Производная. МБОУ «Средняя школа № 3» Тетуева Г.Э. Высшая кв. категория

Производная.
МБОУ «Средняя школа № 3»
Тетуева Г.Э.
Высшая кв. категория
Найдите производные функций:

 2 x  3x  1 
4
3

15x  8х 
3
2
Правильный
8x  9 x
ответ

3
Правильный
60 xответ
8

1
Правильный
15  ответ

5х  2cos x  
Правильный
10 х  2sin x
ответ

1
Правильный
6 хответ
 2
х
4
15х  x 

2

1
 2

 3х  
х

2 x
Найдите производные функций:

17

2
x



3x  1


 2tg 3x 

Правильный
2
ответ

3
Правильный
2 3ответ
x 1

6
Правильный
2
cosответ
3x

2sin
x

cos
3
x

 

3
ctg
5
x

 
Правильный
2 cos x  3sin 3 x
ответ
15
Правильный
 2
sin
5x
ответ
Геометрический смысл
производной
Определите по графику функции
у = f (x):
у
1. Чему равен угловой
коэффициент касательной
в точке М?
-1 0
2. Чему равна производная
в точке М ?
-1
0
М
3/4
3/4
подсказк
а
1
135о
а
0
М
1
М
b
х
Функция y=f(x) задана на интервале (a;b),
на рисунке изображен график ее производной.
У
прямых,
параллельных
К всех
графику
функции
прямой y = 3 + x, угловой
провели все
коэффициент равен 1.
касательные,
параллельные прямой
Поэтому
y = 3 + xнайдём,
(или сколько раз
производная
принимает
совпадающие
с ней).
значение, равное 1.
Найдите количество
Для этого найдём число
точек пересечения
графика функции,
точек
графика
в которых проведены
производной
с прямойэти
y=1
касательные.
Таких
точек ровно 5.
решение
Ответ: 5
у
y  f (x)
у=1
1
а
0
1
bх
Функция y=f(x) задана на интервале (a;b),
на рисунке изображен график ее производной.
Найдем
Найдитеугловой
количество точек
графика функции
в a:
коэффициент
k = tg
которых
tg
135o = касательные
-1. Найдём, сколько
наклонены
под углом
135о
раз
производная
принимает
к положительному
значение,
равное -1.
направлению
оси абсцисс.
Для
этого найдём
число
точек пересечения
а
графика производной с
прямой y = -1
Таких точек ровно 5.
решение
Ответ: 5
у
y  f (x)
1
b
0
х
1
у = -1
Функция y=f(x) задана на интервале (a;b),
на рисунке изображен график ее производной.
у
всех прямых,
параллельных
КУ графику
функции
провели
прямой
y = 4 -2x, угловой
все
касательные,
коэффициент равен
-2.
параллельные
прямой
у
в каких
абсциссах с
=Найдём,
4 - 2х (или
совпадающие
производная
принимает
ней).
Найдите
наибольшую
значение, равное -2.
из точек абсцисс, в которых
Для этого найдём точки
проведены
эти
касательные.
пересечения
графика
производной с прямой y = -2
и выберем точку с наибольшей
абсциссой. Это х=4.
решение
Ответ: 4
y  f (x)
1
а
0
1
у = -2
4b
х
Функция y=f(x) задана на интервале (a;b),
на рисунке изображен график ее производной.
Найдем
Найдитеугловой
количество точек
графика функции
в a:
коэффициент
k = tg
которых
tg
60o = 3касательные
. Найдём, сколько
наклонены
под углом
60о к
раз
производная
принимает
положительному
значение,
равное 3 .
направлению
оси абсцисс.
Для
этого найдём
число
точек пересечения
а
графика производной с
прямой y = 3
Таких точек ровно 2.
решение
Ответ: 2
у
1
0
1
b
х
y  f (x)
Механический смысл
производной
ЗАДАЧА №1
Материальная точка движется прямолинейно
по закону s (t) = 1 - 6t + 2,5t 2
Определить скорость через 2 с. после движения.
РЕШЕНИЕ.
v(t )  S (t )
1)V1 (t )  (2,5t 2  6t  1)  5t  6
(формула скорости движения 1 тела)
подсказк
а
Ответ: 4
ЗАДАЧА №2
Пусть количество вещества, вступившего в
химическую реакцию задается зависимостью
р( t ) = t 2/2 + 3t –3 (моль)
Найти скорость химической реакции через 3 секунды.
РЕШЕНИЕ.
1) v( t ) = p`( t ) = t + 3,
v(t )  Р(t )
2) v(3) = p`(3) = 3 + 3 = 6(моль/сек)
подсказк
а
Ответ: 6 моль / сек
Признаки возрастания и
убывания функции
Справочные сведения:
Функция y = f(x) задана на интервале (a;b),
на рисунке изображен график ее производной.
у
1. Укажите промежутки
убывания функции.
y  f (x)
а;2, 3; b
2. Укажите промежутки
возрастания функции.
 2;3
3. Определите длину
промежутка возрастания
функции.
5
а
1
0
b
1
х
Функция y = f(x) задана на интервале (a;b),
на рисунке изображен график ее производной.
у
1. Укажите промежутки
убывания функции.
y  f (x)
 3;3
2. Укажите промежутки
возрастания функции.
1
a;3, 3; b
3. Определите длину
промежутка, на котором
касательная к графику
функции имеет
отрицательный угловой
коэффициент?
а
6
0
b
1
х
Функция y = f(x) задана на интервале (a;b),
на рисунке изображен график ее производной.
у
1. Укажите промежутки
убывания функции.
y  f (x)
а;3, 0;3
2. Укажите промежутки
возрастания функции.
 3;0, 3; b
3. Определите длину
наибольшего промежутка,
на котором касательная к
графику функции имеет
положительный угловой
коэффициент?
3
а
1
0
b
1
х
Экстремумы функции
Функция y=f(x) задана на интервале (a;b),
на рисунке изображен график ее производной.
у
y  f (x)
1. Назовите точки
максимумов функции.
х=0
2. Назовите точки
минимумов функции.
х = -3; х = 2
1
а
b
0
1
х
Функция y=f(x) задана на полуинтервале (a;b],
на рисунке изображен график ее производной.
у
1. Назовите точки
максимумов функции.
y  f (x)
х = -3, х = 2
2. Назовите точки
минимумов функции.
х = 1, х = 3
1
а
0
1
b х
Функция y=f(x) задана на полуинтервале (a;b],
на рисунке изображен график ее производной.
1. Верно ли, что отмеченные
точки являются точками
максимумов функции?
у
y  f (x)
нет
2. Назовите точки
максимумов функции.
х=0
3. Верно ли, что отмеченные
точки являются точками
минимумов функции?
1
а
1
0
bх
нет
4. Назовите точки
минимумов функции.
х = -4, х = 4
5. Как называются оставшиеся
точки?
точки перегиба х = -2, х =
2
Определение свойств функции
по графику её производной
Информация , которую можно получить о
функции y = f (x), если задан график её
производной
Функция убывает на
промежутках: (а;-4],
[-3;0],[1;2],[3;b]
Функция возрастает
на промежутках:
[-4;-3],[0;1],[2;3]
Точки экстремума:
х = -4; х = -3; х = 0;
х = 1; х = 2; х = 3
Точки максимума:
х = -3; х = 1; х = 3
Точки минимума:
х = -4; х = 0; х = 2
у
f ( x )  0
1
а
1
b
х
0
f ( x )  0
Функция y = f (x) задана на интервале (a;b),
на рисунке изображен график ее производной.
1. В скольких точках
касательная к графику
функции параллельна
оси абсцисс?
5
2. Сколько промежутков
возрастания у функции?
у
f ( x )  0
3
3. Назовите точки
максимума.
а
х = -3 ; 3
4. Назовите точки
минимума.
х = 1; 4
5. Как называется
точка х = -1? Точка перегиба.
1
0
f x  0
1
b
х
Найдите функцию по графику её производной
у
у
1
0
1
у
1
х
1
0
2
х
1
у
1
0
х
1
1
0
3
х
1
4
Задача 1.
На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x)
,
определенной на интервале (-8;3) В какой точке отрезка [-3;2] функция
принимает наибольшее значение.
Верно!
y=f’(x)
1 -3
Подумай!
1
1
2 0
+
Подумай!
3 3
Подумай!
4
1
ПРОВЕРКА (4)
-3
-
Задача 2.
На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x)
,
определенной на интервале (-8;4) В какой точке отрезка [-7;-3] функция
принимает наибольшее значение.
Подумай
1
y=f’(x)
1
Подумай
2
-2
+
Подумай
3
-
-5
Верно!
4
нет
ПРОВЕРКА(3)
Задача 3.
На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x)
,
определенной на интервале (-11;11) Найдите количество точек экстремума
функции y=f(x), принадлежащих отрезку [-10;10].
1 4
2 6
Подумай!
y=f’(x)
Подумай!
+
3
5
4 7
Верно!
-
min
+
max
-
Подумай!
ПРОВЕРКА (2)
min
max
+
-
min
Задача 4.
На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x)
,
определенной на интервале (-2;12) Найдите промежутки убывания функции
y=f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
1 2
2 4
3
6
4 8
Подумай!
6
Подумай!
Верно!
Подумай!
ПРОВЕРКА (3)
Задача 5.
На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x)
,
определенной на интервале (-10;2) Найдите количество точек , в которых
касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y= - 2x-11 или
совпадает с ней.
Верно!
1 5
Подумай!
1
2 4
3 3
1
Подумай!
f‘(x)=-2
4
2
Подумай!
ПРОВЕРКА(2)
Задача 6.
На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x)
,
определенной на интервале (-4;8) Найдите точку экстремума функции y=f(x).
Принадлежащей отрезку [-2;6].
Верно!
1 4
Подумай!
1
1
2 0
+
Подумай!
3 3
Подумай!
4
-1
ПРОВЕРКА (1)
max
Задача 7.
На рисунке изображен график y=f(x) и касательная к нему в точке x0.
Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x0.
Подумай
1
2 1
tg    0,25
8 4
-1
Подумай
2
1
Подумай
3
8
0,5
Верно!
4
2
α
0,25
ПРОВЕРКА (5)
Задача 8.
На рисунке изображен график y=f(x) и касательная к нему в точке x0.
Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x0.
8
1
tg   2, значит,tg    0,5
4
2
1
2
Подумай!
α
Верно!
2 -0,5
β
Подумай!
3
0,5
Подумай!
4
-2
ПРОВЕРКА (3)
Задача 9.
На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через
начало координат , касается графика функции в точке с абсциссой 8.
Найдите значение производной функции в точке x0 = 8.
f '( x0 )  f '(8)  tg 
1 0,4
2 0,8
3
1,25
Подумай!
Подумай!
Верно!
α
4 1
Подумай!
ПРОВЕРКА (3)
10
 1,25
8
Задача 10.
На рисунке изображен график y=f’(x) — производной функции y=f(x)
, определенной на интервале Найдите абсциссу точки , в которой
касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y= 2x-2 или
совпадает с ней.
Подумай
1
1
Подумай
2
0
Подумай
3
f’(x)=2
7
Верно!
4
5
5
ПРОВЕРКА (2)
Задача 11.
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на
интервале (-5;5) Найдите количество точек, в которых производная
функции y=f(x) равна 0.
1
5
Подумай!
y=f(x)
Верно!
2
4
Подумай!
3
3
Подумай!
4
2
ПРОВЕРКА (3)
Задача 12.
Прямая y=5x-8 является касательной к графику функции
f(x)=28x2 +bx+15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания
больше 0.
f ' ( x0 )  5,
1
161
14
2
561
14
3
23
28
4
161
7
Верно!
Подумай!
1
значит ,56 x0  b  5; b  5  56 x0 ;
Т.к. парабола и касательная имеют общую точку
с координатами x0 и y0 ,то составим уравнение:
28 x0  (5  56 x0 )  x0  15  5 x0  8
2
Подумай!
Решим данное уравнение:
23
28 x  23; x  ;
28
2
0
Подумай!
x0 
ПРОВЕРКА (7)
2
0
23
161

 0;
28
14
Задача 13.
1
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t )  t 3  3t 2  2
2
где x –расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах
измеренное с начала движения. Найдите скорость в м/с в момент
времени t=6 c.
1 10
2 12
3
18
4 36
Подумай!
v  x' ( t )
Подумай!
3 2
x' ( t )  t  6t
2
Верно!
3
v  x' (6)   36  6  6  54  36  18
2
Подумай!
ПРОВЕРКА (3)
Задача 13.
1
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t )  t 3  3t 2  2
2
где x –расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах
измеренное с начала движения. Найдите скорость в м/с в момент
времени t=6 c.
1 10
2 12
3
18
4 36
Подумай!
v  x' ( t )
Подумай!
3 2
x' ( t )  t  6t
2
Верно!
3
v  x' (6)   36  6  6  54  36  18
2
Подумай!
ПРОВЕРКА (3)
Задача 14.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t )  t 2 13t  23
где x –расстояние от точки отсчета в метрах, t-время в секундах
измеренное с начала движения. В какой момент вре
мени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Подумай
1
11
Подумай
2
x' ( t )  2t  13
Составим уравнение:
10
Подумай
3
v  x' ( t )
2t  13  3;
t  8;
7
Верно!
4
8
2t  16;
ПРОВЕРКА (5)
Ответы к заданиям
№1--- 1
№2-- - 4
№3---- 3
№4---- 3
№5---- 1
№6---- 1
№7--- 4
№8--- 4
№9---- 3
№10--- 4
№11----2
№12--- 1
№13----3
№14----8
Дом.зад. на карточках.