х
advertisement
11. Волновая функция В квантовой механике состояние частицы полностью описывается волновой функцией (х,у,z,t) . В частном случае свободной частицы волновая функция есть волна де-Бройля (10.1). Макс Борн (1926 г.) раскрыл физический смысл волновой функции. Плотность вероятности обнаружения частицы в некоторый момент времени t в точке пространства r(х,у,z) равна |(х,у,z,t)|2 . Вероятность обнаружения частицы в некоторый момент времени t в элементарном объеме dV, окружающем точку Р, равна: dP | | dV dV 2 Вероятностный смысл волновой накладывает условия на ее свойства. функции Они включают в себя: 1. Условие конечности волновой функции Волновая функция не бесконечных значений. может принимать 2. Условие однозначности волновой функции Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы определяться в каждой задаче однозначно. должна 3. Условие непрерывности волновой функции В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть и первые частные производные волновой функции d/dx, d/dy, d/dz. 4. Условие нормировки волновой функции V dP | | dV 1 2 V Это значит, что пребывание частицы где-либо в пространстве есть достоверное событие и его вероятность должна быть равна единице. 5. Принцип суперпозиции состояний Если частица может находиться в нескольких квантовых состояниях, описываемых волновыми функциями 1,2,3,…,N, то она может находиться и в состоянии, описываемом волновой функцией = С11 + С22 + С33 + … + СNN где С1, С2, С3, …, СN – комплексные числа. Квадрат модуля коэффициента |Сi|2 определяет вероятность того, что при измерении, проведенном над системой, мы обнаружим ее в состоянии, описываемом функцией i. Например, в случае, когда электрон падает на двойную щель (рис.10.2) волновая функция 1 описывает волну, проходящую через щель А, а волновая функция 2 – через щель В. На экране обе волновые функции перекрываются и дают интерференционную картину от двух щелей. При этом n -й интерференционный максимум определяется таким же выражением, как и для света sinn = n/d 12. Уравнение Шредингера Для описания поведения микрочастиц уравнения классической физики (уравнения Ньютона) не пригодны. В квантовой механике состояние частицы описывается волновой функцией (х,y,z,t), которая находится из решения дифференциального уравнения, сформулированного Эрвином Шредингером в 1926 г. Временное уравнение Шредингера для частицы с массой покоя m в потенциальном поле U(x,y,z,t) имеет вид: ˆ i H U ( x, y, z, t ) t 2m 2 где i 1 - мнимая единица, - оператор Гамильтона оператор полной энергии, Ĥ 2 2 2 x y z 2 2 (12.1) (гамильтониан) 2 - оператор Лапласа – Уравнение Шредингера решается с учетом начальных и граничных условий, накладываемых на волновую функцию. Начальное условие задаёт значение волновой функции в начальный момент времени t = 0. Граничные условия обычно задаются на границах областей, где потенциальная функция U терпит разрывы первого или второго рода. В качестве примера вычислим волновую функцию свободной частицы с кинетической энергий E = p2/2m Пусть частица движется в отсутствие силовых полей (U = 0, F = 0) в направлении оси x. Уравнение Шредингера записывается в виде: для этого случая i 2 t 2m0 x 2 2 Его решением является волновая функция: ( x, t ) Ae i ( Et px ) - то есть плоская волна де Бройля. Плотность вероятности обнаружения частицы ||2 = A2, не зависит от времени t и координаты х. Значит свободная частица в любой точке х и в любой момент времени обнаруживается с одинаковой вероятностью. В квантовой механике существует класс задач, в которых потенциальная энергия U(x,y,z) не зависит от времени - это стационарное поле. В стационарных полях квантовая система находится в состояниях с определенным значением энергии E. Такие состояния называются стационарными состояниями. Для стационарного поля волновую функцию можно представить в виде : (x,y,z,t) = Ф(x,y,z) (t) Ф(x,y,z) зависит только от координат, (t) зависит только от времени. Подставляя Ф(x,y,z)(t) в уравнение Шредингера и разделив обе части уравнения на Ф(x,y,z)(t), получаем i 1 ˆ HФ t Ф В этом уравнении левая часть зависит только от времени, а правая только от координат. Данное равенство возможно лишь в случае, если левая и правая части уравнения равны одной и той же постоянной величине. Обозначим её буквой Е, получаем два уравнения: HФ = EФ ∂ ih = E ∂t (12.2) Константа Е представляет полную энергию квантово-механической системы. Перепишем 1- ое уравнение с учетом вида оператора Ĥ Ф + 2m 2 (E - U)Ф = 0 (12.3) Это уравнение называется уравнением Шредингера для стационарных состояний (стационарное уравнение Шредингера). Решениями стационарного уравнения Шредингера являются волновые функции Фn и энергии Еn Фn + 2m 2 (En - U)Фn = 0 (12.3) n - номер квантового состояния Совокупность энергий Еn называется спектром. Волновые функции удовлетворяют ортогональности и нормировки Фn Фm = Ф (r ) Фm (r )dV n,m n условию (12.4) Решением второго уравнения ∂ ih = E ∂t является плоская волна (t ) Ae i Et (12.5) 13. Соотношения неопределенностей Гейнзенберга Двойственная природа микрочастиц накладывает ограничения на точность определения физических величин. Вернер Гейзенберг Рассмотрим дифракцию электрона на щели. Электроны падают нормально на непрозрачный экран с щелью шириной Δх. Электроны, прошедшие через щель, в основном попадают в центральный дифракционный максимум. Границы этого максимума определяются углом дифракции, задающим направление на первый минимум интенсивности в дифракционной картине. Согласно теории дифракции этот угол находится из условия - де-бройлевская длина волны электрона. В силу малости угла С другой стороны, угол можно определить через импульс электрон: Поэтому Принимая во внимание, что получаем окончательно Поскольку при выводе использовались упрощающие предположения, то полученное соотношение является приближенным. Строгий вывод дает следующий результат xpx / 2 (13.1) Это соотношение было получено в 1927 г. Вернером Гейзенбергом и называется соотношением неопределенностей Гейзенберга. Из него следует, что чем точнее мы определяем координату частицы, тем более неопределенной становится проекция импульса частицы на эту координатную ось и наоборот. Невозможно одновременно точно определить значения координаты и импульса частицы. Такие же соотношения имеют место для проекций координат и импульсов частицы на другие оси уp у / 2 zpz / 2 Эти ограничения не связаны с точностью измерений, достижимой в конкретном эксперименте, а имеют принципиальное значение. Соотношения неопределенностей – фундаментальные соотношения квантовой механики. Они устанавливают предел точности одновременного определения переменных, характеризующих квантовую систему. Операторы физических величин В квантовой механике каждой физической величине соответствует оператор, который строится из выражения для классической величины. оператор координаты ххх r = iх+ jy+kz r = iх+ jy+kz оператор импульса р р i i (i j к ) х y z оператор момента имульса М М r р i i y z y z j z х к х y z y х х оператор кинетической энергии 2 2 2 р2 ( р р) ( р р) 2 2 Т Т 2 2 2 2m 2m 2m 2m х y z 2m оператор потенциальной энергии U( х, y,z,t) U ( х, y,z,t) U( х, y,z,t) оператор Гамильтона Е Т U( х, y,z,t) Н 2 2m U( х, y,z,t) Значения физических величин Среднее значение физической величины, которой соответствует оператор Â , в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией , дается формулой ˆ А ˆ | dV | A В ходе эксперимента определяется именно среднее значение физической величины. Принцип соответствия Принцип соответствия утверждает, что любая более общая физическая теория не должна исключать предыдущую, а должна включать ее как предельный частный случай (Н.Бор). Поэтому результаты квантовой механики должны совпадать с результатами классической механики, если волновыми свойствами частиц можно пренебречь. Это имеет место, когда длина волны де Бройля частицы много меньше характерного размера области движения частицы λБ << L.
