Такая разная симметрия

Симметрия – это идея, с помощью которой
человек веками пытался объяснить и создать
порядок, красоту и совершенство.
Г. Вейль
Такая разная
СИММЕТРИЯ
Сборник дополнительных и творческих заданий
по курсу «Наглядная геометрия», 5 – 6 класс
Автор: Новикова Светлана Игоревна
Учитель математики МОУ СОШ 9
Усть – Кут Иркутская область
1
СИММЕТРИЯ И ОРНАМЕНТ
"Математик так же, как художник или поэт,
И если его узоры более устойчивы,
что они составлены из идей …»
создает узоры.
то лишь потому,
Г.Х.Харди.
Орна́мент — узор, основанный на повторе и чередовании составляющих его элементов;
предназначается для украшения различных предметов , архитектурных сооружений.
Орнамент — один из древнейших видов изобразительной деятельности человека, в
далеком прошлом несший в себе магический смысл.
Один из излюбленных
древнегреческих мотивов —
меандр. Как считают, в этом
узоре заложена глубокая идея
вечного движения,
бесконечного повторения.
Повтори орнамент на
клетчатой бумаге.
Орнамент - один из древнейших видов изобразительной деятельности человека, в далеком
прошлом несший в себе символический и магический смысл. В те времена, когда человек
перешел к оседлому образу жизни и начал изготавливать орудия труда и предметы быта.
Стремление украсить свое жилище свойственно человеку любой эпохи. По-видимому,
самый первый орнамент украсил сосуд, вылепленный из глины.
Укрась глиняные сосуды симметричным орнаментом.
Любой орнамент можно получить , применяя симметрию к заданной фигуре.
Внимательно рассмотри орнаменты и укажи, какая симметрия применялась в
каждом случае.
2
1
2
3
4
5
6
Для каждого из
предложенных рисунков
создай орнамент, используя
рассмотренные варианты.
Раскрась орнаменты с учетом симметрии
Перед тобой – орнаменты,
созданные народом племени
сиу. Рассмотри их
внимательно. Сможешь ли
ты определить симметрию
каждого орнамента?
Используя данные элементы, создай орнаменты с помощью симметрии – зеркальной
3
и поворотной.
Продолжи орнамент и раскрась его, используя зеркальную симметрию.
Давайте сами построим орнамент.
1. Строим квадрат АBCD.
2. Проводим диагонали.
3. Выполняем поворот на 45°, относительно точки О – точки пересечения диагоналей.
Строим квадраты.
4. Из центров квадратов проводим дуги, радиусы которых равны сторонам квадрата.
5. Вот и все построение, которое дает, на первый взгляд, весьма сложный орнамент.
4
СИММЕТРИЯ В ПРИРОДЕ
“Симметрия является той идеей, с помощью которой человек
веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство”.
Герман Вейль
Природа –удивительный творец и мастер. Все живое в природе обладает свойством
симметрии. Приведем теперь примеры использования различных симметрий в животном
и растительном мире.
Если ты сверху посмотришь на любое насекомое и мысленно проведешь посередине
прямую , то левые и правые половинки насекомых будут одинаковыми и по
расположению, и по размерам, и по окраске. Ведь мы ни разу не видели, чтобы у жука или
стрекозы, у любого другого насекомого лапы слева были бы ближе к голове, чем справа, а
правое крыло бабочки или божьей коровки было бы больше, чем левое. Такого в природе
не бывает, иначе бы насекомые не смогли бы летать.
Проведи оси симметрии для каждого насекомого.
Дополни каждый из рисунков симметричной половиной.
5
Осевая симметрия особенно
хорошо видна у бабочки и
божьей коровки; симметрия
левого и правого проявляется
здесь с почти математической
строгостью.
Раскрась бабочек и божью коровку, учитывая их симметричность.
Осевая симметрия поможет тебе быстро и легко сделать бабочку. Тебе понадобится
цветная бумага, ножницы, клей.
Внимательно рассмотри картинки и сделай свою бабочку.
У животных только два вида симметрии – осевая и радиальная. Можно сказать, что
каждое животное (а также насекомое, рыба, птица) состоит из правой и левой половин. Те
животные, которые передвигаются в каком-то определенном направлении, приобрели
двустороннюю (зеркальную) симметрию. Для этих животных свойственно
симметричное расположение одноименных частей тела, (глаза, уши, правая и левая рука,
нога), что помогает им сохранять равновесие при передвижении, а значит, добывать себе
пищу и таким образом существовать
6
У жителей морского дна есть еще поворотная, или радиальная симметрия . Это лучше
всего заметно у пятиконечной морской звезды - все ее лучи симметричны друг другу.
Конечно, далеко не у всех морских звезд пять лучей - их может быть 4, 6, 7, 8, 10 и даже
24, как у самой большой и самой вредной морской звезды терновый венец. Но сколько бы
ни было лучей у морской звезды - все они симметричны.
В данном виде симметрии фигура не меняется при повороте вокруг некоторой оси на угол
равный 360°/n, где n=2,3,4…
Вычисли угол поворота для каждой морской звезды
5 лучей
6 лучей
7 лучей
9 лучей
24 луча
12 лучей
Для 5 лучей 360:5=72
Для 7 лучей
Для 12 лучей
Для 6 лучей
Для 9 лучей
Для 24 лучей
Благодаря своей симметричности, листья деревьев полноценно развиваются, вырабатывая
фотосинтез. Несимметричные листья отмирают. Листок дерева обладает зеркальной
симметрией.
7
Лист
Симметрия прожилок
Внешняя симметрия
листа
Дорисуй половинки листьев. Подпиши каждый рисунок.
Среди цветов наблюдаются и осевая, и поворотная симметрия. Многие цветы обладают
характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займет
положение соседнего, цветок совместится с самим собой. Такой цветок обладает
поворотной (радиальной) симметрией.
Вычисли наименьший угол поворота для цветов.
8
Красным цветом раскрась цветок, имеющий угол поворота 60 градусов, синим
цветом – 72 градуса, желтым цветом – цветок, имеющий только зеркальную
симметрию.
9
СИММЕТРИЯ В ЖИВОПИСИ
«Могущественна геометрия;
в соединении с искусством –
неодолима».
Евпид.
Художники разных эпох использовали симметричное построение картины.
Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто
строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть
впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий.
В симметричной композиции люди или предметы расположены почти зеркально по
отношению к центральной оси картины.
Большое
внимание
правилу
симметрии
уделяли
художники
раннего
Возрождения,
о чем
свидетельству
ет живопись.
Живописцы
эпохи
Возрождения
часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет
достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости
событий. В симметричной композиции люди или предметы расположены почти зеркально
по отношению к центральной оси картины. Однако строгое следование идеальной
симметрии делало картину монументальной и безжизненной. Перед вами картина
Брамантино «Мадонна в башне» - монументальная, загадочная, с идеальной симметрией
и полностью неподвижная.
Нарисуйте примерную схему картины, отметьте ось симметрии; выделите фигуры,
расположенные зеркально друг другу.
10
Леонардо да Винчи. «Благовещение»
Посмотрите на деревья, образцы в кирпичной кладке, стол, размещение символов, и вы
найдете присутствие симметрии.
Где еще можно увидеть примеры симметрии в этой картине?
Перед вами знаменитая "Тайная вечеря" Леонардо да Винчи. В этой фреске показан
драматический момент, когда Христос сообщил своим ученикам: «Один из вас предаст
меня». Двенадцать апостолов расположены вокруг своего учителя четырьмя группами: по
две группы с каждой стороны от него и по три человека в каждой группе. Вся композиция
строго симметрична и строго уравновешена относительно вертикальной оси, проходящей
через ее главную точку.
11
Это тоже «Тайная вечеря», но автор этой картины – Сальвадор Дали.
Опишите картину с точки зрения наличия симметрии.
А так трактует сцену Тайной
вечери современник Леонардо –
Гауденцио . Собеседники за
столом очень живо ведут
разговор на фоне храма.
Сравните симметричность
композиций картин Дали и
Гауденцио; определите
зеркально расположенные
фигуры, найдите оси
симметрии. Нарисуйте
геометрические схемы
картин.
12
В удивительной картине "Обручение девы
Марии" великий Рафаэль воспроизвел образ мира,
существующего по законам гармонии и строгой
логики. Использованный принцип симметрии
создает впечатление покоя и торжественности и в
то же время некой отстраненности от зрителя.
Вход в изящную ротонду и кольцо, одеваемое
Иосифом на руку Марии, совпадают с
центральной
осью
симметрии
картины.
Перекликаются движения фигур юношей и
девушек, расположенных справа и слева от
основной группы. Симметричными дорожками из
гранитных плит вымощена площадь перед
храмом. Такое соотношение элементов углубляет
образный смысл произведения, наполняет его
многогранной символикой.
Внимательно рассмотрите картину «Христос,
вручающий ключи Св. Петру». П. Перуджино и
составьте аналогичное описание.
«Христос, вручающий ключи святому Петру». П. Перуджино
Картина В. М. Васнецова также построена на основе правила симметрии. Центром
композиции является фигура мощного всадника. Слева и справа, как бы в зеркальном
отражении, размещены еще два всадника. Фигуры расположены спокойно сидящими
на конях. Симметричное построение композиции вызывает у зрителя чувство
уверенности в непобедимости защитников земли русской.
О какой картине идет речь? Кто изображен на картине? Какой вид симметрии
13
можно наблюдать в картине «Аленушка» («У пруда») этого художника?
Иногда с целью подчеркнуть симметрию картины художник вписывал ее персонажей в
симметричную фигуру. Перед тобой репродукция мирового шедевра: «Мадонна Литта»
Леонардо да Винчи.
Определи, в какую симметричную фигуру вписаны персонажи, нарисуй эту фигуру
и отметь элементы, подчеркивающие симметрию произведения.
Готические храмы украшались витражами – изумительной красоты картинами на стекле
или из стекла. Часто витражи были круглыми – они назывались розами. При изготовлении
витражей применялся принцип симметрии – и осевой, и радиальной.
Раскрась витражные розы с симметричным орнаментом.
СИММЕТРИЯ И ЗЕРКАЛО
14
На зеркальной поверхности Сидит мотылек,
От познания истины Бесконечно далек,
Потому что, наверное, И не ведает он,
Что в поверхности зеркала Сам отражен.
Леонид Мартынов
Главная героиня фильма, девочка Оля, вечно не
слушается свою бабушку, привирает, капризничает и
ленится. И бабушка, сетуя на внучку приговаривает: «Эх,
внученька, внученька! Если б ты могла посмотреть на
себя со стороны!» Погнавшись за убежавшим через
волшебное зеркало котом Барсиком, Оля попала в
сказочное Королевство, где нашла верных друзей.
Что нужно сделать, чтобы прочитать афишу этого
фильма - сказки?
Как зовут Олиного двойника, с которым она
встретилась за зеркалом?
В какой еще сказке юная героиня путешествовала за
зеркалом?
Друзья девочек.
Запиши их настоящие имена рядом с зазеркальными
Тетушка Аксал
Бар
Гурд
Глупый король и его свита
Король Йагупоп - 77
15
Хитрая Асырк
Злая Анидаг
Сможешь ли ты
прочитать имена тех,
кто прятал от жителей
Королевства настоящие
зеркала?
Наиглавнейший министр
Нушрок
Главнейший министр
Абаж
Сможешь ли ты определить, как
получен этот замысловатый узор?
Перед тобой – очень известная поэтическая фраза.
Сможешь ли ты прочесть ее? Кто ее автор?
Напишите на листочке печатными буквами рядом в столбик три слова МОДА, ГРИБ и
ФОН , прижмите этот листок к своей груди и встаньте перед зеркалом. Попробуйте
прочитать в зеркале эти слова. Два слова МОДА и ФОН вы прочтете сразу, а третье станет
непонятным. Почему?
А теперь напишите на листке бумаги ( опять же аккуратно и печатными буквами) три
слова: ВЕК, ГИРЯ и ФОН. Положите перед зеркалом листочек с этими словами и
посмотрите на их отражения в вертикально стоящем зеркале. Два слова в зеркале ВЕК и
ФОН вы прочитаете без труда, а третье прочитать будет невозможно. Почему?
Старинная загадка.
Сможешь ли ты прочесть загадку и
отгадать ее?
Одно число очень любило любоваться своим отражением в зеркале. Однажды мимо
проходил ежик и увидел в зеркале число 18. Какое число смотрелось в зеркало?
16
Какие числа, обладающие этим свойством, ты можешь придумать?
Напиши на листе бумаги заглавными печатными буквами два слова: «ЧАЙ»,
«КОФЕ». Затем возьми зеркало и поставь его вертикально так, чтобы линия
пересечения плоскости зеркала с плоскостью листа делила эти слова пополам по
горизонтали. Как видишь, зеркало не подействовало на слово «КОФЕ», тогда как слово
«ЧАЙ» оно изменило до неузнаваемости. Этот «фокус» имеет простое объяснение. Какое?
Сможешь ли ты прочесть слова,
спрятанные в рамке? Что для этого
необходимо? Какое свойство букв
используется?
СОЖЖЕН ВЕНОК
В чем симметрия фразы ?Можешь ли ты сам составить подобную симметричную
фразу?
Подумай, по какому принципу
составлена последовательность, и
продолжи ее.
Определи, по какому признаку
выделены некоторые буквы
русского алфавита.
Зеркала таят в себе немало удивительного. Том и Ребекка однажды побывали на вечере,
где каждому вновь прибывшему гостю прикалывали на грудь ленту с его именем.
Ребекка: Том, посмотри, какое странное зеркало! Мое имя оно переворачивает, а твое
оставляет таким же, как на ленте!
Объясните, почему так происходит.
Назови общий признак этих слов(не забудь, что мы говорим о симметрии).
1. ПОТОП, МОНТАЖ, ДОМ, МОДА, ТОМ, НОЖ, ФОН, ТОН,
ТОННА, ФОНТАН, ПАПА, МАМА, АДАМ, НОТА
17
2. ОКНО, НОС, СОК, ВЕНОК, ЗОВ, ЭХО, ЮНЕСКО, ФЕН,
ВОСК, ОВЕН
Если мы внимательно посмотрим на буквы латинского алфавита, то увидим среди них
симметричные и несимметричные. В данной таблице указаны симметричные буквы.
Внимательно изучи таблицу симметрии букв и ответь на вопросы.
Буква
Оси
Центр
Буква
Оси
Центр
симметрии
симметрии
симметрии
симметрии
1
0
2
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
2
1
1
0
1
1
4
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
Сколько букв английского алфавита являются симметричными относительно
вертикальной оси симметрии? Относительно горизонтальной оси? Какие буквы
имеют две оси симметрии? Не имеют осей симметрии? Имеют центр симметрии?
Составь подобную таблицу для букв русского алфавита.
КРАСИВАЯ АСИММЕТРИЯ
18
Природа мудро провела
симметрию воды и хлеба,
гармонию земли и неба,
пропорцию добра и зла.
Неудержим их стройный бег
сквозь вечность, где в сиянье молний
есть совокупность всех гармоний
и всех симметрий — человек.
Александр Павлов
Симметрично ли лицо человека? Это можно проверить простым экспериментом. Для
этого достаточно создать портрет из двух левых и двух правых половин одного и того же
лица.
1.Возьми два одинаковых портрета
2.Разрежь их по вертикальной оси симметрии
3.Соедини две правых половины и две левых; сравни результаты. Если лицо
оказалось несимметрично, не огорчайся.
Нормальный портрет
Две правые половины
Две левые половины
Неверно считать симметрию лица непременным
условием его красоты.
Ведь, незначительная «здоровая» асимметрия присуща
любому красивому лицу и нет ни одного лица с
абсолютной симметрией.
Рисуя свой автопортрет почти абсолютно
симметричным, художник Альбрехт Дюрер внес в
него элемент асимметрии. Какой?
СИММЕТРИЯ И АРХИТЕКТУРА
19
Геометрия может существовать без архитектуры,
но архитектура не может существовать без геометрии. "
- Уильям Блэкуэлл
Ярким примером симметрии в архитектуре
является гробница Тадж - Махал. Она была
завершена в 1630 году индийским
правителем Шахи Джаханом как гробница
его любимой жены Мумтаз - Махал, которая
умерла в результате родов их
четырнадцатого ребенка. Чтобы создать эту
гробницу . потребовалось 20 000 рабочих, 20
лет.
Ходят слухи, что они использовали 40 000
слонов для транспортировки материалов. Эта фотография показывает 2 линии симметрии
– вертикальную и горизонтальную.
(Обратите внимание, как молитвенные башни, называемые минаретами,
нашли свое отражение в воде и по сторонам).
Сколько линий симметрии имеет здание, в котором ты сейчас находишься?
Чаще всего архитектурное сооружение
содержит несколько видов симметрии.
Например, собор Василия Блаженного
на Красной площади в Москве. Это
композиция из десяти различных
храмов, каждый храм геометрически
симметричен. Однако собор как целое не
обладает ни зеркальной, ни поворотной
симметрией. Архитектурные формы
собора как бы накладываются друг на
друга, пересекаются, поднимаются, и
завершаются центральным шатром. И
все это настолько гармонично, что
вызывает ощущение праздника.
Определи симметрию куполов Собора Василия Блаженного
20
Какие типы архитектурных симметрий ты можешь найти в этих сооружениях?
Тадж-Махал
Королевский
колледж, часовня
Откуда: Агра, Индия
Архитектор: императора Шах-Джахана
Тип здания: исламский мавзолей
Расположение: Кембридж, Англия
Архитектор: Неизвестно
Тип здания: церковь, часовня
Вид симметрии
Флорентийский собор
Откуда: Флоренция, Италия
Архитектор: Арнольфо ди Камбио
Тип здания: купольная церковь, собор
Вид симметрии
21
Вид симметрии
Церковь Иоанна Предтечи
Откуда: Ярославль, Россия
Архитектор: неизвестен
Тип здания: церковь
Вид симметрии
Великая Пирамида Хеопса
Расположение: Эль-Гизе, Египет
Архитектор: Неизвестно
Тип здания: Пирамида, надгробный
памятник
Вид симметрии
Откуда: Вена, Австрия
Архитектор: Иоганн Фишер фон Эрлах
Тип здания: церковь
Вид симметрии
Дворец дожей
Захоронение Момине - катум
Откуда: Венеция
Архитектор: неизвестен
Тип здания: дворец
Откуда: Нахичевань, Азербайджан
Архитектор: Аджами
Тип здания: мавзолей
Вид симметрии
22
Карлскирхе
Вид симметрии
Эйфелева башня
Собор Нотр-Дам де Пари
Откуда: Франция, Париж
Архитектор: Густав Эйфель
Тип здания: башня
Откуда: Франция, Париж
Архитектор: неизвестен
Тип здания: церковь
Вид симметрии
Парфенон
Кул Шариф
Откуда: Греция, Афины
Архитектор: Ictinus и Callicrates с
Фидием
Тип здания: храм
Откуда: Казань, Татарстан
Архитектор: И. Сайфуллин, А. В. Головин и
С. П. Шакуров
Тип здания: мечеть
Вид симметрии
23
Вид симметрии
Вид симметрии
Это - сказочный замок, который находится в самом
центре парка Дисней Лэнд. Замок построен из белого и
серого кирпича с голубыми королевскими крышами и
башенками; верхушки нескольких башен и еще двух
самых высоких на самом деле сделаны из натурального
золота.
Замок Золушки
Диснейленд, Флорида, США
А каким ты представляешь себе замок Золушки? Постарайся раскрасить его
симметрично.
24
ИНТЕРНЕТ - источники
Симметрия и орнамент:
http://www.dang.se/qedata/bilder/gallerier/litauiskt-galleri/vilnius-universitetet/universitet-vegg.jpg
http://s44.radikal.ru/i105/0810/72/cc5b7947c365.jpg
http://hubpages.com/hub/Criminal-Justice-Course-At-Kent-State-University
http://www.lulas.info/lwr-line-of-symmetry.phtml
http://darcentre.co.uk/ey-simple-tessellation-patterns/index.htm
http://sierra.nmsu.edu/morandi/CourseMaterials/StripPatternsI.html
Симметрия в природе:
http://fx.worth1000.com/contests/19386/symmetry-2008-summer-edition
http://www.prek-8.com/holiday/spring/images/symmetry3.jpg
http://www.prek-8.com/holiday/spring/images/symmetry2.jpg
http://www.liveinternet.ru/community/2565092/post152145157/
http://galeria.platerka.pl/ywb-printable-butterflies-color.php3
http://www.babylessons.ru/wp-content/uploads/2010/06/0011.jpg
http://allforchildren.ru/paint/showimages/butterfly/butterfly001gif.htm
http://yogaspy.files.wordpress.com/2010/05/dinah_dogs-002c_395p_bilateral-symmetry.jpg
http://www.enchantedlearning.com/crafts/butterfly/card/
http://zoopark.su/blog/water/1853.html
http://content.onliner.by/forum/91d/78e/210758/800x800/88ccde37c629f2b47af9e3ba0f0b4d5b.jpg
http://i066.radikal.ru/0909/64/672e92328e94.jpg
http://pics.livejournal.com/anastgal/pic/007gxx2b
http://photo.a42.ru/photos/animals/5597.html
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/Crown_of_Thorns-jonhanson.jpg?uselang=ru
http://s57.radikal.ru/i157/0905/d3/78328bc23e01.jpg
http://www.misterteacher.com/symmetry.html
http://www.flowers-in-home.info/wp-content/gallery/biennial-flowers/bellflower.jpg
http://pix.com.ua/db/nature/flowers/flowers/m-002_077.jpg
http://www.gniazdko.com/wp-content/uploads/2010/11/Orlik-miesza%C5%84cowy.jpg
http://www.pbase.com/cslr_challenge/image/43683846
http://www.vvv.ru/photos/img/2748.jpg
http://www.creazon.ru/images/stories/photo-razdel/67-3.jpg
http://keys.trin.org.au:8080/key-server/data/0e0f0504-0103-430d-8004060d07080d04/media/Html/characters/FL_Flowers_symmetry.htm
http://www.detiseti.ru/modules/myarticles/article/1390/
Симметрия в живописи:
http://www.all-art.org/early_renaissance/leonardo_da_vinci43.html
http://employees.oneonta.edu/farberas/arth/Images/110images/sl6images/leonardo_lastsupper_rest.j
pg
http://upstreamzine.files.wordpress.com/2009/04/lastsuppersalvadordali.jpg
http://www.oceansbridge.com/paintings/artists/r/raphael/oilbig/marriage_of_the_virgin_1504_XX_milan_italy.JPG
http://f.rodon.org/p/6/071109190356d.jpg
http://www.coposic.ru/pravila/simmetriya/
http://www.hermitagemuseum.org/imgs_Ru/05/5_0_23_1.jpg
http://www.artlib.ru/objects/gallery_382/artlib_gallery-191068-b.jpg
http://igrushka.kz/vip88/mand12.jpg
http://igrushka.kz/vip88/mand8.jpg
http://igrushka.kz/vip88/mand24.jpg
25
http://www.saasmar.ru/russian/resource/it/4/2009_2010/09/4kl_sept.htm
http://igrushka.kz/vip88/mand22.jpg
http://igrushka.kz/vip88/mand22.jpg
http://www.saasmar.ru/russian/resource/it/4/2009_2010/09/4kl_sept.htm
http://igrushka.kz/vip88/mand22.jpg
Симметрия и зеркало:
http://ru.wikipedia.org
http://www.kino-teatr.ru/kino/movie/sov/3180/foto/i1/
http://www.liveinternet.ru/users/tanai1956/post165996943
http://class-fizika.narod.ru/serk18.htm
http://www.sosh063.narod.ru/podsites/konst_mp/p8aa1.html
симметрия и архитектура:
http://www.geographic.org/photos/azerbaijan/momina_khatun_mausoleum_1186_azerbaijan_photo.
jpg
http://img0.liveinternet.ru/images/attach/b/3/16/515/16515760_1201814340_x_721ecd8d7b.jpg
http://russian-church.ru/data/yaroslavl/images/85n2.jpg
http://vangog.bks-tv.ru/i/1/f/4dd3c8d82fef1.jpg
http://www.andreev.org/images/albums/florida/36FL.jpg
26