Глава 07

Глава VII Определенный интеграл
7.1 Процедура построения определенного интеграла
Пусть нам заданы следующие объекты
1. Отрезок [ a, b] конечной длины b  a .
2. Функция f (x ) , которая определена и ограничена на этом отрезке.
Проведем следующее построение:
1. Разбиение отрезка на кусочки
Разобьем отрезок [ a, b] произвольным образом на части
(кусочки)
точками
a  x0  x1  x2  x3  ...  xn1  xn  b (см. рис. 7.1). Для единообразия, точку а будем называть
точкой х0, а точку b  точкой хп.
0
x
1
x
x2
x1
a = x0
2
x
...
x3
xn-1
n-1
x
b = xn
Рис. 7.1
Пусть xi  xi 1  xi есть длина i-го кусочка и   max xi  самая большая из этих длин.
i
2. Составление интегральной суммы
На каждом из кусочков [ xi , xi 1 ] возь-
f (x)
мем произвольно некоторую точку  i (она
называется средней точкой, хотя, конечно,
не обязательно лежит на середине кусочка),
так что [ xi  i  xi 1 ] и составим сумму
f (2)
f (1)
f (0)
n 1
   f ( i )xi ,

i 0
x
a = x0
0
x1
1
x2 2
b = x3
которая называется интегральной суммой.
Геометрически она представляет собой сумму площадей прямоугольников высотой
f (i ) и длиной основания xi (см. рис.
7.2).
Рис. 7.2
3. Предельный переход
Наконец, перейдем к пределу lim  .
 0
Определение. Если lim  существует и не зависит от
 0
А) способа разбиения отрезка [ a, b] на кусочки и от
Б) способа выбора средней точки,
то он называется определенным интегралом от функции f (x ) на отрезке [ a, b] и обозначается
b
символом
 f ( x)dx :
a
b
 f ( x)dx = lim  .
 0
a
Функция f (x ) называется подынтегральной функцией, число а (b)  верхним (нижним)
пределом интегрирования.
7.2 Суммы Дарбу
Перейдем теперь к построению теории определенного интеграла. Она достаточно сложна. Ее
основой являются так называемые суммы Дарбу.
1
Пусть mi  inf
x[ xi , xi1 ]
f ( x) и M i  sup
f ( x) есть наименьшее и наибольшее значения
x[ xi , xi1 ]
функции на i-м кусочке. Суммы s 
n 1
n 1
i 0
i 0
 mi xi и S   M i xi носят название нижней и верхней
сумм Дарбу. Их геометрический смысл ясен из приведенных ниже рисунков 7.3–7.4.
f (x)
f (x)
M2
M1
m2
M0
m1
S
s
m0
x
x
a = x0
x2
x1
b = x3
a = x0
Рис. 7.3
x2
x1
b = x3
Рис. 7.4
Так как mi  f ( i )  M i , то s    S при любом выборе средней точки. Ясно также, что
при фиксированном разбиении отрезка [ a, b] на кусочки s  inf  и S  sup  , где inf и sup берутся по всевозможным выборам средних точек.
Свойства сумм Дарбу
1. Если к имеющимся точкам деления добавить новые, то s может только увеличиться, а S 
только уменьшиться.
Рассмотрим кусочек [ xi , xi 1 ] и представим себе, что на нем появилась еще одна точка x ,
так что xi  x  xi 1 (см. рис. 7.5).
M''k
M'k
Пусть
Mk
M k  sup
f ( x) , M k  sup f ( x) и
M k  sup
f ( x) .
x[ xk , xk 1 ]
x[ x, xk 1 ]
x[ xk , x ]
Так как
[ xk , x]  [ xk , xk 1 ] и [ x, xk 1 ]  [ xk , xk 1 ] ,
то ясно, что
M k  M k и M k  M k .
xk
x'
xk+1
Рис. 7.5
Рассмотрим отдельное слагаемое, скажем, верхней суммы Дарбу, соответствующее отрезку
[ xi , xi 1 ] . До добавления точки x оно было равно M k ( xk 1  xk ) . После добавления точки x
оно превратилось в два слагаемых и стало равно M k ( x  xk )  M k( xk 1  x) . Так как M k  M k
и M k  M k , то M k ( x  xk )  M k( xk 1  x)  M k ( xk 1  xk ) и поэтому от добавления точки x
верхняя сумма Дарбу не могла возрасти. Аналогично можно получить, что от добавления точки
x нижняя сумма Дарбу не могла уменьшиться.
2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы Дарбу, даже если они
принадлежат различным разбиениям отрезка [ a, b] на кусочки.
Пусть имеется два разбиения отрезка [ a, b] на кусочки (см. рис. 7.6)
2
s1 , S 1
s2, S 2
x
x
x
x
В
первом разбиении, очевидно,
s1  S1 , во втором  s2  S2 . Объединим эти два разбиения в одно, смешав
вместе все точки деления (см. рис.).
Тогда, учитывая свойство 1, получим
следующую цепочку неравенств
s1  s3  S3  S2 , откуда следует, что
s1  S2 , что и требовалось доказать.
s3 , S 3
Рис. 7.6
Отсюда следует, что множество нижних сумм Дарбу {s} , соответствующих различным разбиениям отрезка [ a, b] ограничено сверху любой верхней суммой Дарбу, а множество верхних
сумм Дарбу {S } ограничено снизу любой нижней суммой Дарбу. Поэтому существуют
I*  sup{ s} и I *  inf{ S} . Они носят название нижнего и верхнего интегралов Дарбу. Очевидно,
что для любого разбиения отрезка [ a, b] на кусочки верно соотношение s  I *  I *  S .
7.3 Признак существования определенного интеграла
Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы lim S  s   0 .
 0
Доказательство.
Необходимость. Пусть существует lim   I . Это значит, что
 0
  0     I      I   .
Но тогда, учитывая, что s  inf  и S  sup  , можем записать
I   s  S  I ,
откуда следует, что
S  s  ( I  )  ( I  )  2 ,
и, в силу произвольности , это и означает, что lim S  s   0 .
 0
Достаточность. Пусть lim S  s   0 . Это означает, что
 0
  0     S  s   .
Но s  I *  I *  S , откуда следует, что I *  I *   . Так как  сколь угодно мало, то это означает,
что I *  I *  I .
Далее имеем s  I  S , s    S ; следовательно, |   I |  , и, в силу произвольности ,
это означает, что существует lim   I .
 0
Другая форма записи этого условия
Величина i  M i  mi носит название
Mi
колебания функции на отрезке [ xi , xi 1 ] .
Ее можно записать и так (рис. 7.7)
i  sup | f ( x)  f ( x) | . Тогда
x, x[ xi , xi1 ]
i = Mi - mi
n 1
S  s   i xi , и условие теоремы при-
mi
i 0
n 1
xi+1
xi
Рис. 7.7
3
нимает вид lim
 0
  x
i 0
i
i
 0.
7.4 Классы интегрируемых функций
Теорема 1. Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [ a, b] , то она интегрируема на
этом отрезке.
Доказательство.
Если функция f (x ) непрерывна на отрезке [ a, b] , то она, по теореме Кантора, равномерно
непрерывна на этом отрезке. В обозначениях этой главы, это означает, что
  0   0 xi   i   .
Возьмем любое    . Тогда i i   и мы получаем
n 1
n 1
i 0
i 0
0   i xi   xi  (b  a )
и, в силу произвольности , отсюда следует, что lim
 0
n 1
  x
i 0
i
i
 0. 
Теорема 2. Если функция f (x ) ограничена на отрезке [ a, b] и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
Доказывать эту теорему мы не будем.
Теорема 3. Если функция f (x ) монотонна и ограничена на отрезке [ a, b] , то она интегрируема на этом отрезке.
Доказательство.
Пусть, для определенности функция f (x ) монотонно возрастает. Возьмем произвольное 

. Разобьем весь отрезок [ a, b] на кусочки, длина каждого из которых
f (b)  f (a)
xi будет меньше . Тогда на кусочке [ xi , xi 1 ] будет i  f ( xi 1 )  f ( xi ) и мы получим
и положим  
n 1
n 1
n 1
i 1
i 1
i 1
0   i xi   i    f ( xi 1 )  f ( xi ) 
 ( f ( x1 )  f ( x0 ))  ( f ( x2 )  f ( x1 ))  ( f ( x3 )  f ( x2 ))  ...  ( f ( xn )  f ( xn1 )) 
  f ( xn )  f ( x0 )    f (b)  f (a)    ,
и, в силу произвольности , отсюда следует, что lim
 0
n 1
  x
i 0
i
i
 0. 
7.5 Свойства интегрируемых функций
1. Если функция f (x ) интегрируема на [ a, b] , то функция kf (x ) также интегрируема на
[ a, b] .
Пусть i 
sup
x, x[ xi , xi1 ]
| f ( x)  f ( x) | есть колебание функции f (x) на отрезке [ xi , xi 1 ] . Тоn 1
гда ее интегрируемость на отрезке [ a, b] означает, что
  x
i 0
i
i

 0 .
0
Пусть далее i есть колебание функции kf (x ) на отрезке [ xi , xi 1 ] . Тогда имеем
i 
sup
x, x[ xi , xi1 ]
| kf ( x)  kf ( x) || k | 
sup
x, x[ xi , xi1 ]
| f ( x)  f ( x) || k | i ,
и поэтому
n 1
n 1
i 0
i 0
 i xi | k |  i xi 0 0 ,
4
откуда и следует интегрируемость функции kf (x ) на [ a, b] .
2. Если функция f (x ) интегрируема на [ a, b] , то функция | f ( x ) | также интегрируема на
[ a, b] .
Пусть i есть колебание функции | f ( x ) | на отрезке [ xi , xi 1 ] . Тогда имеем
i 
sup
x, x[ xi , xi1 ]
| f ( x) |  | f ( x) | 
sup
x, x[ xi , xi1 ]
| f ( x)  f ( x) | i
(воспользовались неравенством | a  b | | a |  | b | , написанным в обратном порядке) и поэтому
n 1
n 1
i 0
i 0
0   i xi   i xi 
 0 ,
0
откуда и следует интегрируемость функции | f ( x ) | на [ a, b] .
3. Если функции f (x ) и g (x ) интегрируемы на [ a, b] , то функция f ( x)  g ( x) также интегрируема на [ a, b] .
Пусть i 
sup
x, x[ xi , xi1 ]
| f ( x)  f ( x) | и i 
sup
x, x[ xi , xi1 ]
| g ( x)  g ( x) | есть колебания функ-
ций f (x ) и g (x ) на отрезке [ xi , xi 1 ] соответственно. Тогда для колебания их суммы или разности имеем
i 

sup
x, x[ xi , xi1 ]
sup
| ( f ( x)  g ( x))  ( f ( x)  g ( x)) |
{| f ( x)  f ( x)) |  | ( g ( x)  g ( x)) |} 
x, x[ xi , xi1 ]
(модуль суммы или разности не превосходит суммы модулей)

sup
{| f ( x)  f ( x)) |} 
x, x[ xi , xi1 ]
sup
{| ( g ( x)  g ( x)) |}  i  i
x, x[ xi , xi1 ]
(супремум суммы не превосходит суммы супремумов). Поэтому
n 1
n 1
n 1
i 0
i 0
i 0
0   i xi   i xi   ixi 
 0
0
откуда и следует интегрируемость функции f ( x)  g ( x) на [ a, b] .
4. Если функции f (x ) и g (x ) интегрируемы на [ a, b] , то функция f ( x)  g ( x) также интегрируема на [ a, b] .
Вспомним, что пока мы умеем интегрировать только ограниченные функции. Это значит,
что sup | f ( x) | M f   и sup | g ( x) | M g   . Тогда имеем
x[ a , b ]
x[ a , b ]
f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)  [ f ( x)  f ( x)] g ( x)  [ g ( x)  g ( x)] f ( x) ,
| f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x) || f ( x)  f ( x) | M g  | g ( x)  g ( x) | M f ,
и для колебания  i функции f ( x)  g ( x) на отрезке [ xi , xi 1 ] имеем
i  M g i  M f i
и поэтому
n 1
n 1
n 1
i 0
i 0
i 0
0   i xi  M g  i xi  M f  ixi 
 0 ,
0
откуда и следует интегрируемость функции f ( x)  g ( x) на [ a, b] .
5. Если функция f (x ) интегрируема на [ a, b] , то она интегрируема на любой части этого
промежутка.
Пусть отрезок [c, d ]  [ a, b] разобьем отрезок [ a, b] на кусочки, так, чтобы точки с и d оказались в числе точек деления (см. рис. 7.8).
a
d
c
Рис 7.8
Тогда имеем
5
b
0
  x
i:xi [ c , d ]
i
i

  x
i:xi [ a , b ]
i
i

 0 ,
0
что и доказывает интегрируемость f (x ) на отрезке [c, d ] .
6. Если отрезок [ a, b] разбит на части и функция f (x ) интегрируема на каждой из частей,
то она интегрируема и на [ a, b] .
Пусть отрезок [ a, b] разбит на две части точкой с (см. рис. 7.9).
b
c
a
Рис. 7.9
Разобьем отрезок [ a, b] на части так, чтобы точка с вошла в число точек деления. Если функция
f (x ) интегрируема на отрезках [ a, c ] и [c, b ] , то это значит, что
  x  0 . Но тогда
i:xi [ c , b ]
i
i
i
i
i
 0
и
 0
i
  x
i:xi [ a , b ]
  x  0
i:xi [ a , c ]

  x    x  0 ,
i:xi [ a , c ]
i
i
i:xi [ c , b ]
i
 0
i
что и доказывает интегрируемость f (x ) на отрезке [ a, b] .
7.6 Свойства определенных интегралов
1. Интеграл по ориентированному промежутку.
b
Когда вводилось понятие определенного интеграла
 f ( x)dx , то неявно предполагалось, что
a
нижний предел меньше верхнего, то есть что a  b . А можно ли придать смысл интегралу
a
 f ( x)dx ?
b
Такой смысл придается введением понятия ориентации промежутка интегрирования.
a = x0
x2
x1
x3
...
xn-1
b = xn
Рис. 7.10
Вспомним еще раз, как строилось понятие определенного интеграла. Отрезок [ a, b] разбивался на
кусочки, по которым строилась интегральная сумма. Представим теперь, что эти кусочки проходятся в направлении от точки а к точке b и величина xi определяется так: из координаты точки,
которая проходится позже вычитается координата точки, которая проходится раньше то есть
xi  xi 1  xi (рис. 7.10).
a
А теперь вернемся к интегралу
 f ( x)dx . Что изменилось? Нижний предел стал b, а верхний
b
 а. Это трактуют так: отрезок [ a, b] проходится теперь в обратном направлении, от точки b к
точке а (рис. 7.11):
6
x2
x1
a = x0
...
x3
xn-1
b = xn
Рис. 7.11
Но тогда меняются величины xi : они становятся равными xi  xi  xi 1 , так как теперь точка
xi проходится позже точки xi 1 . Очевидно соотношение между этими величинами: xi  xi .
Но тогда интегральные суммы в первом и втором случаях принимают вид
n 1
n 1
   f ( i )xi ;
   f (i )xi   ,
i 0
i 0
и, после предельного перехода   0 , получаем соотношение
b
a
a
b
 f ( x)dx   f ( x)dx .
Таким образом, перестановка местами верхнего и нижнего пределов приводит с изменению
знака интеграла.
a
Следствие. Рассмотрим интеграл
 f ( x)dx , у которого верхний и нижний пределы одинаa
ковы. Меняя их местами, получим
a

a
f ( x)dx   f ( x)dx ,
a
a
a
откуда следует, что
 f ( x)dx  0 .
a
b
2. Если a  c  b , то

c
b
a
c
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
a
Это свойство называется аддитивностью определенного интеграла относительно промежутка интегрирования.
b
c
a
Рис. 7.12
Снова рассмотрим разбиение промежутка [ a, b] на кусочки так, что точка с попадает в число
точек деления (рис. 7.12). Тогда относительно интегральных сумм можно написать
 f ( )x
i:xi [ a , b ]
i
i
 f ( )x   f ( )x .

i
i:xi [ a , c ]
i
i:xi [ c , b ]
i
i
Делая предельный переход   0 , получаем
lim
 0
 f ( )x
i
i:xi [ a , b ]
i
 lim
 0
 f ( )x  lim  f ( )x , что и приводит к требуемому соотно-
i:xi [ a , c ]
i
i
 0
i:xi [ c , b ]
i
i
шению:
b

c
b
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx .
a
a
3.
c
b
b
a
a
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx .
Действительно, для интегральных сумм верно соотношение
7
n 1
n 1
 kf ( )x
i
i 0
i
 k  f (i )xi .
i 0
После предельного перехода   0
n 1
n 1
lim  kf (i )xi  k lim  f (i )xi
 0
 0
i 0
i 0
b
b
 kf ( x)dx  k  f ( x)dx .
получаем, что
a
a
b
b
b


f ( x)dx   g ( x)dx .
a
a
a
4. [ f ( x)  g ( x)]dx 
Записывая соотношение для интегральных сумм
n 1
n 1
n 1
i 0
i 0
i 0
[ f (i )  g (i )]xi   f (i )xi   g (i )xi
и делая предельный переход   0
n 1
n 1
n 1
lim [ f (i )  g (i )]xi  lim  f (i )xi  lim  g (i )xi ,
 0
 0
i 0
 0
i 0
i 0
b
b

получим требуемое соотношение [ f ( x)  g ( x)]dx 
a
b
b
a
a
b

f ( x)dx   g ( x)dx .
a
a
 f ( x)dx   | f ( x) | dx .
5. Если a  b , то
Действительно, так как a  b , то все xi  0 . Поэтому
n 1

i 0
n 1
f ( i )xi   | f ( i ) | xi .
i 0
Делая предельный переход   0 и учитывая непрерывность функции | x | , получим
n 1
lim
 0
 f ( )x
i
i 0
что и дает
i
n 1
n 1
 lim  f ( i )xi  lim  | f ( i ) | xi ,
 0
 0
i 0
b
b
a
a
i 0
 f ( x)dx   | f ( x) | dx .
b
6. Если a  b и x  [a, b]
f ( x)  g ( x) , то

b
f ( x)dx   g ( x)dx .
a
Действительно,
в
этом
i f (i )xi  g (i )xi . Суммируя
n 1
lim
 0

i 0
f (i )xi  lim
 0
a
i f (i )  g (i ) , и, так как все
случае
n 1
n 1
 f ( )x   g ( )x
i
i 0
i
i 0
i
i
и переходя к пределу   0
n 1
 g ( )x
i 0
i
i
b
получим требуемое свойство

,
b
f ( x)dx   g ( x)dx .
a
a
7.7 Первая теорема о среднем
Теорема. Пусть
1. функции f (x ) и g (x ) интегрируемы на [ a, b] ;
2. существуют конечные m и M такие, что x  [a, b] m  f ( x)  M ;
3. x  [a, b] g ( x)  0 .
8
xi  0 , то
Тогда существует число  такое, что
1. m    M ;
2.
b
b
a
a
 f ( x) g ( x)dx   g ( x)dx .
Доказательство.
Имеем x  [a, b] m  f ( x)  M . Так как x  [a, b] g ( x)  0 , то
x  [a, b] mg ( x)  f ( x) g ( x)  Mg ( x) .
Интегрируя это неравенство, получаем
b
b
b
a
a
a
m g ( x)dx   f ( x) g ( x)dx  M  g ( x)dx . (*)
Возможны следующие варианты:
b
а)
b
 g ( x)dx  0 . Но тогда из (*) следует, что
 f ( x) g ( x)dx  0 и  может быть взято любым.
a
a
b
б)
b
 g ( x)dx  0 . Тогда, деля все части неравенства (*) на  g ( x)dx , получим:
a
a
b
m   f ( x) g ( x)dx
a
b
 g ( x)dx  M .
a
Обозначим
b
b
a
a
 f ( x) g ( x)dx  g ( x)dx   . Тогда будет
1. m    M ;
b
2.

b
f ( x) g ( x)dx    g ( x)dx . 
a
a
Следствие. Если f (x ) непрерывна на [ a, b] , то c  [a, b] такая, что
b
b
a
a
 f ( x) g ( x)dx  f (c) g ( x)dx .
Доказательство. Имеем следующую цепочку следствий:
f (x ) непрерывна на [ a, b]  по первой теореме Вейерштрасса существуют m  inf
x[ a , b ]
f ( x) и
M  sup f ( x) так что x  [a, b] m  f ( x)  M  по второй теореме БольцаноКоши
x[ a , b ]
c  [a, b] такая, что для   [m, M ]
f (c)   . Заменяя в первой теореме о среднем  на f (c ) ,
получим следствие. 
Частный случай. Пусть g (x)  1 и f (x ) непрерывна на [ a, b] . Тогда c  [a, b] такая, что
b
 f ( x)dx  f (c)(b  a) .
a
b
Здесь использован тот факт, что
 dx  b  a . Обоснование этого см. в следующем разделе.
a
9
Эта формула допускает следующую геометрическую интерпретацию (см. рис.
7.13): c  [a, b] такая, что площадь,
ограниченная кривой f (x ) и отрезком
[ a, b] , лежащим на оси абсцисс, равна
площади прямоугольника, с основанием в
виде этого же отрезка и высотой f (c ) .
f (x)
f (c)
x
c
a
b
Рис. 7.13
7.8 Вычисление определенных интегралов
Формула НьютонаЛейбница
Теорема 1. Если существует непрерывная функция F (x ) такая, что x  [a, b]
F ( x)  f ( x) , то
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a) .
a
(обратите внимание на символику: символ F ( x ) a означает разность F (b)  F (a) ).
b
Эта формула носит название формулы НьютонаЛейбница.
Доказательство
Как и при построении понятия определенного интеграла, разобьем отрезок [ a, b] произвольным образом на части (кусочки) точками a  x0  x1  x2  x3  ...  xn1  xn  b (см. рис. 7.14).
x1
a = x0
x2
x3
...
xn-1
b = xn
Рис. 7.14
Тогда имеем
F (b)  F (a)  F ( xn )  F ( x0 ) 
 F ( xn )  F ( xn1 )  F ( xn1 )  F ( xn2 )  ...  F ( x1 )  F ( x0 )  
n 1
n 1
i 1
i 1
   F ( xi 1 )  F ( xi )    f (i )xi   .
После предельного перехода   0 , получим
b
F (b)  F (a)  lim    f ( x)dx . 
 0
a
Непрерывность F (x ) обязательна!
Формула НьютонаЛейбница устанавливает связь определенного и неопределенного интегралов: ведь F (x ) есть не что иное, как первообразная функции f (x ) . Ее можно записать и так:
b

a
b
f ( x)dx   f ( x)dx .
a
10
Обобщенная формула НьютонаЛейбница
Теорема 2. Пусть F ( x)  f ( x) всюду, за исключением конечного числа точек
x1 , x2 , ... , xk . Тогда
b

k
f ( x)dx  F (b)  F (a)   F ( xi  0)  F ( xi  0)  .
i 1
a
Эта формула носит название обобщенной формулы НьютонаЛейбница.
Доказательство.
Имеем
b
x1 
x1  
a
x1  
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx 
a

x2  
x2  
x1  
x2  

f ( x)dx 

b
 f ( x)dx .
f ( x)dx  ... 
xk  
Но, по первой теореме о среднем,
xi  
 0 .
 f ( x)dx  ( x  )  ( x  )  2 
i
 0
i
xi  
Поэтому
x2  
b
 x1 

f
(
x
)
dx

lim
f
(
x
)
dx

f
(
x
)
dx

...

f
(
x
)
dx


a



 0
x1  
xk  
 a

 lim  F ( x1  )  F (a)    F ( x2  )  F ( x1  )   ...   F (b)  F ( xk  )  
b
 0
 F ( x1  0)  F (a)  F ( x2  0)  F ( x1  0)  ...  F (b)  F ( xk  0)  
k
 F (b)  F (a )    F ( xi  0)  F ( xi  0)  . 
i 1
Интегрирование определенных интегралов по частям
Вспомним формулу интегрирования неопределенных интегралов по частям
 udv  uv   vdu .
Переходя к определенным интегралам, получим:
b
b
b
 udv   udv  uv a   vdu 
a
b
a
a
b
 u (b)v(b)  u (a)v(a)   vdu .
a
Итак
b
b
a
a
 udv  u(b)v(b)  u(a)v(a)   vdu .
Эта формула носит название формулы интегрирования определенных интегралов по частям.
7.9 Замена переменных в определенном интеграле
Теорема. Пусть
1. f (x ) интегрируема на [ a, b] ;
2. функция (t ) монотонно возрастает и ()  a , ()  b ;
11
3.  t  [, ] (t ) .
b
Тогда


f ( x)dx   f ((t ))(t )dt .

a
Обратите внимание на пределы интегрирования во втором интеграле.
Доказательство.
Разобьем отрезок [, ] на кусочки точками   t0  t1  t2  ...  tn1  tn   (см. рис. 7.15),
и пусть   max t i . Тогда отрезок [ a, b] также разобьется на кусочки точками xi  (t i ) , причем
i
x0  (t 0 )  ()  a и xn  (tn )  ()  b .
Рассмотрим величины xi  xi 1  xi . Для них, используя формулу Лагранжа, имеем
xi  xi 1  xi  (ti 1 )  (ti )  (i )ti ,
где ti  i  ti 1 .
 = t0
0
1
t1
x
t2
tn-1
x
x
x
n-1 tn = 
x
x
a = () 0 x1= (t1) 1 x2= (t2)
xn-1= (tn-1) n-1
b = ()
Рис. 7.15
Как говорилось в определении понятия определенного интеграла, предел интегральной суммы не должен зависеть от выбора средней точки. Возьмем поэтому  i  (i ) . Тогда для интегральной суммы получим
n 1

i 0
n 1
f (i )xi   f ((i ))(i )ti .
i 0
Проделаем теперь предельный переход при   max ti  0 .
i
В силу равномерной непре-
рывности функции (t ) на отрезке [, ] , при этом будет и   max xi  0 . Мы получим
i
n 1
lim
0
 f ( )x
i 0
i
i
b

a

 lim
 0
n 1
 f (( ))( )t
i 0
i
i
i
, что и дает формулу
 f ( x)dx   f ((t ))(t )dt . 
Обратите внимание на следующие моменты:
1. В отличие от неопределенного интеграла здесь нет возврата к переменной х.
2. Но зато во втором интеграле стоят другие пределы! И это есть тот момент, о котором
студенты, решая задачи, часто забывают. Так что НЕ ЗАБЫВАЙТЕ МЕНЯТЬ ПРЕДЕЛЫ!
Пример.
2
Вычислим
 sin
3
x cos xdx . Для этого сделаем замену переменных t  sin x . Тогда
0
dt  cos xdx .
12
А теперь заменим пределы интегрирования. Имеем
при x  0 t  sin 0  0 ;
при x   2 t  sin(  2)  1 .
2
1
1
t4
1
 .
Поэтому  sin x cos xdx   t dt 
40 4
0
0
3
3
7.10 Определенный интеграл как функция верхнего предела
Прежде, чем приступить к изучению данного раздела, обратите внимание на следующее:
 f ( x)dx
1. Неопределенный интеграл
это функция от х, а определенный интеграл
b
 f ( x)dx  это число.
a
2. Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования, то есть
b
b
b
a
a
a
 f ( x)dx   f (t )dt   f (u)du  ... . Поэтому если в процессе выкла-
док переменная интегрирования вдруг будет обозначена другой буквой  не пугайтесь, это совершенно все равно.
Объектом исследования данного раздела является определенный интеграл с переменным
верхним пределом
x
 f (t )dt  F ( x) ,
a
который представляет собой функцию от х.
Теорема 1. Пусть f (x ) интегрируема на интервале [ a, b] . Тогда F (x ) есть непрерывная функция на этом интервале.
Доказательство.
Так как f (x ) интегрируема на интервале [ a, b] , то она ограничена на этом интервале, то
есть существуют конечные т и М, такие, что  x  [a, b] m  f ( x)  M . Тогда
x  x
F ( x  x) 
x
x  x
a
x
 f (t )dt   f (t )dt   f (t )dt 
a
x  x
 F ( x) 
 f (t )dt.
x
x  x
Но, по первой теореме о среднем,
 f (t )dt  x , где m    M . Тогда
x
x  x
lim
x 0
 f (t )dt  lim (x)  0
x
x 0
и
x  x
lim F ( x  x)  F ( x)  lim
x 0
x 0
 f (t )dt  F ( x) ,
x
что и говорит о непрерывности функции F (x ) . 
Теорема 2. Пусть f (x ) непрерывна на интервале [ a, b] . Тогда  F ( x)  f ( x) .
Доказательство.
13
В ходе доказательства теоремы 1 было получено соотношение
x  x
F ( x  x)  F ( x) 
 f (t )dt.
x
Но теперь f (x ) непрерывна. Поэтому, по следствию из первой теоремы о среднем, мы можем записать:
x  x
 f (t )dt  f (c)x ,
x
где x  c  x  x и при x  0
F ( x  x)  F ( x)  f (c)x ,
c  x . Тогда имеем
F ( x  x)  F ( x)
 f (c ) ,
x
и, наконец,
F ( x  x)  F ( x)
 lim f (c)  f ( x) . 
x 0
c x
x
F ( x)  lim
Таким образом, у каждой непрерывной функции существует первообразная! Это устраняет одно сомнение относительно неберущихся интегралов. А вдруг они не берутся потому, что
первообразной вообще не существует? Оказывается  нет, первообразная существует, просто она
не относится к классу элементарных функций.
Замечание.
b
~
Рассмотрим F ( x)   f (t )dt , то есть определенный интеграл с переменным нижним пределом.
x
~
Но так как F ( x) 
b

x
f (t )dt    f (t )dt , то этот объект немедленно сводится к предыдущему. По-
x
b
лучаем:
~
1. F ( x )  непрерывная функция;
~
2. если f (x ) непрерывна на интервале [ a, b] , то  F ( x)   f ( x) .
7.11 Длина дуги плоской кривой
Параметрическое задание кривой
Наиболее общим способом задания
кривой на плоскости считается так называемое параметрическое задание кривой, когда кривая L задается системой уравнений
y
L
 x  x(t ),

 y  y (t ),
Считается, что значение параметра t 0 соответствует точке А (начало кривой), а значение параметра Т – точке В (концу кривой)
(см. рис. 7.16).
B
t=T
A
t = t0
x
Рис. 7.16
Определение длины дуги кривой
14
t0  t  T .
Разобьем отрезок [t 0 , T ] на части
y
t0  t1  t2  ...  tn1  tn  T
M2
t2
M1
и
пусть
  max ti . Тогда кривая L разобьется на
Mn-1
i
tn-1
кусочки точками A  M 0 , M 1 , M 2 , … ,
t1
B=Mn
tn = T
A=M0
t = t0
M n  B (рис. 7.17).
x
Рис. 7.17
Соединим точки A  M 0 , M 1 , M 2 , … ,
y
M n  B отрезками прямых и пусть l i есть
Mi+1
длина отрезка прямой, соединяющей точки
M i и M i 1 (рис. 7.18). Обозначим через
n 1
L   l i периметр вписанной ломаной.
li
i 0
Mi
x
Рис. 7.18
Определение. Если существует lim L  s и этот предел не зависит от способа разбиения
 0
отрезка [t 0 , T ] на части, то он называется длиной дуги кривой АВ.
Вычисление длины дуги кривой
Теорема. Пусть функции x(t ) и y (t ) имеют на отрезке [t 0 , T ] непрерывные производные

x (t ) и y (t ) . Тогда
T
s   ( x(t )) 2  ( y(t )) 2 dt .
t0
Доказательство.
Разобьем отрезок [t 0 , T ] на части t0  t1  t2  ...  tn1  tn  T и пусть   max ti .
i
Тогда точка M i имеет координаты ( x(t i ), y (t i )) , а точка M i 1 имеет координаты ( x(ti 1 ), y (ti 1 )) .
Поэтому
li  ( x(ti 1 )  x(ti ))2  ( y(ti 1 )  y(ti ))2
и поэтому
n 1
L   ( x(ti 1 )  x(ti ))2  ( y(ti 1 )  y(ti ))2 .
i 0
Используя два раза формулу Лагранжа, получаем
x(ti 1 )  x(ti )  x(i )ti , y (ti 1 )  y (ti )  x( i )ti .
Однако здесь возникает одна трудность – величины  i и  i разные.
Теперь имеем
n 1
L   ( x(i ))2  ( y( i ))2 ti .
i 0
Наряду с этой величиной рассмотрим величину
15
n 1
L   ( x(i )) 2  ( y(i )) 2 ti
i 0
и оценим разность между ними. Для этого выведем одно вспомогательное неравенство. Имеем
a 2  b 2  a 2  b12 
так как
b 2  b12
a 2  b 2  a 2  b12

b 2  b12
 b  b1 ,
b  b1
1
a 2  b 2  a 2  b12  b 2  b12  b  b1 и поэтому
a 2  b 2  a 2  b12

1
.
b  b1
Поэтому имеем
( x(i )) 2  ( y ( i )) 2 
( x(i )) 2  ( y (i )) 2  y ( i )  y (i )
и теперь
n 1
n 1
i 0
i 0
L  L   ( x(i )) 2  ( y( i )) 2  ( x(i ))2  ( y(i ))2 ti   y( i )  y(i ) ti .
Но, по предположению, y (t ) непрерывна на промежутке [t 0 , T ] , следовательно, по теореме
Кантора, она равномерно непрерывна на этом промежутке. Это означает, что
  0   0 ti   y(i )  y(i )   .
Но тогда
n 1
n 1
i 0
i 0
L  L   y( i )  y(i ) ti   ti  (T  t0 ) ,
и, в силу произвольности , это означает, что lim L  L  0 . Но тогда
 0
n 1
s  lim L  lim L  lim  ( x(i ))2  ( y(i ))2 ti 
 0
 0
 0
i 0
T
  ( x(t )) 2  ( y(t )) 2 dt . 
t0
Частные случаи
1. Явное задание кривой.
Пусть кривая задана явно в виде y  f (x) , a  x  b . Беря в качестве параметра t  x , получим, что x (t )  1 , y (t )  f (t ) и наша формула дает
b
s   1   f (t )  dt .
2
a
2. Кривая в полярных координатах.
В полярных координатах кривая
задается уравнением r  r () , где  –
полярный угол, меняющийся в пределах      . При переходе к декартовым координатам, получим уравнение
кривой в параметрической форме
 x  r () cos ,
,

 y  r () sin ,
в котором угол  играет роль параметра (рис. 7.19).
r ( )



O
Рис. 7.19
Теперь имеем
x()  r () cos   r () sin  ,
y ()  r () sin   r () cos  ,
16
откуда, после несложных преобразований, получим
( x())2  ( y())2  (r())2  r 2 ()
так что длина дуги кривой в полярных координатах дается выражением

s   (r ()) 2  r 2 () d .

s(t
)
3. Длина дуги как функция от параметра. Дифференциал длины дуги.
Пусть теперь мы ищем длину дуги
от
точки
со значением параметра, равy
ным t 0 до точки со значением параметра, равным t (рис. 7.20). Тогда имеем
t
t
s(t )   ( x()) 2  ( y()) 2 d .
t0
Отсюда получаем
B
t=T
A
t = t0
s(t )  ( x(t ))2  ( y(t ))2 .
x
Рис. 7.20
Преобразуем это выражение. Имеем
ds  s(t )dt  ( x(t ))2  ( y(t ))2 dt 
 ( x(t )dt) 2  ( y(t )dt) 2  dx2  dy2 ,
что и дает явное выражение для дифференциала длины дуги плоской кривой.
В полярной системе координат получаем

s()   (r ()) 2  r 2 () d ,

откуда
s()  (r ())2  r 2 () ,
ds()  s()d  (r ())2  r 2 ()d 
 (r ()d) 2  (r ()d) 2  (dr) 2  (rd) 2 ,
что и дает выражение для дифференциала длины дуги в полярных координатах.
4. Длина дуги пространственной кривой
В трехмерном пространстве кривая
z
задается следующим образом (рис. 7.21):
B
 x  x(t ),

 y  y (t ), t 0  t  T .
 z  z (t ),

Длина дуги пространственной кривой
равна
T
s   ( x(t )) 2  ( y(t )) 2  ( z (t )) 2 dt .
x
t0
Дифференциал дуги равен
ds  dx2  dy2  dz2 .
A
y
Рис. 7.21
17
7.12 Вычисление площадей
Площадь криволинейной трапеции.
Рассмотрим
фигуру,
называемую криволинейной
трапецией. Ее границами
являются: ось ОХ (внизу),
прямые х=а (слева) и х=b
(справа) и кривая y  f (x)
(сверху) (см. рис. 7.22).
Рассмотрим вопрос о
вычислении площади этой
фигуры.
y
y = f (x)
x
a = x0
x1
x2
x3
b = xn
Рис. 7.22
Разобьем отрезок [a, b] на части a  x0  x1  x2  ...  xn 1  xn  b и пусть mi  inf
x[ xi , xi 1 ]
M i  sup
x[ xi , xi 1 ]
n 1
n 1
i 0
i 0
*
f ( x) и
f ( x) . Составим величины P*   mi xi и P*   M i xi , в которых читатель узнает
верхние и нижние суммы Дарбу. Величины I*  lim P* и I  lim P* называются внутренней и
 0
 0
внешней площадями криволинейной трапеции. Если выполняется равенство I*  I *  P , то их общее значение и называется площадью криволинейной трапеции.
Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a, b] , то, вспоминая теорию определенного
интеграла, можно записать
b
P   f ( x)dx ,
a
что и определяет площадь криволинейной трапеции.
Более сложные случаи рассмотрены ниже.
Так как площадь не может быть отрицательной, то в этом случае (рис. 7.23)
b
P   f ( x) dx .
y = f (x)
a
b
x
a
Рис. 7.23
18
В этом случае очевидно, что (рис.
7.24)
y
b
P    f1 ( x)  f 2 ( x)dx
a
y = f1(x)
y = f2(x)
x
a
b
Рис. 7.24
Наконец, в этом случае (рис. 7.25)
y
b
P   f1 ( x)  f 2 ( x) dx
a
y = f1(x)
y = f2(x)
x
a
b
Рис. 7.25
Площадь криволинейного сектора
Рассмотрим
кривую
r  r () ,
     , заданную в полярных координатах. Соединим концы кривой прямыми линиями с полюсом системы координат. Получившаяся фигура называется криволинейным сектором (рис. 7.26).
Разобьем отрезок [, ] на части
  0  1   2  ...   n 1   n   и пусть
  max  i . Пусть далее ri  inf r () и
r = r ( )
O
[ i ,i 1 ]
i
Ri  sup r () .
[ i ,i 1 ]
Рис. 7.26
1 n1 2
1 n1 2
*
и
r


P

i i
 Ri i , имеющие смысл внутренней и
2 i 0
2 i 0
внешней площадей криволинейного сектора. Если lim P*  lim P*  P , то величина Р называПостроим величины P* 
 0
 0
ется площадью криволинейного сектора. Если функция r () интегрируема на [, ] , то

1
P   r 2 ()d .
2
7.13. Объем тела вращения
19
y
Представим себе, что имеется кривая
y  f (x) , заданная на отрезке [a, b] . Пусть
эта кривая вращается около оси ОХ. Получающееся тело называется телом вращения
(рис. 7.27). Вычислим его объем.
Разобьем отрезок [a, b] на части
a  x0  x1  x2  ...  xn 1  xn  b и определим mi  inf f ( x) и M i  sup f ( x) . А
y = f (x)
x
a
b
x[ xi , xi 1 ]
x[ xi , xi 1 ]
каждом отрезке построим цилиндр с радиусом основания m i и высотой x i . Все эти
цилиндры будут вписаны в наше тело враРис. 7.27
n 1
щения и их общий объем будет равен V*   mi2 xi .
i 0
Далее, на каждом отрезке построим цилиндр с радиусом основания M i и высотой x i . Все
эти цилиндры будут описаны около нашего тело вращения и их общий объем будет равен
n 1
V *   M i2 xi .
i 0
Если lim V*  lim V *  V , то величина V называется объемом тела вращения. Если функция
 0
 0
b
f (x) интегрируема на [a, b] , то очевидно, что V   f 2 ( x)dx .
a
Пример.
Очевидно, что шар получается вращением полуокружности около оси ОХ (рис. 7.28). Поэтому объем шара
y
V    R  x dx  R x  R
R
2
y=
R-x
2
2
2
R
R
 R 2  2 R  2
x
-R
2
x3

3
R

R
R3 4 3
 R .
3 3
R
Рис. 7.28
7.14. Боковая поверхность тела вращения.
Пусть на плоскости ОХY задана
кривая в параметрической форме
y
l1
l0
y1
 x  x(t ),

 y  y (t ),
l2
y2
Считается, что значение параметра
t 0 соответствует точке А (начало
кривой), а значение параметра Т –
точке В (концу кривой). Будем считать, что эта кривая вращается около
оси ОХ (рис. 7.29).
y3
yn
y0
a = x0
x1
x2
x3
b = xn
Рис. 7.29
20
t0  t  T .
x
Разобьем отрезок [t 0 , T ] на части t0  t1  t2  ...  tn1  tn  T и пусть   max ti . Построi
им на каждом кусочке усеченный конус с радиусами оснований y i и y i 1 и образующей l i . Тогда
y(t )  y(ti 1 )
боковая поверхность этого конуса будет равна 2 i
li , а суммарная боковая поверх2
n 1
y(t )  y(ti 1 )
ность всех этих конусов будет равна Q  2 i
li . За определение величины боковой
2
i 0
поверхности тела вращения примем величину P  lim Q . Вычислим ее.
 0
Упрощение выражения.
n 1
1. Рассмотрим величину Q1  2 y(i )li , где t i   i  t i 1 . Тогда мы имеем
i 0
y(ti )  y(ti 1 )
 y(i ) li 
2
n 1
| Q  Q1 | 2
i 0
n 1
 n 1

   y (ti )  y (i ) li   y (i )  y (ti 1 ) li  .
 i 0

i 0
Но, в силу равномерной непрерывности функции y (t ) разности y(ti )  y(i ) и y(i )  y(ti 1 ) мо-
гут быть сделаны меньше любого наперед заданного . Но тогда | Q  Q1 | 2 li  2 s0 , где s 0 –
длина дуги нашей кривой. Поэтому lim (Q  Q1 )  0 и P  lim Q1 .
 0
 0
n 1
2. Пусть Q2  2 y (i )si , где si – длина дуги кусочка кривой. В силу непрерывности
i 0
кривой значения y (t ) ограничены по модулю величиной М. Тогда имеем
n 1
0 | Q2  Q1 | 2| y(i ) | (si  li ) 
i 0
n 1
n 1


 2M  (si  li ) 2M  s0   li   0

i 0
i 0 
n 1
n 1
так как s0  lim  li . Поэтому P  lim Q2  2 lim  y(i )si .
 0
 0
i 0
 0
i 0
3. Пользуясь первой теоремой о среднем, получаем
si 
ti 1

( x()) 2  ( y ()) 2 dt  ( x(i )) 2  ( y (i )) 2 ti .
ti
Так как ранее величина  i в y (  i ) была произвольной, то возьмем ее такой же, как и в выражении
для s i . Тогда
n 1
Q2  2 y(i ) ( x(i ))2  ( y(i )) 2 ti
i 0
и предельный переход дает
T
P  lim Q2  2  y (t ) ( x(t )) 2  ( y(t )) 2 dt
 0
t0
Частный случай
В частном случае явного задания функции y  f (x) получаем
b
P  2 f ( x) 1   f ( x)  dx .
2
a
Пример. Поверхность шара
21
y
R

-R
x
Как уже говорилось выше, шар получается
вращением полуокружности около оси ОХ
(рис. 7.30). Параметрически полуокружность
задается уравнениями
 x  R cos ,
0.

 y  R sin ,
Тогда x    R sin , y   R cos  ,
R
Рис. 7.30
( x) 2  ( y ) 2  R 2 и мы получаем


0
0
P  2 R sin   Rd  2R 2  sin d 4R 2 .
7.15 Функции с ограниченной вариацией
Пусть функция f (x) определена на отрезке [a, b] . Разобьем этот отрезок на части
a  x0  x1  x2  ...  xn 1  xn  b и введем величину
b
n 1
a
k 0
V f ( x)  sup  f ( xk 1 )  f ( xk ) ,
где супремум берется по всем возможным разбиениям отрезка [a, b] на части. Эта величина называется вариацией (или изменением) функции на отрезке [a, b] . Если
b
Va f (x)   , то функция
f (x) называется функцией с ограниченной вариацией.
Свойства функций с ограниченной вариацией.
1.Монотонная функция есть функция с ограниченной вариацией.
Действительно, пусть f (x) монотонно возрастает. Тогда f ( xk 1 )  f ( xk )  f ( xk 1 )  f ( xk ) и
мы имеем
n 1
n 1
 f (x
k 1
k 0
)  f ( xk )    f ( xk 1 )  f ( xk )  f (b)  f (a) ,
k 0
так что
b
Va f ( x)  f (b)  f (a) .
2. Функция с ограниченной вариацией ограничена.
Действительно, разбивая отрезок [a, b] на части одной единственной точкой х a  x  b , получим
b
f ( x)  f (a)  f (b)  f ( x)  V f ,
a
b
откуда следует, что f ( x)  f (a)  V f . Но тогда x [a, b]
a
b
| f ( x) | f ( x)  f (a)  f (a )  f ( x)  f (a)  | f (a) || f (a) |  V f
a
3. Сумма и разность двух функций с ограниченной вариацией есть также функция с ограниченной вариацией.
Действительно, мы имеем
( f ( xk 1 )  g ( xk 1 ))  ( f ( xk )  g ( xk )) 
 ( f ( xk 1 )  f ( xk ))  ( g ( xk 1 ))  g ( xk )) 
 f ( xk 1 )  f ( xk ) |  | g ( xk 1 ))  g ( xk ) .
Поэтому
n 1
 ( f (x
k 1
)  g ( xk 1 ))  ( f ( xk )  g ( xk )) 
k 0
22
n 1
n 1
k 0
k 0
 | f ( xk 1 )  f ( xk ) | |g ( xk 1 ))  g ( xk ) |
и поэтому
b
b
b
Va ( f  g )  Va f  Va g .
4. Произведение двух функций с ограниченной вариацией есть также функция с ограниченной вариацией.
Пусть A  sup | f ( x) |  и B  sup | g ( x) |  . Тогда имеем
f ( xk 1 ) g ( xk 1 )  f ( xk ) g ( xk ) 
 f ( xk 1 ) g ( xk 1 )  f ( xk ) g ( xk 1 )  f ( xk ) g ( xk 1 )  f ( xk ) g ( xk ) 
| g ( xk 1 ) |  f ( xk 1 )  f ( xk ) |  | f ( xk ) |  | g ( xk 1 )  g ( xk ) 
 B  f ( xk 1 )  f ( xk ) |  A | g ( xk 1 )  g ( xk )
Поэтому
n 1
sup  f ( xk 1 ) g ( xk 1 )  f ( xk ) g ( xk ) 
k 0
n 1
n 1
k 0
k 0
 B  sup | f ( xk 1 )  f ( xk ) |  A  sup | g ( xk 1 )  g ( xk ) |
и, следовательно,
b
b
b
Va f  g  B Va f  A Va g .
5. Если a  c  b , то
b
c
b
Va f  Va f  Vc f .
а) Разобьем [a, c] и [c, b] на части a  x0  x1  x2  ...  xn  c и c  y0  y1  y2  ...  ym  b .
Тогда
n 1
m 1
| f ( x
k 1
k 0
b
)  f ( xk ) | | f ( yl 1 )  f ( yl ) | V f
l 0
и поэтому
c
b
a
b
Va f  Vc f  Va f .
б) Разобьем отрезок [a, b] на части a  x0  x1  x2  ...  xn 1  xn  b и добавим к точкам разбиения точку с. Пусть она окажется между точками x l и xl 1 : xl  c  xl 1 . Тогда получим
| f ( xl 1 )  f ( xl ) || f ( xl 1 )  f (c) |  | f (c)  f ( xl ) |
и поэтому
n 1
l 1
 | f ( xk 1 )  f ( xk ) |   | f ( xk 1 )  f ( xk ) | | f ( xl 1 )  f (c) | 
k 0
k 0
n 1
c
b
k  l 1
a
c
 | f (c)  f ( xl ) |   | f ( xk 1 )  f ( xk ) |  V f  V f
и поэтому
b
c
b
Va f  Va f  Vc f .
Сравнивая два этих неравенства и получим, что
b
Va
c
b
a
c
f V f V f .
6. Если f (x) имеет ограниченную производную, то она является функцией с ограниченной
вариацией.
Действительно, пусть M   такое, что x | f ( x) | M . Но тогда
| f ( xk 1 )  f ( xk ) || f (c) |  | xk 1  xk | M ( xk 1  xk )
и поэтому
23
n 1
| f ( x
k 1
k 0
n 1
)  f ( xk ) |  M  ( xk 1  xk )  M (b  a)
k 0
b
Va f  M (b  a) .
и поэтому
Теорема. Для того, чтобы f (x) была функцией с ограниченной вариацией необходимо и
достаточно, чтобы она представлялась в виде разности двух монотонно возрастающих функций.
Необходимость. Пусть f ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x) , где f1 ( x)  и f 2 ( x)  . Тогда, по свойствам 1 и
3, f (x) является функцией с ограниченной вариацией.
x
Достаточность. Определим f1 ( x)  V f . Тогда очевидно, что f1 ( a )  0 и f1 ( x)  .
a
Рассмотрим функцию f 2 ( x)  f1 ( x)  f ( x) . Что о ней можно сказать?
Пусть y  x . Тогда
y
f 2 ( y)  f1 ( y)  f ( y)  V f  f ( y) 
a
x
y
y
a
x
x
 V f  V f  f ( y)  f1 ( x)  f ( x)  f ( x)  f ( y)  V f 
y
 f 2 ( x)  V f   f ( y )  f ( x)  .
x
Но
y
| f ( y)  f ( x) | V f
(отрезок
[ x, y ]
вообще не разбивается на части) и поэтому
x
y
V f   f ( y )  f ( x)   0 .
Но тогда получается, что
f 2 ( y )  f 2 ( y ) , то есть
f 2 ( x)  . Так как
x
f 2 ( x)  f1 ( x)  f ( x) , то f ( x)  f1 ( x)  f 2 ( x) , что и требовалось доказать. 
7.16 Интеграл Стилтьеса
Пусть на отрезке [a, b] заданы две функции f (x) и g (x) , причем функция g (x) монотонно
возрастает
Проделаем ту же процедуру, что и при построении интеграла Римана.
1. Разбиение отрезка на кусочки
Разобьем отрезок [ a, b] произвольным образом на части (кусочки) точками
a  x0  x1  x2  x3  ...  xn1  xn  b (см. рис. 7.31). Для единообразия, точку а будем называть
точкой х0, а точку b  точкой хп.
0
x
a = x0
1
x
2
x
x2
x1
x3
...
xn-1
n-1
x
b = xn
Рис. 7.31
Пусть g ( xi )  g ( xi 1 )  ( xi ) и   max g ( xi ) .
i
2. Составление интегральной суммы
На каждом из кусочков [ xi , xi 1 ] возьмем произвольно некоторую точку  i (она называется
средней точкой, хотя, конечно, не обязательно лежит на середине кусочка), так что
[ xi  i  xi 1 ] и составим сумму
n 1
   f (i )g ( xi ) ,
i 0
которая называется интегральной суммой.
3. Предельный переход
Наконец, перейдем к пределу lim  .
 0
Определение. Если lim  существует и не зависит от
 0
24
А) способа разбиения отрезка [ a, b] на кусочки и от
Б) способа выбора средней точки,
то он называется интегралом Стилтьеса от функции f (x ) по функции g (x) на отрезке [ a, b] и
b
обозначается символом
 f ( x)dg( x) :
a
b
.
 f ( x)dg( x) = lim
 0
a
В более общем случае функция g (x) имеет ограниченную вариацию
b
Va g  
и поэтому
она представима в виде разности двух монотонно возрастающих функций g ( x)  g1 ( x)  g 2 ( x) , где
g1 ( x)  и g 2 ( x)  . Тогда интеграл Стилтьеса определяется так:
b

b
b
a
a
f ( x)dg( x)   f ( x)dg1 ( x)   f ( x)dg2 ( x) .
a
7.17 Свойства интеграла Стилтьеса
Приведем основные свойства интеграла Стилтьеса. Часть из них приведем без доказательства.
b
1.
  f ( x)  f
1
b
2
( x) f ( x)dg( x)   f1 ( x)dg( x)   f 2 ( x)dg( x) .
a
a
b
2.
 f ( x ) d g ( x )  g
1
a
b
2
b
( x)   f ( x)dg1 ( x)   f ( x)dg2 ( x)
a
a
b
3.
b
 k
1
a
b
f ( x) d k 2 g ( x)   k1k 2  f ( x)dg( x)
a
a
b
4. Если 

c
f ( x)dg( x) , то c  [a, b] 
a

b
f ( x)dg( x) и
a
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dg( x)
и верно равенство
c
 f ( x)dg( x) =  f ( x)dg( x) +  f ( x)dg( x) .
c
Заметим, что обратное вообще говоря неверно, то есть из существования
 f ( x)dg( x)
a
b

b
f ( x)dg( x) не следует существование
c
 f ( x)dg( x) .
a
5. Основное неравенство.
b
b
 f ( x)dg( x)  max | f ( x) |  V g
x[ a , b ]
a
a
Доказательство. Имеем
n 1
 f (i )g ( xi ) 
i 0
n 1
f (i ) g ( xi 1 )  g ( xi )  

i 0
n 1
 | f (i ) |  | g ( xi 1 )  g ( xi ) |
i 0
n 1
b
 max | f ( x) | | g ( xi 1 )  g ( xi ) | max | f ( x) |  V g .
x[ a , b ]
x[ a , b ]
i 0
a
Переходя к пределу   0 получим требуемое неравенство.
6. Интегрирование по частям.
b
Если 

a
b
f ( x)dg( x) , то  g ( x)df ( x) и верно соотношение
a
25
и
b

b
f ( x)dg( x)   f (b) g (b)  f (a) g (a)   g ( x)df ( x) .
a
a
Доказательство.
Вновь вернемся к рис. (7.32)
0
x
1
x
x2
x1
a = x0
2
x
x3
...
xn-1
n-1
x
b = xn
Рис. 7.32
Тогда имеем
n 1
n 1
n 1
i 0
i 0
i 0
   f (i )g ( xi 1 )  g ( xi )   f (i ) g ( xi 1 )   f (i )g ( xi ) 
 f ( 0 ) g ( x1 )  f (1 ) g ( x2 )  f ( 2 ) g ( x3 )  ...  f ( n 1 ) g ( xn ) 
 f ( 0 ) g ( x0 )  f (1 ) g ( x1 )  f ( 2 ) g ( x2 )  ...  f ( n 1 ) g ( xn 1 ) 
 f ( xn ) g ( xn )  f (b) g (b)  f ( x0 ) g ( x0 )  f (a) g (a) 
(переформируем суммы так, чтобы сомножители вида g ( xi ) стояли перед скобками)
 f (b) g (b)  f (a) g (a)  g ( x0 ) f ( x0 )  f ( 0 )  g ( x1 ) f (1 )  f ( 0 )  g ( x2 ) f ( 2 )  f (1 ) 
 ...  g ( xn ) f ( xn )  f ( n 1 )  f (b) g (b)  f (a) g (a)   ,
b
 g ( x)df ( x) , в которой точки
где  есть интегральная сумма для
 i стали точками разбиения, а
a
точки x i – средними точками.
Теперь после предельного перехода   0 и получим требуемое соотношение
b

b
f ( x)dg( x)   f (b) g (b)  f (a) g (a)   g ( x)df ( x) . 
a
a
7.18 Вычисление интеграла Стилтьеса
Рассмотрим частные случаи.
1.  g (x) .
Тогда g ( xi 1 )  g ( xi )  g ( i )xi . Возьмем в интегральной сумме у f ( i ) именно то  i , которое
получилось по формуле Лагранжа. Тогда имеем
n 1
n 1
i 0
i 0
   f (i )g ( xi )   f (i ) g (i )xi .
Делая предельный переход   0 , получим
b

a
b
f ( x)dg( x)   f ( x) g ( x)dx ,
a
где первый интеграл понимается в смысле Стилтьеса, а второй – в смысле Римана.
2. f (x) – непрерывная функция, а функция g (x) имеет вид, изображенный на рис. 7.33. Такая функция называется функцией скачков.
26
y
h4<0
h3>0
h2<0
h1>0
a
c1
c2
c3
c4
b
x
Рис. 7.33
Разобьем отрезок [a, b] на части и пусть xi1  c1  xi1 1 , xi2  c2  xi2 1 , xi3  c3  xi3 1 , …,
xik  ck  xik 1 . Тогда в интегральной сумме останутся лишь слагаемые
k
   f (cs )g ( xis 1 )  g ( xis ) .
s 1
Но при предельном переходе   0 g ( xis 1 )  g ( xis )  hs и поэтому
b

a
k
f ( x)dg( x)  lim    f (cs )hs .
 0
s 1
3. Рассмотрим наконец общий случай, когда g (x) представима в виде g ( x)  g c ( x)  g d ( x) ,
где у функции g c (x) существует производная g c (x) , а g d (x ) есть функция скачков (рис. 7.34).
y
h4<0
h3>0
h2<0
h1>0
a
c1
c2
c3
c4
Рис. 7.34
Тогда, по свойствам интеграла Стилтьеса
b

a
b
k
a
s 1
f ( x)dg( x)   f ( x) g c ( x)dx  f (cs )hs .
Этой формулой и пользуются чаще всего при решении практических задач.
27
b
x