Z в

Демонстративно – методическое пособие
по решению типовых задач из курса
Автор В. В. Потников
Оглавление
1.1 ТОЧКА

Проецирование точки на плоскости проекций

Точка на комплексном чертеже
1.2 ПРЯМАЯ

Следы прямой

Определение истинной величины отрезка прямой и углов
наклона прямой к плоскостям проекций
1.3 ПЛОСКОСТЬ

Следы плоскости

Пересечение двух плоскостей

Плоскости общего положения

Геометрические фигуры

Точка встречи прямой с плоскостью общего положения ,
определение видимости прямой относительно плоскости
2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА

Пересечение прямой с геометрическими телами
3 ЗАДАЧИ
Точка на плоскости
Построить проекции точек с координатами:
A (x; y; z) z=0
x
ax A2
z
az
o
A3 ay
y
A1
ay
y
Построить проекции точек с координатами:
A (x; y; z) z=0
x
ax A2
z
az
o
A3 ay
y
A1
ay
y
Построить проекции точек с координатами:
A (x; y; z) y=0
A2
z
az
A3
x
o
ax
A1
ay
ay
y
y
Построить проекции точек с координатами:
A (x; y; z) y=0
A2
z
az
A3
x
o
ax
A1
ay
ay
y
y
Построить проекции точек с координатами:
A(x; y; z) x=0
z
az
A3
A2
x
ax
o
ay
y
A1
ay
y
Построить проекции точек с координатами:
A (x; y; z) x=0
z
az
A3
A2
x
ax
o
ay
y
A1
ay
y
назад назад
далее

Точка
на комплексном
Точка на комплексном чертеже
чертеже
Построить проекции точек с координатами:
A(x; y; z)
z
A2
x
az
A3
o
ax
ay
y
A1
ay
y
Построить проекции точек с координатами:
A(x; y;z)
z
A2
x
az
A3
o
ax
ay
y
A1
ay
y
Построить проекции точек с координатами:
B(x; -y;z)
z -y
B2
B3
bz
by
B1
x
-y
o
bx
-x
y
by
-z
y
Построить проекции точек с координатами:
B(x; -y;z)
z -y
B2
B3
bz
by
B1
x
-y
o
bx
-x
y
by
-z
y
Построить проекции точек с координатами:
C(x; -y;-z)
z -y
C1
cy
x
-y
o
cx
cy
C2
C3
-x
y
cz
-z
y
Построить проекции точек с координатами:
C(x; -y;-z)
z -y
C1
cy
x
-y
o
cx
cy
C2
C3
-x
y
cz
-z
y
Построить проекции точек с координатами:
D(x; y;-z)
x
z -y
dx
o
dy
-x
y
-y
dy
D1
dz
D3
D2
-z
y
Построить проекции точек с координатами:
D(x; y;-z)
x
z -y
dx
o
dy
-x
y
-y
dy
D1
dz
D3
D2
-z
y
Построить проекции точек с координатами:
E(-x; y;z)
z -y
E3
E2
ez
x
o
ey
ex
-x
y
-y
ey
E1
-z
y
Построить проекции точек с координатами:
E(-x; y;z)
z -y
E3
E2
ez
x
o
ey
ex
-x
y
-y
ey
E1
-z
y
Построить проекции точек с координатами:
F(-x;- y; z)
F3
fz
z -y
fy
x
-y
F2
F1
o
fx
-x
y
fy
-z
y
Построить проекции точек с координатами:
F(-x;- y;z)
F3
fz
z -y
fy
x
-y
F2
F1
o
fx
-x
y
fy
-z
y
Построить проекции точек с координатами:
G(-x;- y;-z)
z -y
gy
x
-y
G1
o
gx
-x
y
gy
G3
-z
gz
y
G2
Построить проекции точек с координатами:
G(-x;- y;-z)
z -y
gy
x
-y
G1
o
fx
-x
y
gy
G3
-z
gz
y
G2
Построить проекции точек с координатами:
S(-x;y;-z)
z -y
x
o
sy
sx
-x
y
-y
sy
S1
sz
-z
S3
y
S2
Построить проекции точек с координатами:
S(-x;y;-z)
z -y
x
o
sy
sx
y
-y
sy
S1
sz
-z
назад
-x
назад
S3
S2
y
далее

Следы прямой
Точка на комплексном чертеже
ЗАДАЧА Построить следы прямой АВ, покапать видимость
прямой, дать характеристики положения прямой в
пространстве относительно плоскостей проекций.
В2
о
х
А2
В1
А1
2. Соединить одноименные проекции точек и
определить горизонтальный след прямой - точку Н (Н2 H1)
В2
х
Н2
о
А2
В1
А1
Н1
2. Определить фронтальный след прямой АВ - точку F (F2,F1)
F2
В2
х
Н2
F1
А2
В1
А1
Н1
о
з. Определить характеристики положения прямой в пространстве
относительно плоскостей проекций (точка С - произвольная).
Показать видимость прямой
F2
В2
х
Н2
F1
А2
В1
А1
Н1
о
з. Определить характеристики положения прямой в пространстве
относительно плоскостей проекций (точка С - произвольная).
Показать видимость прямой.
С2
F2
В2
х
Н2
С1
F1
А2
В1
А1
Н1
≥
назад назад
Ι
ΙΙ
далее
о
Определение истинной величины
 отрезка
Точка на
комплексном
чертеже наклона
прямой
и углов
прямой к плоскостям проекций
ЗАДАЧА По двум заданным проекциям отрезка найти его
истинную величину и углы наклона его к плоскостям проекций.
z
А2
х
О
y
В2
А1
В1
у
1. Построить профильную проекцию заданного отрезка А В
z
А2
А3
х
О
y
В2
А1
В3
В1
у
2. Определить следы отрезка и показать видимость его.
z
А2
А3
Н2
х
О
Н3
y
В2
В1
А1
В3
Н1
Н3
у
3. Определить графи чески алгебраическую разность координат
концов заданного отрезка: х = хв - хА У = Ув - УА
Z = ZA - Zв
z
А2
Н2
х
А3
Δх
Δ
z
О
Н3
y
А1
В2
В3
Н1
В1
Δу
Н3
у
4. Найти истинную величину отрезка и углы наклона его к
плоскостям проекций
А´
z
Δу
А2
О
β
Н3
γ
А1
В ´Ξ В2
А´
А3
Н2
х
Δх
y
В3 Ξ В ´
Н1
В ´Ξ В1
Н3
α - к плоскости П1
α
β - к плоскости П2
ΙАВΙ= ΙАВΙ1+ΙАВΙ2+ΙАВΙ3
3
назад назад
А´
у
γ - к плоскости П3
далее

Следы
плоскости
Точка на комплексном
чертеже
ЗАДАЧА Через три заданные точки nоcmроuть плоскость,
показать видимость отрезков и следов плоскости. В заданной
плоскости провести горизонталь с отметкой z = 5 ед.и фронталь с
отметкой У=4 ед.
А2
С2
х
В2
С1
О
В1
А1
1. Соединить любую пару заданных точек (например, А и С), найти
следы и показать видимость полученной прямой,F(F2F1)=AC ∩ П2
H(H2H1)=AC ∩ П1
А2
Н1
F2
С2
В2
С1
х
Н2
О
F1
В1
А1
1. Соединить любую пару заданных точек (например, А и С), найти
следы и показать видимость полученной прямой,F(F2F1)=AC ∩ П2
H(H2H1)=AC ∩ П1
А2
Н1
F2
С2
В2
С1
х
Н2
О
F1
В1
А1
2. Соединить другую пару заданных точек (например, А и В),
найти также следы и показamь видимость этой прямой
F1(F21,F11)=АB ∩ П2
H1(H21,H11)=АВ ∩ П1
Н1
А2
F2
С2
В2
С1
х
Н2
Н11
F1
В1
А1
Н21
F11
F21
О
2. Соединить другую пару заданных точек (например, А и В),
найти также следы и показamь видимость этой прямой
F1(F21,F11)=АB ∩ П2
H1(H21,H11)=АВ ∩ П1
Н1
А2
F2
С2
В2
С1
х
Н2
Н11
F1
В1
А1
Н21
F11
F21
О
3. Через следы прямых провести соответствующие следы
плоскости FF1= f o а Н Hi = hoа Следы плоскостей должны
пересекаться на оси 0х ; Х а = hо а ∩ fо а ; Ха Є Ох
Н1
А2
fо а
F2
С2
В2
С1
х
Н2
Н11
F11
Ха
F1
В1
А1
Н21
F21
hо а
О
4 Показать видимость следов плоскости
foa - всегда видны выше оси Ох
h0а - всегда видны ниже оси Ох
Н1
А2
fо а
F2
С2
В2
С1
х
Н2
Н11
F11
Ха
F1
В1
А1
Н21
F21
hо а
О
5. Пpoвecmu горизонталь плоскости 1 2 (1222,1121) с отметкой z=5
1222|| Ох
1121|| h0a
Н1
А2
22
F2
С2
В2
С1
х
Н2
z=5
12
fо а
Н11
F11
Ха
11 F1
В1
Н21
F21
А1
hо а
21
О
6. Провесmи фронталь плоскости 34(3242;3141) С отметкой у=4
3141 || 0х 3242 || foа
42
Н1
А2
12
fо а
F2
22
К2
С2
В2
С1
у=4
х
Н2
11
41
Н11
F11
32
Ха
F1
В1
Н21
F21
31
А1 К1
Проверка:
горизонталь и фронталь должны
пересечься в одной точке К (К2 К1)
К (К2К1) = 12 ∩ 34
назад назад
hо а
21
далее
О

Пересечение двух
Точка на комплексном чертеже
плоскостей
(плоскости общего положения)
Задача Построить линию пересечения 2-х плоскостей заданных следами,
когда следы плоскостей пересекаются в пределах чертежа, Дать характеристику положения линии пересечения в пространстве относительно
плоскостей проекций. Показать видимость следов плоскостей и линии
пересечения
foa
foв
х
о
hoв
hoa
1.Пpoвecmu вспомогательную секущую плоскость γ II П1 (произвольно)
foα
foβ
foγ
х
о
hoβ
hoα
2. Определить линию пересечения плоскости α со вспомогamельной
плоскостью γ (это будет горизонталь плоскости α) α ∩ γ=MN
foα
foβ
foγ
M2
N2
х
о
N1
hoβ
hoα
M1
3. Определить линию пересечения плоскости β со вспомoгательной
плоскостью γ (это будет горизонталь плоскости γ), β ∩ γ =12
foα
foβ
22
foγ
M2
12
N2
х
о
11
N1
hoβ
hoα
21
M1
4. Определить точку К(К2, К1) принадлежащую линии пересечения плоскостей
α и β NM ∩ 12=K
foα
foβ
22
K2
foγ
M2
12
N2
11
х
о
N1
hoβ
K1
hoα
21
M1
5, Onределить точку L(L2,L1) -точку пересечения горизонтальных следов hoα
и hoβ hoα ∩ hoβ = L
foα
foβ
22
K2 foγ M2
12
L2
11
N2
х
о
N1
L1
hoβ
K1
hoα
21
M1
6. Определить линию КL (К2L2, К1L1)-пересечения плоскостей α и β
α ∩ β =KL
foα
foβ
22
K2 foγ M2
12
N2
х
L2
о
11
N1
L1
K1
hoβ
hoα
21
M1
7, Определить характеристику линии пересечения относительна плоскостей
проекций(П1П2).
foα
foβ
22
K2 foγ M2
12
N2
х
L2
о
11
N1
L1
п. п.
н.п
KL- I -Пл.П1 – IV - Пл.П2 - III
K1
hoβ
hoα
21
назад
назад
M1
далее

Пересечение двух
Точка на комплексном чертеже
плоскостей
(Заданных геометрическими фигурами )
Задача: Построить линию пересечения двух плоскостей, заданных плоскими
фигурами:Δ АВС и Δ ДКЕ показать видимость.
B2
D2
A2
E2
C2
o
x
K2
C1
D1
E1
A1
B1
K1
1. Воспользуемся вспомогательной секущей плоскостью βΙΙ П2 проходящей
через(·) А Δ АВС эта плоскость пересечет Δ АВС по фронтали А1(А212)
Δ АВС ∩β=А1 плоскость β пересекает Δ ДКЕ по фронтали2;3 Δ ДКЕ ∩β= 23
Точка пересечения фронталей А1 и 23 даёт искомую (·) F = А1 ∩ 23
B2
D2
12
F2
A2
E2
22
C2
32
o
x
K2
C1
D1
E1
21
A1
11
F1
K1
31
B1
2. Для получения второй точки линии пересечения Δ АВС и Δ ДКЕ воспользуемся плоскостью γ П1 и проходящей через сторону КЕ Δ ДКЕ
Δ ДКЕ ∩ γ =КЕ
Δ АВС ∩ γ=45 КЕ ∩ 45= (·)R(R2R1)
f
Т
B2
41
D2
12
51
F2
R2
E2
A2
22
C2
32
xo
x
K2
C1
R1
E1
D1
21
A1
11 51
F1
41
h
K1
31
B1
3. Соединив одноименные проекции точек F u R, получим проекции линии
пересечения плоскостей Δ АВС ∩ Δ ДКЕ =FR
f
B2
41
D2
12
51
F2
R2
E2
A2
22
C2
32
xαo
x
K2
C1
R1
E1
D1
21
A1
11 51
F1
41
hα
K1
31
B1
4. Пользуясь методом конкурирующих точек, определяем видимость
заданных плоскостей относительно друг друга
f
B2
41
D2
12
51
F2
R2
E2
A2
22
C2
32
xαo
x
K2
C1
R1
E1
D1
21
A1
11 51
F1
41
hα
K1
31
B1
5. Даем характеристику найденной линии пересечения относительно
плоскостей проекций.
fα
B2
41
D2
12
51
F2
R2
E2
A2
22
C2
32
xαo
x
K2
C1
D1
R1
E1
21
A1
назад назад
11
51
31
B1
41 .(FR) – I – пл.П2 – II – пл.П1 - III
F1
hα
K1
далее

Точка встречи прямой с плоскостью
общего положения , определение
Точка на комплексном чертеже
видимости прямой относительно
плоскости
Задача: определить точку пересечения прямой EF с плоскостью ,
заданной плоскостью фигуры - треугольником АВС показать
видимость
E2
B2
А2
F2
х
C2
о
F1
B1
A1
E1
C1
1. Через EF провести
плоскость α П1, hоa совпадает с Е1 F1 fоa Ox.
Т
Т
fα
E2
B2
А2
xα
х
F2
C2
о
F1
B1
A1
E1
C1
hα
2. Найти ДК(Д2К2, Д1К1)линию пересечения вспомогательной пл. α, (f оα hoa) с
заданной плоскостью Δ АВС(А2В2С2;А1В1С1) KD= Δ АВС ∩ α
fα
E2
D2
А2
K2
xα
х
B2
F2
C2
о
F1
B1
A1
D1
K
1
E1
C1
hα
3 Найти (•)М(M2M1) -(•) пересечения линии ДК (Д2К2)(Д1К1) и прямой
EF(E2F2; E1F1) (•) M=DК∩EF
.
fα
E2
D2
M2
K2
А2
xα
х
B2
F2
C1
о
F1
B1
A1
D1
K1
M1
E1
C2
hα
4. Используя конкурирующие точки 1(1211) 2(2221) Определить
видимость.ΔАВС представляет собой плоскость односторонней
видимости, поэтому один и тот же участок заданной прямой будет виден
сверху(М1Е1)и спереди (M2Е2)
.
fα
E2
D2
M2
K2
А2
xα
х
B2
F2
C1
о
F1
B1
A1
D1
K1
M1
E1
C2
hα
5. Показываем видимость
fα
E2
D2
M2
K2
А2
xα
х
B2
F2
C1
о
F1
B1
A1
D1
K1
M1
E1
назад назад
C2
hα
далее

Пересечение
прямой
с
Точка на комплексном чертеже
геометрическими телами
Задача : Построить точку пересечения прямой линии TF с поверхностью
многогранника. Показать видимость ребер многогранника секущей
прямой линии.
S2
T2
F2
X
A2
C2
B2
T1
O
S1
A1
B1
C1
F1
1. Определяем видимость ребер многогранника, используя правило
видимости и метод конкурирующих точек 1(1211)2(2221).
S2
T2
F2
X
A2
C2
B2
T1
O
S1
A1
B1
C1
F1
2. Через прямую ТF проводим вспомогательную плоскосmь α ,
перпендикулярную фронтальной плоскости проекций П2: след f0 α
совпадает с Т2 F2 hOα оcu Ox.
Т
fOα
S2
T2
F2
X
A2
C2
B2
T1
Xα
S1
A1
B1
F1
hOα
C1
O
3.
Строим линию пересечения вспомогательной плоскости α (fOα hOα) с поверхностью
заданного многогранника фронтальная проекция сечения плоскости α с поверхностью
пирамиды (122232) совпала с фронтальным следом fOα плоскости α . гopuзонтальная проекция
сечения 1121З1 определилась по точкам 1121З1 лежащим на соответствующих ребрах
пирамиды ('построение показано стрелками),
fOα
S2
T2
12
22
32
F2
X
A2
C2
B2
T1
Xα
S1
31
11
A1
21
B1
F1
hOα
C1
O
4. Найдем точки пересечения заданной пряной ТF с контуром сечения 123 - точки К
(К2 К1) и R(R2R1) По линиям связи отмечаем точки К2 и R2 на фронтальной проекции
прямой Т2F2. Это и будут искомые точки (вxoдa и выxoдa) пересечения прямой с
поверхностью многогранника (пирамиды).
fOα
S2
T2
12
22
32
K1
X
A2
R1
B2
C2
T1
F2
Xα
S1
11
A1
K1
21
31
R1
B1
F1
hOα
C1
O
5. Определяем видимость прямой TF относительно многогранника ,
используя метод конкурирующих точек 4(4241), 5(5251).
Участок прямой KR(К2R2,K1R1) внутри многогранHUKА Всегда невuдuм.
Показываем видимость сечения
fOα
S2
T2
12
22
32
K1
X
A2
R1
B2
C2
T1
Xα
O
S1
11
A1
K1
21
31
R1
B1
назад назад
F2
F1
hOα
C1
далее
Задача: Определить точки пересечения прямой AВ с поверхностью
конуса. Показать видимость прямой.
S2
A2
B2
B1
S1
A1
1 Через прямую АВ проводим вспомогательную плоскость. в качестве вспомогательной
плоскости принимаем плоскость, проходящую через вepшину конуса S, и две точки 1и 2,
произвольно взятые на прямой AВ. Определяем горизонтальные следы Н, (Н21,Н11) и
Н2(Н22Н21) пересекающихся прямых S1и S2. Точки 1и2 следует выбрать с таким расчетом,
чтобы горизонтальные следы Н1 и H2 получились в пределах чертежа.
S2
A2
12
22
B2
H22
H12
S1
11
A1
H12
B1
21 H21
2. Через гориз. следы прямых (н1 и нг) проводим горизонтальный след ho α
плоскости α Так как конус своим основанием расположен на плоскости,
определяем точки 3 и 4 пересечения основания со следом
S2
A2
12
22
B2
H22
H12
32
42
S1
11
H12
A1
ho α 31
21
41
B1
H22
S3 и S4 - образующие.
S2
A2
12
22
B2
H22
H12
32
41
S1
11
H12
A1
ho α 31
B1
21 H22
41
3. Определяем линию пересечения вспомогательной плоскости
α с конусом - это образующие S3 и S4.
S2
A2
12
K2
L2
22
B2
H22
H12
32
41
21
S1
L1
11
H12
A1
K1
ho α 31
41
B1
H22
В пересечении образующих S3 И S4 с заданной прямой определяем искомые
Точки.AВ ∩ S3 = К AВ ∩ S4 = L . Определяем видимость прямой линии AВ.
S2
A2
12
K2
L2
22
B2
H22
H12
32
41
21
S1
L1
B1
H22
41
11
назад
назад
H12
A1
K1
ho α 31
далее
Задача : 0пределить moчки пересечения прямой AВ
с поверхностью сферы, показать видимость прямой.
A2
B2
C2
Х
П2
О
П1
C1
A1
B1
∩
1.Через прямую AВ проводим пл. α П1(след hoα сoвnадает с горизонтальной
проекцией прямой А1В1). (α ┴П1,) ∩ ( A1В1
h0α).
A2
B2
C2
Х
П2
О
П1
C1
О1
B1
A1
ho α
Х1 П1
C4
П4
A4
B4
Любая плоскость пересекающая поверхность сферы, пересекает, по окружности, проекции которой при донном
расположении прямой проецируются на пл. П2 в виде эллипса. Чтобы избежать построения эллипса. применим
метод перемены пл. проекций, заменив пл. Пг пл.П4 // А1 В1 Тогда ось О1,Х1 будет // А1В1
2. Проецируем на пл. П4 заданную прямую AВ и cфepy. Тогда сечение сферы пл. α на пл. П4 изобразится в виде
окружности радиуса R. 3. В пересечении полученного сечения с пряной AВ и определятся искомые точки KuL (К4,L4)
которые обратным проецированием определяем в заданной системе,
K2
A2
L2
B2
C2
Х
П2
О
П1
C1
K4
A1
ho α
L4
О1
B1
R
Х1 П1
C4
B1
R
П4
L4
A4
K4
3. Определяем видимость прямой
K2
A2
L2
B2
C2
Х
П2
О
П1
C1 L1
K1
A1
ho α
Х1 П1
О1
B1
B1
C4
П4
назад
назад
L4
A4
K4
далее

ЗАДАЧИ
Точка на комплексном чертеже
Задача По заданным координатам точек А; В; С; D; E; F;G; К построить их
горизонтальные, фронтальные и профильные проекции. Определить, в
каких октантах расположены точки;
координаты
X
Y
z
A
-40
35
50
B
25
-20
30
C
-30
-10
-35
D
50
20
40
E
70
15
-15
F
85
-30
-10
G
-10
60
-70
K
-50
-15
20
назад назад
далее
Задача Построить проекции отрезка прямой А В по заданным
координатам его концов. Найти следы прямой.
точка
назад назад
координаты
X
Y
Z
A
70
-20
30
B
10
-50
40
далее
Задача . Определить натуральную длину отрезка прямой АВ и углы
наклона этой прямой к плоскостям проекций π1 и π2
z
A2
0
x
B1
A1
B2
y
назад назад
далее
Задача Определить точку пересечения прямой АВ с плоскостью а .
Через точку А провести прямую АС, параллельную плоскости а. Решить
вопрос видимости прямой АВ.
А2
fα
z
B2
x
xα
0
B1
hα
назад
назад
y
A1
далее
Задача Построить следы плоскости а, заданной тремя точками А,В,С.В
плоскости а построить горизонталь, отстоящую на расстоянии двух
единиц от горизонтальной плоскости π1 и фронталь отстоящую на
расстоянии трех единиц от фронтальной плоскости проекций π2.
z
C1
A2
B1
C2
A1
x
0
B2
назад назад
y
далее
Задача По заданным координатам вершин построить проекции
треугольников ABC и DEF. Определить линию их пересечения. Решить
вопрос видимости объектов.
Точки
Координаты
X
Y
Z
A
160
85
20
B
75
95
95
C
25
5
10
D
145
5
70
E
25
65
80
F
40
90
5
назад назад
далее
Задача . Определить точки пересечения прямой, заданной отрезком АВ, с
поверхностью. Решить вопрос видимости прямой
S2
T2
F2
X
A2
C2
B2
B1
A1
назад
назад
O
F1
S1
далее
T1
C1