Теория потенциала Теория потенциала

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики
6 семестр
Лекция 5
Теория потенциала 2.
12 мая 2014 года
Лектор: профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Теория потенциала
Потенциал простого слоя
xn
S
f ( x)
u ( x )   E ( x, y ) f ( y )dS y
S
x2
x1
n  3  u( x )  
S
n  2  u( x )  
f ( y )dS y
4 | x  y |
1
2
 f ( y ) ln | x  y | dS
S
y
Теория потенциала
Асимптотика на бесконечности
Q   f ( y )dS ,
S


M   yf ( y )dS    y1 f ( y )dS ,  y2 f ( y )dS ,...,  yn f ( y )dS 
S
S
S
S

( M , x )  M 1 x1  M 2 x2  ...  M n xn
n  2  u( x ) 
Q
( n  2) n | x |n 2
 1 
( M , x)

 O  n  , | x | 
n
n | x |
| x | 


 1 
Q
( M , x)

 O  3  , | x |  
 n  3  u( x ) 
3
4 | x | 4 | x |
| x | 


Теория потенциала
 1 
Q
( M , x)
n  2  u( x )  
ln | x | 
 O  2  , | x | 
2
2
2 | x |
| x| 


 Q   f ( y )dS , M   yf ( y )dS 
S
S


u( x ) ограничена  lim u( x )  0 
|x|
 f ( x)dS
S
x
0
Теория потенциала
f  C(S )
u( x )  C ( R n ), u( x )  C  ( R n \ S ), u( x )  0 ( x  C  ( R n \ S ))
 x
0
x
S
x0

 u

  x0


u
(
x
)

lim
( x)

0
x  x0 
x0
справа


 u 
u
( x)

 ( x0 )  xlim

x
0 
x0
слева
  x0 
u
E ( x, y )
( x)  
f ( y )dS y ( x  x0 )
 x0
 x0
S
u
E ( x0 , y )
( x0 )  
f ( y )dS y
 x0
 x0
S
Прямое
значение
нормальной
производной
Теория потенциала

 u

  x0

u
f ( x0 )
( x0 ) 
 ( x0 ) 
 x0
2

 u

  x0

u
f ( x0 )
(
x
)

(
x
)


0
0


2
x0


Теорема Гаусса о поверхностной дивергенции
 u

  x0

  u
  
   x0


   f ( x0 )

Теория потенциала
xn
Потенциал двойного слоя
x
S
E ( x, y )
u( x )  
f ( y )dS y
 y
S
x2
x1
E ( x, y )
xi  yi
E ( x, y )
xi  yi



n
xi
n | x  y |
yi
 n | x  y |n
1
 y E ( x, y ) 
( x  y)
n
n | x  y |
( x  y , y )
E ( x, y )
   y E ( x, y ), y  
 y
 n | x  y |n
Теория потенциала
u( x )  
S
( x  y, y )
n | x  y |
n
f ( y )dS y
Асимптотика на бесконечности
 1 
( M , x)
u( x ) 
 O  n  , | x | 
n
n | x |
| x | 


M    y f ( y )dS     1 f ( y )dS ,   2 f ( y )dS ,...,   n f ( y )dS 
S
S
S
S

( M , x )  M 1 x1  M 2 x2  ...  M n xn
Теория потенциала
 1 
( M , x)
n  3  u( x ) 
 O  3  , | x | 
3
4 | x |
| x | 
n  2  u( x ) 
 1 
( M , x)

O
, | x | 

2
2 
2 | x |
| x| 
f  C(S )
u( x)  C  ( R n \ S ), u( x)  0 ( x  C  ( R n \ S ))
Теория потенциала
 x
u  ( x0 )  lim u( x )
0
x  x0
справа
x
u  ( x0 )  lim u( x )
S
x0
x  x0
слева
E ( x0 , y )
f ( y )dS
 y
S
u( x0 )  

f ( x0 )
2
f ( x0 )

u ( x0 )  u( x0 ) 
2
u  ( x0 )  u( x0 ) 
 u

  x0


 u
  

  x0




u  ( x0 )  u  ( x0 )  f ( x0 )
u  ( x0 )  u  ( x0 )
u ( x0 ) 
2
Теория потенциала
Интеграл Гаусса
( x  y, y )
E ( x, y )
uG ( x )  
dS y  
dS y
n
 y
n | x  y |
S
S
S  

 0, x  R n \ 

uG ( x )   1 / 2, x  S
 1, x  

Теория потенциала
1) x  R n \ 
E(x,y) - гладкая гармоническая функция в области Ω, по
следствию из формулы Грина
2) x  
E ( x, y )
uG ( x )  
dS y  0
 y
S
Воспользуемся интегральным представлением гладкой
гармонической функции u(x)=–1

 ( 1)
E ( x, y ) 
E ( x, y )
1    E ( x, y )
 ( 1) 
dS y  uG ( x )
 dS y  

 y
 y 
 y
S
S
3) x  S
u  ( x )  u  ( x ) 0  ( 1)
1
u( x ) 


2
2
2
Теория потенциала
Решение краевых задач с помощью потенциалов
S



 u( x )  0, x   

u( x )   ( x ), x  S
(D )
 u( x )  0, x   

u( x )   ( x ), x  S
u( x )ограничена (n  2)

 lim u( x )  0 ( n  3)
|x|
(D )
E ( x, y )
u( x )  
f ( y )dS y
 y
S
Теория потенциала
Внутренняя задача Дирихле:
E ( x, y )
f ( x)
u ( x)   ( x)  
f ( y )dS y 
  ( x)
 y
2
S

E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  2 ( x )
 y
S
Внешняя задача Дирихле:
E ( x, y )
f ( x)
u ( x)   ( x)  
f ( y )dS y 
  ( x)
 y
2
S

E ( x, y )
f ( y )dS y  2 ( x )
 y
S
f ( x)  2
Теория потенциала
S



 u( x )  0, x   

 u( x )
    ( x ), x  S
(N )
 u( x )  0, x   

 u( x )   ( x ), x  S
 

u( x )ограничена ( n  2)

u( x )  0 ( n  3)
|lim
x|
(N  )
u( x )   E ( x, y ) f ( y )dS y
S
Теория потенциала
Внутренняя задача Неймана:

 u 

 ( x)   ( x) 
  
E ( x, y )
f ( x)
S  x f ( y )dS y  2   ( x)
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  2 ( x )
 x
S
Внешняя задача Неймана:

 u 

 ( x)   ( x) 
  
E ( x, y )
f ( x)
S  x f ( y )dS y  2   ( x)
E ( x, y )
f ( y )dS y  2 ( x )
 x
S
f ( x)  2
Теория потенциала
Теория Фредгольма
f ( x )    K ( x, y ) f ( y )dS y  F ( x )
(1)
S
f ( x )    K ( x, y ) f ( y )dS y  0
(2)
S
f ( x )    K ( y , x ) f ( y )dS y  F ( x )
(3)
S
f ( x )    K ( y , x ) f ( y )dS y  0
S
Ортогональность:
 f ( y ) F ( y )dS
S
y
0
(4)
Теория потенциала
Интегральные уравнения теории потенциала
E ( x, y )
f ( y )dS y  2 ( x )
 y
S
(D )
E ( x, y )
f ( y )dS y  2 ( x )
 y
S
(D )
f ( x)  2
E ( x, y )
f ( y )dS y  2 ( x )
 x
S
(N )
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  2 ( x )
 x
S
(N  )
f ( x)  2
f ( x)  2
Теория потенциала
Лемма о решении уравнения (N+)
E ( x, y )
f ( y )dS y  2 ( x) 
 x
S
f ( x)  2

 f ( x)dS
x
    ( x)dS x
S
S
E ( x, y )
f ( y )dS y  2   ( x )dS x
 x
S
S
f ( x )dS x  2  dS x 
S
S
 E ( x, y )

E ( x, y )
S dS x S  x f ( y )dS y  S  S  x dS x  f ( y )dS y 
E ( y , x )
1
1
 
dS x f ( y )dS y   f ( y )uG ( y )dS y    f ( y )dS y    f ( x )dS x
 x
2S
2S
S S
S
 f ( x )dS   f ( x )dS
x
S
S
x
 2   ( x )dS x 
S
 f ( x)dS
S
x
    ( x )dS x
S
Теория потенциала
Исследование первой пары интегральных уравнений (n=3)
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  2 ( x )
 y
S
(D )
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  2 ( x )
 x
S
(N  )
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  0
 x
S
u( x )   E ( x, y ) f ( y )dS y
S

E ( x, y )
f ( x)
 u 
f ( y )dS y 
0

 ( x)  
 x
2
  
S
Теория потенциала
 u( x )  0, x   



u



 ( x )  0, x  S
  
u( x )  0 (| x | )

u( x )  0, x 

u( x )  0, x  S
 u( x )  0 ( x    )

u( x)  0 ( x  )
u( x )  0 ( x  R 3 )

 u  

 u 
f ( x )   
 ( x)  
 ( x)  0
  x 

  x 
Теория потенциала
Следствие 1. Внутренняя задача Дирихле при n=3
имеет решение для любой непрерывной граничной
функции, это решение единственно и представимо
потенциалом двойного слоя.
Следствие 2. Внешняя задача Неймана при n=3 имеет
решение для любой непрерывной граничной функции,
это решение единственно и представимо потенциалом
простого слоя.
Теория потенциала
Исследование первой пары интегральных уравнений (n=2)
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  2 ( x )
 y
S
(D )
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  2 ( x )
 x
S
(N  )
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  0
 x
S
u( x )   E ( x, y ) f ( y )dS y
S

E ( x, y )
f ( x)
 u 
f ( y )dS y 
0

 ( x)  
 x
2
  
S
Теория потенциала
 u ( x )  0, x   

 u  

 ( x )  0, x  S
  
u( x )  
 f ( x)dS
S
x
    ( x )dS x  0
S
 1 
Q
( M , x)
ln | x | 

O
, | x | 

2
2 
2
2 | x |
| x | 
Q   f ( y )dS  0  u( x )  0(| x | )  u( x) ограничена
S

u( x )  const


u
(
x
)

0
(
x


)
 lim u( x )  0

|x|
Теория потенциала
u( x )  0, x 

u( x )  0, x  S

u( x)  0 ( x  )
u( x )  0 ( x  R 2 )

 u  

 u 
f ( x )   
 ( x)  
 ( x)  0
  x 

  x 
Следствие 1. Внутренняя задача Дирихле при n=2
имеет решение для любой непрерывной граничной
функции, это решение единственно и представимо
потенциалом двойного слоя.
Теория потенциала
Дополнительный анализ интегрального уравнения N+ (n=2)
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  2 ( x)
 x
S
u( x )   E ( x, y ) f ( y )dS y
S
u( x )  
(N  )
 u( x )  0, x   

  u  

 ( x )   ( x ), x  S
  
 1 
Q
( M , x)
ln | x | 

O
, | x | 

2
2 
2
2 | x |
| x| 
Q   f ( y )dS     ( x )dS  u( x ) ограничена 
S
S
  ( x)dS  0
S
Теория потенциала
Следствие 2. Внешняя задача Неймана для
непрерывной граничной функции φ(x) при n=2 имеет
решение тогда и только тогда, когда эта граничная
функция удовлетворяет условию
  ( x )dS  0
S
Решение задачи определено с точностью до
постоянного слагаемого и одно из решений
(убывающее к нулю на бесконечности) представимо
потенциалом простого слоя.
Теория потенциала
Исследование второй пары интегральных уравнений
E ( x, y )
f ( y )dS y  2 ( x )
 y
S
(D )
E ( x, y )
f ( y )dS y  2 ( x )
 x
S
(N )
f ( x)  2
f ( x)  2
E ( x, y )
f ( x)  1  f ( x)  2 
f ( y )dS y  0
 y
S
E ( x, y )
 1
dS y  1  2uG ( x )  1  2      0
 y
 2
S
1  2
Теория потенциала
Лемма. Пусть
и
E ( x, y )
f ( y )dS y  0
 x
S
f ( x)  2
(N  )
u( x )   E ( x, y ) f ( y )dS
тогда внутри S
S
u( x )  const ( x    )
 u( x )  0, x   

 u( x )  const ( x    )
 u( x )
   0, x  S
Теория потенциала
Одномерность собственных подпространств (n≥3)
Лемма. Если потенциал простого слоя равен нулю внутри S, то
его плотность равна нулю.
u( x )  0 ( x    )  u( x ) xS  0
 u( x )  0, x   


u
(
x
)

0,
x

S

u
(
x
)

0
(
x


)

 lim u( x )  0
|x|


 u   u 
u( x )  0  f ( x )   
 
 0
  x    x 
Теория потенциала
E ( x, y )
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  0, g ( x )  2 
g ( y )dS y  0,
 x
 x
S
S
f
 0
u( x )   E ( x, y ) f ( y )dS y , v ( x )   E ( x, y ) g ( y )dS y
S
S
u( x )  c1  0, v ( x )  c2 ( x    )
 ( x )  c2 f ( x )  c1 g ( x ), w( x )   E ( x, y ) ( y )dS y  c2u( x )  c1v ( x )
S
x     w( x )  c2c1  c1c2  0   ( x )  0
c2
c2 f ( x )  c1 g ( x )  0  g ( x ) 
f ( x)
c1
Теория потенциала
Одномерность собственных подпространств (n=2)
Лемма.
E ( x, y )

f
(
x
)

2
S  x f ( y )dS y  0


  f ( y )dS  0
 S
 f 0
u( x )   E ( x, y ) f ( y )dS  u( x )  const ( x    )
S
u( x )   const  u( x ) S  const
Q   f ( y )dS  0  u( x )  0 (| x | )
S
Теория потенциала
 u( x )  0 ( x    )

u( x ) S  const

u( x )  0 (| x | )

(D )
u( x )  const ( x    )  u( x )  const ( x  R 2 )
u( x )  const ( x  R 2 )
2
 u( x )  0 ( x  R )

u( x )  0 (| x | )
 u    u   
f ( x )   
 
 0
  x    x  
Теория потенциала
E ( x, y )
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  0, g ( x )  2 
g ( y )dS y  0
 x
 x
S
S
f
 0   Q   f ( y )dS y  0
S
u( x )   E ( x, y ) f ( y )dS y , v ( x )   E ( x, y ) g ( y )dS y
S
S
1
 ( x )  cf ( x )  g ( x ), c   g ( y )dS y , w( x )   E ( x, y )  ( y )dS y
QS
S
  ( y )dS
S
y
 c  f ( y )dS y   g ( y )dS y  cQ   g ( y )dS y  0
S
S
S
E ( x, y )


(
x
)

2
S  x  ( y )dS y  0

  ( x )  0  g ( x )  cf ( x )

   ( y )dS y  0
 S
Теория потенциала
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  0
 y
S
( D0 )
E ( x, y )
f ( y )dS y  0
 x
S
( N 0 )
f ( x)  2
1) Пространство решений однородного уравнения
внешней задачи Дирихле состоит из констант.
2) Пространство решений однородного уравнения
внутренней задачи Неймана одномерно (все решения
пропорциональны любому одному из ненулевых
решений этого уравнения).
Теория потенциала
Потенциал Робена
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  0
 x
S
u( x )   E ( x, y ) f ( y )dS y , u( x )  const ( x    )
S
f  0  const  0
Выбираем решение, для которого эта константа равна 1
(плотность Робена и потенциал Робена):
uR ( x )   E ( x, y ) f R ( y )dS y
S
uR ( x )  1 ( x   )
Теория потенциала
Физический смысл потенциала Робена (n=3)
Q


S – идеальный проводник
Q – заряд на S

S











u ( x)   E ( x, y ) f ( y)dS y
S
u ( x) S  const
u ( x)  0, x 
 u( x)  const , x 

u ( x)  const , x  S
E ( x, y)
f ( x)  2
f ( y)dS y  0
 x
S
Q  Cu (C  емкость S )
u ( x)   1  Q  C
Теория потенциала
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  0
 y
S
( D0 )
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  2 ( x)
 x
S
(N  )
Условие разрешимости:
  ( x)dS
x
 0 ( R)
S
Следствие. Внутренняя задача Неймана для непрерывной
граничной функции φ(x) имеет решение тогда и только тогда,
когда эта граничная функция удовлетворяет условию (R).
Решение задачи определено с точностью до постоянного
слагаемого и одно из решений представимо потенциалом
простого слоя.
Теория потенциала
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  2 ( x)
 y
S
(D )
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  0
 x
S
( N 0 )
Условие разрешимости:
  ( x) f
R
( x)dS x  0 ( R)
S
Следствие. Если для непрерывной граничной функции φ(x)
выполнено условие (R), то решение внешней задачи Дирихле
существует, единственно и представимо потенциалом двойного
слоя.
Теория потенциала
Пример.
1
1) n  3, S  {x  R :| x | 1}, u( x ) 
| x |n 2
n
 u( x )  0, |x | 1

u( x )  1, x  S
 lim u( x )  0
|x|
uдв.слой ( x ) 
 1 
 1 
 1 
( M , x)

O

O

o
, | x | 



n
n 
n 1 
n 2 
n | x |
| x| 
| x| 
| x| 
Решение внешней задачи Дирихле нельзя представить потенциалом
двойного слоя, следовательно, условие (R) не выполнено.
Теория потенциала
Пример.
2) n  2, S  {x  R n :| x | 1}, u( x)  1
 u( x )  0, |x | 1

u( x )  1, x  S
u( x ) ограничена

uдв.слой ( x ) 
 1 
 1 
( M , x)

O

O
, | x | 



2
2 
2 | x |
| x | 
 | x |
lim uдв.слой ( x )  0
|x|
Решение внешней задачи Дирихле нельзя представить потенциалом
двойного слоя, следовательно, условие (R) не выполнено.
Теория потенциала
Разрешимость внешней задачи Дирихле для произвольной
непрерывной граничной функции
1) n  3
E ( x, y )
f ( y )dS y ( x0  )
 y
S
u( x )   E ( x, x0 )  
 E ( x, x0 )  потенциал точечного заряда в R n
E ( x, y )
f ( x)
 ( x )  u ( x )   E ( x, x0 )  
f ( y )dS y 
 y
2
S

E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  2  ( x )   E ( x, x0 ) 
 y
S
Теория потенциала
Условие разрешимости:
 2  ( x )   E ( x, x )  f
0
R
( x )dS x  0
S
  E ( x, x0 ) f R ( x )dS x    ( x ) f R ( x )dS x
S
S
x0      E ( x, x0 ) f R ( x )dS x  uR ( x )  1
S
    ( x ) f R ( x )dS x
S
Теория потенциала
Следствие. Решение внешней задачи Дирихле при n≥3
существует для любой непрерывной граничной функции,
единственно и представимо в виде суммы потенциала
точечного заряда и потенциала двойного слоя.
2) n  2
E ( x, y )
u( x )    
f ( y )dS y
 y
S
E ( x, y )
f ( x)

 ( x)  u ( x)    
f ( y )dS y 
 y
2
S
E ( x, y )
f ( x)  2
f ( y )dS y  2  ( x )   
 y
S
Теория потенциала
Условие разрешимости:
 2  ( x)    f
R
( x )dS x  0
S
  f R ( x )dS x    ( x ) f R ( x )dS x
S
Q
S
S
1
f R ( x )dS x  0      ( x ) f R ( x )dS x
QS
Следствие. Решение внешней задачи Дирихле при n=2
существует для любой непрерывной граничной функции,
единственно и представимо в виде суммы константы и
потенциала двойного слоя.
Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Уравнения математической физики.
Теория потенциала 2.
Лекция 5 завершена.
Спасибо за внимание!
Тема следующей лекции:
Специальные функции 1.
Лекция состоится в понедельник 19 мая
В 10:00 по Московскому времени.