Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися

ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К РЕШЕНИЮ ДУ I ПОРЯДКА С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ
ПЕРЕМЕННЫМИ.
1. Найти уравнение линии, проходящей через точку (2;1) и имеющей касательную, угловой
коэффициент которой равен 3х+1.
Ответ: y 
3 2
x  x7
2
2. Тело, находящееся в состоянии покоя, начинает двигаться со скоростью, пропорциональной
пройденному пути. Найти уравнение движения тела, если от начала отсчета времени оно
проходит 10 м за 2 сек., а 40 м за 4 сек. Найти путь, пройденный телом за 6 сек.
Ответ: s  5  2 t 1 ; 160 м.
3. При брожении скорость прироста действующего фермента пропорциональна его наличному
количеству. Через 2 часа после брожения наличное количество фермента составляет 2 грамма,
а через 3 часа- 3 грамма. Каково было первоначальное количество фермента?
Ответ:
8
гр.
9
4. Металлический шар, имеющий в начале опыта температуру 120С, охлаждается струей воды
температуры 00С. Через 8 минут шар охладился до температуры 90С. Считая скорость
охлаждения пропорциональной разности между температурой тела и температурой
окружающей среды, найти:
1) в течение какого времени шар охладится до температуры 70С?
2) какова будет температура шара через 30 минут после начала охлаждения?
Ответ: 1) ∼15 мин; 2) ∼40С.
5. К началу радиоактивного распада имели 100 грамм радия. Сколько радия распадается за 200
лет, если период его полураспада равен 1590 годам? (скорость
распада
радия
пропорциональна его количеству в данный момент времени)
Ответ: 91,63 гр
6. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный момент времени
пропорциональна его фактической стоимости. Начальная стоимость оборудования равна
100000 крон. Какова будет его стоимость через 10 лет, если через один год она составляла
90000 крон?
Ответ: 34868 крон
7. Катер движется в спокойной воде со скоростью v0=20 км/ч. Определить скорость катера
через 2 мин после выключения двигателя, если за 40 сек она уменьшилась до v1=8 км/ч.
Сопротивление воды пропорционально скорости движения катера.
Ответ: 1,28 км/ч.
9
Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными
1. Найти уравнение линии, проходящей через точку (2;1) и имеющей
касательную, угловой коэффициент которой равен 3х+1.
Решение:
Согласно условию, y   3 x  1 или
dy
 3 x  1 . Решив полученное уравнение,
dx
найдем общее решение, т.е. семейство интегральных кривых.
Разделяем переменные:
dy  3x  1dx
 dy   3x  1dx
y
3x 2
 x  C - это общее решение ДУ.
2
Найдем С. Для этого подставим начальное условие х=2, у=1 в общее решение:
3  22
2C
2
1  8  C , откуда С= -7.
1
Следовательно, частное решение имеет вид y 
3x 2
 x7.
2
Семейством интегральных кривых, соответствующих общему решению ДУ, являются
параболы y 
b
1
3x 2
 .
 x  C с вершинами, расположенными на прямой x  
2a
3
2
Найденному частному решению соответствует парабола с вершиной, расположенной на
прямой x  
1
, проходящая через точку (2; 1) и пересекающая ось ОУ в точке (0;-7).
3
Ответ: y 
3x 2
 x7
2
2. Тело, находящееся в состоянии покоя, начинает двигаться со скоростью,
пропорциональной пройденному пути. Найти уравнение движения тела,
если от начала отсчета времени оно проходит 10 м за 2 сек., а 40 м за 4
сек. Найти путь, пройденный телом за 6 сек.
Решение:
Обозначим скорость движения материальной точки через v. Как известно,
скорость равна производной пути по времени, т.е. v  s (t ) 
пропорциональна
пройденному
пропорциональности.
10
пути,
т.е.
v
ds
 ks ,
dt
ds
. По условию, скорость
dt
где
k-
коэффициент
Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными
т.о. ДУ данной задачи имеет вид
ds
 ks .
dt
Разделим переменные и найдем общее решение этого уравнения:
ds
 ks
dt
ds
 kdt
s
ds
 s   kdt
∣
dt
s
ln s  kt  C
ln s  ln e kt  ln C
ln s  ln C  e kt
s  C e kt
s  Ce kt
s  Ce kt
Общее решение:
Найдем частное решение, т.е. из всех возможных движений по этому закону найдем такое,
при котором тело проходит 10 м за 2 сек.
Найдем С. Для этого подставим начальное условие s  10, t  2 в общее решение:
откуда
Тогда
10  Ce 2 k ,
10
C  2k .
e
10
s  2 k e kt  10e kt  2 k  10e k (t  2 )
e
(1)
Найдем коэффициент пропорциональности k. Его можно определить из второго условия
s=40, t=4, подставив в (1):
40  10e k ( 4 2) ∣ : 10
4  e 2k
∣
2
1
2  e k -можно оставить так.
Тогда подставим e k  2 в (1), получим частное решение:
s  10  2 t  2 или s  5  2  2 t 2  5  2 t 1
Итак, закон движения тела определяется уравнением s  5  2 t 1 .
(2)
Чтобы найти путь, пройденный телом за 6 секунд, надо в уравнение (2) вместо t подставить 6,
получим:
s  5  2 61  5  2 5  5  32  160 м.
Ответ: уравнение движения тела s  5  2 t 1 ; за 6 сек тело прошло 160 м.
11
Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными
3. При брожении скорость прироста действующего фермента
пропорциональна его наличному количеству. Через 2 часа после
брожения наличное количество фермента составляет 2 грамма, а через
3 часа- 3 грамма. Каково было первоначальное количество фермента?
Решение:
Обозначим количество фермента в момент времени t через х=х(t),
начальный момент – через х0=х(0). Тогда
По условию, х(t) удовлетворяет ДУ
Найдем общее решение ДУ:
а
в
dx
- скорость прироста действующего фермента.
dt
dx
 kx , где k- коэффициент пропорциональности.
dt
dx
dt
 kx
∣
dt
x
dx
 kdt
x
dx
 x   kdt
ln x  kt  C
ln x  ln e kt  ln C
ln x  ln C  e kt
x  C e kt
x  Ce kt
x  Ce kt
Общее решение:
Найдем С: подставим в общее решение начальные условия x=2, t=2
Тогда
Найдем к, если х=3, t=3
Тогда
2  Ce 2 k
2
C  2k
e
2
x  2 k e kt  2e kt  2 k  2e k (t  2)
e
3  2e k
3
ek 
2
3
x  2 
2
t 2
3
Итак, количество фермента в момент времени t определяется уравнением x  2   
2
12
t 2
.
Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными
Теперь надо узнать первоначальное количество фермента, т.е. количество фермента в момент
времени t=0:
3
x0  x(0)  2   
2
Ответ: первоначальное количество
фермента было
2
2
4 8
2
 2   2 
гр.
9 9
3
8
гр.
9
4. Металлический шар, имеющий в начале опыта температуру 120С,
охлаждается струей воды температуры 00С. Через 8 минут шар
охладился до температуры 90С. Считая скорость охлаждения
пропорциональной разности между температурой тела и температурой
окружающей среды, найти:
1) в течение какого времени шар охладится до температуры 70С?
2) какова будет температура шара через 30 минут после начала
охлаждения?
Решение:
Пусть Т=Т(t) – температура шара в момент времени t. Пусть Тс - температура
окружающей среды. Скорость охлаждения шара будет равна производной
условию
dT
. Согласно
dt
dT
 k T  Tc  ,
dt
где k- коэффициент пропорциональности.
т.к. Тс=0, то
dT
 k T  0 
dt
dT
dt
 kT
∣
dt
T
dT
 kdt
T
dT
 T   kdt
ln T  kt  C
После необходимых преобразований, получаем общее решение ДУ:
T  Ce kt
Найдем С: при t=0 температура шара Т=120С,тогда
Подставляем в общее решение:
12  Ce 0 или С=12.
T  12e kt
13
Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными
Найдем k: при t=8 температура шара Т=90С, тогда
9  12e 8 k
9
e 8k 
12
3
e 8k 
4
или
∣ 
8
1
1
 3 8
e  
4
k
t
 3 8
T  12   
4
Тогда
(3)
Получили закон изменения температуры шара в любой момент времени t.
1) Теперь ответим на первый вопрос: в течение какого времени шар охладится до
температуры 70С? Положим Т=7 в уравнении (3):
t
 3 8
7  12   
4
Чтобы выразить из уравнения t, надо прологарифмировать обе части уравнения и
воспользоваться свойствами логарифма:
t
 3 8
log 7  log 12   
4
t
 3 8
log 7  log 12  log  
4
t
3
log 7  log 12  log
8
4
t
3
log  log 7  log 12
Выразим t:
8
4
t log 7  log 12

8
log 0,75
8  (log 7  log 12) 8  (0,8451  1,0792)  8  0,2341 1,8728
откуда t 



 15 мин.
log 0,75
 0,1249
 0,1249
0,1249
2) Для ответа на второй вопрос ( какова будет температура шара через 30 минут после
начала охлаждения?) положим в равенстве (3) t=30:
30
откуда
T  12  0,753,75
3 8
T  12   
4
 12  0,3400  4,08  4 0 C
Ответ: 1) в течение 15 минут шар охладится до температуры 70С; 2) через 30 минут после
охлаждения температура шара будет ∼40С.
14
Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными
5. К началу радиоактивного распада имели 100 грамм радия. Сколько радия
распадается за 200 лет, если период его полураспада равен 1590 годам?
(скорость распада радия пропорциональна его количеству в данный
момент времени)
Решение:
Пусть R=R(t) -
первоначальное количество.
количество
радия
в
момент
t.
Пусть
Тогда скорость распада радия равна
dR
dt
R0=R(0)-
его
и является
отрицательной величиной, т.к. R с возрастанием t убывает. Согласно условию, имеем
dR
 kR , где k- коэффициент пропорциональности.
dt
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
dR
dt
 kR
∣
dt
R
dR
  kdt
R
dR
 R    kdt
ln R  kt  C
и т.д.
R  Ce  kt
Общее решение
Для определения произвольной постоянной С воспользуемся начальными условиями
R=R0=100 в момент t=0:
100  Ce 0 , откуда С=100.
Поэтому закон распада имеет вид
R  100e  kt .
(4)
Для нахождения k используем следующие условия: R 
50  100e 1590k
1
 e 1590k
∣ 
2
отсюда
1
1
R0   100  50 при t=1590;
2
2
1590
1
1
e k
e
k
 1  1590
 
2
 2

1
1 1590
2

1
1590
t

1590
R  100  2
Подставляем e  k в (4) и получаем
(5)
Теперь ответим на вопрос: сколько радия распадается за 200 лет? Подставляем t=200 в
уравнение (5) и получим:
R(200)  100  2
Ответ:

200
1590
 100  2 0,126  100  0,9163  91,63 гр.
количество радия, оставшегося нераспавшимся через 200 лет будет равным 91,63
гр.
15
Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными
6. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в данный
момент времени пропорциональна его фактической стоимости.
Начальная стоимость оборудования равна 100000 крон. Какова будет
его стоимость через 10 лет, если через один год она составляла 90000
крон?
Решение:
Пусть х=х(t)- стоимость оборудования в момент времени t. х0=х(0) - начальная
стоимость оборудования. Тогда
dx
- скорость обесценивания оборудования и является
dt
отрицательной величиной, т.к. х с возрастанием t убывает. Согласно условию, имеем
dx
  kx , где k- коэффициент пропорциональности.
dt
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
dx
dt
  kx
∣
dt
x
dx
 kdt
x
dx
 x    kdt
ln x  kt  C
Делаем необходимые преобразования и получаем общее решение
x  Ce  kt
Для определения произвольной постоянной С воспользуемся начальными условиями
100000  Ce 0 , откуда С=100000.
х=х0=100000 в момент t=0:
Поэтому уравнение по которому определяется стоимость оборудования, имеет вид
x  100000e  kt .
(6)
Для нахождения k используем следующие условия: x  90000 при t=1; отсюда
90000  100000e  k
9
 e k
10
Подставляем e
k
в (6) и получаем
9
x  100000   
 10 
t
(7)
Теперь ответим на вопрос: какова будет стоимость оборудования через 10 лет? Подставляем
t=10 в уравнение (7) и получим:
10
910
910
9
5
x(10)  100000     10  10  5  34867,84  34868 крон
10
10
 10 
Ответ: стоимость оборудования через 10 лет составит 34868 крон.
16
Задачи, сводящиеся к решению ДУ I порядка с разделяющимися переменными
7. Катер движется в спокойной воде со скоростью v0=20 км/ч.
Определить скорость катера через 2 мин после выключения двигателя,
если за 40 сек она уменьшилась до v1=8 км/ч. Сопротивление воды
пропорционально скорости движения катера.
Решение:
Пусть скорость движения катера в момент времени t равна v=v(t). Тогда на
движущийся катер действует сила сопротивления воды F= -kv. Но согласно закону Ньютона
F  ma  m
dv
, а следовательно,
dt
dv
dt
 kv ∣ 
dt
mv
dv
k
  dt
v
m
dv
k
 v    m dt
k
ln v   t  C
m
m
или
Делая необходимые преобразования, получим общее решение:
v  Ce
k
 t
m
Постоянную С найдем из начального условия v(0)=20 км/ч:
20  Ce 0 , т.е С=20
Итак, скорость движения катера после выключения двигателя определяется формулой
v  20e
Найдем значение постоянной
t  40 cåê 
e
k

m
k
 t
m
.
. Для этого воспользуемся условием, что при
1
÷ скорость v=8 км/ч:
90
8  20  e
-
k 1

m 90
k 1
 
2
 e m 90
5
e

k
m
2
 
5
∣ 
90
90
90t
2
v  20   
Тогда
5
1
÷ найдем искомую скорость
Положив в равенстве (8) t  2 ìèí 
30
 1
2
v  v   20   
 30 
5
90
1
30
(8)
3
8
32
2
 20     20 

 1,28 км/ч.
125 25
5
Ответ: через 2 минуты после выключения двигателя скорость катера будет 1,28 км/ч.
17