МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по теме “Равномерное и равнопеременное

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по теме “Равномерное и равнопеременное
движение. Движение по окружности” для
абитуриентов физического факультета
1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
(ЧАСТИЦЫ)
1.1. Основные понятия
Перемещением материальной точки (частицы) за некоторый промежуток времени
называется вектор, проведенный из начальной в конечную точку траектории, пройденной
частицей за этот промежуток времени. Из рис. 1 видно, что вектор перемещения
y
_
Δr равен изменению радиус-вектора
Пройденный путь - S – скалярная
1
величина, равная расстоянию,
∆r
пройденному частицей по ее траекто_
_
2
рии. При прямолинейном движении
r1
r2
в одном направлении пройденный путь
и модуль перемещения совпадают: S =
_
= | Δr
|. Во всех остальных случаях
_
x
| Δr |<S
Рис. 1
Скорость – вектор, характеризующий быстроту изменения перемещения частицы во
времени относительно тела отсчета.
Ускорение – вектор, характеризующий быстроту изменения скорости частицы во
времени.
1.2. Равномерное прямолинейное движение
Равномерным прямолинейным движением называется такое движение, при котором
частица движется по прямой линии и за любые равные промежутки времени проходит
равные пути.
При этом скорость равна перемещению, деленному на время:
_
___________
v = Δr / t
(1)
Из формулы видно, что при равномерном движении вектор скорости постоянен:
_
v=const.
Направим ось координат Х вдоль траектории в ту же сторону, куда движется частица.
Проекции радиус-вектора, перемещения и скорости на эту ось равны соответственно r ,
Δr и v , т.е. модулям этих векторов. Поэтому
v = Δr / t = S / t
(2)
S = vt
(3)
Для координаты частицы в момент времени t имеем:
x = x0 + S = x0 + vt
(4)
где x0 - координата в начальный момент времени.
v
S
v3
v2
v1
v1
v2
v3
S
0
x0
X
v
t
t
x
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
На рис.2 показаны траектория, координаты частицы в начальный момент времени и в
момент t, а также скорость и пройденный путь; на рис.3 – графики зависимости скорости
от времени для трех различных равномерных движений со скоростями v1, v2 и v3, а на
рис. 4 – графики зависимости пути от времени для этих трех движений.
В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду (м/с). Применяются и
внесистемные единицы: км/ч, км/с и др.
1.3. Неравномерное движение. Средняя и мгновенная скорости. Ускорение
При неравномерном движении скорость изменяется во времени. Отношение
_
перемещения Δr к промежутку времени Δt, за который это перемещение произошло,
определяет среднюю за этот промежуток времени скорость:
_
_
vср = Δr / Δt
(5)
Иногда под средней скоростью понимают скалярную величину, равную отношению
пути S, пройденного телом за промежуток времени t, к этому промежутку:
vср = S / t
(6)
Именно эта величина имеется в виду, когда говорят о средней скорости автомобиля или
поезда.
Движение частицы в данный момент времени характеризуется мгновенной скоростью.
Это предел, к которому стремится средняя скорость при бесконечном уменьшении
промежутка времени Δt:
_
_
v = lim Δr / Δt
Δt → 0
(7)
v0
vA
A
B
vB C
vc
Рис. 5
Мгновенная скорость частицы в данной
точке
траектории
направлена
по
касательной к траектории в этой точке, что
иллюстрирует рис. 5.
Как видно из последней формулы,
проекции скорости на оси координат
равны:
vx = lim Δ x / Δt = dx / dt = x ' ,
Δt → 0
vy = lim Δ y / Δt = dy / dt = y ',
Δt → 0
vz = lim Δ z / Δt = dz / dt = z ' ,
Δt → 0
_
v = lim|Δr| / Δt = lim ΔS / Δt = dS / dt = S'.
Δt → 0
Δt → 0
Таким образом, проекции скорости являются производными координат по времени, а
модуль мгновенной скорости – производной пути по времени.
Изменение скорости за промежуток времени Δt, поделенное на величину этого
промежутка, дает среднее за это время ускорение частицы:
_
_
aср = Δv / Δt
(8)
Ускорение в данный момент времени получим, взяв предел среднего ускорения при
Δt → 0:
_
_
a = lim Δv / Δt
(9)
Δt → 0
Единица измерения ускорения в СИ - м/с2.
Из последней формулы видно, что проекции ускорения на оси координат равны
производным соответствующих проекций скорости по времени или вторым производным
координат по времени:
ax = dvx/dt = vx = x,
ay = dvy/dt = vy = y,
az = dvz/dt = vz = z,
Если частица участвует одновременно в нескольких движениях, то ее результирующие
перемещение, скорость и ускорение находятся как векторные суммы соответственно
перемещений, скоростей и ускорений ее отдельных движений:
_
_
_
Δr = Δr1 + Δr2 +…
_
_
_
(10)
v = v1 + v2 +…
_
_
(11)
_
a = a1 + a2 +…
(12)
1.4. Равнопеременное движение
Равнопеременным движением называется движение с постоянным ускорением. При
этом
_
_ _
a = (v - v0 )/ t,
(13)
_
где v0 - скорость частицы в начальный момент времени (начальная скорость), v - скорость
в момент времени t.
_
Если равнопеременное движение прямолинейно, т.е. скорость v меняется только по
_
_
модулю, то ускорение a, как и v, направлена вдоль траектории и удобна с последней
_
совместить координатную ось Х, направив ее одинаково с вектором v0. Тогда можно
записать:
a = (v - v0 )/ t,
_ _
_
(14)
где v0, v и a - проекции векторов, соответственно v0, v и a на ось Х. Эти проекции
равны модулям векторов с положительным или отрицательным знаком. При ускоренном
движении a > 0, при замедленном a < 0. В последнем случае ускорение направлено
_
противоположно v0.
Из последней формулы следует:
v = v0 + at
(15)
На рис. 6 представлены графики зависимости скорости от времени при
равноускоренном и равнозамедленном движениях при одной и той же начальной
скорости. Зависимость v от t представляет собой линейную функцию; величина
ускорения служит угловым коэффициентом и равна тангенсу угла наклона α графика к
оси t.
v
a>0
Для равнозамедленного движения, когда a<0,
α>0
угол α<0. Видно также, скорость
v
v0
становится отрицательной, т.е. частица
α<0
начинает двигаться в α<0 обратном
a<0
направлении. Теперь скорость и ускорение
совпадают по направлению, и движение
0
t1
t
является ускоренным.
Рис. 6
Чтобы найти зависимость пути от времени, рассмотрим, для определенности,
равноускоренное движение и воспользуемся графиком скорости (рис.7):
S = vсрt
(16)
Поскольку скорость растет со временем
линейно, ее среднее значение равно сред-
нему арифметическому начального и конечного значений:
v
v
vср
v0
t
t
0
vср = (v0 + v) / 2
Рис. 7
Учитывая, что v = v0 + at , получаем:
vср = v0 + at/2,
или:
S = v0t + at 2 /2
x = x + v0t + at 2 /2
(17)
(18)
Из формулы (16) видно, что пройденный путь графически изображается площадью
прямоугольника, заштрихованного на рис. 7. Из рисунка видно, что эта площадь равна
площади трапеции, ограниченной графиком, осями координат и ординатой
соответствующей конечному моменту времени.
Формулу (17) легко получить, исходя из того, что модуль скорости есть производная
пути по времени. В самом деле,
v = S ' = dS/dt,
t
t
t
t
S = ∫vdt = ∫ (v0 + at) dt = ∫ v0dt + ∫ at dt = v0t + at
0
0
0
2
/2.
0
Проекция скорости на ось Х есть производная координаты по времени, которая при
равноускоренном движении отличается от пути лишь начальным значением x0. Поэтому
x = x + v0t + at 2 /2 .
Исключая из формул (15) и (17) t, получаем зависимость между v и S:
______________
v = √ v0 2 + 2aS
(19)
при v0 = 0
_______
v = √ 2aS
(20)
Обратимся теперь к графику скорости, соответствующему a<0 (рис. 8).
На участке движения до моментаt0 vср = =v0/2, так что пройденный путь S1
изображается заштрихованной площадью П1 между графиком и осью t, как и при
ускоренном движении. Этой же площади численно равен модуль перемещения. S1 и
_
|Δr1| определяются по формуле (17) с учетом отрицательного знака a. На втором же
участке движения, при t>t0 частица движется в обратную сторону, так что модуль
перемещения уменьшается.
v
v0
П1
0
t0
t
П2
Рис. 8
Конечное значение модуля перемещения численно равно разности площадей П1 и /72 и
_
может быть вычислено также по формуле (17) (| ∆r | вместо S ) с учетом отрицательного
знака а. Что касается пройденного пути, то он продолжает расти после момента времени t0, и
полный путь численно равен сумма П1 и /72.
S1 и S2 вычисляются по формуле (17), причем для S1 принимается a<0 (соответственно
тому, что a↑↓ v ),a для S2 a > 0 (a↑↑v ). Кроме того, при вычислении S2 начальная
скорость принимается равной нулю, а время отсчитывается от момента t 0 , то есть равно t —
t 0. Итак,
S=|a|(t – t0)
2
/ 2.
(21)
На рис. 9, 10 и 11 представлены графики зависимости от времени ускорения,
скорости, пути и координаты (при x0 = 0) прямолинейного равнопеременного движения.
a
a1
a2
v
v1
S, x
v2
t
x1, S1
v0
x2, S2
S3
x3
a3
Рис. 9
0
Рис. 10 v3 t1
t
0
Рис. 11
t1
t
На рис. 11 показано, что график пути при ускорении a3 < 0 имеет перегиб при t =
= t1; в этот момент времени частица останавливается (v = 0), прежде чем начать движение обратно, и рост S на мгновение останавливается. Координата же после t1 убывает.
Примером равнопеременного движения является свободное
падение
тел,
экспериментально изученное Галилео Галилеем в 90-х г.г. ХУ1 в. Свободным падением
называется движение тела из состояния покоя под действием только силы тяжести на
небольших расстояниях от поверхности Земли. Свободным является падение тела в
вакууме либо когда сила сопротивления среды (воздуха) пренебрежимо мала по
сравнению с силой тяжести. Галилей в 1604 г. установил, что при этих условиях все тела
движутся вниз с постоянным и одинаковым ускорением g = 9,81 м/с2. В дальнейшем
было установлено, что ускорение зависит от широты местности и изменяется в пределах
0,5% своей величины при изменении широты.
Итак, свободное падение является прямолинейным равноускоренным движением с
начальной скоростью и ускорением g, направленным вертикально вниз. Направим ось
вдоль траектории вниз, совместив начало отсчета с начальным положением тела (рис. 12).
Согласно формулам (15), (17) и (18), через время t после начала движения
0
v = gt,
x
h0
g
h
-
x = S = gt2 / 2;
высота же тела над землей равна:
h = h0 - gt2 / 2.
При падении на Землю h = 0:
h0 - gt2 / 2 = 0;
x
________
Рис. 12
t1 =√ 2h0 / g
время падения тела с высоты h0.
Скорость в этот конечный момент падения:
_________
(22)
________
v1 = gt1 = g √ 2h0 / g = √ 2h0 g .
(2)
2. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ С ПОСТОЯННОЙ ПО МОДУЛЮ
СКОРОСТЬЮ
Если скорость при движении частицы по окружности не изменяется по величине, то
такое движение называют равномерным вращением, хотя в строгом смысле слова это
_
движение не является равномерным, так как v≠const (вектор скорости изменяется по
A
направлению).
v2
На рис. 13 показаны два положения частицы А и В,
разделенные промежутком
_
_
времени ∆t и вектора скоростей v1 и v2
в этих положениях.
Модули этих векторов одинаковы:
v
С
r1 B
a
α_
O r2
_
_
v1
_ α
v2
v1 = v2 = v
Рис. 13
Перенеся начало вектора v1 в точку В, можно выполнить вычитание векторов и найти
изменение скорости за время ∆t:
_
_
_
_
∆v = v2 - v1.
При малости ∆t угол поворота α радиус-вектора, равный углу поворота вектора
_
_
_
скорости, мал, и углы между ∆v и любым из векторов v1, v2 мало отличается от
прямого. При этом
_
| ∆v|≈ αv;
α = ∆S / r,
где ∆S – длина дуги АВ, то есть путь, пройденный за время ∆t:
∆S = v∆t:
Из последних трех выражений получаем:
_
| ∆v|≈ (v∆t / r)v = (v2/ r) ∆t;
_
| ∆v|/∆t ≈ v2/ r
В пределе при Δt → 0 последнее равенство становится точным:
_
a = lim|Δv| / Δt = v2/ r
Δt → 0
а вектор ускорения
_
_
a = lim|Δv| / Δt
Δt → 0
_
точно перпендикулярен к v. Он направлен вдоль радиуса к ее центру, поэтому ускорение
при равномерном движении по окружности называется центростремительным. На рис.
13 показано взаимное расположение векторов скорости и ускорения для положения
частицы в некоторой точке С траектории.
2.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 3.1. Самолет летит из пункта А со скоростью v1 = 500км/ч относительно
воздуха в пункт В, расположенный к северу от А на расстоянии L = 1000 км. На всем
пути дует северо-западный ветер со скоростью v2 = 100 км/ч. Через сколько времени
после вылета самолет прилетит в пункт В, если будет лететь по прямой? Под каким
румбом (угол α к направлению из А в В) летчик должен направлять самолет?
Решение. Движение самолета можно считать сочетанием двух равномерных
прямолинейных движений: относительно воздуха со скоростью v1 , направленной к
северо-западу под искомым углом α к северному направлению, и, вместе с воздухом, со
_
скоростью v2, направленной на юго-восток
С
v1
v
под углом ¾ π к северному направлению
α
(рис. 14).
Результирующая скорость, согласно формуле
З
В
(11), равна
α
v = v1 + v2
¾π
_
v2
Ю
Рис. 14
а согласно условию задачи,
направлена по прямой от А к В, то есть на
север. Из рис. 14 видно, что, по теореме синусов,
v1/sin ¾ π = v2/sin α; sin α = (v2 /v1) sin ¾ π ;
sin α = (100/500) √2/2 =0,14.
α ≈ sin α = 0,14 рад ≈ 8˚
По теореме косинусов:
v12 = v2 + v22 - 2 v1 v2 cos¾ π = v2 + v22 + √2 v v2.
Получается квадратное уравнение относительно v
__
v2 + √2 v v2 – (v12 - v22) = 0,
v2 +100 √2 v – 24 ∙ 1002 = 0,
откуда, v = 300√2 ≈ 424 км/ч.
Искомое время полета равно:
t = L/v = 1000/424 ≈ 2,36 ч.
Пример 3.2. Частица начала равнопеременное движение с запада на восток с
начальной скоростью v0 =20 м/с и ускорением a = 0,5 м/с2, направленным на запад.
Найти пройденный путь и перемещение через время t 1 = 0,5 мин и t 2 = 2 мин после
начала движения.
Решение. Направим ось Х
вдоль
_
траектории одинаково с вектором v0, на
З
В
восток, поместив начало отсчета в начальной
точке движения (рис. 15). Проекции на ось Х:
v0x>0, a x<0;
a
0
v0
x
a x = - a = - 0,5 м/с2.
Рис. 15
При отрицательном ускорении движение является равнозамедленным в течение времени
t 0, за которое скорость обращается в нуль (см. рис. 6), а затем – равноускоренным в
обратном направлении. Согласно сказанному в п. 1.4, перемещение за любой промежуток
времени определяется по формуле (17) с учетом того, что ускорение отрицательно, а путь
S = S1 + S2 , где S1 - путь, пройденный на участке замедленногодвижения (t ≤ t 0),
а S2 - путь на участке ускоренного движения (t > t 0).
Из условия
v = v0 - at0 = 0
находим t0:
t0= v0 /a;
t0=20 /0,5 = 40 c.
Отсюда видно, что t 1 = 0,5 мин = 30 с <t
перемещение и путь за время t 1 одинаковы:
, а t
0
2
= 2 мин = 120 с >t0. Поэтому
Δr(t 1)= S(t 1) = v0t 1 - at 12/2;
Δr(t 1)= S(t 1)=20 •30 - (0,5•30•30)/ 2 = 375 м.
За время t 2:
Δr(t 2)= v0t 2 - at 22/2;
Δr(t 2)= 20•120 – (0,5•120•120) /2 = - 1200 м.
_
Прx Δr(t 2)<0, значит к моменту времени t
точки движения.
S(t 2)= S1+ S2;
2
частица оказалась западнее начальной
S1= v0t 0 - at 02/2;
S2 = a(t2 – t0)2/2;
S1=20•40 – (0,5•40•40)/2=400 м.
S2 =0,5(120 – 40)2 / 2 = 1600 м.
S(t 2) = 400 + 1600 = 2000 м.
Как и следовало ожидать, оба пути – S(t 1) и S(t 2) положительны.
Пример 3.3. Дан график зависимости скорости частицы от времени (рис. 16).
Построить графики зависимости от времени ускорения, перемещения и пройденного
пути.
v
Решение. В промежутке времени от 0
до t1 движение равноускоренное без
_
t
начальной скорости, a=const, |Δr|=
=S=at2/2 (отрезок параболы). В
промежутке от t1 до t2 движение
a
равноускоренное с большим ускорением.
_
t
В этом промежутке также|Δr|= S и
графики
перемещения
и
пути
|∆r|, S
представляют собой отрезок параболы.
S
Характерно, что в точке t = t1
оба отрезка параболы имею общую
касательную.
Это связано с тем, что
|∆r|
наклон
касательной
определяется
производной по времени в данной точке
t
t = t1:
Рис. 16
На первом участке:
S=a1t2/2;
S '(t1) = a1t1
На втором участке:
S = v1(t –t1) + a2(t – t1)2/2;
S ' = v1 + a2(t – t1);
S '(t1) = v1 = a1t1,
как и на первом участке.
В момент времени t4 скорость обращается в нуль и затем меняет направление на
_
обратное; с этого момента перемещение уменьшается, и кривая |Δr(t)|в этой точке
меняет максимум. Пройденный путь продолжает увеличиваться и на кривой S(t) в точке
t4 есть лишь перегиб, т.к. скорость возрастания S (равная скорости движения v) на
мгновение обращается в нуль. Второй экстремум на кривой перемещения и,
соответственно, перегиб на кривой пути имеют место при t = t6, когда скорость снова
меняет знак, проходя через нулевое значение.
Пример 3.4. С некоторой высоты падает тело. Через 2 с. с той же высоты падает
второе тело. Через какое время после начала падения первого тела удвоится расстояние,
разделявшее тела в момент начала падения второго тела?
Решение. Оба тела движутся по одной и той же вертикальной прямой с одинаковым и
постоянным ускорением g = 9,8 м/с2. К моменту начала падения второго тела первое
двигалось в течение t1 = 2 с. и удалилось от второго на расстояние
S1 = gt12/2
За искомое время t2 первое тело прошло путь
S2 = gt22/2
Второе тело к этому моменту прошло путь
S3 = g(t2 – t1)2/2
В момент t2 расстояние между телами равно:
S4 = S2 - S3 = gt22/2 - g(t2 – t1)2/2 = g/2(t12 – 2t2t1).
Это расстояние, по условию, вдвое больше, чем S1:
g/2(t12 – 2t2t1)= gt12
Отсюда
t2 = 3/2t1; t2=3 с.
Пример 3.5. Луна обращается вокруг Земли почти по круговой орбите. Радиус орбиты
приблизительно равен r = 385000 км, а период обращения Т = 27,3 суток. Найти
величину центростремительного ускорения Луны при движении вокруг Земли.
Решение.
r = 385000 км = 3,85 •108 м
Т = 27,3 суток = 27,3 • 24 • 3600с
a=?
a = v2/r;
v = 2πr/T;
a = 4π2r/T2;
a = (4•3,14•3,14•3,85•108) /(27,3•24•3600)2 = 2,73•10 -3 м/с2.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Теплоход проходит расстояние 300 км между двумя пунктами по реке вниз по
течению за 10 ч., а обратно за 12 ч. Найти скорость течения реки и скорость
теплохода в стоячей воде, считая скорости постоянными.
(Ответ: 2,5 км/ч; 27,5 км/ч)
2. За какое время скорость поезда при равноускоренном движении увеличилась с 12
до 60 км/ч, если поезд прошел при этом расстояние 800 метров? С каким
ускорением двигался поезд?
(Ответ: 1 мин; 2,2 м/с2)
3. Тело, двигаясь с постоянным ускорением a потеряла 2/3 своей начальной
скорости v0. Найти время, за которое это произошло, и путь, пройденный за это
время.
(Ответ: 2v0/3a, 4v02/9a)
4. Дан график ускорения частицы как функции времени. Построить графики
скорости, перемещения и пройденного пути как функции времени, считая, что
движение начинается из состояния
A
покоя.
0
t
t1
t2
t3
t4
5. Мяч уронили с высокой башни. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти,
какой путь он пройдет в течение 4-й секунды с начала движения?
(Ответ: 44,1 м)
6. Чему равно ускорение пылинки на краю грампластинки диаметром 30 см,
вращающейся с частотой 33 1/3 об/мин?
(Ответ: 18,5 см/с2)
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Физика: Учебник для 1Х класса средней школы. –
М.: Просвещение, 1991.
2. Элементарный учебник физики / Под ред. Г.С. Ландсберга, - Т. 1. Механика.
Теплота. Молекулярная физика. – М.: Наука, 1985. – Гл. 1.
3. Бутиков Е.И., Быков А.А.. Кондратьев А.С. Физика в примерах и задачах. – М.:
Просвещение, 1983. – с. 7 – 14.
4. Гурский И.П. Элементарная физика с примерами решения задач, - М.:
Просвещение, 1984. - с. 23-40; 95-97.