Document 4897911
advertisement
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Основные понятия математической статистики. Способы отбора. Вариационный ряд для дискретных и непрерывных случайных величин. Полигон и гистограмма. Числовые характеристики рядов. Статистические моменты рядов распределения. Теоретические распределения. Выборочные среднее и дисперсия Интервальные оценки параметров генеральной совокупности Современную математическую статистику можно определить как науку о принятии решений в условиях неопределенности, так как она разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в процессе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие аналогичные задачи. Выборочной совокупностью или случайной выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отбирается для обследования 100, то объем генеральной совокупности N=1000, а объем выборки n = 100. При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и исследован, его можно возвратить или не возвращать в генеральную совокупность. В связи с этим выборки подразделяются на повторные и бесповторные. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. При бесповторной выборке отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности, т.е. выборка должна быть репрезентативной (представительной). В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Если объем выборки достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборкой стирается. На практике применяются различные способы отбора, которые можно подразделить на два вида: Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части. Сюда относятся а) простой случайный бесповторный отбор и б) простой случайный повторный отбор. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. Сюда относятся а) типический отбор, б) механический отбор и в) серийный отбор. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение исследуемого параметра наблюдалось раз, - раз и т. д. При этом ni n объем выборки. Наблюдаемые i значения x i называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки ni / n - относительными частотами. nx1m2 Вариационный ряд можно представить таблицей вида: X x1 x2 ….. xm n n1 n2 …. nm Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им относительных частот. Статистическое распределение можно представить как: X x1 x2 ….. xm w w1 w2 …. wm Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или относительными частотами. Для непрерывных случайных величин удобнее разбить отрезок [a,b] возможных значений случайной величины на частичные полуинтервалы k [ak 1 , ak ), (k 1,..., m) с помощью некоторой системы точек a a0 a1 ... am b Часто разбиение [a,b] производят на равные части В качестве частот теперь надо брать количество наблюдаемых значений, попавших на каждый из частичных интервалов . Вариационный ряд имеет в таком случае вид: Δ Δ1 Δ2 ….. Δm n n1 n2 …. nm А статистическое распределение Δ Δ1 Δ2 ….. Δm w w1 w2 …. wm Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму. Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки ( x1 ; n1 ), ( x2 ; n2 ), .....( xk , nk ) . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им частоты ni и соединяют точки (xi; ni) Полигон относительных частот строится аналогично, за исключением того, что на оси ординат откладываются относительные частоты wi. В случае непрерывного признака строится гистограмма, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i–й интервал. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению ni / h . Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии (высоте) ni / h . Площадь i–го прямоугольника равна сумме частот вариант i–го интервала, поэтому площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки. Кумулятивная кривая (кумулята) – кривая накопленных частот (частостей). Для дискретного ряда кумулята представляет собой ломаную, соединяющую точки (xi; mi нак) или (xi; wi нак), i = 1, 2, ..., k. Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте (частости), равной нулю. Другие точки этой ломаной соответствуют концам интервалов. Огивой называется ломаная, полученная если по оси абсцисс откладывать накопленные частоты, а по оси ординат – значения признака. Графики кумуляты и огивы симметричны относительно биссектрисы 1-го координатного угла. Дано распределение 60 абитуриентов по числу баллов, полученных ими на приемных экзаменах: 20 19 22 24 21 18 23 17 20 16 15 23 21 24 21 18 23 21 19 20 24 21 20 18 17 22 20 16 22 18 20 17 21 17 19 20 20 21 18 22 23 21 25 22 20 19 21 24 25 23 21 19 22 21 19 20 23 22 21 21 h 25 15 1, 45 1 3,322lg 60 Составить интервальный вариационный ряд. Построить гистограмму (для интервального вариационного ряда), полигон, кумуляту, огиву (для середин частотных интервалов). Решение. Объем выборки п = 60. Как видим, хmin = 15, xmax = 25; по формуле Стерджеса, при п = 60, находим длину частотного интервала 25 15 h 1,45 1 3,322lg60 1,5 15 14,25 . 2 Примем h = 1,5. Тогда xнач Исходные данные разбиваем на восемь интервалов: [14,25; 15,75), [15,75; 17,25), [17,25; 18,75), [18,75; 20,25), [20,25; 21,75), [21,75; 23,25), [23,25; 24,75), [24,75; 26,25]. Номер Границы интерв ала интервала Частот Накопленная Частос а, mi частота, ть, wi Накопленная частость,wiнак 1 14,25; 15,75 1 1 1/60 1/60 2 15,75; 17,25 6 7 1/10 7/60 3 17,25; 18,75 5 12 1/12 1/5 4 18,75; 20,25 16 28 4/15 7/15 5 20,25; 21,75 13 41 13/60 41/60 6 21,75; 23,25 13 54 13/60 27/30 7 23,25; 24,75 4 58 1/15 29/30 8 24,75; 26,25 2 60 1/30 1 mi Гистограмма 16 13 6 1 14,25 15,75 17,25 18,75 20,25 21,75 23,25 24,75 26,25 хi Полигон Кумулята Мода М0 дискретного вариационного ряда – варианта, имеющая наибольшую частоту. Для интервального вариационного ряда при нахождении М0 используют формулу: mi mi 1 М 0 x0 h mi mi1 mi mi1 где x0– начало модального (содержащего моду) интервала; h – длина частичного интервала; mi – частота модального интервала; mi-1 – частота предмодального интервала; mi+1 – частота постмодального интервала. Если все значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, то этот вариационный ряд не имеет моды. Если две соседних варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то мода вычисляется как среднее арифметическое этих вариант. Если две не соседних варианты имеют одинаковую доминирующую частоту, то такой вариационный ряд называется бимодальным. Если таких вариант более двух, то ряд – полимодальный. В случае интервального вариационного ряда с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, а при неравных интервалах – по наибольшей плотности. Медиана Mе – варианта, которая делит дискретный вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно (n = 2k + 1), то Me = xk+1, а при четном n = 2k xk xk 1 Mе 2 При вычислении медианы интервального вариационного ряда сначала находят медианный интервал [ xM e ; xM e h] , где h – длина медианного интервала. Для этого можно использовать кумулятивное распределение частот или частостей. Медианному интервалу соответствует тот, в котором содержится накопленная частость, равная ½ или накопленная частота, большая величины n , где п – объем выборки. 2 где mlнак 1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; mi – частота медианного интервала. Внутри найденного интервала расчет медианы производится по формуле n нак mi 1 2 M e x0 h mi где mi-1нак – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; mi – частота медианного интервала. Выборочной средней называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке: k m1 x1 m2 x2 ... mk xk хВ n m x i i i 1 n где xi – варианты; тi – частоты. Замечание. Выборочная средняя служит для оценки математического ожидания исследуемой случайной величины. Если из всех значений признака вычесть некоторую константу С, то значение среднего арифметического не изменится. Если все значения признака умножить на С, то и среднее умножается на С. Средняя величина признака, а также его мода и медиана в двух выборочных совокупностях могут быть одинаковыми. Но в одном случае значения признака могут мало отличаться от среднего, а в другом эти значения могут быть велики. Простейшей числовой характеристикой признака является вариационный размах R = xmax – xmin. Размах выборки дает лишь самое общее представление о размерах вариации, так как показывает насколько отличаются друг от друга крайние значения, но не указывают, насколько велики отклонения вариант друг от друга внутри этого промежутка. Более точным будет такой показатель, который учитывает отклонение каждой из вариант от средней величины. Выделяют среднее линейное отклонение k s wi | xi x | i 1 либо среднеквадратичное отклонение (выборочная дисперсия). Выборочной дисперсией называется величина k DB m (x x i 1 i i B ) 2 n а выборочным средним квадратичным отклонением В DB . Так же, как в теории случайных величин, можно доказать, что справедлива следующая формула для вычисления выборочной дисперсии: DВ x ( xВ ) 2 В 2 Так как выборочная дисперсия имеет систематическую ошибку, то для ее устранения вводят поправку. Исправленная дисперсия n DB n 1 2 x Исправленное среднее квадратичное отклонение n x B n 1 Для характеристики совокупности значений признаков, кроме абсолютных, применяются относительные показатели признака. Коэффициент вариации V V 100% x Он используется для сравнения размеров вариации в вариационных рядах с различными средними, а также для сравнения вариаций разных показателей в одной и той же совокупности. Моментом порядка р распределения вариационного ряда называется число k p wi ( xi a) p i 1 где k a M x xi pi i 1 В зависимости от значения а общая схема моментов разбивается на три подсистемы. Если а = 0, то получаем систему начальных моментов. Если а = x, то получаем систему центральных моментов. Если а = С = const (обычно выбирается С близкое к середине вариационного ряда), то получаем систему условных моментов. Она применяется для упрощения расчетов. Начальным эмпирическим моментом порядка р р называется число mx vр i i n k В частности, M 1 v m x i i i 1 n xB , т. е. начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочной средней h m (x i i хВ ) h n Центральным эмпирическим порядка р называется h m (x i i хВ ) моментом h n В частности, k 2 2 m ( x х ) i i В i 1 DB n , т. е. центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсии. Асимметрия – это свойство распределения частот. На практике симметричные полигоны и гистограммы не встречаются, и, чтобы выявить и оценить степень асимметрии, вводят число, называемое коэффициентом асимметрии: x x 3 Ass i n 3 x mi k Md x i 1 i xВ n Чтобы упростить вычисление Ass можно использовать следующую формулу: k где x x i В 3 xВ M d Ass В M d i 1 n – среднее отклонение, т. е. совокупность отклонений каждого значения от среднего, взятого по модулю, а σв– выборочное среднее квадратическое отклонение. Асимметрия в этом уравнении принимает значения от –3 до +3. Эксцессом вариационного ряда называется число Ex x x i n 4 x 4 mi 3 Эксцесс – это мера «крутости» кривой распределения вариационного ряда. Эта кривая распределения может быть островершинной, плосковершинной, средневершинной. Пусть требуется изучить некоторый количественный признак генеральной совокупности. Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, какое именно распределение имеет признак и необходимо оценить параметры, которыми оно определяется. Например, если изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то нужно оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение; если признак имеет распределение Пуассона – то необходимо оценить параметр . Обычно имеются лишь данные выборки, например значения количественного признака , полученные в результате n независимых наблюдений. Рассматривая как независимые случайные величины можно сказать, что найти статистическую оценку неизвестного параметра теоретического распределения – это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая дает приближенное значение оцениваемого параметра. Например, для оценки математического ожидания нормального распределения роль функции выполняет среднее арифметическое: X ( X 1 X 2 ..... X n ) / n Для того чтобы статистические оценки давали корректные приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять некоторым требованиям, среди которых важнейшими являются требования несмещенности и состоятельности оценки. Пусть Θ*– статистическая оценка неизвестного параметра Θ теоретического распределения. Пусть по выборке объема n найдена оценка Θ* 1. Повторим опыт, т. е. извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и по ее данным получим другую оценку Θ* 2. Повторяя опыт многократно, получим различные числа . Оценку можно рассматривать, как случайную величину, а числа – как ее возможные значения. Если оценка Θ* дает приближенное значение с избытком, т. е. каждое число Θ* i больше истинного значения Θ то, как следствие, математическое ожидание (среднее значение) случайной величины Θ* больше, чем Θ*: M ( ) Аналогично, если Θ* дает оценку с недостатком, то M ( ) Таким образом, использование статистической оценки, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру, привело бы к систематическим (одного знака) ошибкам. Если, напротив, M ( ) , то это гарантирует от систематических ошибок. Несмещенной называют статистическую оценку Θ*, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Θ при любом объеме выборки M ( ) Смещенной называют оценку, не удовлетворяющую этому условию. Несмещенность оценки еще не гарантирует получения хорошего приближения для оцениваемого параметра, так как возможные значения могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения, т. е. дисперсия может быть значительной. Эффективной называют статистическую оценку, которая, при заданном объеме выборки n, имеет наименьшую возможную дисперсию. При рассмотрении выборок большого объема к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности. Состоятельной называется статистическая оценка, которая при n стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при n стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной. Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X извлечена выборка объема n. Выборочным средним x B называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения признака выборки объема n различны, то: xB ( x1 x2 ... xn ) / n Если значения признака x1 , x2 , ....., xk имеют частоты n1 , n2 , ..., nk соответственно, причем n1 n2 ... nk n , то: xB (n1 x1 n2 x2 ... nk xk ) / n (1 / n) k n x i 1 i i Выборочное среднее, найденное по данным одной выборки, равно определенному числу. При извлечении других выборок того же объема выборочное среднее будет меняться от выборки к выборке. То есть выборочное среднее можно рассматривать, как случайную величину, и можно говорить о его распределениях (теоретическом и эмпирическом) и о числовых характеристиках этого распределения (например, о математическом ожидании и дисперсии). Для охарактеризования рассеяния наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг среднего значения x B вводится выборочная дисперсия. Выборочной дисперсией DB называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения x B. Если все значения признака выборки объема n различны, n то: 2 DB (1 / n) (x i 1 i xB ) Если значения признака x1 , x2 , ....., xk имеют частоты n1 , n2 , ..., nk соответственно, причем n1 n2 ... nk n , то: DB (1 / n) k n (x i 1 i i xB ) 2 Аналогично выборочным среднему и дисперсии определяются генеральные среднее и дисперсия, характеризующие генеральную совокупность в целом. Для расчета этих характеристик достаточно в вышеприведенных соотношениях заменить объем выборки n на объем генеральной совокупности N. Фундаментальное значение для практики имеет нахождение среднего и дисперсии признака генеральной совокупности по соответствующим известным выборочным параметрам. Можно показать, что выборочное среднее является несмещенной состоятельной оценкой генерального среднего. В то же время, несмещенной состоятельной оценкой генеральной дисперсии оказывается не выборочная дисперсия DB , а так называемая «исправленная» выборочная дисперсия, равная n s DB n 1 2 Таким образом, в качестве оценок генерального среднего и дисперсии в математической статистике принимают выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию. Надежность и доверительный интервал До сих пор мы рассматривали точечные оценки, т.е. такие оценки, которые определяются одним числом. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. В связи с этим при небольшом объеме выборки пользуются интервальными оценками. Интервальной называют оценку, определяющуюся двумя числами – концами интервала. Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Θ* служит оценкой неизвестного параметра Θ. Очевидно, Θ* тем точнее определяет параметр Θ, чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если >0 и , то чем меньше , тем точнее оценка. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки. Статистические методы не позволяют утверждать, что оценка Θ* удовлетворяет неравенству , можно говорить лишь о вероятности, с которой это неравенство осуществляется. Надежностью (доверительной вероятностью) оценки по называют вероятность , с которой осуществляется неравенство . Обычно надежность оценки задается заранее, причем, в качестве берут число, близкое к единице – как правило, 0,95; 0,99 или 0,999. Соотношение P следует понимать так: вероятность того, что интервал ( , ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна . Таким образом, доверительным называют интервал ( , ) , который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью . Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание a по выборочному среднему x . Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр a с надежностью . Будем рассматривать выборочное среднее x , как случайную величину X (т. к. x меняется от выборки к выборке), и выборочные значения x1 , x2 ,...., xn , как одинаково распределенные независимые случайные величины X 1 , X 2 ,...., X n (эти числа также меняются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно a и среднее квадратическое отклонение – . Так как случайная величина X распределена нормально, то и ее выборочное среднее также распределено нормально. Параметры распределения равны: M (X ) a , (X ) / n Потребуем, чтобы выполнялось соотношение P( X a ) , где – заданная надежность. Используем формулу P( X a ) 2 ( / ) Заменим X на X и на ( X ) / n и получим: P( X a ) 2 ( n / ) 2 (t ) где t n / Выразив из последнего равенства δ, получим: P( X a t / n ) 2 (t ) Так как вероятность P задана и равна γ, окончательно имеем: P( x t / n a x t / n ) 2 (t ) Число t определяется из равенства (t ) / 2 ; по таблице функции Лапласа находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное γ/2. Следует отметить два момента: 1) при возрастании объема выборки n число δ убывает и, следовательно, точность оценки увеличивается, 2) увеличение надежности оценки γ/2=Ф(t) приводит к увеличению t (так как функция Лапласа – возрастающая функция) и, следовательно, к возрастанию δ, то есть увеличение надежности оценки влечет за собой уменьшение ее точности. Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью δ и надежностью γ, то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле n t 2 2 / 2 Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов. Оказывается, что по данным выборки можно X a построить случайную величину T S / n , которая имеет распределение Стьюдента с k n 1 степенями свободы. В последнем выражении – X – выборочное среднее, S – исправленное среднее квадратическое отклонение, n – объем выборки; возможные значения случайной величины T мы будем обозначать через t Плотность распределения Стьюдента имеет вид: t S (t , n) Bn 1 n 1 2 n/2 где B некоторая постоянная, выражающаяся через гамма–функции. Как видно, распределение Стьюдента определяется параметром n – объемом выборки (или, что то же самое – числом степеней свободы k=n-1) и не зависит от неизвестных параметров a, σ. n С помощью распределения Стьюдента найден доверительный интервал x t s n a x t s n покрывающий неизвестный параметр a с надежностью γ. По таблице распределения Стьюдента и заданным n и γ можно найти tγ, и, используя найденные по выборке x и s, можно определить доверительный интервал. Можно показать, что при возрастании объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n>30 можно вместо него пользоваться нормальным распределением. При малых n это приводит к значительным ошибкам. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально и требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое отклонение по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению s. Найдем доверительные интервалы, покрывающие параметр с заданной надежностью γ. Плотность распределения имеет вид: R ( , n) 2 n 1 ( n 3) / 2 e 2/ 2 n 1 2 Это распределение не зависит от оцениваемого параметра , а зависит только от объема выборки n. Вероятность того, что неравенство n 1 n 1 / (1 q ) равна: R ( , n ) d (1 q) n 1 (1 q) n 1 / (1 q ) Из этого уравнения можно по заданным n и γ найти q, используя имеющиеся расчетные таблицы. Вычислив по выборке s и найдя по таблице q, получим искомый интервал, покрывающий с заданной надежностью γ.
