Матрицы

Матрицы
Элементы теории
матриц.
Основные определения.
A=
а11 а12 а13 … а1m
а21 а22 а23 … а2m
……………………….
an1 аn2 аn3 … аnm
Опр.: таблицу, сост. из n строк и m столбцов наз.
матрицей.
Опр.: n*m – называется размерностью матрицы.
Опр.: Если m=n матрица наз. квадратной.
Опр.: Число n – называется порядком матрицы.
Опр.: Если m/=n матрицу называют прямоугольной.
Опр.: Матрица, у которой все элементы нули,
наз. нулевой матрицей и обозначается О.
Опр.: Матрица с элементами
aij = 1, если i=j;
0, если i≠j,
при n=m, наз. единичной матрицей и обозн.
Е.
Опр.: Элементы с одинаковым индексом кв.
матрицы образуют
главную диагональ матрицы.
Опр.: Две матрицы одинак. размерности
наз. равными, если равны элементы на
одинак. местах.
Действия над матрицами.
Опр.: Суммой двух матриц одинаковой
размерности А и В
называется матрица С той же размерности,
элементы которой находятся по формуле:
А+В=С; cij = aij + bij
Опр.: Чтобы матрицу умножить на число,
надо все элементы матрицы умножить на
это число; α*А
Опр.: Разностью двух матриц одинаковой
размерности
А и В называется матрица той же
размерности с
элементами: cij = aij - bij; С=А-В
Опр.: Умножение матрицы:
Аn*p*Вp*m=Сn*m.
Ненулевые матрицы при умножении дают
0-матрицу.
Свойства операций над
матрицами.
1)А+В=В+А;
2) (А+В)= А+В, -число;
3) А*В В*А;
4) (А+В)*С= А*С+В*С;
5) А+О=А;
6) А*О=О;
7) А*Е=А, Е*А=А;
t
8) Ат – транспонированная; Аm*n ; (At)t = A;
(A*B)t = Bt * At
9)Аквадратн (n*n) – det A - детерминант А – определитель кв.
матрицы ; Det (A*B)=det A*det B
Нахождение обратной
матрицы.
Опр.: Матрица, обозначаемая А-1 ,
называется обратной к матрице А, если
выполнены условия:
А-1*А=А*А-1=Е, где Е – единичная матрица
того же порядка, что и заданная.
Опр.: Квадратная матрица, у которой
определитель ≠0 называется
невырожденной.
Вывод 1: Обратная матрица сущ. для кв. матриц;
Вывод 2: Имеет ту же размерность что и данная;
Вывод 3: по свойству 9: det (A*A-1) = det E; det
A*det A-1=1;
Теорема: Если у матрицы А существует
обратная, то она единственная.
Теорема: Чтобы матрица имела обратную
необход. и достат, чтобы она была кв-я и
невырожденная.
Опр.: Столбцы наз. линейно-независимыми,
когда линейная комбинация равна 0
при всех α = 0.
Опр.: столбцы наз. линейно-зависимыми ,
если линейная комбинация равна 0,
не при всех α = 0.
Теорема: Столбцы матрицы можно
представить в виде линейной комбинации
столбцов матрицы Е.
Теорема: Система столбцов линейнозависима, когда хотя бы один столбец
является линейной
комбинацией остальных.
Теорема о ранге матрицы:
Ранг матрицы равен максимальному числу
линейно – независимых столбцов матрицы.
Максимальное число линейно-независимых
строк равно максимальному числу линейнонезависимых столбцов.
Опр.: Рангом матрицы наз. порядок
базисного минора. Если матрица нулевая ее
ранг равен 0.
Теорема: Ранг матрицы равен числу
ненулевых строк (столбцов),
полученных в результате применения
элементарных преобразований,
которые позволяют выделить строчки и
столбцы являющиеся линейными
комбинациями других строк (столбцов), т.
е. выделить базисный минор.
Опр.: Минором порядка r называется
определитель, составленный из
элементов матрицы расположенных на r
строках и любых r столбцах
матрицы.
Теорема: Если в матрице все миноры
порядка r+1 равны 0, то и все
миноры порядка r+2 равны 0.
Теорема о базисном миноре:
В произвольной матрице каждый столбец
является линейной комбинацией столбцов,
входящих в базисный
минор.
Обратная теорема:
Если матрица А квадратная и
вырожденная, то хотя бы один из
столбцов есть линейная комбинация
остальных столбцов, а одна из строк линейная комбинация остальных строк.
Элементарные
преобразования матрицы.
Опр.: Элементарными преобразованиями
матрицы называются
следующие преобразования:
1)Умножение строки на число не равное 0;
2)Перестановка строк местами.
3)Прибавление одной строки к другой,
умноженной на число;
4)Те же действия со столбцами.
Теорема: Элементарные преобразования
не меняют ранг матрицы.
Опр.: Матрицы, полученные с помощью
элементарных преобразований
наз. эквивалентными (~).
Матрицы
Основные
определители.
Опр.: Система ЛАУ называется система
уравнений вида:
а11*х1 + а12*х2 + … + а1m*хm= b1
а21*х1 + а22*х2 + … + а2m*хm = b2
аn1*х1 + аn2*х2 + … + аnm*хm = bn
n - уравнений, m – неизвестных:
х1, х2 … хm – неизвестные системы;
b1, b2 … bn – свободные.
Опр.: Числа х10, х20…хm0 наз. решением
системы если они обращают каждое уравнение
в равенство.
Опр.: Если СЛАУ имеет хотя бы одно решение,
она называется совместной.
Опр.: Если СЛАУ не имеет ни одного решения,
она называется несовместной.
Опр.: Решить систему – значит найти
все ее решения или доказать, что
решений нет.
Опр.: СЛАУ у которой b1 = b2 …= bn = 0
называется однородной.
Теорема: Однородная система всегда
совместна.
Опр.: Нулевое решение однородной
системы называется тривиальным.
Теорема о совместности СЛАУ.
Теорема Кронекера – Капели.
Матрица:
a11
a21
an1
a12 … a1m
a22 … a2m
an2 … anm
Матрица системы:
a11 a12 … a1m * b1
A* = a21 a22 … a2m * b2
an1 an2 … anm * bn
- расширенная матрица системы.
Чтобы СЛАУ была совместна, надо чтобы
ранг матрицы = рангу транспонированной
матрицы.
Необходимость: если решение сущ., т. е.
числа х1, х2 … хm, такие, что столбец b линейная комбинация столбцов матрицы. Это
значит, что добавление столбца не увеличивает
числа линейно-независимых столбцов матрицы
А, по теор. о базисном миноре получаем
rang A = rang A*
Достаточность: если rang A = rang A*, то
базисный минор матрицы А является
базисным минором матрица А*. Это значит,
что столбец b в матрице А* (по теореме о
базисном миноре) - линейная комбинация
столбцов, которые входят в базисный минор.
Коэффициенты этой линейной комбинации, т.
е. числа х1, х2 … хm - решение системы.
Матричный способ решения
СЛАУ.
СЛАУ запишем в виде А*Х=В.
Если det A≠0, то для матрицы А сущ.
обратная А-1.
Умножим обе части СЛАУ слева на А-1:
А-1*А*Х = А-1*В;
Е*Х = А-1*В;
Х = А-1*В.
Метод Крамера.
СЛАУ имеет вид А*Х=В при det A≠0 ; Х=А-1*В.
х1
A11 A12 … An1
b1
хn
A21 A22 … An2 *
A1n A2n … Ann n*n
b2
bn n*1
1
х2 =
det A
A11*b1 + A21*b2 ………
A12*b1 + A22*b2 ………
A1n*b1 + A2n*b2 + Ann*bn
1
=
det A
1. x
1

2. xn
A *b

11
1

A
21
* b2 ... 
A
n1
* bn
det A
A *b  A
1n
1
2n
* b2 ... 
A *b
nn
n
det A
Числители - величина определителя, разложенного по
первому столбцу, тогда первый столбец это элементы
b1, b2 … bn, а остальные столбцы – это столбцы
матрицы А и т.д.
Если det A≠0, то СЛАУ имеет ед. реш. и опред.
формулами:
1
x1  det A
2
x2  det A
x
n
n

det A
Общий метод решения СЛАУ.
(Метод Гаусса).
Если система совместна, т. е.
rang A = rang A* = (r),то r-уравнений
СЛАУ линейно-независимы, а остальные
(n - r) являются линейными комбинациями.
Решить систему значит выразить
базисные неизвестные через свободные,
придавая различные значения свободным
неизвестным.
Общий метод решения однородной
СЛАУ.
Теорема: Если ранг матрицы однород.СЛАУ
х1, х2...хmr = r,
то система имеет (m - r) линейно - независ.
решен.
Опр.: Совокупность реш., т. е. совокупность
наз. фундам-й системой реш. однор. СЛАУ.
Теорема: Если х1, х2...хmr фундаментальная
система решений однор. СЛАУ , то общее
решение однородной
СЛАУ , то есть линейная комбинация
решений х1, х2...хmr .
Опр.: =С1*1+С2*2+…Сm-r*m-r
называется общим
решением однородной СЛАУ.
Теорема об общем решении
неоднородной СЛАУ.
Теорема: Если х1, х2...хmr фундаментальная
система решений соотв-щей однор. СЛАУ;
z - некоторое решение неоднор. СЛАУ, то
сумма y  z  c1 x1  c2 x2...cmr xmr - решение
неоднор. СЛАУ.
Опр.: Полученное решение называется
общим решением неоднородной СЛАУ.