2_02

2.2. Целый квантовый эффект Холла
Целый квантовый эффект Холла.
Квантование уровней в магнитном поле
(подуровни Ландау)
Открытие эффекта
.
 Зависимость холловской проводимости ρXY и магнетосопротивления
ρXX от напряженности магнитного поля в целом квантовом эффекте
Холла
2
Квантование уровней
в магнитном поле
.
 Рассмотрим электрон в магнитном поле в геометрии ящика LX, LY, LZ
с магнитным полем H по оси Z. Уравнение Шредингера:
 2

Ĥ  E; Ĥ  [1 / 2m][(  / i) /  r  (e / c) A]
 Выберем калибровку


A  (Hy ,0,0); H  (0,0, H)
 Ищем волновую функцию в виде
(x , y , z)  exp[(i / )(p X x  p Z z)](y)
 После переобозначений получаем:
 2 d2  m 2
2
2



(
y

y
)


(
E

p
C
0
Z / 2m);
2
2m dy
2
C  eH / mc; y 0  p X c / eH
 Это уравнение гармонического осциллятора
3
Квантование уровней
в магнитном поле
.
 Введем обозначения
z  (y  y 0 ) / lH ;   2[E  p 2Z / 2m] / C
 Получаем уравнение на модифицированные полиномы Эрмита:
  (  z 2 )  0
 Решение:
 n  2n  1; n (z)  Hn (z) exp[z 2 / 2];
H0 (z)  1; H1 (z)  2z; H2 (z)  4 x 2  2; H3 (z)  8x 3  12 x;....

n

(
z
)

(
z
)
dz

2
n!  n,m
n
m


 Окончательно,
E n (p Z )  C (n  1 / 2)  p 2Z / 2m;
n ( y)  n0 exp([y  y 0 ]2 / 2lH2 )Hn ([ y  y 0 ] / lH ); lH  c / eH
4
Квантование уровней
в магнитном поле
.
 Нормировка на единицу приводит к следующему значению для
предэкспоненциального множителя:
0
n

1/4 1/2
H
  
l
n

2 n!
1
 Окончательный ответ для спектра и волновых функций:
E n (p Z )   C (n  1 / 2)  p 2Z / 2m;
( x , y , z)  exp[(i / )(p X x  p Z z)]( y )
 n ( y )  exp([y  y 0 ]2 / 2lH2 )Hn ([ y  y 0 ] / lH );
lH  c / eH
 Величина lH называется магнитной длиной и является масштабом
пространственной локализации электрона в магнитном поле
вместо классического радиуса Лармора. Уровни En называются
уровнями (или подуровнями, подзонами) Ландау. Они
эквидистантны и отстоят друг от друга на величину C
5
Квантование уровней
в магнитном поле
.
 Важная характеристика электронного газа  плотность состояний 
величина, характеризующая заселенность разрешенных уровней
энергии. Все физические величины (в том числе и проводимость)
либо пропорциональны, либо являются монотонными функциями
плотности состояний электронов вблизи уровня Ферми
 Плотность разрешенных состояний на каждом уровне Ландау (т.е.
концентрация электронов, приходящаяся на единицу площади,
которые могут находиться на одном уровне Ландау) равна
плотности квантов магнитного потока Φ, пронизывающего
двумерный слой:
nH   /  0  eH / 2 c  1 / 2 r02
 0  c / 2e
 Каждому состоянию, занятому на уровне Ландау, соответствует
площадь, равная
6
2 r02
Квантование уровней
в магнитном поле
.
 По определению, плотность состояний
N(E)   (E  E  )  2

LX
LZ

dp
dp
X
Z n0 (E  E n (p Z ))


2
2
 Интегрируя по px, имеем:

2V eH 
2
N(E) 
dp

[
E

p

Z
Z / 2m  C (n  1 / 2)]

2
(2) c 
n 0
 Далее,
N
2V eH
1 / 2
N(E) 
2
m
[
E



(
n

1
/
2
)]
; N  [E / C  1 / 2]

C
2
c
(2)
n 0
 Плотность состояний имеет особенности  корневые расходимости.
Их высота и расстояние между ними определяется величиной
магнитного поля. При слабом поле появляются слабые
периодические всплески осцилляций (де-Гааза-ван-Альфена)
7
Квантование уровней
в магнитном поле
.
 Найдем плотность состояний в двумерном случае, если магнитное
поле направлено перпендикулярно плоскости системы, и поле
достаточно сильное, так что фактически спины электронов
направлены по полю:
L XL Y eH 
N(E) 
 [E  C (n  1 / 2)]

2  c n  0
 Получился
набор эквидистантных дельта-пиков. На практике
примеси размазывают пики в зоны
 Уменьшая или увеличивая магнитное поле, возможно сближать или
раздвигать зоны Ландау по энергии
 Двумерная плотность состояний:
L XL Y eH 
N(E) 
 [E  C (n  1 / 2)]
2 c n  0
8
Квантование уровней
в магнитном поле
.
9
Квантование уровней
в магнитном поле
.
 Связь компонент тензора сопротивления и проводимости:
  XX

ˆ  
  XY
 XX
  XY 
;  
 1 
ˆˆ
 XX 


 2 XX 2 ;  XY  2 XY 2 .
 XX   XY
 XX   XY
 Условия наблюдения квантового эффекта Холла:
 достаточно сильные магнитные поля ( > 1 Тл), чтобы расстояние между
соседними уровнями Ландау не перекрывалось их шириной,
обусловленной примесями;
 2) достаточно низкие температуры (kT<<~1-5 K);
 3) достаточно большая двумерная концентрация носителей (>1010см-2),
соответствующая
практически
металлической
проводимости
инверсионного слоя;
 4) существование двумерного в физическом смысле газа носителей
10
заряда