или L0кр  12
, ; 2,3; 3,5 , Tп0  14 дней.
 Подкритический путь L0кр  12
Кроме того, вычислим коэффициенты нарастания затрат и максимальные запасы
времени сокращения работ сетевой модели (табл. 3.2).
Таблица 3.2
Коэффициенты нарастания затрат работ сети
i, j
1,2
1,4
2,3
Z max i, j [дни]
k i, j [руб./день]
2
7,00
2
3,00
2
3,50
2,4
3,5
4,5
4
2,00
5
0,60
3
1,00
I шаг. Для сокращения выбираем критическую работу 4,5 с минимальным
коэффициентом k 4,5  1,00 руб./день. Текущий запас сокращения времени работы
на данном шаге равен Z 0т 4,5   Z max 4,5   3 дня. Разность
продолжительностью
критического
и
подкритического
4,5
между
путей
T0  Tк0р  Tп0  2 дня. Поэтому согласно п.3.2 описанной выше общей схеме
оптимизации сокращаем работу
4,5
на t1  min 3,2  2 дня. Новая текущая
длительность работы t1т 4,5  4  2  2 дня, а запас ее дальнейшего сокращения
сокращается до Z1т 4,5   1 дня. Измененный сетевой график представлен на рис.3.3
3
3
0 8
2 5
5
1
0
0
8
6
7
5
6
0 0
4 12
2
0 12
5 14
0 14
Рис.3.3. Сетевая модель после первого шага оптимизации
После ускорения работы 4,5 возникли следующие изменения.
 Затраты на работу 4,5 возросли на 1,00 руб./день  2 дня  2,00 руб. и общие
затраты на проект составили С1пр  44,00  2,00  46,00 руб.
 Длительность проекта T1к р  14 дней.
, ,3,5 и L1кр  12
, ,4,5 .
 Критические пути L1кр  12
, ,5 , Tп1  8 дней.
 Подкритический путь L1п  14
II шаг. Одновременное сокращение двух критических путей можно провести
либо ускорив работу 1,2 , принадлежащую обоим путям, либо одновременно
ускорив различные работы из каждого пути. Наиболее дешевым вариантом является
ускорение работ 3,5 и 4,5 - 1,60 руб./день за обе работы, тогда как ускорение
работы 1,2 обошлось бы в 7 руб./день. Поскольку T1  T1к р  Tп1  6 , то сокращаем
работы 3,5 и 4,5 на t 2  min516
, ,   1 день. Запасы дальнейшего сокращения
времени работ сокращаются до Z 2т 3,5   4 и Z 2т 4,5   0 дней. Измененный сетевой
график представлен на рис.3.4.
3
3
0 8
2 5
5
1
0
5
7
5
0
8
6
4 12
0 0
1
5 13
0 12
0 13
Рис.3.4. Сетевая модель после второго шага оптимизации
После ускорения работ  3,5 и 4,5 возникли следующие изменения.
 Общие затраты на проект составили
С2пр  46,00  0,60 1  1,00 1  47,60 руб.
2
 Длительность проекта Tкр
 13 дней.
 Два критических пути L2кр  12
, ,3,5 и L2кр  12
, ,4,5 .
 Подкритический путь L2п  14
, ,5 , Tп2  7 дней.
III шаг. Поскольку на данном шаге работа 4,5 исчерпала свой запас ускорения,
то наиболее дешевым вариантом сокращения обоих критических путей является
ускорение работ 3,5 и 2,4 - 2,60 руб./день за обе работы. Сокращаем работы 3,5
и 2,4 на t 3  min4,4,6  4 дня. Запасы дальнейшего сокращения времени работ
3,5 и 2,4 обнуляются. Измененный сетевой график представлен на рис.3.5.
3
3
0 8
2 5
5
1
0
0 0
0
8
1
3
5
6
4
8
0
8
1
Рис.3.5. Сетевая модель после третьего шага оптимизации
5 9
0
9
После ускорения работ  3,5 и 2,4 возникли следующие изменения.
 Общие затраты на проект составили
С3пр  47,60  0,60  4  2,00  4  58,00 руб.
 Длительность проекта Tк3р  9 дней.
 Два критических пути L3кр  12
, ,3,5 и L3кр  12
, ,4,5 .
 Подкритический путь L3п  14
, ,5 , Tп3  7 дней.
IV шаг. Поскольку кроме работы 1,2 все остальные работы критического пути
L3кр  12
, ,4,5 исчерпали свой запас времени ускорения, то единственно возможным
вариантом сокращения обоих критических путей является ускорение работы 1,2 .
Сокращаем работу 1,2 на t 4  min2,2  2 дня. Запас дальнейшего сокращения
времени работы 1,2 обнуляется. Измененный сетевой график представлен на
рис.3.6.
3
2 3
3
1
0
0 0
0
3
6
0
6
4
6
1
3
3
6
0 6
1
5
7
0
7
Рис.3.6. Сетевая модель после четвертого шага оптимизации
C
82,50
72,00
71,50
B
68,00
67,10
67,00
А
Общие затраты
58,00
47,60
46,00
44,00 .
..
24,00
Прямые затраты
21,00
19,50
Косвенные затраты
13,50
10,50
7
9
13 14
16
Рис.III.7. График "Время - затраты"
После ускорения работы 1,2 возникли следующие изменения.
T
 Общие затраты на проект составили С4пр  58,00  7,00  2  72,00 руб.
 Длительность проекта Tк4р  7 дней.
 Три критических пути L4кр  12
, ,3,5 , L4кр  12
, ,4,5 и L4к р  14
, ,5 .
 Подкритические пути отсутствуют.
Дальнейшая оптимизация стала невозможной, поскольку
все
работы
критического пути L4кр  12
, ,4,5 исчерпали свой запас времени ускорения, а значит
проект не может быть выполнен меньше, чем за Tк4р  7 дней.
Таким образом, при отсутствии ограничений на затраты минимально возможная
длительность проекта составляет 7 дней. Сокращение длительности проекта с 16 до
7 дней потребовало 28,00 рублей прямых затрат. В отличие от прямых затрат при
уменьшении продолжительности проекта косвенные затраты ( C к  1,50 руб./день)
убывают, что показано на графике (см. рис.3.7). Минимум общих затрат (точка А)
соответствует продолжительности проекта 14 дней.
Если же учитывать ограничение по средствам, выделенным на выполнение
проекта, C 0  73,00 рубля, то оптимальным является выполнение проекта за 9 дней
(точка B).
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Суть оптимизации сетевых моделей по критерию "Время - затраты".
2. Объяснить смысл исходных данных Tн i, j , Tу i, j , С н i, j , С п i, j .
3. Какими свойствами должна обладать работа, выбираемая на конкретном шаге
для сокращения?
4. Экономический смысл коэффициента нарастания затрат, его единица
измерения, способ расчета.
5. Прокомментировать графики прямых, косвенных и общих затрат для
проведенной оптимизации, а также принятое решение о минимальной длительности
проекта, учитывающее ограничение по затратам C 0 .
6. Как определяется время сокращения проекта на конкретном шаге?
7. Как определяется сумма, на которую возрастает стоимость проекта на
конкретном шаге оптимизации?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 11
ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
1.10. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
MS Excel обеспечивает эффективную поддержку для проведения регрессионного
анализа. Цель работы - освоение инструмента парной линейной регрессии в MS
Excel.
Парной линейной регрессией называется зависимость
^
y = b0 + b1x
выборочного условного математического ожидания от переменной х. Термин
«парная»
означает зависимость двух переменных Y, X. Термин «линейная» означает их
линейную
зависимость.
Условное выборочное математическое ожидание – это выборочное среднее значение
величины Y при условии, что переменная X приняла значение х.
Модель наблюдения
yi = b0 + b1x + ei,
b0 – оценка свободного члена β0,
b1 – оценка углового коэффициента β1.
1.11. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
В некоторой фирме имеются статистические данные (xi, yi).
xi - независимая(объясняющая) переменная - расходы на рекламу продукции фирмы;
yi - зависимая(объясняемая) переменная - объём продаж, соответствующий расходам
xi. Следует построить линейную регрессионную модель, объясняющую, как
повышение бюджета на рекламу влияет на объём продаж.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
Исходные данные приведены в следующей таблице.
Последовательность выполнения работы состоит в следующем.
1. Ввести исходные данные.
2. Построить точечную диаграмму.
3. Выделить диаграмму. Выбрать команду Диаграмма/ Добавить линию тренда.
4. Выбрать тип аппроксимации Линейная.
5. Щёлкнуть на вкладке Параметры и установить флажки как на
следующем рисунке.
6. Отредактировать положение и величину шрифта уравнения регрессии.
7. Ответить на контрольные вопросы.
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Что такое условное математическое ожидание Mx(Y)?
2. Что такое корреляционная и регрессионная зависимости Y от X?
3. Что такое модельное уравнение регрессии?
4. Что такое спецификация модели регрессии, объясняемая и
переменные, параметры модели?
5. Почему невозможно получить модельное уравнение регрессии?
6. Что такое выборочное уравнение регрессии?
7. Что такое выборочное условное среднее?
8. Каковы задачи регрессионного анализа?
9. Какие модели наблюдения соответствуют модельному и
уравнению регрессии?
10. Что такое парная линейная регрессия, для чего она используется?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №12
НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ РЕГРЕССИИ И ИХ
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
1.12. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Цель работы состоит в освоении способов линеаризации некоторых
нелинейных зависимостей.
1.13. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задана нелинейная спецификация модели
y = f(x,a,b,ε),
Требуется вычислить искомые оценки параметров a, b исходной регрессии.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
В следующих двух таблицах приведены массивы данных и
соответствующие им нелинейные спецификации.
1
2
3
4
5
a
a
1
x
x
y  b   , a y 0 b  x  ,
y b+ax+ y b+ax+x, y b+ax+x ,
x
X
Y
X
Y
X Y b>0
X
Y
X
Y
b<0
0,91 2,34 0,87 0,85 0,44 1,001 0,594 0,704 0,64
1,96
1,25
1,71
-1,26 1,92
0,30
2,001 0,734 0,899 0,541
6
3
5
5
9
2,92
0,84
3,21
0,42
0,16
3,001 0,83 1,099 0,468
8
4
5
0,15 3,22
7
5
4,07
0,71
4,29
0,48
4,04
0,13
4
0,825 1,297 0,459
8
1
6
4
2
3
5,07
0,58
4,57
0,52
5,19
0,10
5,002
0,855 1,495 0,421
6
2
1
8
7
3
5,92
0,56
5,52
0,66
6,01
0,11
6,003
0,906 1,698 0,404
9
5
2
2
7
7
7,03
0,55
7,36
0,76
7,08 0,11
6,996 0,915 1,897 0,413
2
2
6
3
9
8,03
0,43
8,16
0,78
8,00
0,11
8,003 0,919 2,103 0,382
4
6
3
1
9
4
9,02
0,38
9,21
0,73
8,86
0,09
8,999 0,967 2,3 0,392
4
9
2
6
8
9
2
4
7
4
5
8
9,94
11,0
12,0
5
13,0
5
14,0
9
15,0
7
15,9
8
16,9
2
17,9
4
19,0
7
20,0
9
7
0,35
0,36
7
0,40
5
0,35
4
0,31
4
0,30
7
0,25
6
0,37
1
50,34
0,34
0,37
7
2
6
y=beax+s, a>0
X
11,64
21,66
29,19
40,39
50,72
61,01
9,54
11,2
6
12,1
2
13,1
5
14,2
3
15,3
4
16,1
6
16,9
2
18,3
3
318,9
20,2
9
Y
4,198
5,322
4,401
5,101
7,306
7,358
0,80 10,1 0,10 9,997 0,978 2,504 0,375
0,84
10,7
0,07
11,00 0,93 2,699 0,375
6
9
1
0,81
11,9
0,06
12
0,988 2,905 0,378
2
8
2
0,87
13,1
0,05
13
0,937 3,1 0,371
4
9
4
0,82 14,2
0,06
14
0,966 3,3 0,367
7
8
0,82
15,2
0,05
15
0,994 3,496 0,354
8
5
4
0,88
16,1
0,05
16
0,969 3,698 0,384
5
2
4
0,91
16,8
0,05
17
0,991 3,904 0,354
1
1
1
0,89
17,8
0,04
18
1,007 4,103 0,346
1
6
0,88
19,2
0,05
19
0,94 4,302 0,343
4
7
9
0,86
20,0
0,05
20
0,983
4,499 0,366
8
2
3
8
8
7
8
9
10
y=beax+s, a<0 y=bea/x+e
1
y=bxaes
y=
-x
X
Y
X
Y b+ae
X +ε Y
X
Y
0,537 2,477 1,03 9,11 -0
0,167 0,01 0,141
2,163 2,148 81,49 9,36
0,443 0,25 0,46 1,161
4
5,639 1,485 2,03 9,54
0,877 0,332 0,91 1,618
8
6,615 0,721 2,51 9,64
1,333 0,395 1,36 1,833
2
6,023 0,981 2,97
9,63
1,825 0,592 1,81 1,792
5
1
8,331 0,848 3,51
9,73
2,25 0,725 2,26 2,117
2
8
2
2
67,67 7,862 11,94 0,699 4,02 9,72 2,656 0,703 2,71 3,008
77,61 9,336 13,42 0,44 4,51
9,79
3,1 0,837 3,16 2,252
2
3
89,6 9,166 14,97 0,417 5,03
9,84
3,648 0,727 3,61 2,586
3
3
101,1 10,59 18,86 0,3 5,45
9,83
4,037 0,906 4,06 3,522
7
8
108,6 12,63 17,88 0,243 6,00
9,84
4,531 0,904 4,51 3,298
8
6
122,3 13,38 20,2 0,215 6,48
9,86
4,919 0,978 4,96 3,249
9
7
128,8 16,49 23,73 0,168 7,02
9,89
5,438 0,995 5,41 4,21
9
1
139,3 14,29 28,31 0,101 7,54
9,88
5,832 1,007 5,86 4,315
8
6
152,4 16,39 27,87 0,11 8,02
8
29,84 6,254 0,882 6,31 3,979
158,5 16,5 28,82 0,151 8,54
9,93 6,744 1,057 6,76 3,362
7
168,6 26,37 31,89 0,06 9,04
9,87
7,153 1,251 7,21 4,675
4
2
177,9 28,2 33,17 0,093 9,54
9,94
7,637 0,947 7,66 3,733
5
8
190 29,45 36,9 0,04 9,98
9,86
8,087 1,113 8,11 5,159
8
4
199,1 34,01 38,04 0,041 10,5
9,93
8,502 0,972 8,56 4,023
7
4
Последовательность выполнения
работы
состоит в следующем.
3
9
1. Сформировать точеченую диаграмму.
2. Модифицировать данные в соответствии с таблицей, приведённой в разделе 12.3.
3. Построить диаграмму, содержащую облако рассеяния преобразованных данных.
Добавить линию тренда.
4. Сформировать массив остатков, их знаков, построить диграмму, содержащую эти
данные, вычислить статистику Дарбина-Уотсона.
5. Найти оценки модифицированной линейной регрессии a*, b*.
6. Вычислить оценки параметров a, b исходной регрессии в соответствии с таблицей.
7. Сформировать массив значений нелинейной спецификации с полученными
оценками a, b и поместить этот массив на диаграмму с исходными данными как на
следующем рисунке
8. Сформировать ряд остатков от исходной регрессии и их знаков, вычислить
статистику Дарбина-Уотсона.
9. Построить диаграмму остатков и их знаков.
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Что такое линеаризация нелинейной регрессии?
2. Объяснить способы линеаризации, приведённые в таблице.
3. Прокомментировать облако рассеяния, полученное для
преобразованных данных и статистику Дарбина-Уотсона для остатков.
4. Прокомментировать взаимное расположение облака рассеяния данных и
графика исходной регрессии.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13
ИЗУЧЕНИЕ СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ
1.14. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Используя методы моделирования с помощью целевой функции потребления
научиться находить оптимальный набор функции спроса и предложения, функции
спроса по доходу с помощью программыExcel.
1.1. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Компания, занимающаяся ремонтом автомобильных дорог, в следующем месяце
будет проводить ремонтные работы на пяти участках автодорог. Песок на участки
ремонтных работ может доставляться из трех карьеров, месячные объемы
предложений по карьерам известны. Из планов производства ремонтных работ
известны месячные объемы потребностей по участкам работ. Имеются
экономические оценки транспортных затрат (в у.е.) на перевозку 1 тонны песку с
карьеров на ремонтные участки.
Числовые данные для решения содержатся ниже в матрице планирования (рис.
1).
Требуется:
1. Предложить план перевозок песка на участки ремонта автодорог, который
обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.
2. Определить, что произойдет с оптимальным планом, если изменятся
условия перевозок: а) появится запрет на перевозки от первого карьера до второго
участка работ; б) по этой коммуникации будет ограничен объем перевозок 3 тоннами.
Участок работ
Карьер
А1
А2
А3
Потребности
В1
В2
В3
В4
В5
Предложение
5
23
30
8
15
8
1
9
3
13
5
13
6
27
24
8
10
12
25
12
9
11
14
Рис. 1 Матрица планирования
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
2.1 Обозначим через С матрицу планирования перевозок, где строки
соответствуют карьерам, а столбцы – участкам работ.
5 15 3 6 10 


С  23 8 13 27 12
30 1 5 24 25 


Через Х обозначим объем перевозок, который также запишем в виде матрицы.
 Х 11

Х   Х 21
Х
 31
Х 12
Х 13
Х 14
Х 22
Х 23
Х 24
Х 32
Х 33
Х 34
Х 15 

Х 25 
Х 35 
2.2 Целевую функцию можно найти по формуле:
ЦФ = 5Х11+ 15Х12+ 3Х13+ 6Х14+ 10Х15+ 23Х21+ 8Х22+ 13Х23+ 27Х24+ 12Х25+ 30Х31+
1Х32+ 5Х33+ 24Х34+ 25Х35 → min
2.3 Найдем спрос и предложение:
Спрос = 8 + 9 + 13 + 8 + 12 = 50
Предложение = 9 + 11 + 14 = 34
Это транспортная задача открытого вида, которую нужно привести к закрытому
виду и решить.
По свойству, если суммарное предложение < суммарного спроса, то вводят
фиктивного поставщика. В нашем случае - фиктивный карьер, предложение которого
будет равно 50 – 34 = 16. А транспортные затраты будут равны нулю.
2.4 Нужно ввести исходные данные на рабочий лист Excel (рис. 2).
Рис. 2 Расположение исходных данных на листе Excel
2.5 Введем необходимые формулы.
В ячейке В12 запишем следующую формулу: =СУММ(B8:B11).
Размножим введенную в ячейку В12 формулу для ячеек C12-F12 данной строки.
В ячейку G8 внесем следующую формулу: =СУММ(B8:F8).
И размножим ее для ячеек G9-G11.
В ячейку G12 введем формулу: =СУММПРОИЗВ(B2:F5;B8:F11).
В этой ячейке будет находиться оптимальное значение целевой функции.
2.6 Все введенные формулы можно увидеть на рисунке 3.
Рис. 3Лист Excel в режиме отображения формул
2.7 Для отображения формул нужно зайти в меню «Сервис» в пункт
«Параметры» и поставить флажок напротив пункта «Формулы» (рис. 4).
Рис. 4 Меню «Параметры»
2.8 Теперь заходим в меню «Сервис», запускаем команду «Поиск решения» и
вводим следующие параметры (рис. 5).
Рис. 5 Ввод данных для поиска решения
2.9 Дальше заходим в «Параметры» и ставим флажок напротив пункта
«Неотрицательные значения» (рис. 6).
Рис. 6 Ввод параметров поиска решения
2.10 Теперь нужно нажать ОК, а потом - Выполнить. Появится диалоговое окно
«Результаты поиска решения», где нужно указать типы отчетов (по результатам,
устойчивости, пределам) и нажать ОК. Получим решение задачи (рис. 7).
Рис. 7 Решение задачи
2.11 Можно сделать следующий вывод: минимум затрат на доставку песка,
равный 195 у.е, будет обеспечен при следующем плане поставок:

от первого карьера первому участку работ в объеме 1 ед. и третьему в
объеме 8 ед.;

от второго карьера пятому участку работ в объеме 11 ед.;

от третьего карьера второму участку работ в объеме 9 ед. и третьему в
объеме 5 ед.;

от четвертого карьера первому участку работ в объеме 7 ед., четвертому
участку в объеме 8 ед. и пятому участку в объеме 1 ед.
2.12 Определим, что произойдет с оптимальным планом, если появится запрет на
перевозки от первого карьера до второго участка работ. Для этого в ячейку С2 введем
большое число (например, 1000) и снова вызовем команду «Поиск решения» (рис. 8).
Рис. 8 Поиск решения
2.13 С оптимальным планом ничего не произошло (рис. 9), потому что из-за
больших транспортных затрат по этой коммуникации объем перевозок был равен
нулю, а мы еще больше увеличили транспортные затраты.
Рис. 9 Оптимальный план при вводе запрета
2.14 Теперь определим, что произойдет с оптимальным планом, если по этой
коммуникации будет ограничен объем перевозок 3 тоннами. Для этого в «Поиске
решений» введем еще одно ограничение (рис. 10).
Рис. 10 Ввод дополнительного ограничения
2.15 По этой коммуникации объем перевозок был равен нулю из-за высоких
транспортных затрат, а мы еще ввели ограничение (объем перевозок меньше либо
равен 3), поэтому с оптимальным планом ничего не произошло (рис. 11).
Рис. 11 Оптимальный план при вводе дополнительного ограничения
2.16 Разберем полученный отчет по результатам (рис. 12)
Рис. 12 Отчет по результатам
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1.Какая задача называется открытой транспортной задачей?
2. Как приводят задачу открытого вида к закрытому?
3. Какие преобразования необходимо произвести для отображения формул?
4. Как работу с параметром «Поиск решения»?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 14
ОПТИМИЗАЦИЯ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
1.15. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Выработать у студентов навыки построения математических моделей
межотраслевого баланса в статистических случаях и оптимизации моделей в рамках
межотраслевого баланса. Научиться делать выводы в рамках построения моделей.
1.16. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Балансовые модели: Модель Леонтьева
Даны коэффициенты прямых затрат aij
и конечный продукт Yi
трехотраслевой экономической системы:
 0,0 0,1 0,2 


А =  0,1 0,2 0,1  , Y =
 0,2 0,1 0,2 


180 


 200 
 200 


Требуется определить:
1. Коэффициенты полных затрат.
2. Вектор валового выпуска.
для
3. Межотраслевые поставки продукции.
4. Проверить продуктивность матрицы А.
5. Заполнить схему межотраслевого баланса.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
Для решения задачи воспользуемся функциями Excel.
В таблице приведены результаты решения задачи по первым трем пунктам.
1. В ячейки В6:D6 запишем элементы матрицы E-A. Массив E-A задан как
диапазон ячеек.
2. Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат В = (E-A)-1. Выделим
диапазон В10:D12 для размещения обратной матрицы и введем формулу для
вычисления МОБР(В6:D8). Для того, чтобы ввести эту формулу, необходимо
вызвать «Мастера функций», щелкнув на значок на панели инструментов, выбрать в
окне Категории выбрать «Математические». Далее в окне «Выберите функцию»
выбрать МОБР и нажать кнопку ОК.
Появится окно Аргументы функции в строку «Массив» введем ячейки B6:D8
Затем следует нажать клавиши CTRL + SHIFT + ENTER:
Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны,
следовательно, матрица А продуктивна (ответ на п. 1 и 4).
3. Вычислим вектор валового выпуска X по формуле X = BY.
В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продукта Y. Выделим
диапазон В15:D17 для размещения вектора валового выпуска X. Затем вводим
формулу для вычислений МУМНОЖ (В10:D12, G10:G12). Затем следует нажать
клавиши CTRL + SHIFT + ENTER.
1. Межотраслевые поставки Xij вычисляю по формуле Xij = aijXj.
2. Далее заполняем схему межотраслевого баланса:
Производящие
отрасли
1
2
3
Условно
чистая
продукция
Валовой
продукт
Потребляющие
отрасли
1
2
3
0
33,1
72,6
28,56 66,2
36,3
57,12 33,1
72,6
200,02 198,7
181,3
285,7
362,8
331,1
Конечный Валовый
продукт продукт
180
285,7
200
331,1
200
362,8
580
979,6
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Что из себя представляет балансовая модель
2. Ч то такое коэффициенты полных затрат?
3. Какой вектор называется вектором валового выпуска?
4. Какие поставки продукции называются межотраслевыми?
5.Как проверяют продуктивность матрицы А?
6 Как заполняется схема межотраслевого баланса?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 15
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА
1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков решения задач экономико-математической модели
межотраслевого баланса в табличном редакторе Microsoft Excel.
1.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задаче, соответствующей номеру Вашего варианта, найдите оптимальное
решение в табличном редакторе Microsoft Excel и продемонстрируйте его
преподавателю.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL ДЛЯ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.3.1 Основные сведения
Рассмотрим модель межотраслевого баланса, называемую еще моделью
Леонтьева или моделью «затраты-выпуск».
Предположим, что производственный сектор народного хозяйства разбит на n
отраслей (энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.д.).
Рассмотрим отрасль i, i = 1, 2,…, n. Она выпускает некую продукцию за данный
промежуток времени (например, за год) в объеме xi, который еще называют валовым
выпуском. Часть объема продукции xi , произведенная i-ой отраслью используется
для собственного производства в объеме xii , часть – поступает в остальные отрасли j
= 1, 2,…, n для потребления при производстве в объемах xij , и некоторая часть
объемом yi – для потребления в непроизводственной сфере, так называемый объем
конечного потребления. Перечисленные сферы распределения валового продукта i-ой
отрасли приводят к соотношению баланса
n
xi  x  x    xin  yi   x  y
i1 i 2
ij
i
j 1
, i = 1, 2,…, n .
Введем коэффициенты прямых затрат aij , которые показывают, сколько
единиц продукции i-ой отрасли затрачивается на производство одной единицы
продукции в отрасли j. Тогда можно записать, что количество продукции,
произведенной в отрасли i в объеме xij и поступающей для производственных нужд в
отрасль j, равно
xij  aij x j
Считаем сложившуюся технологию производства во всех отраслях неизменной
(за рассматриваемый период времени), означающую, что коэффициенты прямых
затрат aij постоянны. Тогда получаем следующее соотношение баланса, называемого
моделью Леонтьева
n
xi   a x  y
ij j
i
j 1
, i = 1, 2,…, n .
(1)
Введя вектор валового выпуска X, матрицу прямых затрат A и вектор
конечного потребления Y
y 
 a 
1n
 1

 , Y    


y 
 a nn 
 n

модель Леонтьева (1) можно записать в матричном виде
X = AX + Y
(2)
Матрица A ≥ 0, у которой все элементы aij ≥ 0 (неотрицательны), называется
продуктивной матрицей, если существует такой неотрицательный вектор X ≥ 0, для
которого выполняется неравенство
X > AX.
Это неравенство означает, что существует хотя бы один режим работы отраслей
данной экономической системы, при котором продукции выпускается больше, чем
затрачивается на ее производство. Другими словами, при этом режиме создается
конечный (прибавочный) продукт Y = X – AX > 0.
Модель Леонтьева с продуктивной матрицей A называется продуктивной
моделью.
Для проверки продуктивности матрицы A достаточно существования обратной
матрицы B = (E – A)-1 с неотрицательными элементами, где матрица E – единичная
матрица
x 
 1
X    ,


x 
 n
a
 11
A   
a
 n1
0
1


E   
0
1  .

С помощью модели Леонтьева (2) можно выполнить три вида плановых
расчетов, при условии соблюдения условия продуктивности матрицы A:
1) Зная (или задавая) объемы валовой продукции всех отраслей X можно
определить объемы конечной продукции всех отраслей Y
Y = (E – A)X
2) Задавая величины конечной продукции всех отраслей Y можно определить
величины валовой продукции каждой отрасли
X = (E – A)-1Y
(3)
3) Задавая для ряда отраслей величины валовой продукции, а для всех
остальных отраслей – объемы конечной продукции, можно найти величины конечной
продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.
Матрица
B = (E – A)-1
называется матрицей полных материальных затрат. Ее смысл следует из матричного
равенства (3), которое можно записать в виде X = BY. Элементы матрицы B
показывают, сколько всего необходимо произвести продукции в i-ой отрасли, для
выпуска в сферу конечного потребления единицы продукции отрасли j.
1.3.2 Пример с использованием технологии Excel
Задача. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.3 0.1 0.4 
 200 




A   0.2 0.5 0.0 , Y   100 
 0.3 0.1 0.2 
 300 



.
Определить:
1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B
2) Проверить продуктивность матрицы A
2) Вектор валового выпуска X
3) Межотраслевые поставки продукции xij
1.3.3 Математическая модель и последовательность расчетов
Модель Леонтьева имеет вид
X = AX + Y.
Матрица полных материальных затрат B равна
B = (E – A)-1
Продуктивность матрицы A проверяется, по вычисленной матрице B. Если эта
матрица существует и все ее элементы неотрицательны, то матрица A продуктивна.
Вектор валового выпуска X рассчитывается по формуле
X = BY
Межотраслевые поставки продукции xij вычисляются по формуле
xij = aij xj
1.3.4 Процесс решения задачи средствами Microsoft Excel
Для решения задачи межотраслевого баланса необходимо уметь выполнять с
помощью Excel следующие операции над матрицами:
- Умножение матрицы на вектор
- Умножение двух матриц
- Транспонирование матрицы или вектора
- Сложение двух матриц
1. Задание Исходных данных задачи
Вызовите Microsoft Excel.
Введите матрицу A в ячейки с адресами А2:С4 и вектор Y в ячейки с адресами
Е2:Е4 (рис. 1).
Рис. 1. Задание исходных данных и последовательное выполнение
плановых расчетов
2. Вычисление матрицы коэффициентов полных материальных затрат B.
2.1. Введите единичную матрицу Е в ячейки с номерами А7:С9.
2.2. Вычислите матрицу Е – А. Матрица Е – А является разностью двух матриц Е и А.
Для вычисления разности двух матриц необходимо проделать следующее:
- установите курсор мыши в левый верхний угол (это ячейка с адресом А12)
результирующей матрицы Е – А, которая будет расположена в ячейках с адресами
А12:С14;
- введите формулу =А7-А2 для вычисления первого элемента результирующей
матрицы Е – А, предварительно установив английскую раскладку клавиатуры;
- введенную формулу скопируйте во все остальные ячейки результирующей
матрицы. Для этого, установите курсор мыши в ячейку А12; наведите указатель
мыши на точку в правом нижнем углу ячейки, так чтобы указатель мыши принял вид
крестика; при нажатой левой кнопке мыши протяните указатель до ячейки С12, а
затем так же протяните указатель мыши до ячейки С14.
В результате в ячейках А12:С14 появится искомая матрица, равная разности
двух исходных матриц Е и А.
2.3. Вычислите матрицу B = (E – A)-1 , являющейся обратной по отношению к
матрице Е – А. Матрица Е – А расположена в ячейках с адресами А12:С14. Для
вычисления матрицы В необходимо проделать следующее:
- выделите диапазон ячеек А17:С19 для размещения матрицы В;
- нажмите на панели инструментов кнопку Вставка, а затем кнопку Функция. В
появившемся окне в поле Категория выберите Математические, а в поле Выберите
функцию – имя функции МОБР. Щелкните на кнопке ОК;
- появившееся диалоговое окно МОБР мышью отодвиньте в сторону от
исходной матрицы Е – А и введите диапазон матрицы Е – А (диапазон ячеек
А12:С14) в рабочее поле Массив (протащив указатель мыши при нажатой левой
кнопке от ячейки А12 до ячейки С14);
- нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. Обратите внимание, что
нажимать надо не клавишу ОК(!), а именно комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.
В диапазоне ячеек А17:С19 появится искомая обратная матрица (E – A)-1 , равная
матрице B.
3. Проверка продуктивности матрицы А.
Поскольку матрица В найдена, следовательно она существует. Все элементы матрицы
В неотрицательны, поэтому матрица В – продуктивна.
4. Вычисление вектора валового выпуска X.
Вычисление вектора валового выпуска X находим по матричной формуле X = BY, в
которой матрица В вычислена, а вектор Y задан.
Вычисление вектора X = BY производится с помощью операции умножения
матриц, а в данном случае – умножения матрицы В на вектор Y. Для этого
необходимо:
- выделить диапазон ячеек Е7:Е9, где будет расположен вектор Х. Обратите
внимание, что по правилам умножения матриц, размерность результирующей
матрицы Х должна быть равна количеству строк матрицы В на количество столбцов
матрицы Y. В нашем случае, размерность вектора Х равна: три строки на один
столбец;
- нажать на панели инструментов кнопку Вставка, а затем кнопку Функция. В
появившемся окне в поле Категория выберите Математические, а в поле Выберите
функцию – имя функции МУМНОЖ. Щелкните на кнопке ОК;
- появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте в сторону от
исходных матриц В и Y и введите диапазон матрицы В (диапазон ячеек А17:С19) в
рабочее поле Массив 1 (протащив указатель мыши при нажатой левой кнопке от
ячейки А17 до ячейки С19), а диапазон вектора Y (ячейки Е2:Е4) в рабочее поле
Массив 2 (рис. 2);
Рис. 2. Диалоговое окно умножения матриц МУМНОЖ
- нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. Обратите внимание, что
нажимать надо не клавишу ОК(!), а именно комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.
В диапазоне ячеек Е7:Е9 появится искомый вектор Х.
5. Вычисление межотраслевых поставок продукции xij
Межотраслевые поставки продукции xij вычисляются по формуле
xij = aij xj ,
где aij – элементы исходной матрицы А, расположенной в ячейках А2:С4, x j –
элементы вектора Х, найденного выше в п. 4 и расположенные в ячейках Е7:Е9.
Для проведения вычислений xij необходимо проделать следующее.
5.1. Вычислить транспонированный вектор Хт относительно вектора Х. При этом
вектор-столбец Х станет вектором-строкой Хт. Это необходимо для согласования
размерностей дальнейшего умножения элементов векторов.
С этой целью:
- выделить указателем мыши при нажатой левой кнопке ячейки Е12:G12, в
которых будет располагаться транспонированный вектор Хт ;
- нажать на панели инструментов кнопку Вставка, а затем кнопку Функция. В
появившемся окне в поле Категория выберите Ссылки и массивы, а в поле
Выберите функцию – имя функции ТРАНСП (рис. 3). Щелкните на кнопке ОК;
- появившееся диалоговое окно ТРАНСП мышью отодвиньте в сторону от
исходного вектора Х и введите диапазон вектора Х (диапазон ячеек Е7:Е9) в рабочее
поле Массив (протащив указатель мыши при нажатой левой кнопке от ячейки Е7 до
ячейки Е9);
- нажмите сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Рис. 3. Диалоговое окно транспонирования матрицы
ТРАНСП
В результате в поле ячеек Е12:G12 расположится транспонированный вектор Хт .
5.2. Вычислить межотраслевые поставки продукции xij . Для этого проделать
следующие операции:
- поставить курсор мыши в ячейку А22, в которой будет расположено значение
x11. В этой ячейке набрать формулу =A2*E12, которая означает, что x11 = a11 x1 .
- введенную формулу скопируйте во все остальные ячейки первой строки (в
ячейки А22:С22, протащив мышью крестик в правом нижнем углу от ячейки А22 при
нажатой левой кнопке мыши, до ячейки С22. При этом будут вычислены x12 = a12 x2 и
x13 = a13 x3 .
Затем в ячейке А23 наберите формулу =A3*E12 и повторяя аналогичную
процедуру, получите значения x21 = a21 x1 , x22 = a22 x2 и x23 = a23 x3 . Повторите
аналогичные действия для ячеек А24:С24.
В результате все межотраслевые поставки продукции будут найдены и
расположатся в матрице с ячейками А22:С24.
1.3.5 Индивидуальные задания
Задание 1. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.33 0.32 0.21
 200 




A   0.22 0.31 0.0 , Y   150 
 0.11 0.25 0.35 
 250 



.
Определить: 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B. 2)
Проверить продуктивность матрицы A. 2) Вектор валового выпуска X. 3)
Межотраслевые поставки продукции xij
Задание 2. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.12 0.20 0.3 
 300 




A   0.25 0.35 0.15 , Y   150 
 0.33 0.00 0.45 
 450 



.
Определить: 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B. 2)
Проверить продуктивность матрицы A. 2) Вектор валового выпуска X. 3)
Межотраслевые поставки продукции xij
Задание 3. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.55 0.20 0.15 
 400 




A   0.15 0.35 0.25 , Y   150 
 0.00 0.25 0.15 
 550 



.
Определить: 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B. 2)
Проверить продуктивность матрицы A. 2) Вектор валового выпуска X. 3)
Межотраслевые поставки продукции xij
Задание 4. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.40 0.25 0.00 
 830 




A   0.14 0.52 0.15 , Y   620 
 0.17 0.20 0.3 
 280 



.
Определить: 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B. 2)
Проверить продуктивность матрицы A. 2) Вектор валового выпуска X. 3)
Межотраслевые поставки продукции xij
Задание 5. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.05 0.22 0.26 
 430 




A   0.58 0.11 0.0 , Y   650 
 0.17 0.34 0.37 
 910 



.
Определить: 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B. 2)
Проверить продуктивность матрицы A. 2) Вектор валового выпуска X. 3)
Межотраслевые поставки продукции xij
Задание 6. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.11 0.25 0.10 
 1200 




A   0.12 0.16 0.40 , Y   1150 
 0.11 0.28 0.33 
 2350 



.
Определить: 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B. 2)
Проверить продуктивность матрицы A. 2) Вектор валового выпуска X. 3)
Межотраслевые поставки продукции xij
Задание 7. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.17 0.23 0.31
 2500 




A   0.27 0.13 0.03, Y   1650 
 0.17 0.23 0.53
 2950 



.
Определить: 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B. 2)
Проверить продуктивность матрицы A. 2) Вектор валового выпуска X. 3)
Межотраслевые поставки продукции xij
Задание 8. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.31 0.22 0.11 
 6600 




A   0.23 0.31 0.10 , Y   3150 
 0.41 0.20 0.13 
 3950 



.
Определить: 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B. 2)
Проверить продуктивность матрицы A. 2) Вектор валового выпуска X. 3)
Межотраслевые поставки продукции xij
Задание 9. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.00 0.52 0.00 
 9800 




A   0.27 0.31 0.33 , Y   450 
 0.63 0.12 0.00 
 150 



.
Определить: 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B. 2)
Проверить продуктивность матрицы A. 2) Вектор валового выпуска X. 3)
Межотраслевые поставки продукции xij
Задание 10. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.21 0.42 0.00 
 1200 




A   0.32 0.31 0.20 , Y   6150 
 0.41 0.21 0.23 
 7250 



.
Определить: 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B. 2)
Проверить продуктивность матрицы A. 2) Вектор валового выпуска X. 3)
Межотраслевые поставки продукции xij
Задание 11. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.17 0.12 0.19 
 500 




A   0.28 0.21 0.08 , Y   750 
 0.19 0.32 0.35 
 350 



.
Определить: 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B. 2)
Проверить продуктивность матрицы A. 2) Вектор валового выпуска X. 3)
Межотраслевые поставки продукции xij
Задание 12. Экономическая система состоит из трех отраслей, для которых матрица
прямых затрат A и вектор конечного продукта Y известны:
 0.21 0.42 0.21 
 2900 




A   0.32 0.31 0.10 , Y   1950 
 0.41 0.12 0.13 
 2950 



.
Определить: 1) Матрицу коэффициентов полных материальных затрат B. 2)
Проверить продуктивность матрицы A. 2) Вектор валового выпуска X. 3)
Межотраслевые поставки продукции xij
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Как еще называют модель межотраслевого баланса?
2. Что показывает коэффициенты прямых затрат?
3. Какая матрица называется продуктивной матрицей?
4. Какая матрица называется матрицей полных материальных затрат?
5. В чем заключается смысл матрицы полных материальных затрат?
6. Что называется вектором валового выпуска?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 16
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МЕЖДУНАРОДНОЙ ТОРГОВЛИ
1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков решения задач экономико-математической модели
международной торговли в табличном редакторе Microsoft Excel.
1.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задаче, соответствующей номеру Вашего варианта, найдите оптимальное
решение в табличном редакторе Microsoft Excel и продемонстрируйте его
преподавателю.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL ДЛЯ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.3.1 Основные сведения
Рассмотрим бюджеты n стран, которые обозначим как x1, x2, … , xn.
Предположим, что национальный доход xj страны j затрачивается на закупку
товаров внутри страны и на импорт из других стран.
Обозначим через xij количество средств страны j расходуемое на закупку
товаров из страны i, при этом xjj – затраты на закупку товаров внутри страны j. Тогда
сумма всех затрат страны j, идущее на закупку товаров как внутри страны, так и на
импорт из других стран должна равняться национальному доходу страны x j, т.е.
n
x  x    x jj    x nj   x  x
1j
2j
ij
j
i 1
, j = 1, 2,…, n . (4)
a  xij / x j
Разделив обе части равенства (4) на xj и введя коэффициенты ij
получим
n
 aij  1
i 1
, j = 1, 2,…, n
(5)
a
Коэффициенты ij равны доли национального дохода страны j расходуемую на
закупку товаров у страны i.
a
Матрица A коэффициентов ij
a
 11
A   
a
 n1
 a 
1n

 
 a 
nn 
(6)
называется структурной матрицей торговли. Понятно, что сумма элементов каждого
столбца равна единице.
С другой стороны, количество средств страны j расходуемое на закупку товаров
из страны i и равное xij, является выручкой для страны i за свой товар, который у нее
p
закупила страна j. Суммарная выручка i-ой страны i равна
n
pi  x  x    xij    xin   x
i1 i 2
ij
j  1 , i = 1, 2,…, n
(7)
a  xij / x j
x  aij x j
Так как ij
, то ij
и равенство (7) можно записать в виде
n
pi  a x  a x    aij x j    ain x n   a x
i1 1 i 2 2
ij j
j 1
, i = 1, 2,…, n . (8)
Международная торговля называется сбалансированной, если сумма платежей
(затрат) каждого государства равна его суммарной выручке от внешней и внутренней
торговли.
В сбалансированной системе международной торговли не должно быть
дефицита, другими словами, у каждой страны выручка от торговли должна быть не
меньше ее национального дохода, т.е.
pi  xi
, i = 1, 2,…, n .
Одновременное выполнение этих неравенств может иметь место только в том случае,
если
pi  xi
, i = 1, 2,…, n , (9)
т.е. у всех торгующих стран выручка от внешней и внутренней торговли должна
совпадать с национальным доходом.
Равенства (9), с использованием (8), можно записать в матричном виде
AX = X
(10)
где А – структурная матрица (6) международной торговли; Х – вектор национальных
доходов стран
x 
 1
X   


x 
 n .
Матричное уравнение (10) соответствует задаче на собственное значение и
собственный вектор матрицы А. Очевидно, что собственное значение матрицы А,
согласно уравнению (10), равно 1, а собственный вектор, соответствующий этому
собственному значению, равен Х.
Таким образом, баланс в международной торговле достигается тогда, когда
собственное значение структурной матрицы международной торговли равно единице,
а вектор национальных доходов торгующих стран является собственным вектором,
соответствующим этому единичному собственному значении.
С помощью линейной модели международной торговли можно, зная
структурную матрицу международной торговли А найти такие величины
национальных доходов торгующих стран (вектор Х), чтобы международная торговля
была сбалансированной.
1.3.2 Моделирование с использованием технологии Excel.
Определение собственного вектора X матрицы А с помощью средств Microsoft
Excel невозможно.
Поэтому математическую модель международной торговли сводят к задаче
линейного программирования. Для этого, систему уравнений
(A – E)X = 0,
где Е – единичная матрица
0
1


E   
0
1 

которая получается из уравнений (10) переносом правой части в левую, трактуют как
ограничения-равенства.
Кроме того, вводят новое ограничение-неравенство
x  x    xn  S
1
2
,
отражающее условие, по которому сумма бюджетов всех стран должна быть не
больше заданной величины S.
В качестве целевой функции вводится сумма бюджетов всех стран, которая
должна достигать максимума:
x  x    x n  max
1
2
Итак, математическая модель сбалансированной международной торговли
сводится к следующей оптимизационной задаче линейного программирования.
Необходимо найти максимум целевой функции
F  x  x    x n  max
1
2
при ограничениях:
(a  1) x  a x    a x n  0
11
1 12 2
1n
a x  (a  1) x    a x n  0
21 1
22
2
2n

a x  a x    (a nn  1) x n  0
n1 1
n2 2
x  x    xn  S
1
2
1.3.3 Пример с использованием технологии Excel
x , x , x ,x
Задача. Найти национальные доходы 1 2 3 4 четырех торгующих стран в
сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица
торговли этих четырех стран равна
 0,2

 0,3
A
0,4

 0,1
0,2 0,1 0,1 

0,3 0,1 0,2 
0,3 0,5 0,4 

0,2 0,3 0,3  ,
а сумма бюджетов стран не превышает 7680 млн.ден.ед.
1.3.4 Математическая модель
F  x  x  x  x  max
1
2
3
4
при ограничениях:
 0,8 x  0,2 x  0,1x  0,1x  0
1
2
3
4
0,3x  0,7 x  0,1x  0,2 x  0
1
2
3
4
0,4 x  0,3x  0,5x  0,4 x  0
1
2
3
4
0,1x  0,2 x  0,3x  0,7 x  0
1
2
3
4
x  x  x  x  7680
1
2
3
4
1.3.5 Решение задачи средствами Excel
Методика решения задачи линейного программирования с помощью средств
Поиска решения Excel подробно рассматривалась в Лабораторной работе №1 и
Рис. 4. Исходные данные в Excel
поэтому здесь уже рассматриваться не будет.
Задание исходных данных на рабочем листе Excel приведено на рис.4.
В ячейки В2:Е6 занесены коэффициенты при системе ограничений, в ячейках G2:G6
содержатся ограничения в правых частях, в ячейки I2:I6 занесены формулы левых
Рис. 5.Решение задачи средствами Excel
x , x , x ,x
частей ограничений, ячейки В9:Е9 содержат изменяемые переменные 1 2 3 4 .
Например,
в
ячейке
I2
записана
формула
ограничений
=СУММПРОИЗВ(В2:Е2;В9:Е9). Аналогичные формулы записаны в ячейках I3:I6.
Формула целевой функции =СУММ(В9:Е9) занесена в ячейку С10.
Процесс решения – занесение в окно Поиск решения ячейки с формулой
целевой функции, занесение изменяемых ячеек, внесение ограничений приведено на
рис. 5. В окне Параметры необходимо отметить: Линейная модель,
Неотрицательные значения, Автоматическое масштабирование.
На рис. 5 приведены также результаты решения, согласно которым
x , x , x ,x
национальные доходы четырех стран 1 2 3 4 равны соответственно 1015.359,
1458.228, 3251.308, 1955.105 млн.ден.ед. Из содержимого ячеек I2:I6 видно, что все
ограничения выполнены. Значение целевой функции (ячейка С10) равно 7680
млн.ден.ед.
1.3.6 Индивидуальные задания
x , x , x ,x
Задание 1 (9). Найти национальные доходы 1 2 3 4 четырех торгующих стран в
сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица
торговли этих четырех стран равна
 0,1

 0,7
A
0,1

 0,1
0,1 

0,3 0,1 0,2 
0,1 0,2 0,4 

0,1 0,1 0,3  ,
0,5 0,6
а сумма бюджетов стран не превышает 4590 млн.ден.ед.
x , x , x ,x
Задание 2 (10). Найти национальные доходы 1 2 3 4 четырех торгующих стран
в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица
торговли этих четырех стран равна
 0,05

 0,75
A
0,1

 0,1
0,35 0,44 0,15 

0,55 0,36 0,25 
0,05 0,1 0,45 

0,05 0,1 0,15  ,
а сумма бюджетов стран не превышает 15055 млн.ден.ед.
x , x , x ,x
Задание 3 (11). Найти национальные доходы 1 2 3 4 четырех торгующих стран
в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица
торговли этих четырех стран равна
 0,36 0,15 0,6 0,22 


 0,34 0,35 0,2 0,28 
A
0,2 0,3 0,1 0,2 


 0,1 0,2 0,1 0,3  ,
а сумма бюджетов стран не превышает 9000 млн.ден.ед.
x , x , x ,x
Задание 4 (12). Найти национальные доходы 1 2 3 4 четырех торгующих стран
в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица
торговли этих четырех стран равна
 0,16 0,5

 0,34 0,3
A
0,23 0,05

 0,27 0,15
0,35 0,1 

0,25 0,2 
0,18 0,4 

0,22 0,3  ,
а сумма бюджетов стран не превышает 59550 млн.ден.ед.
x , x , x ,x
Задание 5 (13). Найти национальные доходы 1 2 3 4 четырех торгующих стран
в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица
торговли этих четырех стран равна
 0,08

 0,72
A
0,18

 0,02
0,15 0,26 0,2 

0,13 0,34 0,1 
0,67 0,16 0,3 

0,05 0,24 0,4  ,
а сумма бюджетов стран не превышает 15590 млн.ден.ед.
x , x , x ,x
Задание 6 (14). Найти национальные доходы 1 2 3 4 четырех торгующих стран
в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица
торговли этих четырех стран равна
 0,2

 0,2
A
0,3

 0,3
0,15 0,62 0,32 

0,15 0,18 0,1 
0,27 0,13 0,1 

0,43 0,07 0,48  ,
а сумма бюджетов стран не превышает 51503 млн.ден.ед.
x , x , x ,x
Задание 7 (15). Найти национальные доходы 1 2 3 4 четырех торгующих стран
в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица
торговли этих четырех стран равна
 0,4

 0,2
A
0,3

 0,1
0,52 0,16 0,22 

0,18 0,44 0,38 
0,13 0,26 0,32 

0,17 0,14 0,08  ,
а сумма бюджетов стран не превышает 25590 млн.ден.ед.
x , x , x ,x
Задание 8 (16). Найти национальные доходы 1 2 3 4 четырех торгующих стран
в сбалансированной системе международной торговли, если структурная матрица
торговли этих четырех стран равна
 0,81

 0,12
A
0,03

 0,04
0,15 0,51 0,12 

0,23 0,24 0,31 
0,47 0,06 0,42 

0,15 0,19 0,15  ,
а сумма бюджетов стран не превышает 83355 млн.ден.ед.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
Чему равняется национальный доход страны?
Какая матрица называется структурной матрицей торговли?
Что является выручкой страны?
При каком случае не бывает дефицита в системе международной торговли?
К чему сводят математическую модель международной торговли?
Когда Международная торговля называется сбалансированной?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 17
ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ИГР
1.17. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Ознакомится с методами решения экономических задач в условиях конфликтных
ситуаций используя математическую модель теории матричных игр на ЭВМ.
1.18. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Рассмотрим методы принятия управленческих решений в условиях конфликта,
когда в ситуации участвуют две стороны, интересы которых противоположны. Это
могут быть, например, отношения продавца и покупателя, банка и заемщика, истца
и ответчика. Для решения таких задач используют методы теории игр, для анализа
которых удобно использовать ЭВМ.
Пусть в игре участвуют два игрока А и В. Игрок А имеет n чистых стратегий,
а игрок В – m стратегий. Тогда платежная матрица
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
Две конкурирующие коммерческие организации А и В выпускают
продукцию одного вида. Каждая организация планирует проведение
рекламной акции, причем маркетологи каждой компании
предложили
четыре
сценария
ее
проведения A 1, A2, A3 ,A4 - для компании А и
B 1 , B2, B3, B4 - для компании В. Ожидаемая прибыль для кампании А при
каждой ее стратегии A и ответе Bj представлена в платежной матрице:
Ai \ B j
A1
A2
A3
A4
B1 B2 B3 B4
70 30 20 50
60 50 40 80
20 60 80 60
Необходимо
50 70 30найти
50 оптимальные стратегии для обоих игроков А и В в
предположении, что чем больше выигрыш одного игрока, тем он меньше для
другого. Определить среднюю прибыль А.
Данную задачу нельзя свести к задаче меньшей размерности, так как ее
каждая строка не меньше, чем другая строка, а каждый столбец не больше другого
столбца. Построим задачу линейного программирования. Рассмотрим задачу со
стороны игрока А . Введем параметры, пропорциональные вероятностям чистых
стратегий, которые равны х1, х2, х3, х4. Тогда нужно составить задачу линейного программирования, то есть необходимо найти минимум функции при ограничениях:
Для решения данной ЗЛП на ЭВМ также используют надстройку EXCEL
«Поиск решения» (Solver Add - in).
Подготовим предварительно в электронной таблице данные. Запускаем
программу MS Excel, вводим в ячейку А1 открывшейся электронной таблицы
подпись «Переменные», а в следующие ячейки В1-Е1, произвольные значения
переменных х1, х2, х3, х4. Это вначале могут быть произвольные числа, например
единицы. Вводим в ячейки В1-Е1 в каждую цифры 1.
Далее, в ячейку А2 вводим подпись «Целевая», а в соседнюю
ячейку В2 значение целевой функции (переключившись в английский
режим
набора
текста):
«=B1+С1+D1+Е1»,
что
означает
формулу
Х1 + Х2 + Х3 + Х4. В третьей строке вводятся левые части системы огра
ничений. Для этого переводим курсор в ячейку А3 и вводим в ней
текст
«Ограничения»,
а
в
ячейку
В3
формулу
«=70*В1+60*C1+20*D1+50*E1»,
которая
соответствует
левой
части
первого ограничения системы 70х1 + 60х2 + 20х3 + 50х4 > 1. Три ос
тальных ограничения вводим в ячейки С3-В3, а именно, в ячейку С3:
«=30*В1+50*C1+60*D1+70*E1»,
в
D3:
«=20*В1+40*C1+80*D1+30*E1»,
в
ячейку
Е3:
«=50*В1+80*C1+60*D1+50*E1». После этого вызываем надстройку
Сервис/Поиск решения (Solver…), в поле «Установить целевую ячейку» (Set Target
Cell) даем ссылку на В2. Ниже, в области «Равной», поставить переключатель на
минимальное значение (Equal to … Max … Value of: ). Ставим курсор в поле
«Изменяя ячейки» (By Changing Cell), и даем ссылки на переменные, обводя
мышью ячейки В1-Е1. Далее, переводим курсор в поле «Ограничения» (Subject to
the Constraints), и вводим ограничения. Для этого, нажимаем на кнопку «Добавить»
(Add) слева от поля и в появившемся окне в поле «Ссылка на ячейку» (Cell
Reference) даем ссылку на ячейку, содержащую левую часть первого ограничения
70*1 + 60х2 + 20х3 + 50х4 > 1, которая хранится в ячейке В3 (то есть переводим
курсор в поле «Ссылка на ячейку» (Cell Reference) и щелкаем мышью по ячейке
В3). В центральном поле выбираем знак неравенства - ограничения : «≥», в поле
«Ограничение» (Constraints) вводим единицу. Нажимаем «ОК». Вводим второе
ограничение, нажимая «Добавить» (Add), вводим в поля: ссылку на «С3», «≥», «1»,
нажимаем «ОК», далее «Добавить» (Add), ссылку на «D3», «≥», «1», «ОК»,
«Добавить», ссылку на «Е3», «≥», «1», «ОК». Для ввода дополнительных
ограничений х1 > 0; х2 > 0; х3 > 0; х4 > 0 нажимаем «Добавить», в поле «Ссылка на
ячейку» (Constraints) ставим курсор и обводим ячейки В1-Е1, выводим в
центральное поле «≥», ограничение «0», нажимаем «ОК». Далее запускаем
программу, нажимая «Выполнить» (Solve). Результат: х1 = 0, х2 = 0,015, х3 = 0,05, х4
= 0 , что видно из ячеек В1-Е1. Вводим в А5 подпись «Цена игры», а в соседнюю
В5 формулу (переключаясь на английский язык) «=1/(В1+С1+D1+Е1)». Результат:
50. Это средняя вероятность выигрыша для игрока А. Находим вероятности чистых
стратегий в смешанной стратегии р . Для этого вводим в А6 подпись «Р1=», а в
соседнюю В6 формулу «=В5*В1», вводим в А7: «Р2=», а в В7 формулу «=В5*С1»,
в А8: «Р3=», а в В8: «=В5*D1», в А9: «Р4=», в В9: «=В5*Е1». Данные показатели и
есть решение задачи.
Рассмотрим теперь решение относительно игрока В.
Для него вводим переменные, пропорциональные вероятностям чистых стратегий
у, у2, у3, у4. ЗЛП для игрока В имеет вид:
Переходим
на
«Лист2»
электронной
таблицы,
щелкнув
на
со
ответствующей закладке внизу таблицы. Вводим в ячейки открывшей
ся чистой электронной таблицы в ячейку А1 надпись «Переменные», а
в следующие ячейки, произвольные значения переменных, например,
вводим в ячейки В1-Е1 в каждую цифры 1. В ячейку А2 вводим под
пись «Целевая». Вводим в ячейку В2 значение целевой функции (пе
реключившись в английский режим набора текста): «=B1+С1+D1+Е1»,
что означает формулу у1 + у2 + У3 + у4. В третьей строке вводятся ле
вые части системы ограничений. Для этого переводим курсор в ячейку
А3 и вводим в ней текст «Ограничения». Переключившись в англий
ский
режим
клавиатуры,
вводим
в
ячейку
В3
формулу
«=70*В1+30*C1+20*D1+50*E1»,
которая
соответствует
левой
части
первого ограничения системы 70* +30х2 +20х3 + 50х4 < 1. Вводим в
ячейку
С3: «=60*В1+50*C1+40*D1+80*E1», в
D3:
«=20*В1+60*C1+80*D1+60*E1»,
в
ячейку Е3:
«=50*В1+70*C1+30*D1+50*E1». После этого вызываем надстройку в меню
«сервис» и подменю «Поиск решений» (Solver…), открывается окно
надстройки. В поле «Установить целевую ячейку» (Set Target Cell) даем
ссылку на В2. Ниже, в области «Равной», поставить переключатель на
максимальное значение (Equal to … Max … Value of:). Ставим курсор в поле
«Изменяя ячейки» (By Changing Cell), и даем ссылки на переменные, обводя
мышью ячейки В1-Е1. Далее, переводим курсор в поле «Ограничения»
(Subject to the Constraints), и вводим ограничения. Для этого, нажимаем на
кнопку «Добавить» (Add) и далее в поле «Ссылка на ячейку» (Cell Reference)
даем ссылку на ячейку В3, в центральном поле выбираем знак неравенства ограничения : «≤», в поле «Ограничение» (Constraints) вводим единицу.
Нажимаем «ОК». Вводим второе ограничение, нажимая «Добавить» (Add),
вводим в поля: «С3», «≤», «1», нажимаем «ОК», далее «Добавить» (Add),
ссылку на «D3», «≤», «1», «ОК», «Добавить» (Add), ссылку на «Е3», «≤»,
«1», «ОК». Для ввода дополнительных ограничений *>0; *>0; *>0; *>0
нажимаем «Добавить» (Add), в поле
«Ссылка на ячейку» (Cell Reference) ставим курсор и обводим ячейки В1-Е1,
выводим в центральное поле «≥», ограничение «0», нажимаем «ОК». Далее
запускаем программу, нажимая «Выполнить» (Solve). Результат решения
ЗЛП в ячейках В1-Е1. Вводим в А5 подпись «Цена игры», а в соседнюю В5
формулу (переключаясь на английский язык) «=1/(В1+С1+D1+Е1)».
Находим вероятности чистых стратегий q в смешанной стратегии игрока В.
Для этого вводим в А6 подпись «q1=», а в соседнюю В6 формулу «=В5*В1»,
вводим в А7: «q2=», а в В7 формулу «=В5*С1», в А8: «q3=», а в В8:
«=В5*D1», в А9: «q4=», в В9:«=В5*Е1». Данные показатели и есть решение
задачи
для
игрока
В.
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Как называются методы принятия управленческих решений в условиях
конфликта, когда в ситуации участвуют две стороны?
2.Как задачу свести к задаче меньшей размерности?
3. По какому плану решаются задачи методами теории игр?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 18
ИГРА С ПРИРОДОЙ
1.19.ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Научится методам принятия решений в условиях неопределенности (такие
математические модели называются Играми с природой) на ЭВМ с
использованием критериев Лапласа, Вальда, максимального оптимизма, Сэвиджа и
Гурвица.
1.1. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Рассмотрим ситуацию, когда лицо принимающее решение может выбрать
одну из n возможных альтернатив, которые обозначим A 1,A2,...,A , то есть
выбирает наилучших вариант действий из имеющихся п возможных. Выигрыш для
каждой альтернативы зависит от того, какой вариант развития ситуации
произойдет. Пусть возможны m вариантов развития ситуации, которые обозначим
S1,S2,..,S . Существует несколько критериев, позволяющих выбрать оптимальное
решение в модель игр с природой. Сначала рассмотрим случай, когда показатель
привлекательности (выигрыш лица, принимающего решения) максимизируется «чем больше, чем лучше». Рассмотрим на примере способы решения такой задачи.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
Пример 1 Директор финансовой компании проводит рискованную
финансовую операцию. Страховая компания предлагает застраховать сделку и
предлагает 4 варианта страховки:
A 1, A2, A 3, 4. Компенсация ущерба для каждого варианта зависит от того, какой из
возможных страховых случаев произошел. Выделяют 5 видов страховых случаев: S1,
S2, S3, S4, S5. Компенсации (тыс. у. е.) для каждого вида страховки при каждом
страховом случае составляют матрицу выигрышей вида
Ai
Sj
S1
S2
S3
S4
S5
43
22
42
49
45
41
37
40
38
42
A1
39
48
37
42
36
A2
37
29
32
58
41
A3
A4
Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа,
Вальда, Байеса (при вероятностях состояний исходов p1 = 0,3; p2 = 0,2; p3 =
0,1; p4 = 0,3; p5
0,4 ).
Вводим данные в электронную таблицу и готовим подписи в ячейках
для дальнейшего расчета согласно рисунку:
Вычисляем функции полезности для критерия Лапласа. Для этого ставим
курсор в ячейку G2 и вводим формулу, усредняющую значения показателей
привлекательности по первой альтернативе. Для этого вызываем мастер функций,
нажимая на кнопку fx и выбираем в категории «Статистические» функцию
«СРЗНАЧ», в качестве аргумента функции указываем ячейки B2:F2, обводя их
курсором. Нажимаем ОК, видим результат 40,2. Автозаполняем ячейки G2-G5,
перетаскивая нижний правый уголок ячейки G2. Видно, что наибольшая функция
полезности 40,4 для альтернативы А3. Вводим в G6: «А3».
Для критерия Вальда вычисляем наименьшие показатели привлекательности
для каждой альтернативы. Для этого вводим в Н2 функцию МИН с аргументами
B2:F2: «=МИН(B2:F2)» (кавычки не вводить!). Автозаполняем на Н2-Н5.
Выбираем альтернативу, где результат наибольший. Это значение 37 для
альтернативы А2, вводим в Н6: «А2».
Для критерия Байеса функции полезности равны суммам выигрышей,
умноженным на вероятности их исходов. Вводим в I2 формулу:
«=В2*0,3+C2*0,2+D2*0,1+E2*0,3+F2*0,1», автозаполняем на I2-I5.
Выбираем альтернативу с наибольшей функцией полезности, то есть А4, вводим в
I6: «А4».
Для критерия Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков. Для этого
ставим курсор в ячейку В8 и вводим формулу «=МАКС(B$2:B$5)-B2»,
автозаполняем результат на ячейки В8-F11. Далее находим максимальный риск для
каждой альтернативы. Для этого ставим курсор в ячейку J2 и вводим
«=МАКС(B8:F8)», автозаполняем результат на J2-J5. Выбираем альтернативу с
минимальным риском, это А3. Вводим в J6: «А3».
Для критерия Гурвица нужно наибольшее значение каждой альтернативы
сложить. Вводим в К2 формулу:
=МАКС(B2:F2)*0,4+МИН(B2:F2)*0,6
и автозаполняем результат на К2-К5. Выбираем альтернативу с наибольшей
функцией полезности. Это А3, вводим К6: «А3». Задача решена.
Рассмотрим теперь метод решения задачи в случае минимизации критерия –
«чем меньше, тем лучше».
ПРИМЕР 2. Фермер, имея в аренде большие площади под посев кукурузы,
заметил, что влажности почвы в сезон созревания кукурузы недостаточно, чтобы
получить максимальный урожай. Эксперты советовали фермеру провести
дренажные каналы в период конца весны – начала лета, что должно значительно
повысить урожай. Были предложены 5 проектов дренажных каналов:
A1,A2,A3,A4,A5 , затраты на которые зависят от погодных условий в период весна –
лето. Возможны варианты: S1 – дождливая весна и дождливое лето; S2 – дождливая
весна и сухое лето; S3 – сухая весна и дождливое лето; S4 – сухая весна и сухое
лето. Матрица затрат имеет вид:
Ai
Sj
S1
S2
S3
S4
A1
A2
A3
A4
A5
21
12
22
25
20
21
18
19
16
33
14
17
23
16
19
24
15
16
24
26
Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда,
Байеса с p1 = 0,2; p2 = 0,3; p3 = 0,3; p4 = 0,2 , Сэвиджа и Гурвица при коэффициенте
Вводим данные в электронную таблицу и готовим подписи в ячейках для
дальнейшего расчета согласно рисунку:
Вычисляем функции полезности для критерия Лапласа. Для этого ставим
курсор в ячейку F2 и вводим формулу: «=СРЗНАЧ(В2:Е2)», автозаполняем на F2F6. Наилучшей в данном случае считается альтернатива с минимальной функцией
полезности, это А2. Вводим в F7: «А2».
Для критерия Вальда вычисляем наибольшие показатели привлекательности
для каждой альтернативы. Для этого вводим в G2 функцию «=МАКС(B2:E2)»,
автозаполняем на G2-G6. Выбираем альтернативу, где результат наименьший,
вводим в G7: «А2».
Для критерия Байеса функция полезности вычисляется так же как и для
предыдущего примера (но для 4-х состояний природы), в ячейку Н2 формулу
«=B2*0,2+C2*0,3+D2*0,3+E2*0,2»,
автозаполняем
на
Н2-Н6.
Выбираем
альтернативу с наименьшей функцией полезности, это А1, вводим в Н7: «А1».
Для критерия Сэвиджа необходимо построить матрицу рисков. Для этого
ставим курсор в ячейку В9 и вводим формулу «=B2-МИН(B$2:B$6)»,
автозаполняем результат на ячейки В9-Е13. Далее находим максимальный риск для
каждой альтернативы. Для этого ставим курсор в ячейку I2 и вводим
«=МАКС(B9:E9)», автоза-полняем результат на I2-I6. Выбираем альтернативу с
минимальным риском, таких альтернатив две, это А1 и А4. Вводим в I7: «А1, А4».
Для критерия Гурвица нужно наименьшее значение каждой альтернативы
ьшее на
(1= МИН(B2:E2) *0,7+МАКС(B2:E2)*0,3 и автозаполняем результат на J2J6. Выбираем альтернативу с наименьшей функцией полезности. Это А1, вводим J7:
«А1». Задача решена.
Задание 1. Директор торговой фирмы, продающей телевизоры, решил открыть
представительство в областном центре. У него имеются альтернативы либо
создавать собственный магазин в отдельном помещении, либо организовывать
сотрудничество с местными торговыми центрами. Всего можно выделить 5
альтернатив решения: A1, A2, A3, A4, A5. Успех торговой фирмы зависит от того,
как сложится ситуация на рынке предоставляемых услуг. Эксперты выделяют 4
возможных варианта развития ситуации S1,S2 ,S3 ,S4. Прибыль фирмы для каждой
альтернативы при каждой ситуации представлена матрицей выигрышей aij (млн.
р./год).
Bj
S1
S2
S3
S4
Аi
А1
А2
10
11
10
a91
14
5
А3
2
4
9
22
А4
12
14
10
1
А5
15
6
7
14
Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда,
Байеса с p1 = 0,4; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,2 , Сэвиджа и Гурвица при коэффициенте
доверия
= 0,6 .
Задание 2. Нефтяная компания собирается построить в районе крайнего
севера нефтяную вышку. Имеется 4 проекта A, B, C и D. Затраты на строительство
(млн. руб.) зависят от того, какие погодные условия будут в период строительства.
12345
Возможны 5 вариан-S,S ,S ,S ,S тов погоды
. Выбрать оптимальный проект
для
строительства используя критерии Лапласа, Вальда, Байеса с p1 = 0,1; p2 =
0,2; p3 = 0,3; p4 = 0,2; p5 = 0,2 , Сэвиджа и Гурвица при a = 0,6 . Матрица затрат
имеет вид:
Аi
Sj
S1
S2
S3
S4
S5
A1
а1
12
8
10
5
A
А22
9
10
7
8
9
A3
А3
6
8
15
9
7
A4
А4
9
10
8
11
7
Выбрать наилучшую альтернативу, используя критерии Лапласа, Вальда,
максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица при коэффициенте доверия
Величина а использованием процессора Excel равна номеру варианта. Отчет по
каждому заданию должен содержать функции полезности либо иные показатели
каждого критерия, вывод о том, какую альтернативу следует принять.
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Какие методы называются Играми с природой?
2. Какой критерий называется критерием – «чем меньше, тем лучше»?
3. Что из себя представляют критерии Лапласа, Вальда, Байеса?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 19
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ СПРОСА
1.20. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Используя методы моделирования с помощью целевой функции потребления
научиться находить оптимальный набор благ потребителя, функции спроса на
блага по цене, функции спроса по доходу с помощью ЭВМ.
1.1.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Рассмотрим некоторого потребителя, который в результате своего
существования потребляет некоторые блага. Уровень удовлетворения потребностей
потребителя обозначим через U. Предположим, что имеется n видов благ Б1 …
Б2,…, Бn. Пусть количество потребления каждого блага равно х1, х2 ,…., хn. Целевой
функцией потребления называется зависимость U = U ( x1,x2,...,xn). Каждый
потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения потребностей, то
есть U→ max. Обозначим цену на единицу каждого блага через0 р1, р2 ,…, рn, а
доход потребителя через D. Тогда должно выполняться бюджетное ограничение p
1x1 + p2x2 +... + pnxn ≤ D . В результате для нахождения оптимального набора благ
необходимо решать задачу оптимального программирования:
U(x 1, x 2 ,...,xn )→max;
p 1 x 1 +p 2 x 2 +... + pnxn<D;
xi ≥0, (i=1,2,...,n).
Рассмотрим методы ее решения на примере.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL
ПРИМЕР. Пусть число благ равно трем, а функция потребления
равна U(x1,x2,x3) = √x 1 . x 2 . x 3 . Предположим, что цена на единицу
первого блага равна 15, второго 10 и третьего 15, а доход потребителя
составляет 500. Тогда задача примет вид:
√x 1 • x 2 - x 3 →max;
15x1+10x2+15x3≤500;.
X1,2,3 ≥ 0.
Подготовим данные для решения задачи в Excel согласно рисунку:
Вводим в ячейку В4 «=КОРЕНЬ(B3*C3*D3» (кавычки не вводить!), а в В5
«=B3*B2+C3*C2+D3*D2». Запускаем СЕРВИС/ПОИСК РЕШЕНИЯ (Solver Add - in).
В ячейку «Установить целевую» (Set Target Cell) устанавливаем ссылку на В4,
проверить, что флажок ниже поля стоит напротив надписи «Равной максимальному
значению» (Equal to … Max … Value of: ). После ставим курсор в поле «Изменяя
ячейки» (By Changing Cell) и обводим ячейки с переменными В3, С3 и D3. Для того,
чтобы ввести ограничения, наживают кнопку «Добавить» (Add), откроется окно
«Добавление ограничения» (Add Constraints). В левом поле «Ссылка на ячейку» (Cell
Reference) вводят ссылку на левую часть первого ограничения - ячейку В5, в
центральном окне определяем знак ≤ и в правом «Ограничения» (Constraints) делаем
ссылку на доход D4. Для ввода второго ограничения вновь нажимаем «Добавить»
(Add), ставим курсор в левое поле и обводим ячейки В3, С3 и D3 в среднем окне
ставим «≥» и в правом число 0. Нажимаем «Выполнить» (Solve), подтверждаем
результаты, выбирая «Сохранить найденное решение» (Keep Solver Solution) и «ОК»,
получаем результат: х1=11,1; х2=16,7; х3=11,1; целевая функция равна 45,4.
Решим теперь задачу нахождения функции спроса по цене. Найдем,
например, спрос на второе благо для разных цен на единицу этого блага. Будем
задавать цену на второе благо от 5 до 15 и фиксировать спрос х2 при этих ценах.
Введем в столбец F цену блага, а в столбец G спрос на него. Ставим курсор в F1 и
вводим подпись «Цена», а в ячейку G1 вводим подпись «Спрос». В соответствии с
условием задачи, цена второго блага составляет 10 денежных единиц, в результате
решения спрос на это благо составляет х2 =16,7 . Вводим в ячейку F7 значение цены
10, а в соседнюю G7 - спрос 16,7. Рассчитаем теперь спрос при цене 11. Исправляем в
С2 значение на 11, вызываем СЕРВИС/ПОИСК РЕШЕНИЯ (Solver Add - in),
нажимаем «Выполнить» (Solve), подтверждаем результаты. Видим в ячейке С3 новое
значение спроса - х2 = 15,2 . Вводим в F8 вручную число 11, в G8 число 15,2. Точно
также (обязательно проделать на ЭВМ!) изменяем в С2 значения на 12, 13, 14 и 15,
записав эти же значения в F9-F12, каждый раз запускаем надстройку «Поиск
решения», получаем новые результаты в С3, записываем их вручную (не
копированием, округляя до десятых) в G9-G12. Далее рассчитываем значения спроса
для цены меньшей 10 единиц. Для этого изменяем в С2 значения на 5, 6, 7, 8 и 9,
записав эти значения в F2-F6, каждый раз запускаем надстройку «Поиск решения»,
получаем новые результаты в С3, записываем их в G2-G6. В результате, при
правильном выполнении всех действий, получаем следующие результаты:
Построим по полученным данным функцию спроса. Для этого ставим курсор в
любую свободную ячейку, вызываем мастер диаграмм (ВСТАВКА/ДИАГРАММА),
выбираем тип диаграммы «График», вид «График с маркерами» (левый второй
сверху), нажимаем «Далее». Ставим курсор в поле «Диапазон» и обводим ячейки G2G12. Переходим на закладку «Ряд» и ставим курсор в поле «Подписи оси Х», обводим ячейки F2-F12, нажимаем «Готово». Получаем график функции спроса по цене.
Точно также можно исследовать спрос и на первое и третье благо. Найдем теперь
функцию спроса по доходу на второе благо. Для этого будем менять доход в
диапазоне 200-500 через 50 единиц, фиксируя спрос в ячейке С3. Вводим в H1
подпись «Доход», а в I1 подпись «Спрос». Исправляем в С2 цену на 10, а в D4 ставим
доход 200. Вызываем и запускаем надстройку ПОИСК РЕШЕНИЯ (Solver Add – in).
Видим, что спрос на второе благо равен 6,7. Вводим в H2 значение дохода200, а
спрос 6,7 вводим в I2. Далее, по аналогии, изменяем в D4 доход на 250, 300, 350, 400,
450, 500, 550, 600, занося эти данные в H3-H10, каждый раз запускаем надстройку
ПОИСК РЕШЕНИЯ (Solver Add – in), полученный в С3 спрос вносим в ячейки I3-I10.
При правильном расчете результаты будут 8,3; 10; 11,7; 13,3; 15; 16,7; 18,3; 20. По
полученным данным, также как и для функции спроса по цене, строим график.
Видно, что в данном случае график спроса по доходу прямая линия.
Следует отметить, что можно построить функцию перекрестного спроса на
одно благо по цене на другое.
Задание. Четырехфакторную целевую функцию потребления U = U (x1, x2 , x3,
x4 ) , цены на блага p1, p2 , p3, p4 , и доход D взять в соответствии с вариантом из
таблицы.
1.Составив и решив задачу оптимального программирования, найти
оптимальный набор благ.
2.Составить функцию спроса на второе благо от его цены, взяв 5 целых
последовательных значений цены до и после той, какая указана в таблице.
3.Составить функцию спроса на третье благо по доходу, взяв по четыре
значения дохода до и после указанной в таблице с шагом 50.
ПРИМЕЧАНИЕ:
В ячейке с целевой
функцией В4 должна содержаться функция вида:
1.
=LN(B3*C3*D3*E3) 7.
=КОРЕНЬ(С3*D3)*В3*Е3
2. =КОРЕНЬ(B3*(C3+7)*D3*E3)
8.
3.=СТЕПЕНЬ(B3*C3*D3*E3; 0,33)
=КОРЕНЬ(B3*С3)*D3*Е3
9. =LN(B3*C3*D3*E3)
4. =КОРЕНЬ(B3)*C3*D3*E3
10. =B3*(C3+1)*D3*E3
=B3*C3*D3*(E3+3)11. =B3*C3*(D3+5)*E3
=КОРЕНЬ(B3*D3)*С3*Е3
12. =КОРЕНЬ(D3)*B3*C3*E3
Отчет должен содержать оптимальный набор благ x1, x2 , график функции
спроса на второе благо от его цены x2(p2) и график функции спроса на третье благо
по доходу x3 (D) .
5.
6.
1.4. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. По каким критериям решают задачи спроса?
2. Какая функция называется функцией потребления?
3. Что такое – оптимальный набор благ?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 20
БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ
1.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Рассмотреть методы решения задач межотраслевого анализа на ЭВМ используя
модель Леонтьева.
1.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задаче, соответствующей номеру Вашего варианта, найдите оптимальное
решение в табличном редакторе Microsoft Excel и продемонстрируйте его
преподавателю.
1.3. ИНСТРУКЦИЯ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ MICROSOFT EXCEL ДЛЯ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Балансовые модели предназначены для определения равновесного баланса
между производством, потреблением и реализацией во внешнюю сферу продукции
нескольких взаимосвязанных отраслей.
Рассмотрим решение межотраслевого баланса на ЭВМ в соответствии с моделью
Леонтьева на следующем примере.
Имеется баланс трех взаимосвязанных отраслей за предыдущий период:
Производ
Потребление
Конечный
ство
Отрасль 1
Отрасль 2
Отрасль 3 продукт
Отрасль 1
Отрасль 2
Отрасль 3
17
8
21
13
16
15
11
9
13
83
97
132
1. Найти валовый продукт каждой отрасли, чистую продукцию каждой
отрасли, матрицу коэффициентов прямых затрат.
2. Какой будет конечный продукт каждой отрасли, если валовый станет
равен, соответственно 100, 150 и 200.
3. Какой будет валовый продукт каждой отрасли, если конечный продукт
первой отрасли необходимо увеличить на 50 %, второй уменьшить на 4
единицы, а третьей увеличить на 6 единиц.
Подготавливаем таблицу исходных данных в электронной таблице Excel.
1. Для нахождения валового продукта каждой отрасли в ячейку F3 вводим формулу
«=СУММ(В3:Е3)» (для ее ввода достаточно нажать кнопку автосуммы со значком
Σ). Результат – 124. Автозаполнением переносим результат ячейки на F4 и F5. Для
рассчета чистой прибыли вводим в ячейку В6 формулу «=F3-B3-B4-B5», в С6
формулу «=F4-C3-C4-C5», в D6 формулу «=F5-D3-D4-D5». Находим коэффициенты
прямых затрат. Для этого каждый столбец матрицы В3-D5 нужно разделить на
соответствующий валовой продукт. В ячейку В7 вводим «=B3/$F$3» (чтобы сделать
абсолютную ссылку $F$3 нужно щелкнуть по ячейки F3 и нажать клавишу F4).
Автозаполняем В7 на В8 и В9. Аналогично вводим в С7 «=C3/$F$4» и
автозаполняем на С8 и С9. Вводим в D7 «=D3/$F$5» и автозаполняем на D8 и D9.
Матрица коэффициентов затрат рассчитана.
2. Так, как новый валовой продукт каждой отрасли равен, соответственно 100, 150 и
200, то вводим эти числа в ячейки Н3, Н4 и Н5. По формуле, новый конечный
продукт равен Y = (E - A)X . Для ее использования вводим единичную матрицу. В
А11 вводим подпись
«Е=», а в В11-D13 вводим числа
Рассчитываем
матрицу
1 0 0
0 1 0 А)=»,
(Е-А). Вводим в А15 подпись «(Еа в В15
«=B11-B7».
0
0
1
Автозаполняем ячейку на В15-D17.
Для вычисления результата – новых
значений конечного продукта в ячейку G3 вводим функцию перемножения матриц –
МУМНОЖ (категория «Математические»). Аргументы функции: в поле «массив 1»
даем ссылку B15:D17 (матрица Е-А), в поле «массив 2» - H3:H5 (новый валовой
продукт). Далее обводим ячейки G3-G5 курсором мыши, выделяя их, и нажимаем F2
и Ctrl+Shift+Enter. Результат – новый конечный продукт.
3. Если конечный продукт первой отрасли нужно увеличить на 50 %, то он
станет 124,5, если второй уменьшить на 4, то он станет 93, если третий увеличить на
6 единиц, он будет 138. Вводим в ячейки G7-G9 числа 124,5; 93; 138. В соответствии
с формулой Леонтьева новый валовый продукт находим по формуле X = (E - A)-1Y .
Для расчета обратной матрицы в ячейку Е15 вводим подпись «(Е-А) обрат.», а в F15
ставим формулу расчета обратной матрицы МОБР (категория «Математические»).
Аргумент функции – ссылка на B15-D17. Обводим курсором ячейки F15-H17 и
нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Для вычисления новых значений валового продукта
в ячейку Н7 вводим функцию перемножения матриц – МУМНОЖ. Аргументы: в
поле «массив 1» даем ссылку F15:H17, в поле «массив 2» - G7:G9. Далее обводим
ячейки Н7-Н9 и нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. Результат – новый валовой
продукт. Задача решена.
Задание. Межотраслевой баланс производства и распределения продукции
для 4 отраслей имеет
Произво
дящие
отрасли
1
2
3
Матрица
4
Потребляющие
Валовой
продукт
1 отрасли
2
3
4
x1
x12
x13
x14
X1
1
x22
x23
x24
X2
x2
x32
x33
x34
X3
1
межотраслевых
x42
x43
x44
X4
x3
материальных связей
1
xij и матрица валового выпуска X j приведены в таблице по вариантам.
Вариант
xij x4
X j Вариант
xij
Xj
1
5
60
75
10
90
10
40
5
800
400
800
750
90 100 60
70 25 100
35 70 85
25 65 65
85
65
10
90
30
5
65
80
35
5
10
20
40
5
0
80
4
0
15
55
0
5
60
50
35
5
15
15
60
40
70
55
65
80
1
2
3
60
60
85
5
50
20
85
15
30
25
50
70
90
80
75
80
85
70
85
60
60
40
40
20
775
550
625
750
775 8
825
825
600
25
60
95
45
20
45
15
45
20
90
15
10
5
50
65
35
825
750
800
400
55
95
15
35
550
600 9
575
52
0
60
85
20
55
40
55
70
85
30
15
50
60
65
55
55
30
400
725
850
600
80
20
20
10
95
40
40
60
550
750 10
525
82
0
80
25
15
95
45
35
15
5
85
20
55
5
95
30
75
95
475
825
650
820
40
30
25
5
30
45
90
60
725
850 11
500
62
0
65
15
90
45
50
20
70
85
5
45
20
70
80
25
85
95
525
800
675
500
7
6
25
35
30
20
50
45
55
30
30
20
45
25
20
25
60
50
800
750 12
500
52
0
55
25
70
35
40
30
80
55
35
45
20
60
20
35
65
75
625
700
575
600
1. Найти конечный продукт каждой отрасли, чистую продукцию каждой отрасли,
матрицу коэффициентов прямых затрат.
2. Какой будет конечный продукт каждой отрасли, если валовой продукт первой
отрасли увеличится в 2 раза, у второй увеличится на половину, у третьей не
изменится, у четвертой – уменьшится на 10 процентов.
3. Найти валовой продукт, если конечный станет равен 700, 500, 850 и 700.
Отчет должен содержать полную балансовую таблицу для четырех отраслей,
конечный продукт каждой отрасли при изменении валового, валовой продукт каждой
отрасли при изменении конечного.
1.5. ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ
1. Для чего предназначены балансовые модели?
2.
3.
4.
5.
Как производится автозаполнение ячейки?
Какая функция предусмотрена для перемножения матриц?
Какое сочетание клавиш предусмотрено для перемножение матриц?
Как рассчитывается обратная матрица?