Форма Жордана и построение матрицы перехода

Алгоритм построения жордановой формы матрицы и матрицы перехода.
Пусть дана вещественная постоянная матрица A размерности n  n .
1. Решая уравнение
det( E  A)  0 , находим все собственные числа матрицы A .
Обозначим эти числа как  j ; j  1,2 p и пусть алгебраическая кратность числа
 j есть k j , при этом

p
j 1
kj  n .
2. Для собственного числа 1 с алгебраической кратностью k1 находим все
соответствующие ему линейно независимые собственные векторы из системы
уравнений (1E  A)l  0 (или ( A  1E)l  0 , что безразлично). Пусть таким
образом найдено m1 векторов. Обозначим их как l1(1) , l2(1) ,lm(11) . Число m1 есть
геометрическая кратность собственного числа 1 , при этом m1  k1 . Если из
системы удалось найти все k1 собственных векторов, то сразу переходим к
следующему собственному числу 2 и ищем собственные векторы для него и т. д.
Если же геометрическая кратность числа 1 оказалась меньше его алгебраической
кратности, нужно строить корневые векторы.
Замечание. Если собственные числа матрицы A образуют комплексно
сопряжённую пару   i , то для построения двух линейно независимых
собственных векторов, соответствующих этой паре собственных чисел, решаем
систему ((  i ) E  A)l  0 . В получающемся комплексном векторе l отделяем
вещественную и мнимую части и таким образом получаем два вещественных
вектора.
3. Построение корневых векторов. Пусть для собственного числа 1 при нахождении
линейно независимых собственных векторов получилось, что m1  k1 . Тогда
необходимо построить корневые векторы. Они строятся следующим образом:
Решаем систему (1E  A)  l1(1) . Получили корневой вектор 11(1) , «добавочный» к
собственному вектору l1(1) . Далее решаем систему (1E  A)  11(1) , получаем
следующий корневой вектор 12(1) , и действуем так дальше до тех пор, пока
получаемые системы оказываются совместны. В результате у нас получается
цепочка: собственный вектор l1(1) и следующие за ним «добавочные» или корневые.
Цепочка
имеет
вид:
l1(1) , 11(1) , 12(1) ,
Длина
такой
цепочки
соответствует
размерности одной клетки Жордана, соответствующей числу 1 .
Замечание. Одному и тому же собственному числу в жордановой форме могут
соответствовать как одна, так и несколько клеток.
Когда первая цепочка l1(1) , 11(1) , 12(1) , закончилась, так же начинаем строить цепочку
от второго собственного вектора l2(1) , соответствующего всё тому же собственному
(1)
(1)
числу 1 . Суммарная длина всех цепочек l1(1) , 11(1) , 12(1) ,, l2(1) , 21
, 22
,, lm(11) , m(11)1, с
верхним индексом (1) равна k1 - алгебраической кратности числа 1 .
Аналогично проводим построение собственных и корневых векторов для всех
остальных собственных чисел матрицы.
4. «Сборка» матрицы перехода.

(1)
(1)
S  l1(1) , 11(1) , 12(1) ,, l2(1) , 21
, 22
,, lm(11) , m(11)1 ,, l1( 2) , 11( 2) , 12( 2) ,, lm( pp) ,

Собственный вектор l1(1) + цепочка, построенная от него, далее собственный вектор
l2(1) + цепочка от него и т. д. пока не переберём все собственные векторы,
отвечающие числу 1 ; далее собственные векторы со своими цепочками,
отвечающие числу 2 , потом числу 3 и так далее.
5. J ( A)  S 1 AS ; e At  Se J ( A) t S 1 .
ПРИМЕРЫ.
Пример 1.
1 1 0


A   0 1 2  . Собственные числа: 1  2  1; 3  2 .
 0 0 2


Строим собственные векторы, отвечающие числу 1 с алгебраической кратностью 2.
0 1 0
1


 
(1)
( A  1E )l   0 0 2 l  0 . Отсюда l1   0  (заметим, что первая компонента
0 0 1
 0


 
может быть выбрана произвольно). Других, линейно независимых, векторов из
этой системы построить нельзя. Итак, геометрическая кратность числа 1 равна 1.
Нужно строить корневой вектор (очевидно, он будет только один, так как третий
нужный вектор даст второе собственное число, равное 2).
0 1 0
1
 


 
 
Рассмотрим систему ( A  1E )   l или  0 0 2     0  , откуда    1  . Число
0 0 1
 0
0


 
 
 может быть выбрано произвольно, положим   0 . Заметим, что следующая
0 1 0
 0


 
система  0 0 2     1  уже несовместна, как и должно быть. Итак, собственному
0 0 1
 0


 
числу 1  2  1 соответствует одна цепочка из двух векторов и значит – одна
(1)
1
клетка Жордана размерности 2.
Строим собственный вектор, соответствующий собственному числу 3  2 .
 1 1 0
 2 


 
( 2)
Рассматриваем систему ( A  2 E )l   0  1 2 l  0 , откуда l1   2  . Пусть
 0 0 0
 


 
  1 , тогда окончательно получаем
1 0 2


S   0 1 2 ;
0 0 1


построена.
S
1
1 0  2
1 1 0




1
  0 1  2  ; J ( A)  S AS   0 1 0  . Жорданова форма
0 0 1 
 0 0 2




Матрица e At  Se J ( A) t S 1 .
Пример 2.
0  4 0 


A  1  4 0  .
1  2  2


Собственные числа: 1  2  3  2 . Алгебраическая
кратность числа равна трём.
Строим собственные векторы.
  2 4 0
 2
 0


 
 
(1)
(1)
(2 E  A)l    1 2 0 l  0 . Отсюда l1   1  ; l2   0  (последняя компонента
 1 2 0
1
1


 
 
может быть выбрана произвольно). Других, линейно независимых, векторов из
этой системы построить нельзя. Следовательно, геометрическая кратность
собственного числа равна 2.
Нужно построить корневой вектор. Рассмотрим систему (2E  A)  l1(1) или
  2 4 0
 2
  3


 
 
  1 2 0     1  , откуда можно выбрать, например     1  .
 1 2 0
1
 0 


 
 
А вот аналогичная система для второго собственного вектора:
(2E  A)  l2(1)
  2 4 0
 0


 
или   1 2 0     0  - несовместна.
 1 2 0
1


 
Таким образом, получились две цепочки. Одна состоит из двух векторов –
собственного вектора l1(1) и «добавочного» к нему корневого вектора, другая
цепочка состоит из одного вектора – собственного вектора l2(1) . Это означает, что
собственному числу 1  2  3  2 будут соответствовать две клетки Жордана:
одна – размерности 2 и другая – размерности 1.
Окончательно получим:
0 
 1 3 0
 2 1
 2  3 0






1
1
S   1  1 0 ; S    1 2 0  ; J ( A)  S AS   0  2 0  .
 1  3 1
 0
1 0 1
0  2 





Жорданова форма построена. Матрица e At  Se J ( A) t S 1 .