Построение графиков функций (презентация)

Построение
графиков
функций
Зная график некоторой функции, можно с помощью
геометрических преобразований построить график
более сложной функции.
8
7
6
Рассмотрим график функции
y=x2 . Выясним как можно
построить графики функций
вида y=(x-m)2 и y=x2+n.
у =
х2
5
4
3
2
1
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
-2
4
Из графика функции у = х2 можно получить график
функции y=(x - m)2 с помощью параллельного переноса
вдоль оси Ох на m единиц вправо, если m > 0, или
влево, если m<0.
График функции y=(x - m)2 - парабола с вершиной
в точке (m; 0).
Этот вывод допускает еще большее обобщение:
график функции y=f(x - m) можно получить из графика
функции y=f(x) с помощью параллельного переноса
вдоль оси Ох на m единиц вправо, если m > 0, или
влево, если m<0.
Пример 1.
Построим график функции y=(x - 2)2, опираясь на график
функции y=x2 (щелчок мышкой).
График функции y=(x - 2)2
можно получить из графика функции y=x2
путем сдвига всех его точек вправо на 2
единицы (щелчок мышкой).
9
8
7
6
5
у =
х2
4
3
2
2
у = (х
- 2)
1
-10
-8
-6
-4
2
2
-2
-1
4
6
8
0
График функции y=(x + 3)2 также может быть получен из графика
функции y=x2, но сдвигом не вправо, а влево на 3 единицы.
8
7
у =
х2
6
5
4
3
у = (х
2
+
у = (х 2
- 2)
3)
2
1
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-1
х = - 3
х = 2
-2
-3
-4
Хорошо видно, что осями симметрии графиков функций y=(x - 2)2 и
y=(x - 3)2 являются соответственно прямые х = 2 и х = - 3.
Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой
Зная график функции y=x2, можно построить
график функции y=x2 +n с помощью сдвига вдоль
оси Оy первого графика вверх на n единиц, если
n>0, или вниз на |n| единиц, если n<0.
Графиком функции y=x2 +n является парабола с
вершиной в точке (0; n).
Обобщение:
график функции y=f(x)+n можно получить из
графика функции y=f(x) сдвига графика функции
y=f(x) вдоль оси Оу на n единиц вверх , если n>0,
или вниз, если n>0.
Страница отображается по щелчку
Пример 2.
Построим график функции y = x2 +1, опираясь на график
функции y=x2 .
8
График функции y=x2 + 1
можно получить из графика
функции y=x2 путем сдвига
всех его точек вверх (вдоль
оси Оу) на 1 единицу
7
2
ух
=
+ 1
6
5
4
(щелчок мышкой).
3
2
1
у =
х2
1
-10
-8
-6
-4
-2
2
-1
-2
4
График функции y=f(x - m) + n может быть
получен из графика функции y=f(x) с помощью
последовательно выполненных двух
параллельных переносов: сдвига вдоль оси Ох
на m единиц вправо, если m > 0, или
влево, если m<0, и сдвига вдоль оси Оу на n
единиц вверх , если n>0, или вниз, если n<0.
Графиком функции y=(x - m)2 + n является парабола
с вершиной в точке (m;n).
Пример 3.
Построить график функции у = (х+ 3)2 + 2
8
7
График функции
у = (х+ 3)2 + 2
можно получить из
графика функции y=x2
путем сдвига всех его
точек влево (вдоль оси
Ох) на 2,5 единицы и
вверх (вдоль оси Оу) на
2 единицы (щелчок мышкой).
-10
-8
6
у =
х2
5
4
3
2
2
1
-6
-4
-2,5 -2
2
-1
-2
4
Пример 4.
Построить график функции у = х2 + 6х + 8
Решение. Представим трехчленх2 + 6х + 8 в виде (x - m)2 + n.
Имеем
8
х2 + 6х + 8 = х2 + 2·х·3 + 32 – 1 =
=(x + 3)2 – 1.
7
Отсюда у = (x + 3)2 – 1.
Значит, графиком функции
6
у = х2 + 6х + 8 является парабола
с вершиной в точке (- 3; - 1).
5
Учитывая, что ось симметрии
параболы – прямая х = - 3,
4
строим график (по щелчку).
8
7
6
5
у =
х2
3
4
2
3
2 + 6х + 8
у =
х
2
1
1
-10
-10
-8
-8
-6
-6
-4
-4
--3 3 -2
2
-2
2
-1
-1
-1
-1
Постройте самостоятельно графики функций:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
у = х2 + 2;
у = х2 – 3;
у = (х – 1)2;
у = (х + 2)2;
у = (х + 1)2 – 2;
у = (х – 2)2 + 1;
у = (х + 3)(х – 3);
у = х2 + 4х – 4;
у = х2 – 6х + 11.
шаблон
параболы
у = х2
При построении графика функции вида y=(x - m)2 + n удобно
пользоваться заранее заготовленным шаблоном параболы у = х2 .
Далее можно сверить свои результаты с тем,
что должно быть в действительности
у =
х2+ 28
7
6
5
4
у =
х (+ 22)
3
у =
х (- 2
1)
2
1
-8
-6
-4
-2
2
-1
у =
х2- 3
-2
-3
-4
4
6
8
1
-15
8
у =
х
(- 22)
+ 1
у =
х2- 6х + 11
6
у =
х (+21)
2
4
2
-10
-5
5
10
-2
у = (х + 3)*(х - 3)
у =
х2+ 4х - 4
-4
-6
-8
-10
15