Решения заданий

Решения заданий
второго этапа олимпиады «Математический марафон»
Задача 1. Сумма трёх последовательных натуральных чисел равна 99. Найдите
произведение этих чисел.
Ответ: 35904.
Решение. Обозначим меньшее из искомых чисел х, тогда следующие числа будут х + 1
и х + 2. Т. к. сумма трёх этих чисел равна 99, то получаем уравнение: х+х+1+х+2 = 99.
Откуда, находим три последовательных числа: 32, 33, 34, произведение которых
равно 35904.
Задача 2. В примере на умножение ЛИД  ЕР  7632 использованы все цифры от 1 до
9, каждая по одному разу. Какую цифру заменяет каждая буква?
Ответ: ЛИД  ЕР  159  48
Решение. Заметим, что 7632  24  32  53 . Куда может входить множитель 53? ЕР  53 ,
поскольку цифра 3 уже встречается. Если же 53 умножить хотя бы на 2, то получится
трехзначное число. Поэтому 53 входит в множитель ЛИД, и этот множитель равен
произведению 53 и какого-то числа двоек и троек (или только троек). Рассмотрим
такие произведения: 53  2  106 , 53  3  159 , 53  4  212 , 53  6  318 , 53  8  424 ,
53  9  477 , 53 12  636 (при дальнейшем увеличении числа второй множитель ЕР
станет однозначным). Теперь остается заметить, среди выписанных произведений
условиям задачи удовлетворяет только одно – это 159, этому множителю отвечает
значение ЕР, равное 24  3  48 , и это число отвечает условиям задачи. Итак,
ЛИД  ЕР  159  48 .
Задача 3. Бумажный треугольник разрезали прямым разрезом на две части. Потом
одну из полученных частей разрезали ещё раз на два куска, и так далее. Какое
наименьшее количество разрезов могло быть сделано, если общее количество углов у
всех получившихся фигур равно 2015?
Ответ: 503 разреза.
Решение. При разрезании выпуклого многоугольника прямым разрезом получаются
два многоугольника. При этом могут образоваться не более четырёх новых углов, то
есть, суммарное количество углов в образовавшихся многоугольниках превышает
количество углов первоначального многоугольника не более, чем на 4. Поскольку
2015  4  503  3 , то хватит 503 разреза.
Задача 4. Лена вырезала из бумаги четыре полоски одинаковой
ширины, но разной длины. Каждая следующая полоска на 1 см
длиннее предыдущей. Затем девочка составила из этих полосок
две фигуры (см. рис.). Сравните периметры получившихся фигур.
Ответ: периметр фигуры 1 на 2 см меньше, чем периметр фигуры
2.
Фигура 1
Фигура 2
Решение. Горизонтальные участки границ фигур дают
одинаковые вклад в периметры, поэтому будем сравнивать лишь длины вертикальных
участков границ. Пусть х – высота самой маленькой полоски. Тогда периметр фигуры
1 (без учета горизонтальных участков границы) равен
х + 1 + 1 + 1 + 3 + х = 2х + 6,
а периметр фигуры 2 равен
х + 2 + 1 + 2 + 3 + х = 2х + 8.
Итак, периметр фигуры 1 на 2 см меньше, чем периметр фигуры 1.
Задача 5. Помидор и баклажан вместе весят столько же, сколько огурец и кабачок.
Помидор вместе с огурцом весят меньше, чем баклажан с кабачком, а огурец вместе с
баклажаном весят меньше, чем помидор с кабачком. Какой из овощей самый
тяжелый?
Ответ: кабачок.
Решение. Обозначим через п вес помидора, б – вес баклажана, о – вес огурца и к – вес
кабачка. Тогда
п+б=о+к
п+о<б+к
о + б < п + к.
Равенство означает, что если на одну чашу весов положить помидор и баклажан, а на
вторую огурец и кабачок, то весы будут в равновесии. Первое из неравенств означает,
что если поменять местами баклажан и огурец, то баклажан и кабачок перевесят,
значит, баклажан тяжелее огурца, но тогда из равенства следует, что помидор легче
кабачка. Аналогично, второе неравенство означает, что если поменять на весах
местами помидор и огурец, то помидор и кабачок перевесят, значит, помидор тяжелее
огурца, но тогда баклажан легче кабачка. Итак, самый тяжелый овощ – кабачок.
Задача 6. В каждую клетку таблицы 3х3 надо вписать цифры: 5, 6 или 7.
Каждая цифра должна встречаться в каждой строчке и в каждом столбце. 5 d e
Три клетки таблицы уже заполнены. Сколькими способами можно завершить 6 5 b
a c k
это задание?
Ответ: один способ.
Решение. В клеточку а можно поставить только 7, в клеточку b – тоже.
5 7 6
Теперь в клетку с можно поставить лишь 6 (так как 5 уже есть во втором
6 5 7
столбце, а 7 – в третьей строке), поэтому в d можно вписать только 7. После
7 6 5
этого в клетку е можно вписать только 6, а в клетку k – только 5. Итак,
задание можно завершить лишь одним способом (см. таблицу).
Задача 7. Во дворе гуляют цыплята и утята. Если во двор выйдут ещё 10 утят, то всего
утят станет в вдвое больше, чем цыплят. Сколько цыплят должно уйти, чтобы среди
оставшихся птиц оказалось вдвое больше утят, чем цыплят?
Ответ: 5 цыплят.
Решение. Пусть сначала было х цыплят и y утят. Тогда у + 10 = 2х. Отсюда получаем:
у = 2х – 10, или у = 2(х – 5). Это соотношение показывает, что при уменьшении на 5
числа цыплят, утят будет вдвое больше.
Задача 8. Улитки Ляля и Зизи преодолевают десятиметровую дистанцию, стартуя
одновременно с одного старта. Ляля каждый метр проползает за 2 минуты, а потом 2
минуты отдыхает. Зизи передвигается в 2 раза быстрее, но отдыхает после каждого
метра 4 минуты. В скольких точках дистанции (кроме старта и финиша) обе улитки
побывают одновременно?
Ответ: в 4 точках.
Решение. Будем отмечать на числовой прямой точки, в которых улитки отдыхают.
1м
2м
3м
4м
5м
Ляля 3-я – 4-я мин
7-я – 8-я мин
11-я – 12-я
15-я – 16-я
19-я – 20-я
мин
мин
мин
Зизи 2-я – 5-я мин 7-я – 10-я мин
12-я – 15-я
17-я – 20-я
22-я – 25-я
мин
мин
мин
Из таблицы видно, что улитки встретятся в точках: 1 м, 2 м, 3 м и 4 м. То есть всего 4
точки.
Задача 9. Мама сказала детям: «Если я испеку каждому из вас по два пирожка, то
останется теста на три лишних пирожка, а если я захочу испечь каждому из вас по три
пирожка, то на два пирожка теста не хватит». Сколько детей у мамы?
Ответ: 5 детей.
Решение. Пусть число детей – х. Тогда 2х + 3 = 3х – 2 (в левой и правой частях
равенства написано количество пирожков, которое можно испечь). Откуда, х = 5.