Применение интеграла в физике и технике

Применение
интеграла в физике и
технике
Токунова Мария,
Токунова Маргарита,
Бадаева Тамара,
Гусева Анастасия.
Объем цилиндрического
тела. Двойной интеграл.
Цилиндрическим телом называется
тело, ограниченное плоскостью
Оxy, поверхностью, с которой
любая прямая, параллельная оси
Оz, пересекается не более чем в
одной точке, и цилиндрической
поверхностью, образующая
которой параллельна оси Оz.
Z
X
1) Если разбить тело на
части, то его объем
будет равен сумме
объемов всех частей;
2) Объем прямого
цилиндра, т.е.
цилиндрического тела,
ограниченного
плоскостью Оху, равен
Y
площади основания,
умноженной на высоту
тела.
Объем n-ступенчатого
тела равен:
n
Vn  f ( x1 , y1 ) 1  f ( x2 , y2 ) 2  ...  f ( xn , yn ) n   f ( xi , yi ) i
i 1
При n→∞
n
V  lim Vn  lim  f ( xi , yi ) i
i 1
Объем цилиндрического тела
с основанием D.
f
(
x
,
y
)
d


(
x
,
y
)
dxdy
.
z


D
Z=f (x; y)
D
b
V   S ( x)dx
a
V  
D
у
a
E
b
C
х
 y2 ( x )

f ( x, y )dxdy     f ( x, y )dy dx

a 
 y1 ( x )
b

f ( x, y)dxdy   dx
D

D
b
a
y2 ( x )

f ( x, y)dy
y1 ( x )
d
f ( x, y)dxdy   dy
c
x2 ( y )

f ( x, y)dx
x1 ( y )
Вычислим двойной интеграл
x

y 
D ( x  y)dxdy  0 dx 2 ( x  y)dy  0  xy  2  2 dx 
x
x
1
x
1
2
4
3
4
5
 2 x2


1
x
x
x
x
3
3
0  x  2  x  4 dx   2  4  10  0  20.
1
1
Y=x2
0
1
x
Вычислим объем V тела.
z
x
1
2
1
V   dx
4
0
1 4 x 2

0
1
2
y
o
1
1
2
3
2 2
2
(1  4 x  y )dy   (1  4 x ) dx
30
2
2
Приложение
двойных интегралов
к задачам механики
Масса плоской пластинки
n
М n    ( xi , yi ) i .
y
pi
i 1
При n  
M    ( x, y )d
D
σi
x1
D
y1
0
x
Статические моменты и
центр тяжести пластинки
n
M x( n )   yi ( xi , yi ) i , M y( n ) 
i 1
M x   y ( x, y )d ,
n
 x  (x
i 1
i
i,
yi ) i .
M y   x ( x, y )d .
Координаты центра
тяжести

My
M

 x ( x, y)d
D
  ( x, y)d
,
Mx


M
 
D
S
,
D
  ( x, y)d
D
D
 xd
 y ( x, y)d

 yd
D
S
.
.
Моменты инерции пластинки.

Моментом инерции
материальной точки Р с
массой m относительно
какой-либо оси
называется
произведение массы на
квадрат расстояния
точки Р от этой оси.
I x   y d ,
2
D
I y   x d .
2
D
I   ( x  y )d  I x  I y
D
2
2
Вычисление площади
поверхности.
z  zi  f ' x (i ,i )( x  i )  f ' y ( i ,i )( y  i )

z
n



lim

diam 0 i 1
X=f(x;y)
i
y
D
S i
x
Si   i cos  i
z
 i
или
S i
 i 
cos  i

Mi
0
y
 S
i
x
Pi
cos  i 
1
1  f ' (i ,i )  f ' (i ,i )
2
x
2
y
Следовательно:
 i  1  f ' (i ,i )  f ' (i ,i )Si
2
x
2
y

n
lim  1
diamS i 0
i 0
  
D
2
f ' x (i ,i )
2
f ' y (i ,i )Si
2
 dz   dz 
1       dxdy
 dx   dy 
2

Если x   ( y , z ) или
y   ( x, z ),
2
  
D'
  
D ''
 dx   dx 
1       dydz,
 dy   dz 
2
2
2
 dy   dy 
1       dxdz.
 dx   dz 
то
Вычислим поверхность σ
сферы

При x2 + y2 ≤ R2,

1
  

2
 R 
R
R2  x2

R2  x2

dy dx
2
2
2

R x y

R