   

Использование координатно-векторного метода при
решении стереометрических задач
Использование координатно-векторного метода при
решении стереометрических задач
1. Скалярное произведение векторов
1. Скалярное произведение векторов
а) a  b  a  b  cos a; b
а) a  b  a  b  cos a; b
б) a  b  a1b1  a2 b2  a3b3 , где aa1 ; a 2 ; a3  , bb1 ; b2 ; b3 
б) a  b  a1b1  a2 b2  a3b3 , где aa1 ; a 2 ; a3  , bb1 ; b2 ; b3 
 
 
в) cos  a; b 
 
a1b1  a2 b2  a3b3
a1  a2  a3  b1  b2  b3
2
2
2
2
2
2
г) Для ненулевых векторов: a  b  a  b  0
a1b1  a2 b2  a3b3
a1  a2  a3  b1  b2  b3
3. Синус угла между прямой l с направляющим вектором
aa1 ; a 2 ; a3  и плоскостью  , имеющей перпендикулярный
2
2
2
2
2
2
вектор n A; B; C 
sin l ,   
a1  a2  a3  b1  b2  b3
2
2
2
2
2
2
2. Косинус угла между прямыми a и b , имеющими
направляющие векторы aa1 ; a 2 ; a3  и bb1 ; b2 ; b3 
cos a; b  
a1b1  a2 b2  a3b3
a1  a2  a3  b1  b2  b3
3. Синус угла между прямой l с направляющим вектором
aa1 ; a 2 ; a3  и плоскостью  , имеющей перпендикулярный
2
2
2
2
2
2
вектор n A; B; C 
A  a1  B  a2  C  a3
A 2  B 2  C 2  a1  a2  a3
4. Косинус угла между двумя плоскостями, имеющими
уравнения A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 и A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
A1  A2  B1  B2  C1  C 2
cos  ,   
2
2
2
2
2
2
A1  B1  C1  A2  B2  C2
Замечание. Угол между двумя плоскостями равен углу
между двумя прямыми, одна из которых
перпендикулярна первой плоскости, а другая – второй.
5. Расстояние от точки M x0 , y0 , z 0  до плоскости  , имеющей
уравнение Ax  By  Cz  D  0
 M ,   
a1b1  a2 b2  a3b3
г) Для ненулевых векторов: a  b  a  b  0
2. Косинус угла между прямыми a и b , имеющими
направляющие векторы aa1 ; a 2 ; a3  и bb1 ; b2 ; b3 
cos a; b  
 
в) cos  a; b 
2
Ax0  By 0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
2
2
sin l ,   
A  a1  B  a2  C  a3
A 2  B 2  C 2  a1  a2  a3
4. Косинус угла между двумя плоскостями, имеющими
уравнения A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 и A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
A1  A2  B1  B2  C1  C 2
cos  ,   
2
2
2
2
2
2
A1  B1  C1  A2  B2  C2
Замечание. Угол между двумя плоскостями равен углу
между двумя прямыми, одна из которых
перпендикулярна первой плоскости, а другая – второй.
5. Расстояние от точки M x0 , y0 , z 0  до плоскости  , имеющей
уравнение Ax  By  Cz  D  0
 M ,   
2
Ax0  By 0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
2
2