О двойственности выпуклых объектов

УДК 519.86
Рецензенты:
А.В. Арутюнов, И.И. Поспелова
Н.К. Обросова, А.А. Шананин
Двойственность в задачах линейного программирования и ее
экономическая интерпретация. Учебное пособие. М.: РУДН,
2006.
Данное пособие знакомит читателя с элементами
теории линейного программирования. В пособии рассмотрен
набор взаимно связанных примеров, описывающих
некоторые типы экономических систем, определяемых
факторами производства и механизмами распределения
ресурсов в системе. Цель этих примеров – обучение
правилам построения двойственных задач и ознакомление
учащихся с экономической интерпретацией теории
двойственности.
Работа выполнена при поддержке:






РФФИ (код проекта 05-01-00942, 06-07-89210-а);
РГНФ (код проекта 05-02-02349а);
гранта Президента РФ по государственной поддержке ведущих
научных школ (код проекта НШ-5379.2006.1);
программы фундаментальных исследований ОМН РАН № 3;
программы фундаментальных исследований РАН №14(пр.1.11);
УНЦ "Развития технологии анализа и прогнозирования
государственной, региональной и отраслевой экономики с
помощью математических моделей " ФУПМ МФТИ
 Российский университет дружбы народов, 2006.
1. Введение
Задачами линейного программирования называют
задачи максимизации (минимизации) линейной функции при
ограничениях в форме линейных неравенств. Такая
постановка появилась в связи с решением практических
задач в области исследования операций. Позднее это привело
к разработке полезных алгоритмов численного нахождения
решений, среди которых наиболее известным является
симплекс-метод [3,4]. В математической экономике
некоторые
качественные
аспекты
линейного
программирования оказываются более интересными, чем
вычислительные. Это обусловлено тем, что задача линейного
программирования вместе с двойственной ей задачей имеет
прямое отношение к проблемам распределения ресурсов и
оценки производственных факторов. Данное пособие
знакомит читателя с элементами качественной теории
линейного
программирования.
Вопросы
отыскания
численных решений с помощью соответствующих
вычислительных алгоритмов, подробно разработанные в
литературе по численным методам, не обсуждаются. В
пособии рассмотрен набор взаимно связанных примеров,
описывающих некоторые типы экономических систем,
определяемых факторами производства и механизмами
распределения ресурсов в системе. В каждом примере
подробно разобрано построение двойственной задачи к
соответствующей задаче линейного программирования и
дана
экономическая
интерпретация
двойственных
переменных. Приведенные примеры дают представление о
способах построения и исследования моделей распределения
ресурсов в экономических системах с помощью теории
линейного программирования и знакомят учащихся с
экономической интерпретацией теории двойственности.
3
Глава 1. Элементы теории линейного программирования
1.1.
Постановка
задачи
линейного
программирования. Задачей линейного программирования
(ЛП) называется задача минимизации или максимизации
линейного функционала при линейных ограничениях. В
литературе принят ряд специальных форм записи задачи ЛП:
1. Форма общей задачи ЛП (задача ЛП со смешанными
ограничениями) – найти максимум по переменным
x1  R n1 , x2  R n2 линейного функционала1
c1 x1  c2 x2  max
при линейных ограничениях
A11 x1  A12 x2  b1 ,
(1)
A21 x1  A22 x2  b2 ,
x1  0 .
(3)
(2)
(4)
b1  Rm1 , b2  Rm2 ,
имеют
A11 , A12 , A21 , A22
c1  R n1 , c2  R n2 ,
Здесь
соответственно
 m1  n1  ,  m1  n2  ,  m2  n1  ,  m2  n2  .
2. Форма основной задачи ЛП
матрицы
размеры
c x  max
при линейных ограничениях
Ax  b .
1
Запись вида
вектор
rr
r
x y обозначает скалярное произведение вектора x на
r
y.
4
Здесь x  R n , c  R n , b  R m , A - матрица размера (m  n) .
3. Стандартная форма записи задачи ЛП
c x  max
при линейных ограничениях
Ax  b
x 0.
.
Здесь x  R , c  R , b  R , A - матрица размера (m  n) .
n
n
m
4. Каноническая форма записи задачи ЛП
c x  max
при линейных ограничениях
Ax  b
x 0.
Формально говоря, задачи 2-4 являются частными
случаями общей задачи 1. Однако в свою очередь общая
задача может быть представлена в форме любой из трех
остальных. Так задача 1 принимает основную форму, если
заменить в ней систему ограничений-равенств на
эквивалентную систему ограничений-неравенств
A21 x1  A22 x2  b2
 A21 x1  A22 x2  b2 .
Если
сделать
замену
переменных
x2  y2  z2 , y2  0, z2  0 , то задача 1 примет стандартную
5
форму. Если же ограничения неравенства в задаче 1 записать
в виде
A11 x1  A12 x2  u  b1 ,
u  0,
где u  R m1 - вектор дополнительных переменных (формально
входящих
в
целевой
функционал
с
нулевыми
коэффициентами) и вновь использовать замену переменных,
то задача 1 будет иметь форму канонической задачи.
Вообще говоря, любую задачу ЛП, на минимум или
максимум, с неравенствами, направленными в ту или иную
сторону, можно представить в любой из указанных форм.
Для этого, наряду с приемами, перечисленными выше,
необходимо использовать умножение целевой функции или
ограничений–неравенств на (-1), что позволяет переходить от
максимизации к минимизации и менять знаки неравенств.
1.2.
Двойственность
в
задачах линейного
программирования.
Рассмотрим
задачу
линейного
программирования со смешанными ограничениями (1) - (4).
Будем называть задачу (1) - (4) прямой задачей линейного
программирования.
Двойственной задачей к задаче (1) - (4) называется
задача минимизации по переменным u1  R m1 , u2  R m2
линейного функционала
b1 u1  b2 u2  min
(5)
при линейных ограничениях
T
T
A11
u1  A21
u2  c1 ,
(6)
6
T
T
A12
u1  A22
u2  c2 ,
(7)
u1  0 .
(8)
Здесь
есть
матрица,
полученная
AT
транспонированием матрицы A .
Теорема 1.1 (двойственности). Для того, чтобы задача
линейного программирования (1) - (4) имела решение
необходимо и достаточно, чтобы имела решение
двойственная задача (5)-(8). В случае существования
решений оптимальные значения функционалов в этих
задачах совпадают.
Теорема 1.2 (критерий оптимальности). Пусть
 x1 ,
x2 
удовлетворяют ограничениям (2)-(4),  u1 , u2  удовлетворяют
ограничениям (6)-(8). Для того, чтобы
 x1 ,
x2  являлись
решением задачи (1) - (4), а  u1 , u2  являлись решением
задачи (5)-(8), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
следующие условия, называемые условиями дополняющей
нежесткости:


u1 A11 x1  A12 x2  b1  0 ,
T
T
x1  A11
u1  A21
u2  c1   0 .
Определение 1.1. Функцией Лагранжа задачи линейного
программирования (1) - (4) называется функция
L  x1 , x2 , u1 , u2   c1 x1  c2 x2 




u1 b1  A11 x1  A12 x2  u2 b2  A21 x1  A22 x2 .
7
Если
следующим
образом
слагаемые функции Лагранжа
перегруппировать
L  x1 , x2 , u1 , u2   b1 u1  b2 u2 
T
T
T
T
x1  c1  A11
u1  A21
u2   x2  c2  A12
u1  A22
u2  ,






то получим функцию Лагранжа двойственной задачи (5)-(8).
На этом замечании основан способ построения двойственной
задачи в результате преобразования функции Лагранжа
прямой задачи:
слагаемые, в которые не входят переменные прямой задачи,
образуют функционал двойственной задачи;
слагаемые, умножаемые на одну и ту же переменную прямой
задачи, образуют ограничение двойственной задачи;
переменным прямой задачи на знак, которых не наложены
ограничения, соответствуют ограничения типа равенства в
двойственной задаче;
переменным прямой задачи на знак, которых наложены
ограничения неотрицательности, соответствуют ограничения
типа неравенства в двойственной задаче, причем знак его
выбирается таким образом, чтобы при нарушении
неравенства, соответствующее слагаемое штрафовало
функционал в функции Лагранжа двойственной задачи;
ограничениям типа неравенства в прямой задаче
соответствуют неотрицательные переменные в двойственной
задаче;
ограничениям типа равенства в прямой задаче соответствуют
переменные произвольного знака в двойственной задаче.
8
Определение 1.2. Будем говорить, что набор векторов
x1*  Rn1 , x2*  R n2 , u1*  Rm1 , u2*  R m2
образует седловую
точку
функции
Лагранжа,
если
для
любых
n1
n2
m1
m2
x1  R , x2  R , u1  R , u2  R
справедливы
неравенства
L  x1 , x2 , u1* , u2*   L  x1* , x2* , u1* , u2*   L  x1* , x2* , u1 , u2  .
Теорема 1.3 (Кун-Таккер).
1. Если
решение
 x1* , x2* 
задачи
линейного
программирования (1) - (4), то существуют такие векторы
u1*  Rm1 , u2*  R m2 , что набор векторов  x1* , x2* , u1* , u2* 
образует седловую точку функции Лагранжа.
2. Если набор векторов  x1* , x2* , u1* , u2*  образует седловую
точку функции Лагранжа, то
x , x 
*
1
*
2
является решением
задачи линейного программирования (1) - (4), а  u1* , u2* 
является решением задачи линейного программирования
(5)-(8).
Глава 2. Экономическая интерпретация теории
двойственности
В данной главе рассмотрен набор примеров, в
которых дана экономическая интерпретация теории
двойственности в задачах линейного программирования.
Приведенные
примеры
стилизованно
описывают
экономические уклады, существовавшие в различные
периоды развития производственных отношений и
определяемые факторами производства и механизмом
распределения ресурсов в системе.
9
Пример
1.
Экономика
колониальной
страны
доиндустриальной эпохи.
Рассмотрим пример открытой экономики –
экономику колониальной страны доиндустриальной эпохи.
Для колониального режима характерно наличие правящей
элиты, заинтересованной в прибыли от аграрно-сырьевого
экспорта. При этом естественно предположить, что реально
функционируют лишь те отрасли, продукция которых
экспортируется.
В
аграрно-сырьевой
экономике
производство
лимитируется единственным первичным ресурсом –
количеством малоквалифицированной рабочей силы.
Пусть весь производственный сектор экономики
разбит на n чистых отраслей (т.е. продукция каждой из этих
отраслей однородна), каждая отрасль выпускает продукт
только одного типа, и разные отрасли выпускают разные
продукты. Таким образом, в экономической системе
выпускается n видов продуктов. Предположим, что все
выпускаемые продукты являются взаимозаменяемыми.
Будем описывать производство в системе с помощью
модели межотраслевого баланса В.В. Леонтьева [1,2]
r
r r
x = Ax + w
где A  R nn , A  0 - матрица межотраслевого баланса В.В.
Леонтьева, которую мы будем считать продуктивной, x  0 вектор валовых выпусков, w  0 - вектор конечных
выпусков.
r
Пусть c = (c1 ,K , cn ) > 0 - вектор затрат труда для
производства единицы продукции типа 1, , n , а R - общее
количество трудовых ресурсов в системе. Тогда естественное
ресурсное ограничение имеет вид
10
rr
c x£ R.
В условиях колониального режима правящая элита
заинтересована в максимизации прибыли от экспорта. Пусть
 - вектор мировых цен на экспортируемую продукцию.
Предположим, что весь конечный выпуск w экспортируется.
Тогда правящая элита стремится максимизировать
экспортную прибыль  w в условиях перечисленных ранее
ограничений. Задача максимизации прибыли экспортеров в
рассматриваемой системе имеет вид
 w  max
x = Ax + w
(9)
(10)
w  0.
(11)
(12)
c x  R,
Для анализа решения задачи линейного программирования
(9)-(12)
построим двойственную задачу. Припишем
двойственные переменные к ограничениям прямой задачи.
Ограничению (10) поставим в соответствие двойственную
r
переменную p Î R n произвольного знака, так как это
ограничение имеет вид равенства. Ограничению (11)
неотрицательную двойственную переменную s  0 , так как
эти ограничения имеют вид неравенств. Функция Лагранжа
для задачи (9)-(12) имеет вид
L  x, w, p, s    w   p, x  Ax  w  s  R  c x 
11
Перегруппируя
слагаемые,
Лагранжа двойственной задачи
получим
функцию
L  x , w, p, s   sR   x, p  AT p  sc    w,   p 
Следовательно, двойственная задача к задаче (9)-(12)
имеет вид
sR  min
p  AT p  sc
p 
s0
(13)
(14)
(15)
(16)
Обратимся
к
экономической
интерпретации
переменных двойственной задачи. Вектор p   p1 , , pn  ,
соответствующий ограничению
прямой задачи, будем
интерпретировать как вектор цен на производимые в системе
товары. Предположим, что малоквалифицированный труд,
являющийся единственным ресурсом для производства
продукции отраслей, оплачивается по единой ставке
заработной платы s  0 , которая является двойственной
переменной к ресурсному ограничению(11).
Запишем по-координатно ограничение (14)
n
pi   a ji p j  sci , i  1,
(17)
, n.
j 1
Равенство (17) означает, что цена единицы продукта
отрасли i складывается из затрат на сырье и стоимости
12
трудовых ресурсов, необходимых для производства единицы
продукта.
Заметим, что в силу продуктивности матрицы A (а,
следовательно, и матрицы
AT ), матрица ( E  AT )
неотрицательно обратима [1]. Следовательно, ограничение
(14) можно переписать в виде
p  s  E  AT  c .
1
(18)
Обозначим
c    E  AT  c .
1
(19)
Известно [1, с. 39-41], что при условии
продуктивности матрицы A , матрица ( E  AT )1 может быть
получена как сумма ряда

k
( E  AT ) 1    AT  .
(20)
k 0
Из соотношений (19), (20) следует, что
c    E  AT  c  c  AT c   AT  c 
1
2
  AT  c 
k
.
(21)
Выражение (21) имеет следующую экономическую
интерпретацию. Для производства единицы продукции вида
1, , n необходимо затратить непосредственно трудовые
ресурсы в объеме c  (c1 , , cn ) . Но этого мало –
производство сырья также требует затрат труда в объеме
13
AT c . Далее, при производстве сырья вновь возникают
дополнительные затраты труда, равные AT AT c   AT  c , и
2
т.д. Соответственно, вектор
c    c1 , c2 ,
, cn 
является
вектором полных трудовых затрат на выпуск единицы
продукции вида 1, , n . Возвращаясь к равенству (18), имеем
p  sc 
(22)
Соотношение (22) означает, что цена на продукцию
каждой отрасли пропорциональна полным трудовым
затратам, причем коэффициент пропорциональности s есть
величина постоянная, не зависящая от отрасли. Равенство
(22) является основным соотношением трудовой теории
стоимости, впервые разработанной А. Смитом и получившей
дальнейшее развитие в работах Д.Рикардо и К.Маркса.
Рассмотрим схему материальных и финансовых потоков
между экономическими агентами в рассматриваемой системе
(рис. 1).
Народное хозяйство
cx
pw
scx
Общество
Рис.1.
14
w
Согласно теореме двойственности, если задачи
линейного программирования (9) - (12) и (13) - (16) имеют
решения, то оптимальные значения функционалов в этих
задачах совпадают
 w  sR .
(23)
Условия дополняющей нежесткости (необходимые и
достаточные условия оптимальности решения) для задач (9) (12) и (13) - (16) имеют вид
 w  p w,
sR  s c x.
Тогда, учитывая (23), имеем
sc x  p w .
Последнее равенство означает баланс финансовых
потоков в системе (см. рис.1).
Заметим, что из ограничения (15) и равенства (22)
следует ограничение снизу на ставку заработной платы
s³
pi
, i = 1, 2, K , n .
ci*
Следовательно, экономически обоснованной является
ставка заработной платы
s = max
1£ i£ n
pi
.
ci*
15
Таким образом, в рассматриваемых условиях
фактически
оказывается
выгодным
производство
единственного товара из существующей номенклатуры.
Отбор такого товара определяется мировыми ценами.
Пример 2. Капиталистическая экономика до
промышленной революции
Рассмотрим замкнутую экономику, в которой
производство лимитируется единственным первичным
ресурсом – количеством малоквалифицированной рабочей
силы. Пусть весь производственный сектор экономики
разбит на n чистых отраслей (т.е. продукция каждой из этих
отраслей однородна), каждая отрасль выпускает продукт
только одного типа, и разные отрасли выпускают разные
продукты. Таким образом, в экономической системе
выпускается n видов продуктов.
Будем по-прежнему описывать производство в
системе с помощью модели межотраслевого баланса В.В.
Леонтьева [1,2]
r
r r
x = Ax + w
где A  R nn , A  0 - матрица межотраслевого баланса В.В.
Леонтьева, которую мы будем считать продуктивной, x  0 вектор валовых выпусков, w  0 - вектор конечных
выпусков.
Пусть c   c1 , , cn  - вектор валовых затрат труда для
производства единицы продукции типа 1, , n , а R - общее
количество трудовых ресурсов в системе. Тогда естественное
ресурсное ограничение имеет вид
16
rr
c x£ R.
Будем считать, что производимые товары не являются
взаимозаменяемыми,
а
необходимы
потребителям
комплектами, причем K   K1 , , K n  - структура комплекта.
Обозначим через  количество производимых в системе
потребительских комплектов. Чем больше величина  , тем
выше уровень жизни. Пусть  - мера "удовлетворения",
которую получает потребитель от одного комплекта. Тогда
можно поставить задачу максимизации уровня жизни в
системе
  max
(24)
при ограничениях
x  Ax  w,
(25)
w  K,
c x  R,
w0
(26)
(27)
(28)
Для того, чтобы проанализировать решение задачи
линейного
программирования
(24)-(28),
построим
двойственную задачу. Припишем двойственные переменные
к ограничениям прямой задачи. Ограничению (25) поставим
r
в соответствие двойственную переменную
p Î Rn
произвольного знака, так как это ограничение имеет вид
равенства. Ограничениям (26) и (27) - неотрицательные
двойственные переменные q  0 и s  0 соответственно, так
как эти ограничения имеют вид неравенств. Функция
Лагранжа для задачи (24)-(28) имеет вид
17


L  x ,  , w, p, q, s      p, x  Ax  w  q, w   K  s  R  cx  .
Перегруппируя
слагаемые,
Лагранжа двойственной задачи
получим

функцию

L  x ,  , w, p, q, s   sR   x, p  AT p  sc      qK   w, q  p  .
Следовательно, двойственная задача к задаче (24)-(28)
имеет вид2
sR  min
p  AT p  sc
(29)
(30)
pK  
s0
(31)
(32)
Обратимся
к
экономической
интерпретации
переменных двойственной задачи. Вектор p   p1 , , pn  ,
соответствующий ограничению (25) прямой задачи, по
аналогии с примером 1, будем интерпретировать как вектор
цен на производимые в системе товары. Предположим, что
малоквалифицированный труд, являющийся единственным
ресурсом
для
производства
продукции
отраслей,
оплачивается по единой ставке заработной платы s  0 ,
Из вида последнего слагаемого в функции Лагранжа двойственной
задачи следует, что q  p , так как переменная w произвольного знака.
2
При этом ограничение q  0 на знак двойственной переменной
выполняется автоматически в силу продуктивности матрицы A и его
можно не учитывать.
18
которая является двойственной переменной к ресурсному
ограничению (27).
Аналогично рассуждениям, проведенным в примере 1,
можно показать, что
p  sc  ,
где вектор c    c1 , c2 ,
(33)
, cn  является вектором полных
трудовых затрат на выпуск единицы продукции вида 1,
т.е.
c    E  AT  c  c  AT c   AT  c 
1
2
  AT  c 
k
,n ,
.
Равенство (33) по-прежнему означает постоянство
(вне зависимости от отрасли) соотношения цены продукта и
полных трудовых затрат на его производство, т.е.
выполнение основного соотношения трудовой теории
стоимости.
Рассмотрим схему материальных и финансовых
потоков между экономическими агентами в описанной
системе (рис. 2).
19
Народное хозяйство
cx
w
pw
scx
Общество
Рис.2.
Проанализируем схему, изображенную на рис.1.
Согласно теореме двойственности, если задачи линейного
программирования (24) - (28) и (29) - (32) имеют решения, то
оптимальные значения функционалов в этих задачах
совпадают
  sR .
(34)
Условия дополняющей нежесткости (необходимые и
достаточные условия оптимальности решения) для задач (24)
- (28) и (29) - (32) имеют вид
 p, w   K   0,
s  R  c x   0,
  pK     0 .
Следовательно,
sR  sc x ,
20
  p w .
Тогда, учитывая (34), имеем
sc x  p w .
Последнее равенство означает баланс финансовых
потоков в системе (см. рис.2).
Рассмотренная
модель
замкнутой
экономики
капиталистического государства схематично описывает
экономику европейских стран первой половины 19-го века.
Пример
3.
Капиталистическая
экономика
индустриальной эпохи
Достижения науки во второй половине 19-го века
привели к появлению технических средств, частично
заменяющих
человеческий
труд.
В
результате
технологической революции в производстве возник новый
лимитирующий фактор – объем основных фондов. Таким
образом, в описанной в примере 3 модели, к ограничениям
по трудовым ресурсам добавляется новый вид ограничений –
ограничения по основным фондам
bx,
где b   b1 , , bn  - вектор коэффициентов фондоемкостей,
 - суммарная величина основных фондов в системе.
Коэффициент фондоемкости bi есть количество основных
фондов, необходимых для производства единицы продукции
в i -й отрасли.
Задача максимизации уровня жизни имеет вид
21
  max
(35)
при ограничениях
x  Ax  w,
(36)
w  K,
c x  R,
(37)
(38)
b x  ,
  0.
(39)
(40)
Построим двойственную задачу к задаче линейного
программирования
(35)-(40).
Для этого припишем
двойственные переменные к ограничения прямой задачи (35)
-(40). Заметим, что задача линейного программирования (35)
-(40) отличается от задачи (24)-(28) лишь ограничением (39).
Поэтому, кроме двойственных переменных p  R n , q  0 , и
s  0 к ограничениям (36), (37), (38) соответственно,
требуется ввести двойственную переменную r  0 к
ограничению по основным фондам (39). Переменную r  0
мы будем интерпретировать как арендную плату за
эксплуатацию
основных
фондов.
Напомним,
что
n
двойственная переменная p  R интерпретируется как
вектор цен на производимую продукцию, а двойственная
переменная s  0 - как ставка заработной платы. Функция
Лагранжа для задачи (35)-(40) имеет вид
L  x,  , w, p, q, s, r      p, x  Ax  w 
 q, w   K   s  R  c x   r (  b x )
22
Перегруппировка слагаемых дает функцию Лагранжа для
двойственной задачи
L  x ,  , w, p, q, s, r   sR  r 
 x, p  A
T


p  sc  rb   w, q  p      qK

.
Следовательно, двойственная задача к
линейного программирования (35)-(40) имеет вид
sR  r  min
p  AT p  sc  rb
(41)
(42)
pK 
s  0, r  0, p  0
(43)
(44)
задаче
Заметим, что при условиях s  0, r  0 неравенство
p  0 выполняется автоматически (в силу неотрицательной
обратимости матрицы  E  A ).
Согласно (42), имеем
p  s  E  AT  c  r  E  AT  b
1
1
(45)
В силу продуктивности матрицы A из соотношения (45)
следует, что ограничение p  0 в (44) выполняется
автоматически, если s  0, r  0 и его можно не учитывать.
Из (45) следует нарушение основного соотношения
трудовой теории стоимости: наряду с вектором полных
трудовых затрат c    E  AT  c  0 в правой части (45)
1
23
возник вектор полных фондоемкостей b    E  AT  b  0 ,
1
т.е.
p  sc   rb 
(46)
Согласно теореме двойственности оптимальные
значения функционалов в прямой и двойственной задачах
(35)-(40) и (41)-(44) совпадают
 y  sR  r 
(47)
С учетом условий дополняющей нежесткости
pw   pK
sR  sc x
(48)
(49)
r   rb x
(50)
 pK  
(51)
получим баланс финансовых потоков
 p K  sc x  rb x
(52)
Рассмотрим схему материальных и финансовых
потоков между агентами в системе (рис.3). Заметим, что
возникновение основных фондов фактически привело к
разделению общества на два класса – класс собственников
(С) и класс трудящихся (Т). Собственники поставляют
народному хозяйству (Н.Х.) основные фонды, а трудящиеся
– рабочую силу. Однако обратный поток продукта в
рассматриваемой системе оказывается не распределенным
24
между классами общества (см. (52)). Данная система
является
относительно
неустойчивой
и
может
просуществовать не долго. Для нее характерна классовая
борьба за раздел материальных потоков.
Н.Х.
bx
rbx
K
scx
С
cx
Т
Общество
Рис.3
Реалистическим исходом классовой борьбы в этой
ситуации является переход прав распределения финансовых
потоков к собственникам производства, утопическим
исходом, близким к идеям анархизма, является переход прав
распределения финансовых потоков к трудящимся.
Пример
4.
Капиталистическая
экономика
постиндустриальной эпохи
Рассмотрим реалистический сценарий разрешения
классовой борьбы (см. пример 3). Предположим, что сила
оказалась на стороне класса собственников производства,
25
владеющих капиталом. По мере усложнения технических
средств, у собственников возникает потребность в
квалифицированных трудовых ресурсах для постоянного
обслуживания основных фондов. Собственник заинтересован
в максимизации своего уровня жизни, который измеряется
числом потребительских комплектов, имеющих структуру
K   K1 , , K n   0 . При этом неквалифицированный труд
проигрывает в конкуренции квалифицированной рабочей
силе. В связи с этим, количество неквалифицированного
труда R , занятого в производстве, становится переменной
величиной, а реальная заработная плата может обеспечивать
структуру потребительского комплекта    1 , ,  n   0 ,
которая, вообще говоря, отличается от структуры K . С
учетом внесенных изменений, получаем следующую задачу
линейного программирования
  max
(53)
при ограничениях
x  Ax  w,
(54)
w   K  R ,
c x  R,
(55)
(56)
b x  ,
  0, R  0.
(57)
(58)
Сохраняя обозначения двойственных переменных ( p  R n вектор цен на производимую продукцию, s  0 - ставка
заработной платы, r  0 - арендная плата за пользование
26
основными фондами), выпишем функцию Лагранжа для
задачи (53)-(58)


L  x , w,  , R, p, q , s, r      p, x  Ax  w   q , w   K  R 
s  R  c x   r (  b x ) 




r   x , p  AT p  sc  rb   w, q  p      q K  R  s  q  
Двойственная задача к задаче (53)-(58) имеет вид
r   min
p  AT p  sc  rb
(59)
(60)
pK 
p  s
s  0, r  0 .
(61)
(62)
(63)
Оптимальные значения функционалов
двойственной задачах совпадают, т.е.
  r  .
в
прямой
и
(64)
Выписывая условия дополняющей нежесткости для задач
(53)-(58) и (59)-(63), получим
p w   p K  Rp 
sR  s c x
(65)
(66)
r  r b x
(67)
 p K  
Rp   sR
(68)
(69)
27
Из приведенных соотношений следует, что в отличие
от задачи (35)-(40) в примере 3, в данной постановке
финансовые потоки для трудящихся и собственников
оказываются разделенными (рис. 4). Действительно, из
(66) и (69) следует выполнение финансового баланса для
трудящихся
sc x  Rp  ,
(70)
а из (64), (67) и (68) следует выполнение финансового
баланса для собственников
 p K  rb x .
Н.Х.
cx
bx
K
rbx
 pK
scx
R
С
Rp
Т
Рис. 4
Используя введенные ранее обозначения, из (60) получим
p  sc   rb  ,
(71)
28
где c    E  AT  c  0 - вектор полных трудовых затрат,
1
b    E  AT  b  0
1
-
вектор
полных
фондоемкостей.
Неотрицательность векторов c   0 и b   0 является
необходимым условием продуктивности модели.
Продуктивность экономической системы означает,
что вектор выпусков не равен тождественно нулю
x  0, x  0 . Кроме того, по условию (см. пример 1) вектор
трудоемкостей c  0 . Тогда из ограничения (56) следует, что
R > 0.
Из условия дополняющей нежесткости
R( p   s )  0 ,
учитывая, что R > 0 , получим
s  p .
Умножая левую и правую часть равенства (71) скалярно на
вектор   0 , получим
s  s (c   )  r (b   ) ,
откуда
 1 c 
r  s 
 b 

.

Последнее равенство означает возникновение еще одного
необходимого условия экономической продуктивности. При
29
наличии основных фондов ( F > 0 ) ставка арендной платы за
пользование фондами r > 0 , если трудозатраты на
r r
возобновление единицы рабочей силы c * g не превосходят
производительности этой единицы, т.е. выполняется
неравенство c   1 .
С учетом последнего равенства из (71) имеем
  1 c   
p  sc  
b .
b 


(72)
Соотношение (72) означает модификацию основного
соотношения трудовой теории стоимости – цена
пропорциональна трудовым затратам, но с поправкой,
соответствующей второму слагаемому в скобках в правой
части равенства (72).
Пример 5. Экономика России конца 20-го века
Рассмотрим пример схематичного описания открытой
экономики, в которой главенствующая роль принадлежит
классу собственников, заинтересованному в прибыли от
экспортно-импортных операций и весь продукт, не
задействованный в производстве и распределении между
членами
привилегированного
класса
собственников,
вывозится. Такая ситуация была характерна, например, для
периода после распада СССР. Обозначим через  - вектор
мировых цен на экспортируемые и импортируемые товары, а
через w - сальдо экспорта и импорта. Тогда прибыль от
экспортно-импортных операций определяется величиной
 w . Как и в предыдущих примерах, предположим, что
внутренне потребление продукта (с учетом импорта)
осуществляется комплектами, определяемыми структурой
30
   1 , ,  n   0 . Таким образом, на конечное потребление
расходуется
произведенный
внутри
страны
и
импортированный продукт в объеме R , где R  0 суммарное количество трудовых ресурсов в системе. Весь
нераспределенный продукт экспортируется. Правящая элита
заинтересована в максимальном вывозе капитала. Поставим
задачу максимизации валютной выручки государственной
элиты
 w  max
(73)
при ограничениях
x  Ax  R  w
cxR
(74)
(75)
bx
R  0, x  0
(76)
(77)
Сохраняя введенные в предыдущих примерах
обозначения,
припишем
двойственные
переменные
n
ограничениям (74)-(76) p  R , s  0, r  0 соответственно,
где p  R n - вектор цен на производимую продукцию, s  0 ставка заработной платы, r  0 - арендная плата за
пользование основными фондами.
Функция Лагранжа для задачи (73) - (77) имеет вид
L  x , w, R, p, s, r    w   p, x  Ax  R  w  
s  R  c x   r (  b x ).
31
Перегруппировка слагаемых
двойственной задачи
L  x , w, R, p, s, r  

дает
функцию
Лагранжа

r  x , p  AT p  sc  rb  w   p   R  s  p   .
Следовательно, двойственная задача к задаче (73)-(77)
имеет вид
r  min
p  AT p  sc  rb  0
p 
p  s
r  0, s  0
(78)
(79)
(80)
(81)
(82)
Условие (80) означает, что исходная система огранический
задачи совместна только в случае совпадения мировых и
внутренних цен. Учитывая (80), ограничение (79) можно
переписать в мировых ценах
  AT  sc  rb
(83)
Аналогично рассуждениям, приведенным в примере
4, условие продуктивности системы означает ненулевой
выпуск хотя бы одного товара из номенклатуры x  0, x  0 .
При условии положительности вектора трудоемкостей c  0
из ограничения (75) получим, что R > 0 . Тогда,
согласно
условиям дополняющей нежесткости,
s   ,
32
и, согласно (83),
  AT   (  )c  rb .
(84)
Учитывая (84), из условия дополняющей нежесткости


x   AT   sc  rb  0 ,
получим
 i   AT i  (  )ci  rbi , i  1, , n ,
причем для всех i : xi  0
 i   AT  i  (  )ci  rbi .
Следовательно,
при
условии
ненулевого
производства хотя бы одного продукта x  0, x  0
r  max
i
 i   AT   i     ci
bi
.
объема
(85)
Равенство (85) соответствует дополнительному условию
экономической продуктивности системы, которое можно
интерпретировать как рентабельность производства в
мировых ценах
33
max  i   AT       ci   0 .
i


i
(86)
Условие рентабельности производства в мировых ценах
означает, что экономически оправданным является
производство только прибыльной на внешнем рынке группы
товаров. Напомним, что отбор такой группы товаров уже
наблюдался в примере 1, описывающем колониальную
экономику доиндустриальной эпохи. Таким образом,
несмотря на развитую промышленность, в примере 5
происходит
возврат
к
правилам
экономического
регулирования, характерным для государств с аграрносырьевой ориентацией экономики до индустриального
периода.
Литература
1. Ашманов С.А. Введение в математическую
экономику.// М.: Наука, 1984, 296с.
2. Обросова Н.К., Оленев Н.Н. Математические модели
в экономике. Методическое пособие по практической
работе. \\ Изд-во РУДН., 2004, 44c.
3. Данциг Г.Б. Линейное программирование, его
применения и обобщения. М.: Прогресс, 1966.
4. Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х
книгах. Кн. 1. /Пер. с англ. - М.: Мир, 1985. -479 с.
34