1.Обратные тригонометрические функции.

1.Обратные тригонометрические функции.
В этом пункте мы хотели бы рассмотреть несколько задач, связанных с вычислением значений выражений,
содержащих обратные тригонометрические функции.
ЗАДАЧА 1.
Вычислите: arctg 1 + arctg 2 + arctg 3.
Решение. Стоит только нарисовать клеточный фон (рис. 1), как задание выполняется практически устно.
arctg 3 =  ВАМ, arctg 2 =CAN , arctg 1 =  BAC (  BAC — острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника AВС
Ответ:
.
ЗАДАЧА 2.
Вычислите: arctg
2
 arcctg 5
3
Решение. Поскольку arctg
2
BAD, а угол ВАС
=  CAD (рис. 2), arcctg 5 = 
3
равнобедренном
треугольнике АВС, то arctg
2

 arcctg 5 
3
4
Ответ:

4
—
острый
в
прямоугольном
ЗАДАЧА 3.
Вычислите: ctg ( 1 arccos 5 )
2
13
Решение. Если использовать понятия косинуса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника, теорему Пифагора и свойство
биссектрисы треугольника, то задача решается почти мгновенно.
На рис. 3 изображен треугольник АВС,, в котором ACB = 90°, ВС = 5, АВ = 13 и ВМ - биссектриса угла АВС. Следовательно,
2
МС = 5х, АМ= 13х и АС= 12, отсюдаx  . Тогда
3
40
Вычислите sin( 2 arccos )
41
ЗАДАЧА 4.
Решение.
Рассмотрим равнобедренный треугольник АBС, где АB=BС=41, ВМ  АС, ВМ=40,CN  AB (рис.4). Отрезок AM согласно теореме
Пифагора имеет длину, равную 9.
Видно, что sin( 2 arccos
CN 
AC  BM 720

.
AB
41
40 CN
)
. Воспользовавшись подобием прямоугольных треугольников ANC и AMB, найдем
41 BC
2. Алгебраические выражения.
Часто в алгебре встречаются задания, в которых по заданным условиям на переменные, необходимо
найти значение некоторого выражения, содержащего их.
ЗАДАЧА 5.
Из условий
выражения
x2  y2  9
x  y  y  z.
,
y 2  z 2  16 и y 2  x  z
для положительных х, у и z, не вычисляя
их значений, указать значение
Решение. Привычное задание решить систему уравнений
у учащихся затруднений не вызывает. Однако в данном случае
нужно, не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения ху + yz. По теореме, обратной теореме Пифагора,
числа х, у и z являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника ABD с прямым углом D. А, рассмотрев второе
уравнение системы, можно сделать вывод, что у, z и 4 также есть соответственно длины катетов и гипотенузы треугольника BCD
с прямым углом D (рис. 6).
Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число у есть среднее пропорциональное чисел х и z, и по теореме,
обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол АВС — прямой.
Теперь рассмотрим выражение ху + yz.
xy  yz  ( x  z )  y  2S ABC  3  4  12
Примечание. Для данной системы уравнений задания могут быть и другие. Например, найти значение выражения х + у + z или
в каком отношении находятся числа х и у; z и у; х + z и у.
Ответ: 12
Задача 6.
Для положительных х, у и z из условий x 2  xy 
вычислите значение выражения ху + уz + zx.
y2
z2
2
2
2
 169, y  z  50, x  xz 
 144, не находя значения х, у и z,
2
2
Решение.
Запишем три условия задачи в виде системы уравнений
x z
По теореме, обратной теореме, Пифагора, числа,
и 5 являются длинами соответственно
катетов и гипотенузы
2 2
треугольника АОС с прямым углом АОС.
y.
Числа х,
и 13 есть длины сторон треугольника АОВ с углом АОВ, равным 135°. Этот вывод можно сделать, используя
2
z
теорему, обратную теореме косинусов. Аналогично, 2x, и 12 есть длины сторон треугольника ВОС с углом ВОС, равным 135°.
Поскольку 52 + 122 = 132, то в треугольнике
 ACB = 90°. Теперь найдем площади
На рис. 8 изображены эти треугольники.
АВС
треугольников АОВ, АОС, ВОС, АВС.
Видно, что значение выражения ху + yz +zx равно учетверенной площади треугольника ABC. Итак, xy+yz+zx =120
Ответ:120
ЗАДАЧА 7.
Для положительных х, у и z, не вычисляя их значения из системы уравнений
определите величину ху + 2уz + Зxz.
Рассуждая так же, как и в задаче 8, получаем (рис. 9):
Так как площадь треугольника AВС равна 6, то
xy  2 yz  3 xz  24 3.
Ответ: 24 3
3. Системы уравнений.
Решению систем уравнений в алгебре отводится достаточно большое внимание. Они встречаются и в
вариантах ЕГЭ. Поэтому, тем более, интересен такой нестандартный подход к решению некоторых систем
уравнений, рассмотренных в этом пункте.
ЗАДАЧА 8.
Имеет ли система уравнений
решения для х > 0, у > 0 и z> 0?
Допустим, что есть такая тройка положительных чисел х, у и z, удовлетворяющая каждому уравнению данной системы.
Тогда возможна ее геометрическая интерпретация, как в задаче 8 (рис.10).
Но такого треугольника АВС не может быть, так как не выполняется неравенство треугольника. Значит, система не имеет решений.
Примечание. Для положительных x,y и z данная система имеет решение, если в правой части третьего уравнения поставить число
из промежутка (1; 25).
Ответ: нет решений.
рис.10
ЗАДАЧА 9.
Решите систему уравнений
Решение. Нетрудно убедиться, что х и у положительны. Поскольку
y 2  ( x 2  y 2 ) 2  x 2 , то числа у,
x 2  y 2 и х являются длинами
соответственно катетов и гипотенузы треугольника АВС с прямым углом АСВ (рис. 11).
Площадь этого треугольника 24 кв. ед., а его периметр 24 ед. Поэтому радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен 2.
Так как длина гипотенузы АВ равна сумме длин катетов АС и ВС без удвоенной длины радиуса вписанной в треугольник окружности,
то
Из второго уравнения системы получаем х = 10. Значит, у = 6 или у = 8.
Ответ: (10; 6), (10; 8).
ЗАДАЧА 10.
Решите систему уравнений
Решение.
Первое уравнение системы задает плоскость, второе — сферу. Если их изобразить, то очевидно, что 0<х<1, 0 < у < 1, 0<z<1.
Согласно первому уравнениюz  3  ( x  y ). z 
1
3
Тогда второе уравнение принимает вид
(*)
Преобразовав его, получаем квадратное уравнение относительно х:
y
3 -1)2. Следовательно, -(у3 -1)2  0. Этонеравенство выполняется при
Дискриминант этого уравнения равен - (у
1
3
1
у
Уравнение (*) можно было преобразовать в квадратное относительно у с решением
3
1
Значение z 
находится из первого уравнения.
3
Примечание. Задачу можно переформулировать, например, так: «Определите вид треугольника, периметр которого равен
а сумма квадратов длин его сторон равна 1».
3
,
ЗАДАЧА 11.
Решите систему уравнений
Решение.
Уравнение x+y+z=3 - есть уравнение плоскости (рис. 12), пересекающей оси прямоугольной декартовой системы
координат в , А(3;0;0), B(0;3;0), С(0; 0; 3).
Уравнение x 2
 y2  z2  3
3
есть уравнение сферы с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом
равным
R,
1
Вычислим расстояние от точки О до плоскости AВС. Для этого рассмотрим тетраэдр ОАВС. Объем V тетраэдра равенS ABC  H
3
где H=OD (D — центр треугольника АВС).
Этот объем можно найти иначе:
3H 3
и 9 , получаем H= 3 . Это означает, что расстояние от точки О до плоскости АВС равно радиусу сферы, а значит,
2
2
плоскость касается сферы. Следовательно, точка касания является центром треугольника АВС. Поскольку D(x; у; z) — центр
Приравняв
равностороннего треугольника АВС, где А(3; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0;0;3), то x=y=z.
Заменив у и z на х в уравнениях данной системы, получаем x=1.
Ответ: (1; 1; 1).
ЗАДАЧА 12.
Решите систему уравнений
Решение.
Рассмотрим слагаемые левой части второго уравнения:
x 2  y 2  4 x  2 y  5  ( x  2) 2  ( y  1) 2
Пусть это расстояние между точками М(х; у) и A(2;-1).
Допустим, что это расстояние между точками М (х;у} и В(10; 5).
Найдем расстояние между точками А(2; -1) и В(10;5):
AB  (10  2) 2  (5  1) 2  10
Итак, второе уравнение системы можно интерпретировать как равенство AM + ВМ = АВ. Это дает нам право утверждать, что
точка М принадлежит отрезку АВ, т.е. 2 ≤ х ≤ 10 и -1 ≤ у ≤ 5
Составим уравнение прямой АВ, проходящей через точки А(2; -1) и B(10; 5).
 1  k  2  b и 5  k 10  b. Отсюда k  3 ; b   5 , т.е. y  3 x  5 , или Зх — 4у = 10.
Запишем новую
4
2
4
2
систему:
Значит, х = 6 и у = 2.
Ответ: (6; 2).
4. Аналитический способ решения.
Рассмотрим аналитический способ решения некоторых задач, рассмотренных выше, чтобы была возможность
убедиться в том, что геометрический подход дает более быстрое, а главное, красивое решение этих задач.
ЗАДАЧА 1.
Рассмотрим аналитический способ решения.
Решение.

3
       .
Обозначим:   arctg1,   arctg 2,   arctg 3, где
2
2
tg  tg
23
1
tg  tg (    )
1  tg (    )
1  tgtg
1 2  3  11  0



Найдем tg (     ) 
tg  tg
23
1  tg  tg (    ) 1  tg (    )
11
1
1
1  tgtg
1 2 3
1
 3
2 2
Таким образом, tg (     )  0        k , учитывая условие, что       ( ;  ), получим, что k=1 и        ,
т.е. arctg1  arctg 2  arctg 3   .
Ответ: 
ЗАДАЧА 2.
Решим систему аналитически:
Решение:
Обозначим уравнение3 x  4 y  26 - (1),
уравнение x 2  y 2  4 x  2 y  5  x 2  y 2  20 x  10 y  125  10 - (2).
Заметим, что x 2  y 2  4 x  2 y  5  ( x  2) 2  ( y  1) 2 , а
x 2  y 2  20 x  10 y  125  ( x  10) 2  ( y  5) 2 .
Сделаем замену x  2  a, y  1  b, тогда уравнение (2) системы запишется в виде:
a 2  b 2  (a  8) 2  (b  6) 2  10, a 2  b 2  10  (a  8) 2  (b  6) 2 .
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:
a 2  b 2  100  (a  8) 2  (b  6) 2  20 (a  8) 2  (b  6) 2 ,
20 (a  8) 2  (b  6) 2  100  (a  8) 2  (b  6) 2  a 2  b 2
20 (a  8) 2  (b  6) 2  200  16a  12b
5 (a  8) 2  (b  6) 2  50  4a  3b
25(( a  8) 2  (b  6) 2 )  2500  16a 2  9b 2  400a  300b  24ab
25a 2  400a  1600  25b 2  300b  900  2500  16a 2  9b 2  400a  300b  24ab
(3a  4b) 2  0
3a  4b
3( x  2)  4( y  1)
3 x  4 y  10
Сделаем обратную замену:
Получим систему:
3x  4 y  26  x  6
,

3x  4 y  10  y  2
Поскольку мы не следили за равносильностью переходов, сделаем проверку:
(1) -
3  6  4  2  26
18  8  26
Ответ: (6;2).
(2)
-
36  4  24  4  5  36  4  120  20  125  10
5  5  10