Учитель: Щуракова Л.А. с. Б. Сорокино 2009г.

Учитель: Щуракова Л.А.
с. Б. Сорокино 2009г.
1) Вступление.
2) Алгоритмы для решения заданий с производной.
3) Задания А-части в тестах ЕГЭ.
4) Задания В-части в тестах ЕГЭ.
5) Задания С-части в тестах ЕГЭ.
Задания, где требуется применение производной функции
наиболее часто встречаются в Едином Государственном
Экзамене. Это задания А-части (нахождение производной и
её физический смысл), задания B-части (графики с
использованием производной, нахождение наибольшего и
наименьшего значений функции) и задания C-части (задания
с развернутым ответом, при решении которых необходимо
использовать производную функции). Поэтому, мы считаем,
что наш слайд поможет выпускникам успешного выполнить
подобные задания на ЕГЭ.
Алгоритм монотонности функции:
1) Находим область определения (D).
2) Находим производную функции.
3) Находим стационарные точки (f ’(x)=0).
4) Методом интервалов устанавливаем промежутки знаков постоянства
производной.
5) Если на промежутке f ’(x)>0, то функция возрастает на данном промежутке.
Если на промежутке f ’(x)<0, то функция убывает на данном промежутке.
Алгоритм нахождения точек экстремума:
1) Находим область определения (D).
2) Находим производную функции.
3) Находим стационарные точки (f ’(x)=0).
4) Методом интервалов устанавливаем промежутки знаков постоянства
производной.
5) Если при переходе через
производная меняет знак с “+” на “-”, то это точка
max, если наоборот, то точка min.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на
отрезке
:
1) Найти значения функции на концах отрезка, т. е. числа f (a) и f (b).
2) Найти её значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу
(a; b).
3) Из найденных значений выбрать наибольшее и (или) наименьшее.
1) Найти момент остановки тела, движущегося по закону
Решение.
О т в е т: 3.
2) Найдите производную функции
.
3) Точка движется по координатной прямой согласно закону
,
где
– координата точки в момент времени t. В какой момент времени
скорость точки будет равна 5?
4) Найдите производную функции
5) Через точку графика функции у = ех –
с абсциссой х0 = 1
проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона этой касательной к
оси абсцисс.
6) При движении тела по прямой расстояние S ( в метрах) от
начальной точки движения изменяется по закону S(t) =
(t –
время движения в секундах).
Найдите
скорость (м/с)
тела через
4 секунды
после начала
движения.
.
1) Функция y = f (x) определена на промежутке (-3;7). На рисунке
изображен график её производной. Найдите точку x0, в
которой функция y = f (x) принимает наименьшее значение.
Решение. На промежутке (-3;3) производная функции y = f (x)
отрицательна, и эта функция непрерывна на промежутке (3;3],
следовательно, данная функция убывает на промежутке (3;3].
С другой стороны, на промежутке (3;7) производная функции
y = f (x) положительна, и эта функция непрерывна на
промежутке [3;7), следовательно, данная функция возрастает
на промежутке [3;7). Таким образом, свое наименьшее
значение функция y = f (x) принимает в точке x0 = 3.
2) При каком наименьшем натуральном значении n уравнение
ровно один корень?
Решение. Запишем данное уравнение в виде
Рассмотрим функции
и
.
Построим схематически график функции
D(y1)=R.
имеет
.
Рис. 1
Очевидно, что уравнение имеет единственное решение,
если –n>175 или -n<-81, то есть n<-175 или n>81.
Наименьшее натуральное значение n равно 82 (рис. 2).
О т в е т: 82.
3) Функция у = f(x) определена на промежутке (– 6; 4). График ее
производной изображен на рисунке. Укажите точку минимума
функции у = f(x) на этом промежутке.
у
у = f (x)
1
–6
4) Найдите наибольшее целое значение функции
1
4
.
5) Найдите наименьший корень уравнения
6) Найдите наименьшее значение функции
0
.
.
Примечание. Не всегда задания на нахождение наибольшего и наименьшего значений
функции нуждаются в применении производной, так как их проще решить при помощи
анализа данной функции.
х
1) Найдите значение функции
Решение.
1. Найдем область определения функции
в точке максимума.
:
Упростим формулу, задающую функцию:
2.
,
при
( x = 1 не принадлежит области определения функции f).
x = - 1 – точка максимума f (-1) = 2.
О т в е т: 2.
2) Для монтажа оборудования необходима подставка объемом 1296 дм3 в форме
прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в
пол, а ее задняя стенка – в стену цеха. Для соединения подставки по ребрам, не
вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при
которых общая длина сварочного шва будет наименьшей.
Решение. 1. В основании подставки лежит квадрат. Пусть x – длина его стороны, а y –
и
, т. е.
.
высота подставки. Тогда ее объем равен
2. Сварить надо 3 ребра верхнего основания и 2 ребра грани, параллельной стене. Значит,
общая длина L сварки равна 3x + 2y, т. е.
,
.
3. Найдем производную
Поэтому
.
,
т.е. функция L (x) при x > 0 имеет единственную критическую точку x = 12 .
и L’(x) < 0. Если x > 12 , то
и
4. Если 0 < x < 12, то
Значит, x = 12 является точкой минимума и
О т в е т: 12 дм, 12 дм и 9 дм.
.
. Тогда высота подставки равна
3) Стороны прямоугольника равны 2 и 5. Через каждую точку на его меньшей стороне
провели прямую, отсекающую прямоугольный треугольник с периметром 8. Найдите
наименьшее значение площади оставшейся части прямоугольника.
4) Найдите наибольшее значение функции
.
5) Требуется разметить на земле участок АСDЕGНМN площадью 1200м2,
состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную
на рисунке, где ЕG = 30 м, НМ = 5 м, МN = 20 м и DЕ >= 10 м. Найдите
наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин
КL, АL и DE, при которых периметр является наименьшим.
6) Для монтажа оборудования необходима подставка объемом 162 дм3 в форме
прямоугольного параллелепипеда. Квадратное основание подставки будет вмонтировано в
пол, а ее задняя стенка — в стену цеха. Для соединения подставки по ребрам, не
вмонтированным в пол или стену, используется сварка. Определите размеры подставки, при
которых общая длина сварочного шва будет наименьшей.