Лекция №1-2

Лекция №1-2.
Тема: «Кинематика материальной точки».
План:
1. Предмет Физика. Механика. Кинематика. Система отчета. Материальная
точка. Траектория. Длина пути. Перемещение.
2. Скорость как производная. Радиус вектора по времени.
3. Ускорение. Равноускоренное движение.
4. Составляющие ускорения. Тангенсальное и нормальное ускорение.
5. Вращательное движение. Угловая скорость и угловое ускорение.
6. Связь угловых и линейных величин.
7. Равномерное движение по окружности.
1.
Понятие механика, физика, кинематика появились в древней Греции в 7-6
вв. до н.э. Еще в древней Греции говорилось о первичности материи и о материальности окружающего наc мира.
Материя существует в виде вещества и полей: гравитационных, электрических, электромагнитных, атомных , ядерных и др.
Задача физиков не только объяснить те или иные явления, но и создать целостное представление о мире. Эйнштейн писал: ''Высшим долгом физиков является поиск тех общих элементарных законов из которых возможно получить картину мира''.
Первым известным физиком механиком в истории человечества был Архимед. Который уделял большое внимание созданию различных приборов в том
числе и военного оборудования.
Механика – (''механе'' –орудие, приспособление, уловка, ухищрение, позволяющие перехитрить природу). В механике рассматривается движение тел.
Механическим движением называется изменение положение тела относительно
других тел с течением времени.
Кинематика – раздел физики в котором изучается движение тел, но не исследуются причины вызывающие это движение.
Для исследования движения вводится понятие материальная точка – тело размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием на котором оно рассматривается (спутник).
Движение рассматривается в пространстве
y
и во времени, относительно тела отсчета, которое
условно считается неподвижным.
A
Тело отсчета, система координат и часы,
x отсчитывающие время, образуют систему отсчета.
y
Чаще всего движение рассматривается в
Z
декартовой системе координат. Положение точки
z
x
в системе координат определяется координатами

х, у, z или радиус вектором r провиденным из начала координат в данную точку.
При движении (  ) ее координаты изменяются с течением времени, то есть явля-
ются некоторыми функциями времени и движение (  ) описывается тремя скалярными уравнениями x  x(t ), y  y(t ), z  z (t ) или одним эквивалентным векторным уравнением r  r (t ) , При своем движении точка описывает траекторию.
Траектория – это линия вдоль которой движется тело. Рассмотрим перемещение точки из положения А в положение В за промежуток времени t .
АВ – траектория
S - путь или длина пути – это длина траектории.
S - скаляр, измеряется в [м].
Положение точки в А характеризуется радиусом вектором r0 , а положение точки в В характеризуется радиус векторам r .
r  r  r0 - вектор перемещения – направленный отрезок прямой соединяющий начальную
и конечную точку движения.
r - вектор – характеризуется направлением
и численным значением.
y
A
B
o
x
z
2.

Для характеристики движения вводится понятие скорость. Скорость  –
это физическая величена характеризующая быстроту и направление движения.
Пусть материальная точка движется таким образом, что в начальный момент

времени ее положение описывается радиус вектором r0 , а спустя промежуток
времени t радиус вектором r .

В положении А точка имела скорость  0 , а в поυ

ложении В скорость  . За промежуток времени t точA
ка совершала перемещение r . Разделив перемещение
B
 r на соответствующие этому перемещению время  t
o
υ
венную скорость:
r
(1)- средняя скорость,
t
Предел средней скорости при t  0 , дает мгно-
получим отношение   
r dr

t  0 t
dt
  lim    lim
t 0
(2).
Мгновенная скорость это первая производная радиус вектора по времени.
При t  0 , S  r и численное значение мгновенной скорости определяется:
  lim
t 0
S dS

t dt
(3).
Численное значение мгновенной скорости определяется первой производной пути по времени:

dS
dt
(3).
Выразив S из (3) уравнения, получим dS    dt . Для того чтобы найти
пройденный путь последнее выражение необходимо проинтегрировать от t до
t  t :
S
t  t
t
  dt .

Предположим, что движение равномерное, т.е.   const , то при прямолинейном
равномерном
движении длина пути и перемещение совпадают:

формула пути при равномерном движение.
S  S    t S - путь – м.
Δ t - время – с.
  скорость  м с .
Равномерным называется движение с постоянной скоростью или когда тело
(точка) за равные промежутки времени проходит равные расстояния.
3.
Ускорение – физическая величина, которая характеризует быстроту изменения скорости как по величине так и по направлению. Пусть за время  t, скорость изменилась на   . Величина среднего ускорения определяется по формуле:
a  

a - ускорение - м
с2

t
- среднее ускорение
(4).
.
Предел к которому стремится среднее ускорение, при  t→0 называется
мгновенным
ускорением:



 d
a  lim

- мгновенное ускорение первая производная скорости по времеt  0 t
dt
ни.
Мгновенное ускорение определяется
по формуле:

 d
a
;
(5)
dt
 dS
Известно, что скорость – это   , подставим значение скорости в форdt
2
d dS d S
мулу ускорения: a    2 - ускорение – это вторая производная пути по
dt dt dt
времени,
a = const – равноускоренное движение с постоянным ускорением.

Пусть точка имела начальную скорость  0, а спустя время t - - конечная
 
  
   0
    0  a  dt
скорость, тогда a 
- скорость при равнопеременном
t
 
движении.   a  dt - без начальной скорости. Для определения пути проинтегриt
t
at 2
руем последнее выражение от 0 до t. S   dt    0  at S   0 t 
.
2
0
0
Путь без учета времени при равноускоренном движении.
S
 2   02
 при  0  0, S 
2a
учета времени.
2
2a
,   2aS
-
скорость при равномерном движении без
4.
При прямолинейном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и ускорение, и скорость направлена вдоль одной прямой при ускоренном движении в одну сторону при замедленном в разные.
При криволинейном движении ускорение может составлять со скоростью



некоторый угол α. Разложим а на две составляющие а n - нормальное и а - тангенциальное ускорение,
лярно скорости.
a -направлено
вдоль скорости и
a n   перпендику-
α

а - тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по величине и


d
определяется по формуле а 
;
dt

а n - характеризует изменение скорости  по направлению и определяется по

формуле а n 
2
R
;
2
2
2
2
2
из чертежа видно, что по теореме Пифагора а  а n  a , а  аn  a .
Рассмотрим примеры движения точки, в случае если:
1) a n  0
a  0 - равномерное прямолинейное движение
a  0 - равномерное движение по окружности
2) an  const
a  const - равноускоренное движение по окружности
3) an  const
a  const - равноускоренное прямолинейное движение.
4) an  0
Выведем формулу нормального ускорения.

А
0
R
О


ΔS
α
R
С
В



 n


D


Пусть точка, имея скорость υ0 в А, переместилась в положение В и ее ско

рость стала  . Для того чтобы найти изменение скорости  , перенесем парал
лельным переносом  из В в А.
Из подобия равнобедренных треугольников ОАВ и АДС следует:
CD 
 ,
AB R
 n  2

,
t
R
CD   n ,
t  0
 n 

умножим на 

  t R
 n d n
2


 an ,
an 
. (6)
t
dt
R
AB    t ,
lim
t 0
5.
Вращательное движение.
Абсолютно твердым телом, называется тело деформациями которого можно пренебречь в данных условиях.
Вращательным называется движение, при котором все точки твердого тела
описывают окружность центр которых лежит на неподвижной оси ОО/.
Для характеристики вращательного движения вводится понятие угола поворота -  .
Пуст материальная точка вращается по окружности и за время t точка перешла из положения А в положение В.
Δφ

А




I
В
II
О′
За Δt радиус совершил поворот на угол  . Отношение угла поворота ко
времени

, за которое этот поворот произошел, называется средней угловой
t
скоростью:
  

t
(7)
Перейдя к пределу в (7) уравнении при t  0 мы получим значение мгновенной угловой скорости:
 d

dt
t 0 t
d
 
dt
  lim
(8)
(9)
- угловая скорость – первая производная угла поворота радиуса Δφ по времени.
    рад   с 1 
 с 
Направление определяется правилом правого винта:
О
R
О
A




О
Если вращательное движение рукоятки винта совпадает с направлением
линейной скорости  , то поступательное движение винта укажет направление
угловой скорости  .
Предположим, что за промежуток времени t угловая скорость  получи-
   


 2
(10)
среднее
угловое
ускорение
t
 с
Перейдя к пределу при Δt→0 в последней формуле получим:
ла приращение  , тогда
  lim
t  0
рад 
.

 d

t
dt , - значение мгновенного углового ускорения.
d d  d  d 2

 

dt dt  dt  dt 2

(11)
(12)
Угловое ускорение есть первая производная угловой скорости по времени
или вторая производная угла поворота радиуса по времени.


6.
Вывод формулы связи линейных и угловых величин.

A
R

R





S
B
Из математики известно, что S  R   при t  0 , dS  R  d , так как
 
dS
dS R  d

 R - связь между угловой и линейной скоростями.
, то  
dt
dt
dt
(13)
  R 
Тангенциальное
a 
ускорение:
d R   
d
R
 R .
dt
dt
a 
d
,
dt
  R  ,
то
a  R - связь между тангенциальным и угловым ускорениями.
Линейные величины равны угловым, умноженным на радиус.
2
Известно, что a н 
; (6). Линейная скорость   R (13) подставим знаR
чения в формулу центростремительного ускорения, то
aн 
 2R2
R
  2 R - нормальное ускорение через угловую скорость.
(14)
7.
Равномерным движением по окружности называется такое движение,
при котором тело за равные промежутки времени проходит равные дуги. Угловая скорость -  


рад 
 с 1 . Пусть точка совершила 1 оборот, тогда
,    

t
с


 
t  T ;   2 .
Т – период – время в течение которого точка совершает полный оборот.

v
2
- угловая скорость через Т.
T
(15)
1
- частота – число полных оборотов в единицу времени v  Гц - герц.
T
  2v - угловая скорость через v .
(16)
При равномерном движении по окружности линейная скорость опреде
t
лится по формуле   , если совершила полный оборот   2R - длина окружности,
t T ,  
2R
 2Rv - линейная скорость.
T
Равноускоренное движение по окружности.
Пусть точка имеет угловую скорость  0 через t , то  , тогда
(17)
   t 
0
-
угловое ускорение.
  0 t    t - скорость при равнопеременном вращательном движении.
   0t 
жении.
 t
2
2
- угловое перемещение при равнопеременном вращательном дви-