Угол между двумя прямыми. Величина угла между двумя пересекающимися прямыми

Угол между двумя прямыми.
Величина угла между двумя пересекающимися прямыми
принадлежит промежутку (00, 900].
Угол между параллельными прямыми считается равным 00.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между
пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным
скрещивающимся.
При нахождении угла 𝛼 между двумя прямыми используют
⃗|
|𝑎⃗∙𝑏
формулу со𝑠𝛼 = |𝑎⃗|∙|𝑏⃗| или в координатной форме со𝑠𝛼 =
|𝑎1 𝑏1 +𝑎2 𝑏2 +𝑎3 𝑏3 |
√𝑎12 +𝑎22 +𝑎32 √𝑏12 +𝑏22 +𝑏32
,
где 𝑎 = {𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 } и 𝑏⃗ = {𝑏1 ; 𝑏2 ; 𝑏3 } - векторы, соответственно
параллельные этим прямым.
1)
2)
3)
4)
Алгоритм «Угол между прямыми АВ и СD».
Связать прямоугольную систему координат с данным
геометрическим телом.
Определить координаты четырёх точек: А, В, C и D.
Вычислить координаты векторов ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 и ⃗⃗⃗⃗⃗
С𝐷.
Вычислить косинус искомого угла, используя формулу
⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙С𝐷
|𝐴𝐵
|𝑎1 𝑏1 +𝑎2 𝑏2 +𝑎3 𝑏3 |
⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
со𝑠∠(𝐴𝐵
С𝐷) =
=
,
⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|С𝐷
|𝐴𝐵
√𝑎12 +𝑎22 +𝑎32 √𝑏12 +𝑏22 +𝑏32
⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 } и 𝐶𝐷
⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝑏1 ; 𝑏2 ; 𝑏3 }.
где 𝐴𝐵
5) Определить угол между прямыми АВ и СD, используя равенство
⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗
∠(АВ; 𝐶𝐷)=аrссоs(со𝑠∠(𝐴𝐵
С𝐷)).
Расстояние от точки до прямой.
Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть
длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
Расстояние от точки M до прямой AB, обозначаемое 𝜌 (M; AB),
вычисляют, как длину высоты МН, опущенной из точки M на основание
AB (или ее продолжение) ∆ABM.
Алгоритм «Расстояние от точки М до прямой АВ».
1) Связать прямоугольную систему координат с данным
геометрическим телом.
2) Определить координаты точек М, А, В.
3) Вычислить длины сторон треугольника АВМ, применяя формулу
расстояния между точками.
𝜌(К; Р) = √(𝑥2 − 𝑥1 ) 2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2 + (𝑧2 − 𝑧1 ) 2, где
К(𝑥1 ; 𝑦1 ; 𝑧1 ) и Р(𝑥2 ; 𝑦2 ; 𝑧2 ).
4) Используя теорему косинусов, вычислить значение cosA или
cosB
АМ2 +АВ2 −МВ2
АВ2 +МВ2 −АМ2
( cos 𝐴 =
; cos 𝐵 =
).
2АМ∙АВ
2АВ∙МВ
5) Опираясь на основное тригонометрическое тождество, найти
s𝑖𝑛 𝐴 или sin 𝐵 (s𝑖𝑛 𝐴 = √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝐴, s𝑖𝑛 𝐵 = √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝐵).
6) МН является катетом как прямоугольного треугольника АНМ, так
и прямоугольного треугольника ВНМ. Вычислить МН по формуле
МН=АМ s𝑖𝑛 𝐴 или МН=МВ sin 𝐵
Алгоритм «Расстояние от точки М до прямой АВ» можно
использовать при решении задач не только по теме «Расстояние от
точки до прямой, не содержащей эту точку», но и по теме
«Расстояние между двумя параллельными прямыми». Потому что,
расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию
от любой точки одной из этих прямых до другой прямой.
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть
длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
Расстояние от точки M (x0 ,y0 ,z0) до плоскости 𝛼, заданной
уравнением
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 , можно вычислить по формуле
| 𝑎х0 + 𝑏у0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑|
𝜌(М, 𝛼) =
√𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
Алгоритм «Расстояние от точки М до плоскости 𝜶».
1) Связать прямоугольную систему координат с данным
геометрическим телом.
2) Определить координаты точки М, не лежащей в плоскости 𝛼, и
трех точек: А, В, C плоскости 𝛼, не лежащих на одной прямой.
3) Вывести уравнение плоскости 𝛼. Для этого нужно взять в общем
виде уравнение плоскости 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, в котором a, b,
c, d – неизвестные числа. Подставив в него координаты точек
А(𝑥А ; 𝑦А ; 𝑧А ), В(𝑥В ; 𝑦В ; 𝑧В ), C(𝑥C ; 𝑦C ; 𝑧C ), получить систему
уравнений:
𝑎𝑥А + 𝑏𝑦А + 𝑐𝑧А + 𝑑 = 0,
{ 𝑎𝑥В + 𝑏𝑦В + 𝑐𝑧В + 𝑑 = 0,
𝑎𝑥C + 𝑏𝑦C + 𝑐𝑧C + 𝑑 = 0.
Решив её, определить значения коэффициентов a, b, c, d .
Расстояние от точки M (x0 ,y0 ,z0) до плоскости 𝛼, заданной
уравнением
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, вычислить по формуле 𝜌(М, 𝛼) =
| 𝑎х0 +𝑏у0 +𝑐𝑧0 +𝑑|
√𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2
Алгоритм «Расстояние от точки М до плоскости α» разумно
использовать как при решении задач по темам «Расстояние от точки до
плоскости, не содержащей эту точку», так и по темам: «Расстояние
между прямой и параллельной ей плоскостью», «Расстояние между
двумя параллельными плоскостями». Так как расстояние между прямой и
параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой
прямой до плоскости, а расстояние между двумя параллельными
плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и
другой плоскостью.
Угол между плоскостями
Величина угла между пересекающимися плоскостями
принадлежит промежутку (00, 900].
Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 00.
Алгоритм «Угол между плоскостями 𝜶 и 𝜷».
1) Связать прямоугольную систему координат с данным
геометрическим телом.
2) Определить координаты трех точек: А, В, C плоскости 𝛼, не
лежащих на одной прямой. И координаты трёх точек: Р, R, T
плоскости 𝛽, не лежащих на одной прямой
3) Вывести уравнения плоскостей 𝛼 и 𝛽. Для этого нужно взять в
общем виде уравнение плоскости 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 + 𝑑1 = 0, в
котором a1, b1, c1, d1 – неизвестные числа. Подставив в него
координаты точек А(𝑥А ; 𝑦А ; 𝑧А ), В(𝑥В ; 𝑦В ; 𝑧В ), C(𝑥C ; 𝑦C ; 𝑧C ),
получить систему уравнений:
𝑎1 𝑥А + 𝑏1 𝑦А + 𝑐1 𝑧А + 𝑑1 = 0,
{ 𝑎1 𝑥В + 𝑏1 𝑦В + 𝑐1 𝑧В + 𝑑1 = 0,
𝑎1 𝑥C + 𝑏1 𝑦C + 𝑐1 𝑧C + 𝑑1 = 0.
Решив её, определить значения коэффициентов a1, b1, c1, d1.
Затем, подставив в уравнение плоскости 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 + 𝑑2 =
0 координаты точек Р(𝑥P ; 𝑦P ; 𝑧P ), R(𝑥R ; 𝑦R ; 𝑧R ), T(𝑥T ; 𝑦T ; 𝑧T ),
получить систему уравнений:
𝑎2 𝑥P + 𝑏2 𝑦P + 𝑐2 𝑧P + 𝑑2 = 0,
{ 𝑎2 𝑥R + 𝑏2 𝑦R + 𝑐2 𝑧R + 𝑑2 = 0,
𝑎2 𝑥T + 𝑏2 𝑦T + 𝑐2 𝑧𝑇 + 𝑑2 = 0.
Решив её, определить значения коэффициентов a2, b2, c2, d2,
|𝑎1 𝑎2 +𝑏1 𝑏2 +𝑐1 𝑐2 |
4) Используя формулу со𝑠∠(𝛼; 𝛽) =
, вычислим
√𝑎12 +𝑏12 +𝑐12 √𝑎22 +𝑏22 +𝑐22
косинус искомого угла.
Алгоритмы–решатели
некоторых стереометрических задач,
основанные на координатном и векторнокоординатном методах»
2015
5) Определить угол между плоскостями, используя равенство
∠(𝛼; 𝛽)=агссоs(со𝑠∠(𝛼; 𝛽))
Угол между прямой и плоскостью.
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой
называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Величина угла принадлежит промежутку (00, 900).
Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью
равен 900.
Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол
между ними считается равным 00.
Алгоритм «Угол между прямой АВ и плоскостью 𝜶».
1) Связать прямоугольную систему координат с данным
геометрическим телом.
2) Определить координаты пяти точек: А, В, C, D и Е, где C, D и Еточки плоскости 𝛼, не лежащие на одной прямой.
3) Вычислить координаты вектора ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 .
4) Определить координаты одной из трёх пар векторов плоскости 𝛼:
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ . Например, ⃗⃗⃗⃗⃗
С𝐷 и ⃗⃗⃗⃗
СЕ, ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐷С и 𝐷Е
ЕС и Е𝐷
С𝐷 и ⃗⃗⃗⃗
СЕ
5) Вычислить координаты вектора 𝑛⃗, перпендикулярного плоскости
𝑛⃗ ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗
С𝐷 = 0,
𝛼, решив систему уравнений {
⃗⃗⃗⃗ = 0.
𝑛⃗ ∙ СЕ
6) Вычислить синус искомого угла, используя формулу
𝑠𝑖𝑛∠(𝐴𝐵; 𝛼) =
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛⃗|
|𝑎1 𝑛1 + 𝑎2 𝑛2 + 𝑎3 𝑛3 |
|𝐴𝐵
=
⃗⃗⃗⃗⃗ | ∙ |𝑛⃗| √𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32 √𝑛12 + 𝑛22 + 𝑛32
|𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ = {𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 } и 𝑛⃗ = {𝑛1 ; 𝑛2 ; 𝑛3 }.
где 𝐴𝐵
7) Определить угол между прямой АВ и плоскостью 𝛼, используя
равенство ∠(АВ; 𝛼)=аrс𝑠𝑖𝑛(𝑠𝑖𝑛∠(𝐴𝐵; 𝛼)).