9. Уравнение Бернулли

Лекция 4
Ранее была получена система уравнений:




2
2
2
  v y  v y  v y  1 p 
v y
v y
v y



vx 
vy 
vz  



 (7.1)
 x 2
x
y
z
y 2
z 2   y 


  2 v z  2 v z  2 v z  1 p
v z
v z
v z

vx 
vy 
v z   2 
 2  
 g
2

x
y
z


z

x

y

z



 2v
v x v x
v
v
 2 v x  2 v x  1 p


v x  x v y  x v z   2x 

t
x
y
z
y 2
z 2   x
 x
v y
t
v z
t
Уравнения (7.1) есть дифференциальные уравнения Навье1 – Стокса2
движения вязкой жидкости, являющиеся математическим описанием
полей скоростей и давлений в подвижной среде.
Конечно же, мы повсеместно имеем дело с реальными жидкостями.
Но многие закономерности поведения жидкостей удобно изучать на
идеализированной модели — модели идеальной жидкости.
8. Дифференциальные уравнения Эйлера
движения идеальной жидкости
Идеальная жидкость — воображаемая жидкость, обладающая следующими свойствами:
1. Она не оказывает сопротивления движению, то есть она не обладает внутренним трением (  0).
2. Она абсолютно несжимаема, то есть её объём, а значит, и плотность
не зависят от давления   (p).
3. Она не изменяет объём с изменением температуры   (Т).
Так как идеальная жидкость не обладает внутренним трением, то в её
потоке поля скоростей и давлений будут описываться системой дифференциальных уравнений:
Навье Луи Мари Анри (H. Navier; 1785-1836), франц. инженер и учёный. В
1822 г. впервые вывел уравнения движения несжимаемой вязкой жидкости.
2
Стокс Джордж Габриель (J. G. Stokes; 1819-1903), англ. физик и математик,
член (с 1851 г.) и президент (в 1885-1890 г.г.) Лондонского королевского общества. В 1845 г. вывел уравнения движения для газа.
1
1
dv x
p

 ;

dt
x

dv y
p


 ;
(8.1)

dt
y


dv
p
 z     g ,
dt
z

где проекции ускорений на соответствующие оси координат записаны в
«сжатой» форме.
Эти уравнения впервые были получены в 1755 году Леонардом Эйлером и называются дифференциальными уравнениями Эйлера движения
идеальной жидкости.
Если жидкость неподвижна, то уравнения (8.1) упрощаются до вида:


p
 0;

x

p

 0;
(8.2)

y


p
  g  0.
z

Уравнения (8.2) называются дифференциальными уравнениями Эйлера покоя (статики) жидкости.
Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в швейцарском городе Бáзель в
семье сельского пастора. Получив неплохое домашнее образование, Эйлер поступил в старшие классы гимназии и в то же время начал посещать лекции по
математике в университете. Талант юного математика был замечен Иоганом
Бернулли, который начал заниматься с ним индивидуально.
В 17 лет Эйлер уже получил степень магистра искусств.
В 1727 году Эйлер прибыл по приглашению в только что учреждённую Петербургскую Академию наук, где сначала стал адъюнктом, а в 1731 году (в возрасте 24 лет!) – профессором по математике. В Петербурге Эйлер жил и работал
с 1727 по 1741 г. и с 1766 г. до конца жизни.
Эйлер привнёс бесценный вклад в развитие Российской науки. За годы работы в России он подготовил около 400 научных работ; полное собрание его сочинений составляет 72 тома.
Леонард Эйлер был не только талантливым и плодотворным учёным, но и
человеком самоотверженным. Вот только один факт из его биографии.
В 1738 году срочно потребовалось провести трудоёмкие, астрономические
расчёты для составления карт Российской Империи. Группа академиков требовала на их выполнение несколько месяцев… Блестящий вычислитель, Леонард
2
Эйлер сделал всю работу за трое суток. Но какой ценой! В результате осложнения после тяжёлого нервного переутомления он потерял зрение правым глазом
(когда ему было всего-то 30 лет), а постепенное развитие катаракты на левом
глазу привело к тому, что в 59 лет он окончательно ослеп. Но, как в литературе
Гомер, так в математике Эйлер был подлинно «слепец всевидящий».
Эйлер скончался в 1783 году и похоронен в Петербургском некрополе.
Для решения тех или иных задач гидравлики дифференциальные
уравнения Эйлера следует проинтегрировать.
Интегрирование дифференциальных уравнений Эйлера движения
идеальной жидкости приводит к уравнению Бернулли.
9. Уравнение Бернулли
Будем считать, что имеет место такое движение жидкости, при котором давление в какой-либо точке пространства, занятого идеальной жидкостью, с течением времени не изменяется.
Для выполнения процедуры интегрирования уравнений Эйлера (8.1)
предварительно умножим каждое уравнение, соответственно, на vx, vy и
vz. Тогда интегрированию подлежат уравнения вида:
dv x
p

   vx ;

dt
x

dv y
p

  vy 
   vy ;

dt
y


dv z
p
  vz 
   v z   g  v z .
dt
z

  vx 
(9.1)
Поскольку компоненты скоростей можно представить в виде v x 
dx
,
dt
dy
dz
и v z  , то соответствующая замена в правых частях уравнеdt
dt
ний и умножение всех слагаемых на dt приводит к системе:
vy 

p
 dx;

x

p

  v y  dv y    dy;

y


p
  v z  dv z    dz   g  dz.
z

  v x  dv x  
(9.2)
3
Просуммируем правые и левые части всех трёх уравнений:
 ( v x  dv x  v y  dv y  v z  dv z ) 
 p

p
p
   dx   dy   dz    g  dz.
y
z
 x

Преобразуем это уравнение.
Его левая часть может быть представлена в виде:
 ( v x  dv x  v y  dv y  v z  dv z ) 
(9.3)
  v 2   v 2y   v 2 
 v x2  v 2y  v z2 

(9.4)
  d x   d   d z    d


2
  2   2   2 


2
2
 v   v 
  d
.
  d
 

 2   2 
В соответствии с допущением о неизменности давления во времени,
то есть, считая, что p (x, y, z), имеем выражение для полного дифференциала этой функции:
p
p
p
(9.5)
dp 
 dx 
 dy 
 dz .
x
y
z
Тогда, с учётом (9.4) и (9.5), уравнение (9.3) может быть записано в виде:
  v2
d
 2

  dp   g  dz ,


(9.6)
или
  v2 
0,
dp   g  dz  d

2


или, заменяя сумму дифференциалов дифференциалом суммы,

 v2 
  0.
d p   g z 

2


Интегрируя это уравнение, получаем:
p g z 
 v2
 const .
2
(9.7)
(9.8)
(9.9)
Уравнение (9.9) называется «интеграл Бернулли» или «уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости».
4
Даниил Бернулли принадлежал к семье известных швейцарских учёных. Он
родился в 1700 году в Гронингене (Нидерланды), а вскоре семья Иоганна Бернулли – отца Даниила (и учителя Леонарда Эйлера(!)) – переехала в Базель, где
Даниил сначала окончил гимназию, а затем изучал философию и логику в местном университете. Уже в 16 лет он получил степень магистра философии, в 21
год – степень лиценциата медицины. В это же время он опубликовал свою
первую серьёзную научную работу – книгу «Математические упражнения».
В 1725 году Даниил вместе с братом Николаем прибыл по приглашению
формировавшейся Академии Наук в Петербург.
8 лет работал Даниил Бернулли в Петербургской Академии, и это были годы
наибольшего творческого подъёма. Однако, и покинув Россию, Д. Бернулли не
прерывал связи с Петербургской Академией Наук, но уже в качестве её иностранного члена. В целом в изданиях Академии вышло 50 работ Д. Бернулли из
75 его научных трудов.
Именно в Петербурге Бернулли подготовил первый вариант рукописи своего
главного труда: «Гидродинамика или записки о силах и движении жидкости».
Кстати, этой работой Д. Бернулли ввёл в науку термин "гидродинамика".
Окончательный вариант этой книги был опубликован на латинском языке в
1738 году, в Страсбурге. Однако ещё в 1726 году Даниил Бернулли выступил с
докладом на одном из заседаний Петербургской Академии Наук, и в этом докладе, среди прочего, был опубликован ставший теперь классическим принцип
гидродинамики, согласно которому:
«в струе воды или воздуха давление велико, если скорость мала, и давление
мало, если скорость велика».
Уравнение Бернулли является, по существу, одной из форм закона сохранения энергии.
Энергетический смысл слагаемых уравнения Бернулли становится
очевидным из следующих рассуждений, приводимых применительно к
элементарной частице жидкости объёмом dV, или массой dm  dV, или
весом dG  dmg  g dV.
Для того чтобы поднять (переместить) на высоту z элементарную частицу жидкости объёмом dV, необходимо произвести работу против силы тяжести, равную
W = dGz  gdVz.
(9.10)
При этом на эквивалентную величину увеличивается потенциальная
энергия частицы:
Еп  W  +gdVz .
(9.11)
Следовательно, удельная (отнесённая к единице объёма) потенциальная энергия положения будет определяться значением:
Еп, z   g  dV  z

   g  z , [Дж/м3] = [Па].
(9.12)
dV
dV
5
За счёт давления р элементарная частица жидкости объёмом dV может
быть поднята на высоту h  p/(g). При этом производится работа против силы тяжести, равная: dGh  gdVh, и потенциальная энергия
частицы увеличивается на эквивалентную величину:
+gdVh  g dVp/(g)  dVp.
(9.13)
Следовательно, удельная (отнесённая к единице объёма) потенциальная энергия давления будет определяться значением:
Eп, р dV  р
(9.14)

 p , [Дж/м3] = [Па].
dV
dV
Очевидно, первые два слагаемые уравнения Бернулли в сумме определяют удельную потенциальную энергию элементарной частицы жидкости.
Наконец, элементарная частица жидкости массой dm  dV, движущаяся со скоростью v, обладает кинетической энергией:
Eк  dmv22  dVv22.
(9.15)
Следовательно, удельная (отнесённая к единице объёма) кинетическая энергия элементарной частицы будет определяться значением:
E к   dV  v 2 / 2   v 2


, [Дж/м3] = [Па].
(9.16)
dV
dV
2
Величина v2/2 именуется также «динамическое давление».
В соответствии с уравнением Бернулли сумма потенциальной и
кинетической энергий элементарной струйки остаётся неизменной
во всех сечениях.
Если каждое слагаемое уравнения (9.9) разделить на ускорение свободного падения g, то можно получить уравнение Бернулли в форме:
p
 v2
z 
 const ,
(9.17)
g
2g
где каждое слагаемое уравнения есть удельная энергия единицы массы
жидкости.
Наконец, если каждое слагаемое уравнения (9.9) разделить на постоянное произведение g, то получим уравнение Бернулли в форме:
z
p
v2

 const ,
 g 2g
(9.18)
где каждое слагаемое уравнения есть удельная энергия единицы веса
жидкости, а именно:
z — нивелирная (геометрическая) высота расположения сечения элементарной струйки жидкости над некоторой плоскостью сравнения, или
удельная потенциальная энергия положения, [м]  [Дж/Н];
6
p/(g) — пьезометрическая высота, пропорциональная давлению в
рассматриваемом сечении, или удельная потенциальная энергия давления столба жидкости, [м]  [Дж/Н];
v2/2g — высота столба жидкости, эквивалентная высоте, с которой в
вакууме должна свободно (без начальной скорости) упасть элементарная
частица жидкости, чтобы приобрести скорость v, или удельная кинетическая энергия, [м]  [Дж/Н].
И вновь отмечаем, что для элементарной струйки идеальной жидкости удельная энергия есть величина постоянная, одинаковая во всех сечениях струйки.
В гидравлике удельная энергия единицы веса жидкости называется
«гидравлическим напором», или просто – «напором», и обозначается
символом Н (от англ. head – напор).
Тогда величины z, p/(g) и v2/2g могут рассматриваться как, соответственно, геометрический напор, пьезометрический напор и динамический напор жидкости. И уравнение Бернулли показывает, что при установившемся движении идеальной жидкости сумма геометрического, пьезометрического и динамического напоров в каждом поперечном сечении
элементарной струйки есть величина постоянная, то есть Н  const.
В дополнение к сказанному заметим, что при прекращении движения,
то есть при v  0, уравнение Бернулли обращается в основное уравнение
гидростатики:
(9.19)
p   g z  const .
10. Некоторые практические приложения
принципа и уравнения Бернулли
Несмотря на то, что принцип Бернулли и его уравнение относятся к
течению идеальной (невязкой) жидкости, они используются для решения
некоторых практических задач, связанных с течением реальных жидкостей, но лишь в случаях, когда внутренним трением можно пренебречь.
1. На принципе Бернулли основана работа струйных насосов.
Всем хорошо известна конструкция водоструйного насоса.
(Водоструйный насос изобрёл в 1868 г. Роберт Бунзен, более известный как
изобретатель газовой горелки.)
В этом устройстве поток рабочей жидкости (например, воды) проходит сначала конфýзор (сопло) — конический сужающийся элемент,
имеющий на конце отверстие  2 мм. В конфузоре за счёт уменьшения
диаметра увеличивается скорость потока, уменьшается давление, так что
в месте выхода рабочей жидкости из конфузора создаётся разрежение. В
7
камере смешения рабочая жидкость смешивается с перекачиваемой средой (например, воздухом), увлекает её за собой и далее поступает в диффýзор — конический расширяющийся элемент насоса. В диффузоре
вследствие уменьшения скорости кинетическая энергия смеси преобразуется в потенциальную энергию давления, необходимую для дальнейшего перемещения жидкости.
В технике струйные насосы получили название инжекторы и эжекторы.
Инжекторы — насосы, предназначенные для сжатия газов и паров, а
также для нагнетания жидкостей в различные аппараты.
Эжекторы — насосы, предназначенные для отсасывания газов, паров
или жидкостей.
2. На принципе Бернулли основана работа некоторых приборов для
измерения скорости и расхода жидкости.
I) Трубка Пито–Прандтля
В названии прибора фигурирует имя французского математика, физика и гидротехника, члена Парижской академии наук (с 1724 г.) Анри
Питó (H. Pitot; 1695-1771). В 1732 г. он опубликовал сочинение «Описание одного прибора для измерения скорости воды, текущей струёй из
сосуда», в котором показал, что если в
поток воды в канале опустить трубку,
загнутую навстречу потоку (см. рис. 6),
h
то вода в трубке поднимается выше
уровня воды в самом канале. При этом
v
высота подъёма воды в трубке (h) проро
р
порциональна скорости потока (v).
Однако измерение скоростей потоРис. 6
ков в напорных трубопроводах с помощью только трубки Пито технически невозможно, так как за счёт повышенного давления жидкость может подниматься на значительную высоту. (Как известно, давление в 1 избыточную атмосферу поднимает воду на 10 м!) В связи с этим в начале XX века немецкий учёный Людвиг
Прандтль предложил дополнить конструкцию второй трубкой, отверстие
которой параллельно линиям тока. Измеряя разность давлений в этих
двух трубках, можно рассчитать скорость потока.
Для получения расчетной зависимости рассмотрим горизонтальную
трубку тока, упирающуюся своим концом в отверстие трубки Пито. Вдали от отверстия жидкость, имеющая плотность L, течёт со скоростью v;
давление в жидкости равно р. У преграды (у отверстия трубки Пито), то
есть в критической точке, давление равно ро, а скорость потока vo = 0.
8
Запишем уравнение Бернулли для этой элементарной струйки:
 v2
 v2
pg z  L
 po   g zo  L o ,
(10.1)
2
2
откуда, учитывая, что z = zo, а vо = 0,
 v2
po  p  L
.
(10.2)
2
Скорость, а, следовательно, и давление вблизи отверстия трубки
Прандтля практически не отличаются от скорости и давления в невозмущённом потоке.
Таким образом, в двух трубках прибора создаётся разность давлений,
равная р  L v 2 2 .
Эту разность давлений можно измерить, например, U-образным дифференциальным манометром, заполненным манометрической жидкостью
с плотностью м. При фиксируемой разности уровней манометрической
жидкости в коленах дифманометра, равной hм, в соответствии с уравнением гидростатики имеем: p  (м   L ) g hм . Отсюда:
м   L
.
(10.3)
L
Индекс «i» у символа скорости здесь показывает, что определена скорость i-ой элементарной струйки, то есть локальная скорость потока в
месте установки датчика (трубки Пито).
Измерив скорости в различных точках, можно определить среднюю
скорость потока по формуле (4.5), а зная последнюю — расход жидкости
по формуле (4.6).
vi  2 g hм
II) Дроссельные устройства
К дроссельным устройствам относятся мерная диафрагма, мерное
сопло, труба Вентури и др.
Мерная диафрагма (рис. 7) представляет собой устройство, которое
имеет тонкий металлический диск Д с центральным круглым отверстием,
имеющим заострённую кромку. Диаметр отверстия диафрагмы do меньше диаметра d трубы Т, на которой устанавливается диафрагма.
Диск диафрагмы с обеих сторон зажимается металлическими кольцами К, внутренний диаметр которых равен диаметру d трубопровода Т.
В наиболее распространённом варианте исполнения диафрагмы в указанных кольцах выполнены кольцевые камеры, усредняющие по поперечному сечению потока давление р до диафрагмы и давление ро за отверстием в диске.
9
При монтаже на
трубопроводе мерная
Д К
Т
Ф
диафрагма укрепляется
между фланцами Ф,
приваренными на труd
d
do
do
бе Т.
Мерное
сопло
(рис. 8) — деталь специального
профиля,
имеющая плавно зар ро
р ро
круглённый вход и цилиндрическое выходное
Рис. 7
Рис. 8
отверстие диаметром do,
меньше диаметра трубы
d.
Труба
Вентури3
(рис. 9) — конструкp
po
ция, имеющая на входе
цилиндрический учаРис. 9
сток, затем — конфузор (сходящийся усечённый конус), цилиндрическое горло и диффузор
(расходящийся конус). Длины цилиндрических участков равны их диаметрам. Отборы давлений р и ро производятся в серединах цилиндрических элементов конструкции.
Как видим, названные устройства различаются конструктивно, но являются однотипными по принципу действия. В узких местах этих дроссельных приборов скорость потока возрастает пропорционально квадрату уменьшения диаметра, а давление — понижается от величины р [до
устройства] до величины ро [в узком месте]. Измерив, например, дифференциальным манометром, возникающую разность давлений, можно
оценить скорость течения жидкости.
Формула для расчёта скорости потока в трубе диаметром d имеет вид:
1
v  2 ghм 
м    d 4 
  4  1 .

 do

(10.4)
Вентури Джованни Батиста (G. Venturi; 1746-1822), итал. учёный. В 1797 г.
опубликовал исследование об истечении воды через короткие цилиндрические и
расходящиеся насадки. В 1887 г. амер. учёным В. Гершелем был предложен водомер, названный именем Вентури.
3
10
Формула (10.4) получена на основе предположения об идеальности
жидкости. Фактически дроссельные устройства используются для измерения скоростей реальных (вязких) сред, в связи с чем правая часть формулы умножается на коэффициент расхода дроссельного прибора (α),
значение которого индивидуально для каждого устройства и определяется по соответствующим справочникам.
Всем хорошо известна история, произошедшая с пароходом «Титаник».
И мало кто знает об истории, случившейся несколько ранее с его аналогом –
пароходом «Олимпик».
Однажды этот океанский лайнер проплывал по водам одной из бухт, а в это
же время рядом с ним параллельным курсом шёл крейсер «Гаук». Неожиданно
«Гаук» повернул на 90° и на полном ходу врезался в борт «Олимпика», учинив в
нём пробоину.
Капитан «Гаука» был обвинён в нарушении законов лоции, и подвергнут суду. Впоследствии удалось доказать, что истинным «виновником» происшествия
являлся… принцип Бернулли.
Дело в том, что суда двигались на небольшом расстоянии друг от друга, и в
пространстве между ними давление воды понизилось. В результате повышенная
с одной стороны сила давления воды на борт судна развернула корабль, что и
привело к катастрофе.
Кстати, некоторые историки полагают, что вскоре «травмированный»
«Олимпик» и «здоровый» «Титаник» поменялись именами. То есть на ледяные
глыбы напоролся латанный, бывший «Олимпик»!
По той же самой причине (по причине уменьшения давления в потоке среды)
категорически запрещается находиться вблизи железнодорожного полотна,
по которому с большой скоростью движется состав.
Материал подготовил
В. Н. Бобылёв
11