Document 486977

Лекция № 3.
Движение в неоднородном магнитном поле. Дрейфовое приближение - условия применимости,
дрейфовая скорость. Дрейфы в неоднородном магнитном поле. Адиабатический инвариант.
Движение в скрещенных электрическом и магнитном полях. Общий случай скрещенных поля
любой силы и магнитного поля.
III. ДРЕЙФОВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ


§3.1. Движение в скрещенных однородных E  H полях.


Рассмотрим движение заряженных частиц в скрещенных полях E  H в дрейфовом
приближении. Дрейфовое приближение применимо в случае, если можно выделить
некоторую одинаковую для всех частиц одного сорта постоянную скорость дрейфа, не

зависящую от направления скоростей частиц: V  u  Vдр , где Vдр  const - скорость
дрейфа. Покажем, что это можно сделать для движения заряженных частиц в скрещенных


E  H полях. Как было показано ранее, магнитное поле не влияет на движение частиц в
направлении магнитного поля. Поэтому скорость дрейфа может быть направлена только
 


перпендикулярно магнитному, т. е. пусть: V  V  V|| , причем V  u  Vдр , где Vдр  const .
.  q  
1
Уравнение движения: m V  qE  V  H (по-прежнему в СГС пишем множитель ).
c
c
.
 q 

Тогда для поперечной составляющей скорости: mV  qE  V  H , подставляем
c
разложение
через
скорость
дрейфа:
 . 
q
m  u  Vдр   qE  u  Vдр  H ,
c




т.е.
.
.  q   q  
m V др  m u  qE  u  H  Vдр  H . Заменим это уравнение на два для каждой
c
c
.

компоненты и с учетом Vдр  const , т.е., Vдр  0 , получим уравнение для скорости дрейфа:
 q 

0  qE  Vдр  H .
c
 
Домножим

 

q  
qE  H   H Vдр  H .
c
 
q 
qE  H   Vдр H 2 , откуда:
c
С
векторно
учетом
правила
на
магнитное


поле,
 
       
a  b  c  b ac   c ab ,
получим:
получим
 

EH
- скорость дрейфа.
Vдр  c
H2
(3.1)
E
 cм 
8 E В см 
 c Vдр  c H  10 H э .
Скорость дрейфа не зависит от знака заряда и от массы, т.е. плазма смещается как целое.
Из соотношения (3.1) видно, что при E  H скорость дрейфа становится больше скорости
света, а значит, теряет смысл. И дело не в том, что необходимо учитывать релятивистские
При E  H будет нарушено условие дрейфового приближения. Условие
поправки.
дрейфового приближения для дрейфа заряженных частиц в магнитном поле заключается в
том, что влияние силы, вызывающей дрейф, должно быть незначительно в течение
периода обращения частицы в магнитном поле, только в этом случае скорость дрейфа
eE
eE 1
t 

 V , откуда
m
m л
будет постоянна. Это условие можно записать в виде: V 


E
V
получим условие применимости дрейфового движения в E  H полях:
 .
H
c


Для определения возможных траекторий заряженных частиц в E  H полях
рассмотрим
уравнение
. q  
mu  u  H ,
c
откуда
движения
для
. qH  
u
[u  e H ] .
mc
вращающейся
Пусть
компоненты
плоскость
(x,y)
скорости
u:
перпендикулярна

2
магнитному полю. Вектор u вращается с частотой  л 
(электрон и ион вращаются в
mc
разные стороны) в плоскости (x,y), оставаясь постоянным по модулю.
В плоскости скоростей (Vx, Vy) можно
выделить четыре области характерных
Vy

V
траекторий.
Область
1.
На
рис.
описываемый
0  u  Vдр в
соответствует
3.1
круг,
0
V др
трохоиде
без
(x,y)
петель
Vx
1
неравенством
координатах
u
2
3
Рис. 3.1. Области характерных траекторий в
плоскости скоростей.
(эпициклоида) с «высотой», равной
2 re , где re  u / л (рис.3.2).
Если начальная скорость частицы попадет в этот круг, то частица будет двигаться по
эпициклоиде.
Область 2. Окружность, задаваемая уравнением u  Vдр , соответствует циклоиде. При
вращении вектора u вектор скорости на каждом периоде будет проходит через начало
координат, то есть, скорость будет равна нулю. Эти моменты соответсвуют точкам в
основании циклоиды. Траектория аналогична той, что описывает точка, находящаяся на
ободе колеса радиуса rc 
Vдр
л
. Высота циклоиды равна 2 rc , то есть пропорциональна
массе частицы, поэтому ионы будут двигаться по гораздо более высокой циклоиде, чем
электроны, что не соответствует схематическому изображению на рис.3.2.
Область вне круга, в которой u  Vдр , соответсвует трохоиде с петлями
Область 3.
(гипоциклоида), высота которой 2re  2rc . Петли соответствуют отрицательным значениям
компоненты скорости Vx , когда частицы движутся в обратном направлении.
Область
Точка
u0
прямой.
Ели
4:
соответсвует
( V0  Vдр )
запустить


частицу с начальной скоростью V0  Vдр ,
то
сила
действие
электрической
и
E
y
e
i
1
H
магнитной силы в каждый момент времени
x
e
уравновешено, поэтому частица движется
2
прямолинейно. Можно представить, что
все
эти
траектории
i
соответствуют
e
3
движению точек находящихся на колесе
радиуса
rc 
Vдр
л
,
поэтому
для
всех
i
4
траекторий продольный пространственный
период
T
2
л
L  2rc 
2Vдр
л
Рис. 3.2. Характерные траектории частиц в
.
За
период


E  H полях: 1) трохоида без петель; 2)
циклоида; 3) трохоида с петлями; 4) прямая.
для всех траекторий происходит
взаимная компенсация действия электрического и магнитного поля. Средняя кинетическая
энергия частицы остается постоянной Wk  Wk 0 . Важно еще раз отметить, что не зависимо


от траектории, скорость дрейфа одинакова, следовательно, плазма в E  H полях
дрейфует как целое в направлении, перпендикулярном полям. В случае невыполнения
условия дрейфового приближения, то есть при E  H действие электрического поля не
компенсируется
действием
магнитного,
поэтому
частица
переходит
в
режим
непрерывного ускорения (рис.3.3). Направляющая движения будет являться параболой. В
случае
наличия
у
электрического
поля
продольной
(вдоль
магнитного
поля)
составляющей дрейфовое движение также нарушается, и заряженная частица будет
ускоряться в направлении, параллельном магнитному полю. Направляющая движения
будет также параболой.


Если E  H
y

H

H
e
e
x

E
x

E
Рис. 3.3. Ускорение электрона в


E  H полях при E  H .
Рис. 3.4. Ускорение электрона в
E
 H полях.


Все выводы, сделанные выше, верны, если вместо электрической силы F  qE



использовать произвольную силу F , действующую на частицу, причем F  H . Скорость
дрейфа в поле произвольной силы:
 

c FH
Vдр 
q H2
(3.2)


cm  
[g  H ] зависит от заряда. Например, для гравитационной силы F  mg : Vдр 
qH 2
скорость гравитационного дрейфа.
§3.2. Дрейфовое движение заряженных частиц в неоднородном магнитном поле.
Если магнитное поле медленно меняется в пространстве, то движущаяся в нем
частица совершит множество ларморовских оборотов, навиваясь на силовую линию
магнитного поля с медленно меняющимся ларморовским радиусом. Можно рассматривать
движение не собственно частицы, а её мгновенного центра вращения, так называемого
ведущего центра. Описание движения частицы как движение ведущего центра, т.е.
дрейфовое приближение, применимо, если изменение ларморовского радиуса на одном
обороте будет существенно меньше самого ларморовского радиуса. Это условие,
очевидно, будет выполнено, если характерный пространственный масштаб изменения
полей будет значительно превышать ларморовский радиус:
хар
lполя
rл , что равносильно
условию: rл
H
H
1 . Очевидно, это условие выполняется тем лучше, чем больше
величина напряженности магнитного поля, так как ларморовский радиус убывает обратно
пропорционально
величине
магнитного
поля.
Рассмотрим
некоторые
случаи,
представляющие общий интерес, так как к ним можно свести многие виды движения
заряженных частиц в неоднородных магнитных полях.
п. 3.2.1. Дрейф заряженных частиц вдоль плоскости скачка магнитного поля. Градиентный
дрейф.
Рассмотрим задачу о движении заряженной частицы в магнитном поле со скачком,
слева и справа от плоскости которого магнитное поле однородно и одинаково направлено,
но имеет разную величину (см. рис. 3.5), пусть справа будет H2>H1. При движении
частицы её ларморовская окружность пересекает плоскость скачка. Траектория состоит из
ларморовских окружностей с переменным ларморовским радиусом, в результате чего
происходит «снос» частицы вдоль плоскости скачка. Как видно из рисунка 3.5, дрейф
перпендикулярен направлению магнитного поля и его градиента, причем, разноименно
заряженные частицы дрейфуют в разные стороны. Пусть для простоты частица пересекает
плоскость скачка по нормали. Тогда за время, равное сумме ларморовских полупериодов


для области слева и справа:
H1  H 2
 
T T


л 2 частица
t  1  2 

  л1
2
2 

 
л1
л2
л1 л 2

e
V др е
смещается вдоль этой плоскости на длину
H
 
V
V 
л2 .
l  2  rл1  rл 2   2       2V л1





л2 
 л1
л1 л2
i
Скорость дрейфа можно определить как
Vдр i
l 2V H 2  H1 V H
Vдр 



. где HH2H1 
t

H 2  H1   H 
Рис.3.5. Градиентный дрейф
величина скачка магнитного поля, а HH2+H1 
на границе со скачком
величины магнитного поля.
его среднее значение.
Дрейф возникает и том случае, когда слева и справа от некоторой плоскости магнитное
поле по величине не меняется, но изменяет направление (см. рис.3.6). Слева и справа от
границы частицы вращаются по ларморовским окружностям одинакового радиуса, но с
противоположным направлением вращения. Дрейф возникает, когда ларморовская
окружность пересекает плоскость раздела. Пусть пересечение плоскости слоя частицей
происходит по нормали, тогда ларморовскую окружность следует «разрезать» вдоль

H2

H1
H1  H 2

Vдр е
вертикального диаметра и затем, правую
половину
следует
отразить
зеркально
вверх для электрона, и вниз для иона, как
это изображено на рис.3.6. При этом за
e
ларморовский период смещение вдоль
слоя,

Vдр i
очевидно,
составляет
два
ларморовских диаметра, так что скорость
дрейфа
i
Рис.3.6. Градиентный дрейф при
смене направления магнитного поля
для
4
Vдр 
этого
случая:
V
2rл
 л 2V
.


T
2

2
л
§3.3. Дрейф в магнитном поле прямого тока.
Дрейф заряженных частиц в неоднородном магнитном поле прямого проводника
тока связан, прежде всего с тем, что магнитное поле обратно пропорционально
расстоянию от тока, поэтому будет существовать градиентный дрейф движущейся в нем
заряженной частицы. Кроме этого дрейф связан с кривизной магнитных силовых линий.
Рассмотрим две составляющие этой силы, вызывающей дрейф, и соответственно получим
две составляющие дрейфа.
п. 3.3.1. Диамагнитный (градиентный) дрейф.
Механизм градиентного дрейфа состоит в том, что частица имеет различные
радиусы вращения в разных точках траектории: часть времени она проводит в более
сильном поле, часть в более слабом поле. Изменение радиуса вращения и создает дрейф
(рис.3.7).
Вращающуюся
вокруг
силовой
линии
заряженную
частицу
можно
рассматривать как магнитный диполь эквивалентного кругового тока. Выражение для
скорости градиентного дрейфа можно получить из известного выражения для силы,

действующей на магнитный диполь в неоднородном поле: F   H - диамагнитная

W 
H
сила, выталкивающая магнитный диполь из сильного поля, где  
,     , где
H
H
W поперечная к магнитному полю составляющая кинетической энергии частицы. Для
магнитного поля, как можно показать, справедливо соотношение: H 

Hn
, где Rкр Rкр

радиус кривизны силовой линии, n - единичный вектор нормали.
Используя соотношение (3.2) для скорости дрейфа в поле произвольной силы, получим:

r
  
b  r n

n
Rкр
i

Vдр i

H
R

Vдр е


c mV2 H  H
Vдр  

q 2H
H2

V2 H  H
V2 


b
2 л
2 л Rкр
H2
- скорость диамагнитного (градиентного)


дрейфа, где b - бинормаль к силовой
линии. Направление дрейфа по бинормали
e
различно для электронов и ионов.
Рис. 3.7. Диамагнитный дрейф в магнитном
поле прямого тока.
п. 3.3.2. Центробежный (инерционный) дрейф.
При движении частицы, навивающейся на силовую линию с радиусом кривизны

mV||2 
Rкр, на нее действует центробежная сила инерции Fц  
n , и возникает дрейфовая
Rкр

Vдр e
скорость, равная по величине:
Rкр

mV||2 
Fц  
n


Rкр
mV||2 H  n
V||2 
c

Vдр 

b , где V Vдр i
m Rкр H 2
 л Rкр
Рис. 3.8. Центробежный дрейф в магнитном
поле прямого тока.
составляющая скорости частицы, параллельная
магнитному полю.
п. 3.3.3. Тороидальный дрейф (диамагнитный + центробежный).
Дрейф в неоднородном магнитном поле прямого проводника тока представляет
собой сумму скоростей градиентного и центробежного дрейфов (тороидальный дрейф):
V2
 V||2 

109  2W||  эВ   W  эВ 
 см 
2
V

Vдр 
b . Для электронов:   др
.
H  Гc   Rкр  cм 
 л Rкр
 с 
п. 3.3.4. Поляризационный дрейф.
Так как ларморовская частота  л содержит заряд  л 
qH
, то электроны и ионы в
mc
неоднородном магнитном поле дрейфуют в противоположных направлениях, ионы в
направлении протекания тока
электроны – против тока, создавая диамагнитный ток.
Кроме того, при разделении зарядов в плазме возникает электрическое поле E  , которое


перпендикулярно магнитному полю. В скрещенных E   H полях электроны и ионы

Vдр

H

E
дрейфуют
уже
в
одном
направлении
 

FH
Vдр  c
, то есть происходит вынос плазмы
H2
на стенки
проявляется
Рис. 3.9. Поляризационный дрейф в плазме.
как целого. В этом опять же
диамагнетизм
плазмы,
плазма
стремится в область слабого магнитного поля.