Координатный метод в пространстве

Ответы для самопроверки
Математический диктант
 математического диктанта
Дано : а (а , а , а ), b (в , в , в )
1
2
3
1
2
3
Записать в координатах :
1.
2.
3.
4.
5.
Условие коллинеарности
двух векторов.
Условие
перпендикулярности двух
векторов.
Формулу для нахождения
3.
косинуса угла между
векторами.
Формулу для нахождения
длины вектора.
Уравнение плоскости.
а1 а 2 а 3
1.



в1 в2 в3
2. а1 в1  а 2 в2  а3 в3  0
cos ( a , b) 
a1b1  a 2 b2  a3b3
a1  a 2  a3  b1  b2  b3
2
2
2
4. a  a1  a2  a3
2
2
2
2
5. A x  B y  C z  D  0
2
2
Алгоритм решения задач
Ввести прямоугольную систему координат на
плоскости основания многогранника;
затем - в пространстве.
2. Найти координаты точек,
о которых идет речь в условии задачи.
3. Найти координаты: направляющих векторов
прямых; векторов, перпендикулярных
плоскостям (нормалей).
4. Воспользоваться соответствующей формулой
для нахождения расстояний в пространстве;
углов в пространстве.
1.
Введите прямоугольную систему координат, если в
основании многогранника лежит...
Какие еще возможны варианты?
y A
A
D
y
D
y
B
y
C
C
B
x
x
x
y
x
x
Введите прямоугольную систему координат, если
в основании многогранника лежит...
С
O
А
yА
F
O
E y
B
В
x
C
x
D
x
x
y
Введите прямоугольную систему координат, если
в основании многогранника лежит ромб
B
C
O
A
D
x
x
y
y
Введите прямоугольную систему координат.
Z
B1
z
A1
B1
A1
D1
F1
C1
D1
A
B
C1
y
E1
C
B
A
D
D
C
x
Y
F
X
E
Введите прямоугольную систему
координат.
z
z
z
A1
P
C1
B1
B
O
A
x
x
B
C
O
y y
C
А
x
D
y
Назовите наклонную к плоскости α , ее
проекцию на плоскость, проекции точек В и М.
АВ – наклонная к плоскости α
В
ВС – перпендикуляр к
плоскости α
М
А
М1
С
α
АС – проекция
наклонной АВ на
плоскость α
С – проекция точки В
М1 – проекция точки М
На какие отрезки в плоскости основания
попадают проекции точек Р, М, S, K, N?
P
K
N
S
M
B
C
O
А
D
На какие отрезки в плоскости основания
попадают проекции точек А1, S, Р? Почему?
Z
C1
B1
A1
D1
F1
E1
S
P
C
Y
B
A
D
F
E
X
Проекциями каких точек являются
точки
Составьте уравнение плоскости по 3
точкам: 1
1
3
А(0,  , 0), D( 0, , 1), B1 (
, 0, 2).
2
2
2
Ax  By  Cz  D  0  общий вид уравнения плоскости.
1.

1
 A  0  B  2  C  0  D  0,

1

( АDB1 ) :  A  0  B   C  1  D  0,
2


3
A

 B  0  C  2  D  0,


2
 B  2 D,

C  2 D,

 A  2 3D.
2 3 xD  2 yD  2 zD  0,
2 3 x  2 y  2 z  1  0.
Ответ. 2 3 x  2 y  2 z  1  0.
Составьте уравнения координатных
плоскостей
2. Уравнение плоскости Оyz : x  0.
Уравнение плоскости Оxz : y  0.
Уравнение плоскости Оxy : z  0.
3. Вектор нормали к плоскости Ax  By  Cz  D  0

имеет координаты А; В; С  и обозначается n А; В; С .
Найдите координаты векторов нормалей
к координатным плоскостям
n11; 0; 0, n2 0; 1; 0, n3 0; 0; 1
Найти координаты нормали
(нормального вектора)
плоскости
2 3x  2 y  2 z  1  0
Решите задачу. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3,
на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что
D1Е:АD1=1:3, D1K:D1B1=2:3. Найдите длину отрезка ЕK.
z
B1
К
C1
A1
D1
Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат
с началом в точке А, как показано на рисунке.
Е
A
B
y
D
A(0, 0, 0), Е1 (2, 0, 0), E (2, 0, 2), К1 (1, 2, 0), K (1, 2, 3)
C
B
A
x
2. Найдем координаты точек Е и К
с помощью их проекций на плоскость основания.
y
3. ЕК  ( х2  х1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2 ,
К1
ЕК  (1  2) 2  (2  0) 2  (3  2) 2  6.
Е1
D
x
Ответ. ЕК  6 .
C
Решите задачу. В правильной шестиугольной
призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
Найдите расстояние от точки В до точек Е1, D1.
Z
1. Введем систему координат с началом в точке В,
как показано на рисунке.
C1
B1
A1
F1
D1
E1
2. Найдем координаты точек Е1 и D1
с помощью их проекций на плоскость основания.
C
B
A
D
F
E
X
C
B
y
3. ВЕ 1  ( х2  х1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2 ,
ВЕ 1  ( 3  0) 2  (1  0) 2  (1  2) 2  5.
1
A
3
1
, АР  .
2
2
3
3
B(0;0;0), E ( 3;1;0), Е1 ( 3;1;1), D( ;1,5; 0), D1 ( ;1,5; 1).
2
2
Из
Y АВР : Р  90, В  30, АВ  1, ВР 
P
D
ВD1  (
F
3
 0) 2  (1,5  0) 2  (1  0) 2  2.
2
E
Ответ.
2.
x
5,
В правильной шестиугольной
призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
Найдите
расстояние от точки В до плоскости DEA1.
Z
1. Введем систему координат с началом в точке В
как показано на рисунке.
C1
B1
A1
F1
D1
E1
2. Из АВР : Р  90, В  30, АВ  1, ВР 
B(0;0;0), A1 (
Y
C
B
A
D
F
E
X
C
B
y
1
3 1
3
; ;1), D(
;1,5; 0), E ( 3;1;0)
2
2
2
3. Составим уравнение плоскости DEA1 :
1
x  y  2 z  2  0,
3
 1
n { ;1;2}  вектор нормали к плоскости
3
4.  ( B, DEA1 ) 
A
P
x
Ax0  By 0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
D
 ( B, DEA1 ) 
F
3
1
, АР  .
2
2
E
Ответ.
3
2
2
1
1 4
3

3
2
,
484577.
В правильной
треугольнойпрямыми
призмеравно
Расстояние
между скрещивающимися
Найдем
расстояние
от
точки
А
до плоскости
расстоянию
от
точки
на
одной
прямой
до плоскости,
ABCA1B1C1, все ребра которой равны
1, найдите
ВСС
1
содержащей
вторую
прямую и АА
параллельной
первой
расстояние между
прямыми
1 и ВС1.
прямой.
z
1. Введем систему координат с началом в точке
Решение.
А1
С1
О, как показано на рисунке.
2. Из равностороннего треугольника АВС имеем :
В1
т.к. ВО  медиана и высота, то
O
А
С
ВО  ВС 2  ОС 2 , ВО 
y
3
.
2
1
3
1
1
А(0, ,0), В(
, 0,0), С (0, ,0), С1 ( 0, ,1).
2
2
2
2
3. Составим уравнение плоскости ВСС1  :
x
В
O
C
y

2
x  2 y  1  0.
3
 2
n 
;  2;
3

A
1
x
B

0

4.  ( А; ВСС1 ) 
Ax0  By 0  cZ 0  D
A2  B 2  C 2
0 11
3
 ( А; ВСС1 ) 

.
2
4
40
3
Ответ :
3
.
2
Решите задачу. Найдите расстояние между плоскостями
сечений куба (PRS) и (NKM), ребро которого 12, где
DN:NC=A1P:PB1=1:2, B1S:SB=D1M:MD1=1:3,
B1R:RC1=DK:KA=1:4.
Решение.
1. Введем прямоугольную систему координат
с началом в точке В, как показано на рисунке.
2. В(0; 0; 0); P(6; 0; 12); R(0; 3; 12);
S(0; 0; 8); N(6; 12; 0); K(12; 9; 0); M(12; 12; 4)
z
B1 R
3. Уравнение плоскости (PRS) имеет
вид 2x+4y-3z+24=0, а уравнение
плоскости (NKM) 2x+4y-3z-60=0,
значит, плоскости параллельны.
C1
P
S
A1
D1
y
В
С
M
N
А
K
x
D
4.  ( PRS ; NKM ) 
 ( PRS ; NKM ) 
Ответ :
84
.
29
D2  D1
A2  B 2  C 2
24  60
84

.
4  16  9
29
На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена
точка E так, что CE:EC1=2:1 . Найдите угол
между
прямыми BE и AC1 .
z
B1
A1
1. Введем прямоугольную систему координат
с началом в точке А, как показано на рисунке.
Пусть сторона куба равна 3.
C1
D1
E
A
B
2. A(0, 0, 0), B (0, 3, 0), E (3, 3, 2), C1 (3, 3, 3)
3. Направляющ ие векторы прямых
AС 1 3, 3, 3, BE 3, 0, 2.
D
C
x
y
4. cos ( a , b) 
a1b1  a 2 b2  a3b3
a1  a 2  a3  b1  b2  b3
2
2
cos( AС 1 , BE ) 
2
2
2
3 3  3 0  3 2
999 904
5
Искомый угол равен arccos
.
39
5
Ответ. arccos
.
39
2

5
.
39
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания
равны 1, боковые ребра равны 2, точка D — середина
ребра CC1 Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.
z
A1
C1
1. Введем прямоуголь ную систему координат ,
как показано на рисунке.
2. Из равностороннего треугольника АВС имеем :
B1
D
2
т.к. ВО  медиана и высота, то
ВО  ВС 2  ОС 2 , ВО 
C
O
A
1
y А(0,
3
.
2
1
3
1
1
3
,0), В(
, 0,0), С (0, ,0), D( 0, ,1), B1 (
, 0,2).
2
2
2
2
2
3. Нормали к плоскостям ( АВС ) z  0 : n1  0; 0;1;

B
C y
O
A
1
A1 A2  B1 B2  C1C2
 
4. cos( n1 , n2 ) 
cos( n1 , n2 ) 
A12  B12  C12  A22  B22  C22
0  2 3  0  2  1 2
1  ( 2 3 ) 2  2 2  ( 2 ) 2
искомый угол равен arccos
x
B

( АDB1 ) 2 3x  2 y  2 z  1  0 : n2 2 3; 2;  2 ;
x
Ответ : arccos
5
.
5
5
.
5

2
5

.
5
20
484568. Длины ребер правильной четырехугольной
пирамиды PABCD с вершиной Р равны между собой.
Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью BDP, если
точка М – середина бокового ребра пирамиды АР.
z
1. Введем прямоуголь ную систему координат
с началом в точке О  точке пересечени я диагоналей
квадрата, как показано на рисунке. Пусть АВ  1.
P
2. Из АВС имеем : В  90 , АС  АВ 2  ВС 2 , АС  2 , АО 
2
M
C
O
x
 2
2
 
Из АРО имеем : О  90 , РО  АР  АО , РО  1  
.

2
 2 

B
А
М1
y
В
2
2
Из подобия треугольников АММ 1 и АРО имеем : РО  2 ММ 1 , ММ 1 
2
.
4

 2

2 
2
2  
2
, D 0;
, P 0;0;
.
B 0;
;0 , M 
;0;
;
0

 2  

2
4
4
2





 

 2 2 2
3. BM 
;
;
  направляющий вектор прямой ВМ .
4
2
4


D
С
Составим уравнение плоскости ВDP  : x  0, n 1;0;0.
O


4. sin BM , n 
А
x
2
.
2

D

sin BM , n 
y
a1 A  a 2 B  a3C
a12  a 22  a32  A2  B 2  C 2
2
4
1 1 1
   1
8 2 8

6
6
Ответ : arcsin
6
6
Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
является ромб ABCD со стороной
, а угол BAD равен 60°.
4 3
Найти расстояние от точки А до прямой С1D1, если боковое ребро
параллелепипеда равно 8.
1. Как введем прямоугольную систему координат?
4 3
В
С
O
60°
xА
y
B1
К
А
x
C1
Пусть К1(х0,у0,z0), ее проекция К(х0,у0,0)
Из ABD : AB  AD  BD  4 3, DO  2 3.
Из AOD : AO  6
D1

A6, 0, 0, C1  6, 0, 8, D1 0, 2 3, 8
1
С
К
На прямой СD.
Где лежит проекция точки К1?
z
A1
В
D
Т.к. диагонали ромба перпендикулярны,
то начало координат можно взять в точке
их пересечения.
2. Координаты каких точек надо найти?
А, С1, D1 и основания перпендикуляра, опущенного
из точки А на прямую С1D1 – точки К1.
D
y

Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
4 3
является ромб ABCD, со стороной
, а угол BAD
равен 60°. Найти расстояние от точки А до прямой С1D1,
если боковое ребро параллелепипеда равно 8.


A6, 0, 0, C1  6, 0, 8, D1 0, 2 3, 8 , K1 x0 , y0 ,8
Найдем остальные координаты точки К1.
а) Т .к. K1  С1 D1 , то С1D1 || D1K1.
B1
C1
A1
К
В
Но координаты коллинеарных векторов

1
С
x0  6 , y 0  2 3  2 3.

AK1 6  6, 2 3  2 3, 8
D


x0
y 2 3
 , 0
 ,
6
2 3
D1
А

пропорциональны C1 D1 6, 2 3, 0 , D1 K1 x0 , y0  2 3, 0

б ) Т .к. С1 D1  AK1 , то С1 D1  AK1  0


6  6  6  2 3 2 3  2 3  8  0  0,  
2
2
1
.
2
1
 1
 

3. AK1   6   6    2 3   2 3   82  10
2
 2
 

Ответ : 10
Домашнее задание: решите задачи по
выбору
1. Ребра правильной четырехугольной призмы равны 1, 4, 4.
Найти расстояние от вершины до центра основания призмы, не
содержащего эту вершину.
2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все
рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до точек Е1, D1.
3. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K – середины
ребер AA1 и CD соответственно, а точка M расположена на
диагонали B1D1 так, что B1M=2MD1. Найти расстояние между
точками Q и L, где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК
такая, что ML=2LK.
Источники информации
1. Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С,Б, Кадомцев,
Л.С.Киселёва, Э.Г Позняк / Геометрия 10 – 11
классы: учебник для общеобразовательных
учреждений: базовый и профильный уровени / 10
издание // М. Просвещение // 2010
2. ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные
варианты // под редакцией И.В. Ященко М //
Издательство « Национальное образование»
(2012 – 2015)
3. Математика Подготовка к ЕГЭ Учебнометодическое пособие // под редакцией Ф.Ф.
Лысенко, С. Ю. Калабухова // Ростов-на-Дону //
издательство «Легион-М» (2010 – 2015)
4. http://reshuege.ru