Нелинейные динамические системы

ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Нелинейные динамические системы
Вып. 44
Межвузовский сборник научных трудов
2012
УДК 519.7
Л.В. Куксенок, С.В. Лутманов
г. Пермь
Пермский государственный
национальный исследовательский университет
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ ПЛОСКОГО
ДВУХЗВЕННОГО МАНИПУЛЯТОРА ПО КРИТЕРИЮ
"МИНИМУМ ЭНЕРГИИ"
Строится и исследуется математическая модель плоского двухзвенного манипулятора с двумя вращательными
кинематическими парами. Производится линеаризация
дифференциальных уравнений модели в окрестности базового решения. В предположении, что в начальный момент
схват манипулятора не лежит на базовой траектории,
решается задача об оптимальном в смысле энергетических затрат возращении его на указанную траекторию в
фиксированный момент времени. Показано, что управления, полученное на базе линеаризованной модели, дают
приемлемый результат и для исходной модели.
1. Математическая модель манипулятора
На горизонтальной плоскости рассмотрим двухзвенный
механический манипулятор с двумя вращательными парами
(рис. 1). Каждое звено манипулятора представляет собой абсолютно жесткий однородный стержень длины l . Первое звено
соединено с неподвижным основанием вращательной парой O1 ,
а со вторым звеном – вращательной парой O2 . Принимается,
© Куксенок Л. В., Лутманов С. В., 2012
33
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2012
что масса схвата равна m , а масса i  го звена – mi , i  1, 2 . В
соединительных парах могут развиваться управляющие моменты vi , i  1, 2 . Трение в шарнирах отсутствует.
На горизонтальной плоскости, в которой расположен манипулятор, введем
y
прямолинейную ось
Обозначим
O1 x .
2
O2
O1
1
x
через  i угол, обi -м
разованный
звеном манипуляi  1,2 , с
тора,
осью O1 x . В статье
[3] были выведены
дифференциальные уравнения движения данного манипулятора
в форме уравнений Лагранжа второго рода, в которых в качестве
обобщенных координат брались величины i , i  1, 2 . Вид этих
уравнений приводится ниже
Рис. 1
q1  q3 , q2  q4 , q3 

1 2bv1  2bcq sin(q1  q2 )  2cv2 cos(q1  q2 )  c 2 q32 sin[2(q1  q2 )]
,
2
ab  c 2 cos 2 (q1  q2 )

1 2av2  2acq sin(q1  q2 )  2cv1 cos(q1  q2 )  c 2 q42 sin[2(q1  q2 )]
.
2
ab  c 2 cos 2 (q1  q2 )
2
4
q4 
2
3
Здесь
1 4
( m1  4m2  4m)l 2 ,
4 3
1 4
1
b  ( m2  4m)l 2 , c  (2m  m2 )l 2 .
4 3
2

q1  1 , q2  2 , q3  1 , q4   2 .
a
Считаются заданными: начальный и конечный моменты
времени процесса t [t0 , T ] , исходное и конечное положение
34
Л.В. Куксенок, С.В. Лутманов. Управление движением…
схвата, а также y  f  x   уравнение траектории схвата в декартовых координатах, которую в дальнейшем будем называть
базовой. Принимается, что в начальный и конечный момент
времени манипулятор неподвижен.
Заметим, что связь между декартовыми координатами
схвата и его обобщенными координатами осуществляется по
формулам x  l (cos q1  cos q2 ), y  l (sin q1  sin q2 ).
Пусть найдены кусочно-непрерывное программное управле
ние v :[t0 , T ]  R1 , i  1, 2 и отвечающий ему закон движения
q   q   t  , t   t0 , T  ,
(1.1)
реализующий движение схвата по базовой траектории с заданными граничными условиями.
В данной работе ставится и решается задача о возращении
схвата манипулятора на базовую траекторию, в случае, когда в
начальный момент времени схват на указанной траектории не
находился. При этом предполагается, что его начальное отклонение от траектории не велико. Сделанное предположение о малости величины отклонения позволяет перейти к линеаризированным в окрестности базового движения уравнениям схвата.
2. Линеаризованные уравнения движения
 q1 
 Q1 
 
 
q2 
Q2
 u1 

Обозначим q 
, u   , Q    
 q3 
 Q3 
 u2 
 
 
 q4 
 Q4 
q3




q4


 1 2bv1  2bcq42 sin(q1  q2 )  2cv2 cos(q1  q2 )  c 2 q32 sin[2(q1  q2 )]  .


ab  c 2 cos 2 (q1  q2 )
2

 1 2av  2acq 2 sin(q  q )  2cv cos(q  q )  c 2 q 2 sin[2(q  q )] 
2
3
1
2
1
1
2
4
1
2


2
2
ab  c cos (q1  q2 )
2

35
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2012
Пусть q* :[t0 , T ]  R1 , v* :[t0 , T ]  R1 базовое движение
схвата и управление, порождающее это движение. Тогда линеаризированные уравнения движения схвата имеют вид
z  A(t ) z  B(t )u ,
(2.1)
где
A(t ) 
 0

 0
 Q
 3
 q1
 Q4

 q1
B(t ) 
Q(t , q, u )

q
*
*
q  q ( t ),v  v ( t )
0
0
Q3
q2
1
0
Q3
q3
Q4
q2
Q4
q3
Q(t , q, v)
v
q  q* ( t ), v  v* ( t )
0 

1 
Q3 
,

q4 
Q4 

q4  q  q* (t ),v v* (t )
 0

 0
 Q
 3
 v1
 Q4

 v1
0 

0 
Q3 
,

v2 
Q4 

v2  q  q* ( t ),v v* (t )
z  R 4 – вектор отклонений от базового движения схвата, а
u  R 2 – вектор дополнительных управляющих параметров.
В начальный момент времени z (t0 )  z0  0 . Задача управления
состоит в достижении равенства z ( )  0 при некотором
 [t0 , T ] , которое означает, что в момент времени  схват
вышел на первоначальную траекторию, причем с теми скоростями, которые предписывает ему закон движения (1.1).
36
Л.В. Куксенок, С.В. Лутманов. Управление движением…
3. Постановка задачи оптимального управления
Качество дополнительного управления v () будем оценивать по критерию:
1
2


I [u ()]     u12 ( )  u22 ( )  d  .
 t0


В книге [1] управление по данному критерию называется
управлением по «минимуму энергии».
Поставим следующую задачу оптимального управления
для линейного динамического объекта (2.1)
Задача 1 (управление по "минимуму энергии"). Для данного начального отклонения z (t0 ) и момента времени
 [t0 , T ] найти программное управление, u 0 () переводящее
фазовый вектор объекта из начального положения в начало координат в момент времени  и при этом доставляющее
наименьшее значение критерию I .
Решение поставленной задачи осуществим путем сведения
задачи теории оптимального управления к функциональной
проблеме моментов [1].
Полагаем
H [ , ]  Z[, ]B( ), , [t0 , T ] ,
c  Z [ , t0 ]z0 ,
здесь Z [t , ], t , [t0 , T ] – фундаментальная матрица Коши для
однородного уравнения z  A(t ) z .
Определение 1. Матрицу H [ , ], t * ,  [0,1] будем
называть переходной матрицей объекта.
4. Управление по "минимуму энергии"
Следуя [2] изложим алгоритм построения оптимального
управления линейным динамическим объектом по критерию
"минимум энергии".
37
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2012
1. Решается система линейных алгебраических уравнений
n
сi   p jij , i  1,..., 4, i  1,
,4 ,
(4.1)
j 1
относительно величин p j , j  1,
, 4 , где

 ij   h[i ] ( ), h[ j ] ( ) , i, j  1,..., 4 ,
0
[k ]
h – строка матрицы перехода, c s – s -я компонента вектора
c, s  1,...,4 .
2. Пусть p0j , j  1,
оптимальное
управление

4
, 4  решение системы (4.1). Тогда
определяется
по
формуле

v 0 ()   q s0 h [ s ]  .
T
s 1
5. Численные эксперименты
Численные расчеты проведены при следующих данных
l1  l2  1 м, m  m1  m2  1кг, t0  0 сек, T  1сек,
1
f ( x)  cos( x(t ))  1.
4
Начальное и конечное положение схвата определяется точками
x0 , f  x0   (1.5 м,1.02 м) , xˆ, f  xˆ   (0.25 м,1.24 м) . (5.1)




Закон
движения схвата в обобщенных координатах
q  q  t  , t 0,1 определяем как решение системы уравнений


x  t   l cos q1  t   cos q2  t   ,
y   t   l sin q1  t   sin q2  t   ,
где
(5.2)
x  t   x0  3  x0  xˆ  t  2  x0  xˆ  t ,

2
3
y   t     x0  3  x0  xˆ  t 2  2  x0  xˆ  t 3  ,
t 0,1
38
(5.3)
Л.В. Куксенок, С.В. Лутманов. Управление движением…
Тогда задачу 1 следует решать при следующих данных:
z1 (0)  1 (0)  10, 21102 рад,
z2 (0)  2 (0)  5,31102 рад ,
рад
рад
z3 (0)  1 (0)  0
, z4 (0)  2 (0)  0
.
сек
сек
Задача вывода схвата на исходную траекторию была решена для десяти значений момента времени t *  [0,1] . Оптимальное значение критерия "минимум энергии" для каждого из
этих моментов времени приведена в таблице.
Время приведения
на траекторию
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
*
(t )
Значение интеграла
энергии
26.53
9.18
4.83
3.01
2.05
1.48
1.13
0.88
0.71
0.57
Из приведенной таблицы следует, что чем меньше времени дается на выход движения схвата на исходную траекторию,
тем больше энергетические затраты на управление.
Для проверки эффективности найденного оптимального
программного управления подставим его в исходные нелинейные дифференциальные уравнения манипулятора и проинтегрируем последние с начальными условиями (5.1). Можно убедиться, что в момент времени t * схват выходит на базовую траекторию и в дальнейшем движется в соответствии с заданным законом (5.2), (5.3).
Ниже на рис. 2–4 показаны реализующиеся при этом траектории схвата, отвечающие временам перевода t *  0.3,0.5,0.8
39
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2012
соответственно. Базовая траектория схвата обозначена сплошной линией. Движению схвата манипулятора из смещенного положения отвечает штриховая линия, а движению после его возвращения на исходную траекторию – пунктирная линия.
Случай t *  0.3 .
Рис. 2
Случай t *  0.5 .
Рис. 3
Случай t *  0.8 .
Рис. 4
40
Л.В. Куксенок, С.В. Лутманов. Управление движением…
Библиографический список
1. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.:
Наука, 1968. 476 с.
2. Лутманов С.В. Вариационное исчисление и теория оптимального управления в примерах и упражнениях // Учеб.
пособие. Перм. ун-т. Пермь, 2010. 200 с.
3. Кулагин Е В., Лутманов С.В., Петухов И.С. Построение
гарантирующих стратегий в одной нелинейной дифференциальной игре наведения-уклонения // Проблемы механики и
управления: межвуз. сб. науч. тр. Пермь, 2004. С.34–45.
41