Лекция по МНК и ЗЛП

Метод наименьших квадратов
X
0
0,5
1
1,5
2
Y
-3
-2
0
2,5
7,5
8
6
4
2
0
-0.25
-2
-4
0.25
0.75
1.25
1.75
2.25
Необходимо построить функцию, которая бы
проходила наиболее близко к указанным точкам
y  f  x, a, b, c   a  bx  cx 2
n
n


Q  a, b, c     yi  y  xi , a, b, c      yi  a  bxi  cxi2 


i 1
i 1
xi , y i
n
2
– координаты заданных точек (данные из таблицы)
– количество заданных точек
n
 xi  x1  x2  x3  x4  ...  xn1  xn
i 1
2
n
Q  a, b, c     yi 

i 1

a  bxi  cxi2

n
 дQ
 2  yi  a  bxi  cxi2   0,

i 1
 дa
n
 дQ
 2  yi  a  bxi  cxi2   xi   0,

i 1
 дb
n
 дQ

 2  yi  a  bxi  cxi2  xi2  0.
 дc
i 1
 
n
n
n

2
an  b xi  c  xi   yi ,
i 1
i 1
i 1

n
n
n
 n
2
3
 a  xi  b  xi  c  xi   y i xi ,
i 1
i 1
i 1
 i 1
n
n
n
 n
2
3
4
a  xi  b xi  c  xi   y i xi2 .
 i 1
i 1
i 1
i 1
2
X
Y
X2
0
-3
0
0,5
-2
0,25
1
0
1
1,5
2,5
2,25
2
7,5
4
Сумма
5
5
7,5
X3
0
0,125
1
3,375
8
12,5
X4
XY
X2Y
0
0
0
0,063
-1
-0,5
1
0
0
5,063
3,75
5,625
16
15
30
22,13
17,75
35,13
Система уравнений для определения коэффициентов сглаживающей функции
5a  5b  7,5c  5,

5a  7,5b  12,5c  17, 75,
7,5a  12,5b  22,13c  35,13.

Конечный вид сглаживающей функции
y  2,886  0, 243 x  2, 429 x 2
8
6
y  2,886  0, 243 x  2, 429 x 2
4
2
0
-0.25
0.25
-2
-4
0.75
1.25
1.75
2.25
Задачи линейного программирования
(оптимизация)
Найти максимальное значение целевой функции
F  x1; x2   2 x1  5x2  max
при следующих ограничениях
 x1  x2  127,

7 x1  x 2  83,
 x  0, x  0.
2
 1
x1 , x2
– система ограничений
– параметры оптимизации
Построение математических моделей ЗЛП
Задача планирования производства продукции
Краска для
– цена продажи 1 ед.
2 ден.ед.
наружных работ А
Потребление на 1 ед.
Пигмент
1, т
Олифа
2, т
Склад
Наименование
Запас ресурса,
ресурса
т
Пигмент
6
Олифа
12
Неизвестные
параметры
оптимизации
Краска для
– цена продажи 1 ед.
3 ден.ед.
внутренних работ B
Потребление на 1 ед.
Пигмент
2, т
Олифа
3, т
x1
– количество краски А, ед.
x2
– количество краски B, ед.
Математическая модель
F  X   F  x1; x 2   2 x1  3x 2  max
– целевая функция
Пусть краски А требуется не более 4 ед.
Система ограничений
 x1  2 x2  6,
2 x  3x  12,
 1
2

 x1  4,
 x1 , x2  0.
– ограничение по запасам Пигмента
– ограничение по запасам Олифы
– ограничение по производству краски А
– нельзя производить отрицательное кол-во краски
Задача о составлении оптимального рациона
Требуется в сутки
Наименование
Не менее чем
Кормовые ед.
16,1 кг.
1816 г.
Перевариваемый протеин
Содержание питательных веществ в 1 кг корма и себестоимость кормов
Показатель
Комбикорм
Сено
Силос
Кормовые единицы, кг
Переваримый протеин, г
1
160
0,5
60
0,2
30
Себестоимость 1 кг корма, руб.
4,2
0,9
0,6
Согласно физиологическим особенностям животных в рационе должно
содержаться не менее 31% комбикормов и не более 26% сена от общей
потребности в кормовых единицах.
.
Математическая модель
Целевая функция – общая стоимость суточного рациона кормления:
F  X   4, 2 x1  0,9 x 2  0, 6 x3  min
Составим систему ограничений:
1) условие по содержанию кормовых единиц в рационе:
x1  0,5x2  0, 2 x3  16,1
2) условие по содержанию перевариваемого протеина в рационе:
160 x1  60 x2  30 x3  1819
3) условие по содержанию комбикорма в рационе (не менее 31%) :
x1  4,991
4) условие по содержанию сена в рационе (не более 26%)
0,5 x2  4,186
5) условие неотрицательности количества корма каждого вида:
x1  0, x2  0, x3  0
Транспортная задача
Цель – минимизация суммарных расходов на все перевозки
Транспортная задача открытого типа
70
Математическая модель
xij
– количество перевозимой продукции от поставщика номер i к потребителю номер j
X   x11, x12 , x13 , x21, x22 , x23 , x31, x32 , x33 
Целевая функция – общая стоимость всех перевозок:
F  X   5 x11  10 x12  12 x13  8 x 21  6 x 22  4 x 23  0 x31  0 x32  0 x33  min
Общий вид целевой функции
m
n
F  X    cij xij  min
i 1 j 1
c ij
– элементы матрица стоимостей перевозок
5

C  8

0
10
6
0
12

4

0 
Система ограничений
ВЫВОЗ ПРОДУКЦИИ ОТ
ПОСТАВЩИКА = ЗАПАСУ
x11  x12  x13  120
Аналогично для остальных поставщиков:
ПРИВОЗ ПРОДУКЦИИ К
ПОТРЕБИТЕЛЮ = ПОТРЕБНОСТИ
x11  x21  x31  60
Аналогично для остальных потребителей:
x21  x22  x23  70
x12  x22  x32  100
x31  x32  x33  50
x13  x23  x33  80
Пример решения в MS EXCEL
Постановка задачи
Используемое сырьё
Доски, м
Обивочная ткань, м
Рабочее время, чел./час
Стоимость, руб.
Расход сырья на изготовление одного
изделия
1 типа
2 типа
Кол-во сырья в
распоряжении
фабрики
2
0,5
2
80
4
0,25
2,5
120
440
65
320
max
x1 – число изготовленных стульев
x 2 – число изготовленных кресел
F  X   80 x1  120 x2  max – целевая функция прибыли
Система ограничений
2 x1  4 x2  440,
2 x1  4 x2  440,
0,5 x  0, 25 x  65,
0,5 x  0, 25 x  65,


1
2
1
2


2 x1  2,5 x2  320,
2 x1  2,5 x2  320,
 x1  0, x2  0,
 x1  0,
 x2  0.
Оформление страницы MS EXCEL
Использование Надстройки «Поиск решения»
Результаты решения в MS EXCEL