белорусский государственный университет механико

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
кафедра нелинейного анализа и аналитической экономики
Старовойтова Марина Александровна
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗЛИЧНЫХ
КЛАССОВ ПОЛОЖИТЕЛЬНО
ОДНОРОДНЫХ ФУНКЦИЙ С
ПОМОЩЬЮ ЭКЗОСТЕРОВ
Руководитель
Гороховик В.В.
Содержание
Актуальность
Цели и задачи
Объект и предмет исследования
Основные результаты
Научная новизна
Положения, выносимые на защиту
Актуальность
В последние десятилетия наблюдается
повышение
интереса
к
положительно
однородным функциям. В значительной мере
это обусловлено развитием негладкого
анализа, т.е. анализа функций и отображений,
которые не являются дифференцируемыми в
классическом
смысле.
В
теории
дифференцирования негладких функций
именно положительно однородные функции
играют роль локальных аппроксимаций.
Объясняется это тем, что различные
производные по направлениям являются
положительно однородными функциями.
Цели и задачи
 получить классификацию
положительно однородных функций;
 сформулировать и доказать критерии
принадлежности положительно
однородных функций каждому из
полученных классов в терминах
характеристический свойств верхних и
нижних экзостеров.
Объект и предмет исследования
 Объект исследования:
различные классы положительно
однородных функций.
 Предмет исследования:
характеристические свойства
экзостеров, соответствующих
положительно однородным функциям.
Основные результаты
Классификация положительно
однородных функций
Характеристика класса непрерывных
положительно однородных функций в
терминах экзостеров
Теорема 1.
Положительно однородная функция
непрерывна на
тогда и
только тогда, когда для существуют
как нижний, так и верхний экзостеры.
Характеристика класса липшицевых
положительно однородных функции в
терминах экзостеров
Теорема 2.
Положительно однородная функция
является липшицевой на
тогда и только тогда, когда для
существует равномерно ограниченный на
единичной сфере верхний экзостер
или, эквивалентно, тогда и только тогда,
когда для существует равномерно
ограниченный на единичной сфере
нижний экзостер.
Характеристика класса разностносублинейных функций в терминах экзостеров
Теорема 3.
Положительно однородная функция
является разностно-сублинейной
тогда и только тогда, когда ограничена на
единичной сфере и для нее существует
верхняя выпуклая аппроксимация
такая, что семейство
где
является верхним экзостером функции.
Характеристика класса разностносублинейных функций в терминах экзостеров
Теорема 4.
Положительно однородная функция
является разностно-сублинейной
тогда и только тогда, когда ограничена на
единичной сфере и для нее существует
нижняя вогнутая аппроксимация
такая, что семейство
где
является нижним экзостером функции.
Характеристика класса кусочно-линейных
функций в терминах экзостеров
Теорема 5.
Положительно однородная функция
является кусочно-линейной
тогда и только тогда для функции
существуют конечный верхний и
конечный нижний экзостеры.
Научная новизна
Установленные здесь критерии
являются новыми и являются
углублением и конкретизацией
результата, полученного Демьяновым
В.Ф. и Рубиновом А. М. для
полунепрерывных сверху (снизу)
положительно однородных функций.
Положения, выносимые на
защиту
 классификация положительно
однородных функций;
 теоремы-характеристики полученных
классов положительно однородных
функция, сформулированные и
доказанные в терминах экзостеров
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!