Лекция 2 - Кафедра &quot

Лекция 2
Автор -Трушин А.М.
Уравнение движения идеальной жидкости Эйлера
Выделим в движущейся в поле сил тяжести идеальной (невязкой) жидкости
произвольный объём V , ограниченный поверхностью
S с единичной внешней
нормалью n. Найдём сумму внешних сил, действующих на данный объём.
Поскольку в идеальной жидкости действуют только нормальные напряжения,
сила давления, действующая на выделенный объём со стороны окружающей жидкости
равна интегралу


 n dS   Pn dS
S
S


(в соответствии с уравнением (1)  n   Pn )
Преобразуя поверхностный интеграл в объёмный, получим

  Pn dS   grad PdV
S
V
На данный объём действует также внешняя сила тяжести, равная интегралу

  g dV
V

где g - сила тяжести единичного объёма.
Таким образом, сумма внешних сил, действующих на объём V, равна интегралу

  g  gradP dV
V
Из этого выражения видно, что на каждый элемент объёма dV действует

сила g  gradPdV
Из механики известно, что сумма внешних сил, действующих на тело, равна
произведению массы тела на его ускорение, следовательно


dw
dV 
 g  gradP dV
dt
Сократив на величину dV, получим уравнение движения идеальной жидкости
Эйлера



dw
 g  gradP
dt
(28)
Запишем уравнение движения Эйлера в проекциях на оси координат

dwx
P

dt
x

dwy

dwz
P
   g
dt
z
dt

P
y
(29)
Индивидуальные производные проекций скорости находятся по формуле (21).
Например, для проекции скорости на ось x, получим
dwx wx
w
w
w

 wx x  wy x  wz x
dt
t
x
y
z
Для несжимаемых невязких жидкостей решение уравнения (28) совместно с
уравнением неразрывности (17) позволяет определить четыре неизвестных wx , wy , wz ,P.
Для изотермических процессов при значительном изменении давления в
идеальных сжимаемых жидкостях, при решении аналогичной задачи, кроме уравнений
(28) и (15) требуется знание зависимости плотности от давления
  P
(30)
(Жидкости, у которых плотность подчиняется уравнению (32) называются
баротронными).
Следует отметить, что случаи, когда необходим учёт сжимаемости при решении
таких задач, в химической технологии достаточно редкие.
РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТИ В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ.
В покоящейся жидкости (реальной и идеальной) как и в движущейся идеальной
жидкости действуют только нормальные напряжения с идентичными свойствами.
Поэтому, приравняв скорость нулю в уравнении (28), получим уравнение равновесия
Эйлера жидкости в поле сил тяжести

gradP  g 
(31)
В проекциях на оси координат уравнение (31) превращается в систему уравнений
P P

0
x y

P
  g
z
(32)
Так как производные давления по x и y равны нулю, для несжимаемой жидкости
получим
d P  gz   0
Отсюда получим основное уравнение гидростатики
P  gz  const
(33)
Запишем уравнение (33) для ряда сечений покоящейся жидкости
P0  gz0  P1  gz1  Pi  gzi
(34)
Основное уравнение гидростатики (33) можно также записать в следующей
форме
P
 z  const
g
или
P0
P
P
 z0  1  z1   i  zi
g
g
g
(35)
(36)
Все составляющие этого уравнения имеют размерность длины и называются
напорами или высотами, кроме того, их можно рассматривать как величины удельной
(отнесённой к единице веса) потенциальной энергии
P
g
z
– пьезометрический напор (пьезометрическая высота), м.
– геометрический напор (нивелирная высота), м.
Из уравнения (36) следует, что сумма пьезометрического и геометрического
напора для любой точки покоящейся жидкости есть величина постоянная.
Основное уравнение гидростатики служит для определения величин давления,
положений раздела фаз в покоящихся жидкостях, а также для определения сил,
действующих на дно и стенки аппаратов.
Рассмотрим применение основного уравнения гидростатики на примере
простейшего U-образного манометра ( Рис.4), который представляет собой прибор (1) в
виде прозрачной трубки, заполненной манометрической жидкостью.
Манометр присоединён к аппарату, содержащему газ, плотность которого
пренебрежительно мала по сравнению с плотностью манометрической жидкости.
Уровни жидкости в U-образной трубке z1 и z2, причём давление на уровне z2
атмосферное Р2 = Ратм.
Рис.4. Измерение давления U- образным манометром
Запишем уравнение (34) для двух уровней жидкости
P1  gz1  P2  gz2
Если давление в аппарате выше атмосферного z2 > z1, найдём избыточное
давление в аппарате по сравнению с атмосферным
Избыточное давление (Ризб) равно разнице между абсолютным давлением в
аппарате (Р абс = Р1) и атмосферным.
Pизб  Pабс  Pатм
(37)
Если давление в аппарате ниже атмосферного, уровень z1 будет выше уровня z2,
тогда можно записать
Pвак  P2  P1  g z1  z2 
Эта величина (Рвак), называемая разряжением или вакуумом, равна разнице между
атмосферным давлением и абсолютным давлением в аппарате.
Pвак  Pатм  Pабс
(38)
Для сжимаемых жидкостей уравнение интегрируют совместно с уравнением
состояния.
В случае баротронных жидкостей   P получим
P
z
dP


g

 dz  g z0  z 
P0 P 
z0
(40)
При использовании уравнения (40) следует иметь в виду, что оно даёт
существенные расхождения с уравнением (34) только для больших масс (высоких слоёв)
сжимаемых жидкостей.
Энергетический баланс потока идеальной жидкости
Рассмотрим стационарное движение физически бесконечно малого объёма
идеальной жидкости по линии тока, как известно, совпадающей с траекторией движения
этой жидкой частицы. В проекциях на оси координат это движение описывается
системой уравнений Эйлера(29).
Умножим правые и левые части системы уравнений (29) на соответствующие
проекции элементарного пути пройденного частицей: dx, dy, dz

dwx
P
dx   dx
dt
x

dwy

dwz
P
dz  
dz  g dz
dt
z
dt
dy  
P
dy
y
(40)
Просуммировав левые и правые части этих уравнений с учетом того, что
dx
 wx ,
dt
dy
 wy ,
dt
dz
 wz получим
dt
 w2 
 g dz  dP
2
 
 d 
(41)
В случае несжимаемой жидкости уравнение (41) упрощается
 w2

d  
 P  gz   0 , следовательно
 2

w2
 P  gz  const
2
Чаще это уравнение записывают в таком виде

(42)
w2
P

zc
2 g g
(43)
Величина константы с меняется для различных линий тока.
Таким образом,
получено
уравнение энергетического баланса движения
элементарного объёма несжимаемой идеальной жидкости по линии тока, называемое
уравнением Бернулли. Согласно этому уравнению сумма удельной (отнесённой к
единице веса) кинетической энергии (
положения (
w2
) и потенциальной энергии давления и
2g
P
 z ) есть величина постоянная для любой точки на линии тока.
g
Величины удельных энергий также называют напорами, как и в уравнении
гидростатики (36) с добавлением скоростного напора.
w2
- скоростной или динамический напор, м.
2g
Для конечных сечений потока параметры уравнения (43) осредняют по всем
линиям тока, т.е. по всему сечению, при этом вместо скорости в точке используют
среднюю скорость по поперечному сечению (wср), поэтому удельная кинетическая
энергия, рассчитанная по средней скорости, умножается на поправочный коэффициент
, зависящий от распределения скорости по сечению потока
 w dS
3

S
wср3 S
(44)
В технических расчётах обычно принимают  =1 по следующим причинам.
Величина  при больших скоростях турбулентного течения незначительно превышает 1;
при малых скоростях, соответствующих ламинарному движению  = 2. Но поскольку
сама величина кинетической энергии в этом случае очень мала по сравнению с
величинами потенциальной энергии, приравнивание  единице не вносит существенных
погрешностей в расчёты.
При средних скоростях турбулентной области из-за сравнительно малой
величины кинетической энергии погрешности также незначительны.
Таким образом, получим уравнение Бернулли для конечных сечений потока
несжимаемой идеальной жидкости.
wср2
2g

P
 z  const
g
В технических расчётах обычно используют средние по сечению величины
скоростей, поэтому принимаем обозначения wср= w, тогда уравнение Бернулли
принимает вид
w2 P

 z  const
2 g g
(45)
Следовательно, для любых сечений, получим
w12 P1
w2 P
w2 P

 z1  2  2  z2   i  i  zi
2 g g
2 g g
2 g g
(46)
В случае сжимаемой жидкости уравнение (41) записывается в виде:
 w2

dP
d 
 gz   

 2

(47)
Чтобы решение этого уравнения имело вид аналогичный уравнению Бернулли
для идеальной несжимаемой жидкости используют следующую функцию
P
P'  
P0
dP

где Ро – значение давления в начальной точке линии тока, или, для конечных
сечений, в начальном сечении.
Величину этой функции определяют по известной зависимости   P
Проинтегрировав уравнение (47), получим уравнение Бернулли для сжимаемой
идеальной жидкости
w2
 gz  P'  C
2
(48)
где С – константа.
В технических расчётах уравнение (48) используется очень редко, в случаях очень
больших скоростей, сравнимых со скоростью звука, так как при обычных скоростях газа,
расчёты проведенные по уравнениям (43) и (48) для сжимаемых и несжимаемых
жидкостей не дают существенных расхождений.