ПРОГРАММИРОВАНИЕ ИТЕРАЦИОННЫХ ЦИКЛОВ

ПРОГРАММИРОВАНИЕ
ИТЕРАЦИОННЫХ ЦИКЛОВ
Итерационным (от латинского iteratio – повторение)
называют цикл, характеризующийся последовательным
приближением вычисляемой величины (величин) к искомому
результату.
Подобные вычисления можно реализовать двумя способами:
1) С помощью цикла с заранее неизвестным числом
повторений (т. е. цикла с предусловием или с
постусловием). В этом случае цикл заканчивается при
достижении заданной точности, когда абсолютная величина
разности вычисленного и точного значения искомой
величины становится меньше требуемой точности.
2) С помощью цикла с известным числом повторений (т.е.
цикла с параметром). В этом случае ставится ограничение на
максимальное число повторений цикла, и цикл заканчивается,
как только произойдет одно из двух: либо будет достигнута
заданная точность, либо будет исчерпано максимальное число
повторений цикла. В разделе “Цикл с параметром” мы будем
программировать итерационные циклы вторым способом.
ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К
ИТЕРАЦИОННЫМ ЦИКЛАМ
К итерационным циклам приводят задачи:
1)
2)
3)
Вычисления сумм и произведений бесконечных рядов;
Реализации численных методов решения уравнений и их
систем;
Задачи нахождения максимумов и минимумов функций
и некоторые другие задачи.
Наиболее простым видом задач, реализуемых с
помощью итерационных циклов, являются задачи
вычисления сумм и произведений бесконечных рядов.
Эти задачи мы и будем рассматривать на примерах.
ПРИМЕР
Составить программу вычисления суммы ряда

sin 3x sin 5 x
sin (2 i 1) x
S  sin x 

 ...  
3
5
2 i 1
i 1
с точностью до члена ряда, меньшего ε, для
заданного значения x.
Метод решения задачи
Для реализации решения этой задачи с помощью
цикла с параметром следует ограничить максимальное
количество итераций, т. е. максимальное количество
повторений цикла. В качестве числа, ограничивающего этот
максимум, следует взять такой номер N, при котором, как
предполагается, гарантировано неравенство
f (N )  
Начальное значение параметра цикла будет равно единице, а
конечное – N.
При выполнении этого цикла возможны три случая:
Три случая завершения цикла
1. Параметр цикла еще не достиг значения N, а абсолютная величина
очередного члена ряда стала меньше, чем ε. В этом случае точность уже
достигнута, и цикл следует прервать досрочно. Это можно сделать
оператором BREAK.
2. Параметр цикла достиг значения N, и абсолютная величина N-го члена
ряда меньше ε (абсолютная величина (N - 1)-го члена при этом больше
либо равна ε. В этом случае точность достигается именно при
завершении цикла «вовремя».
3. Параметр цикла достиг значения N, но абсолютная величина N-го члена
ряда больше либо равна ε. В этом случае при завершении цикла
«вовремя» требуемая точность еще не достигнута. Это, в свою очередь,
означает одно из трех:
Особые случаи
завершения цикла
1) Число N выбрано недостаточно большим. Можно
попробовать увеличить N. Если это помогает, проблема
решена.
2) Допущена ошибка в формуле, используемой для
вычисления члена ряда. Необходимо исправить эту ошибку
и заново откомпилировать программу.
3) Ряд расходится, т. е. члены ряда никогда не станут по модулю
меньше ε. В этом случае задача неразрешима.
В рассмотренном выше примере в качестве N возьмем
число 100, т. е. будем суммировать не более 100 членов ряда.
ПРОГРАММА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
PROGRAM RjadSinusov;
CONST N : integer = 100;
VAR S, x, z, eps : real;
i, k : integer;
BEGIN
readln (x, eps);
S := 0;
FOR i := 1 TO N DO
BEGIN
k := 2 * i - 1;
z := sin (k * x) / k;
S := S + z;
IF (abs (z) < eps) THEN Break;
END;
writeln ('S = ', S, ', z = ', z, ', i = ', i);
END.
вопрос
ВОПРОС
Какие переменные
служат входными и
выходными данными
в этой программе?
ЗАПУСК И ТЕСТИРОВАНИЕ ПРОГРАММЫ
Запустим программу на выполнение. В качестве x введем
единицу
3
(вещественную!), в качестве ε - 1E-3 (т. е. 10 ).
Получим результаты: S = 7.8214648250E-01, z = -8.6001686648E-04, i = 57.
Мы видим, что просуммировано 57 членов, причем значение последнего члена
4
приблизительно равно -8 • 10 , т. е. по модулю
немногим
3
меньше, чем 10 . Из полученных результатов можно сделать вывод, что
требуемая точность достигнута.
5
Выполним теперь программу еще раз при x = 1 и ε = 10 .
Результаты при таких начальных данных будут:
S = 7.8395912895E-01, z = -4.4311499301E-03, i = 100.
На этот раз просуммировано 100 членов, но требуемая точность еще не
достигнута. Попробуем увеличить максимальное число членов. Меняем в тексте
программы N на 200, компилируем программу и запускаем ее на выполнение. На
этот раз результаты следующие:
S = 7.8630245665E-01, z = -8.4914155554E-08, i = 178.
Итак, в данном случае 100 членов было недостаточно для достижения точности,
но 200 членов хватило.
Из сказанного можно сделать вывод: Чем выше требуемая точность, тем больше
членов необходимо просуммировать.
ВОПРОС НА ЗАСЫПКУ
Почему итерационный процесс
суммирования бесконечного ряда
удобнее реализовать именно с помощью
цикла с параметром, несмотря на то, что
количество суммируемых членов ряда
заранее неизвестно?
ОТВЕТ
ОТВЕТ
В цикле с параметром количество повторений не
только известно заранее, но и конечно, поэтому
зацикливание невозможно. Результат (точный или
неточный) всегда будет получен за конечное время.
Если же использовать цикл с предусловием или
постусловием (используя в качестве критерия
окончания цикла достижение заданной точности), то в
случае расходимости ряда или ошибки в формуле
вычисления членов ряда произойдет зацикливание,
т. е. цикл будет выполняться бесконечно, и мы
никогда не получим результат. Поэтому
итерационные процессы следует реализовать именно
с помощью цикла с параметром.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА
составить программу вычисления числа π с заданной
точностью ε по формуле

4

1

4
96 k 1 ( 2k  1)
(суммировать до 1000 членов ряда) и протестировать
2
10
эту20программу для значений ε, равных 10 , 10 и 10
.
ПРОГРАММА
Программа имеет вид:
PROGRAM Iter;
CONST N : integer = 1000; VAR pi, eps, S, z : real;
k : integer;
BEGIN
readln (eps);
S := 0;
FOR k := 0 TO N DO
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
BEGIN
z := 1. / sqr (sqr (2. * k + 1));
S := S + z;
IF (abs (z) < eps) THEN Break;
END;
pi := sqrt (sqrt (96. * S));
writeln ('pi = ', pi, ', z = ', z, ', k = ', k);
END.
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
3
2
При ε = 10 : π = 3,1410256322, z = 1,6 • 10 , k = 2;
11

10
При ε = 10 : π = 3,1415926496, z = 9,9029127142 • 10 ,
k = 158;
14
При ε = 10 20: π = 3,1415926535, z = 6,2375156094 • 10 , k = 1000
В последнем случае 1000 членов недостаточно для достижения
точности, и число N необходимо увеличить до 50000 (изменив
при этом тип константы N и переменной k на LongInt, а тип
переменной pi на Double, поскольку N в данном случае
превышает 32767, а число π вычисляется с 20-ю знаками после
запятой).
После внесения изменений в программу получаем:
21
π = 3,14159265350132, z = 9,99960001000003 • 10 , k = 50000.
Т. о., точность ε = 10 20 достигается ровно на 50000-й итерации.
.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1) Какой цикл называется итерационным?
2) Какие задачи решаются с помощью
итерационных циклов?
3) Какими способами можно реализовать
итерационный процесс?
4) Какой способ предпочтительнее и почему?
5) Каким образом проверяется критерий
достижения заданной точности?
6) Как следует поступать в случаях, когда
максимальное количество итераций исчерпано,
но требуемая точность не достигнута?
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Составить программу вычисления бесконечного
произведения
P=
Аргумент x и точность ε вводятся с клавиатуры.
Протестировать программу при различных значениях
аргумента и точности, а именно:
1) При x = 0.05 и ε = 10 ;3
2) При x = 0.5 и ε = 10 ;4
3) При х = 1.57 и ε =10 5