ЭТОТ УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР СИММЕТРИИ

ГБОУ «Гимназия № 1527» г. Москвы
«Этот удивительный мир симметрии»
урок геометрии в 8 классе
Учитель математики
Белоусова Наталья Николаевна
Цели урока:
Образовательные:
 Научить различать многообразные проявления симметрии в
окружающем мире;
 Показать важную, исключительную роль принципа симметрии в
научном познании мира и в творчестве человека;
 Повторение ранее изученных тем.
Развивающие:
 Развивать логическое мышление учащихся, памяти, внимания,
общеучебных умений, умения сравнивать и обобщать.
 Повышать интерес к изучаемой теме.
 Расширение кругозора учащихся.
Воспитательные:
 Воспитание трудолюбия, взаимопомощи, взаимоуважения и
математической культуры.
 Воспитание общей культуры.
 Повышать интерес к изучаемой теме.
Данному уроку предшествовала поисковая и исследовательская работа.
Некоторые учащиеся получили индивидуальные задания.
Ход урока.
«Симметрия является той идеей, посредством
которой, человек на протяжении веков пытался
постичь и создать порядок, красоту и совершенство».
Учитель: С симметрией мы встречаемся везде: в природе, технике, искусстве, науке.
Греческое слово «симметрия» означает
«соразмерность»,
«пропорциональность»,
«одинаковость в расположении частей». Однако, часто под словом «симметрия» понимают
более широкое понятие: регулярность смены каких-либо явлений ( времен года, дня и ночи и т.
д.), уравновешенность левого и правого, равноправие природных явлений. Фактически мы
имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. В психологии и
морали широко использовалось понятие симметрии. Так, великий Аристотель считал, что
симметрия имеет смысл некой средней меры, к которой должен стремиться в своих действиях
добродетельный человек. Римский врач Гален (Ι Ι в. н. э.) под симметрией понимал состояние
духа, одинаково удаленное от обеих крайностей, например от горя и радости, апатии и
возбуждения. Симметрия, понимаемая как покой, уравновешенность, противостоит хаосу и
беспорядку.
Сегодня на уроке мы познакомимся с симметрией не только в математике, но и в биологии,
физике, искусстве, музыке.
Математически строгое определение симметрии сформировалось сравнительно недавно – в 19
веке. В наиболее простой трактовке известного немецкого математика Германа Вейля (1855 –
1955) современное определение симметрии выглядит так: симметричным называется такой
объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали.
Современное представление о симметрии предполагает неизменность объекта по отношению к
каким-то преобразованиям, выполняемым над ним. В математике рассматривается несколько
видов симметрии.
Проведем эксперимент.
1. Возьмем лист бумаги, провеем на нем прямую, перегнем лист по этой прямой и проткнем
его иглой. Развернув лист, мы видим на листе две точки, расположенные по разные стороны
от линии сгиба. Эти точки мы будем называть симметричными относительно проведенной
прямой.
2. Проведем прямую через две симметричные точки. Можно предположить, что данная
прямая перпендикулярна линии сгиба, проверим это с помощью угольника.
3. Теперь измерим расстояние от каждой из этих точек до линии сгиба. Мы видим, что эти
расстояния равны.
Две точки А и А 1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая
проходит через середину отрезка АА 1 и перпендикулярна к нему.
Давайте подумаем, каким образом можно построить точку, симметричную данной
относительно проведенной прямой, не прибегая к перегибанию.
Пусть дана прямая а и точка М (рис. 1), построим точку, симметричную точке М относительно
прямой а. Для этого:
- проведем через точку М прямую, перпендикулярную а (рис. 2);
- отметим на ней точку К, расположенную на таком же расстоянии от прямой а, что и точка М
(рис. 3).
Точка К симметрична точке М относительно прямой а.
Рассмотрим свойства симметрии.
При симметрии относительно прямой:
- сохраняет расстояния между точками;
- отрезок переходит в равный ему отрезок;
- луч переходит в луч;
- прямая переходит в прямую;
- фигура в равную ей фигуру.
Задача 1.
Построить треугольник симметричный треугольнику АВС относительно прямой m.
1 вариант. Прямая m лежит вне треугольника;
2 вариант. Прямая m проходит через одну из сторон треугольника;
3 вариант. Прямая m проходит внутри треугольника.
Упражнение.
Являются ли данные точки симметричными?
Фигура называется симметричной относительно прямой, если эта прямая делит фигуру
на две равные части, совпадающие при перегибании по этой прямой.
Многие известные вам фигуры симметричны, например (слайды 10): равнобедренный
треугольник. Если мы перегнем его так, чтобы совпали вершины при основании, то линия
сгиба и будет его осью симметрии.
Осей симметрии может быть несколько. Например, квадрат имеет 4 оси симметрии; у
прямоугольника 2 оси симметрии. Круг – это самая «симметричная» фигура на плоскости.
Любая прямая, проходящая через его центр, является его осью симметрии.
Приведите еще примеры геометрических фигур, имеющих одну или несколько осей
симметрии.
Задачи:
1) Периметр треугольника АКВ равен 20см, АК = 8см. Найти длины отрезков ВК, АВ,
АО, ВО.
2) Периметр треугольника АОК равен 10см, ОК = 4см. Найти периметр треугольника
АКB.
3) Периметр четырехугольника АСВР равен 18см, СР = 7см. Найти периметр
треугольника СРВ.
С симметрией мы встречаемся не только на уроках геометрии.
1-й ученик. Симметрия сквозь века.
С симметрией мы встречаемся не только на уроках геометрии.
В своих размышлениях над картиной мира человек с давних пор активно использовал идею
симметрии в рисунках, орнаментах, предметах быта. Вы, наверное, обращали внимание на то,
как строго симметричны формы античных зданий, гармоничны древнегреческие вазы,
соразмерны их орнаменты. По преданию, термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор
Регийский, живший в г. Регул. Отклонение от симметрии он определил термином
«асимметрия». Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто, потому что она
прекрасна. Красота и гармония тесно связаны с симметрией, это подметили еще древние
архитекторы и художники. Слово симметрия происходит от греческого слова, которое означает
«такая же мера». Во времена Пифагора (V в. до н. э.) и пифагорейцев понятие симметрии было
оформлено достаточно четко. В то же время они смогли подвергнуть его серьезному анализу и
получить результаты универсального назначения. Представители первой научной школы в
истории человечества, последователи Пифагора Самосского пытались связать симметрию с
числом. Каждой вещи, учили пифагорейцы, соответствует определенное отношение чисел,
которое они называли логосом. Поэтому познание вещей заключалось для них познанием
логоса. Для развития понятия симметрии важны поиски логоса отрезка прямой, разделенного
на две части. Если точка С лежит посредине некоторого отрезка АВ, то они говорили, что
отрезок АВ разделен симметрично. Если же точка С находится ближе к одному из концов
отрезка, то деление считалось асимметричным. И здесь наиболее интересен случай, когда точка
С делит отрезок в золотом отношении.
Проходя сквозь века, термин «симметрия» обрастал различными толкованиями. Симметрия
– это некая «средняя мера», - считал Аристотель. Пифагорейцы понимали под симметрией
единство противоположностей (чет – нечет, левое – правое и т. д.). Если эти
противоположности сливаются в одинаковых количествах, наступает равновесие, гармония,
симметрия. Преобладание одной из противоположностей – нарушение гармонии, асимметрия.
Великий живописец и инженер XV в. Леонардо да Винчи тоже употреблял слова «гармония»,
«равновесие» в значении «симметрия», а в своем трактате о живописи он писал о пропорциях,
которые обитают «не только в числах и мерах, но также в звуках, тяжестях, временах и в любой
силе, какая бы она ни была. Леонардо да Винчи считал, что при создании художественного
произведения главную роль играют пропорциональность и гармония, под которыми он
понимал симметрию.
2-й ученик. Роль симметрии в познании природы (слайды15 – 19)
Если внимательно приглядеться к стеблю растения, то окажется, что и здесь действует закон
симметрии. Ярко выраженной симметрией обладают листья, цветы и плоды растений. На
рисунке показаны примеры, в которых наблюдается осевая симметрия (лист дуба, лист клена).
Веточка акации обладает осевой симметрией. Если прочертить вертикальную прямую вдоль
центральной прожилки листа и поставить зеркальце, вдоль прочерченной прямой, то
отраженная в зеркальце половинка фигуры дополнит ее до целой (такой же, как исходная
фигура).
Осевая симметрия встречается и в животном мире. Так у бабочки симметрия левого правого
крыльев проявляется с математической строгостью.
Немецкому ученому Эрнесту Геккелю (1834-1919) умение рисовать помогло в его работе по
систематизации морских простейших: инфузорий, медуз, водорослей и т. п. Рассматривая эти
существа с помощью микроскопа, он одновременно рисовал их внешний вид и строение.
Пораженный открывшейся ему красотой живых форм, он собрал и издал свои рисунки в виде
альбома под названием «Красота форм в природе».На рисунке представлен один лист из этого
альбома, посвященный простейшим растениям – водорослям, которые обладают поразительно
четкой симметрией. Эти рисунки хорошо иллюстрируют многовековую идею, что красота
живых организмов непосредственно связана с симметрией.
Человеческое тело, так же как и тело других позвоночных, в основе своей построено
симметрично. Общие принципы строения организма человека заложены миллиарды лет назад,
когда формировался генетический код, и возникла первая клетка. В наших генах содержится
значительная часть генофонда древних рыб, первых хордовых и некоторых беспозвоночных
животных. Одним из признаков, переданных нам, является двухсторонняя симметрия
человеческого тела. Среди врачей существует мнение, что причинами наших болезней
являются не только и не столько вирусы и прочие вредные факторы среды, сколько
генетически обусловленные нарушения конструкции тела. «Симметричные» животные живут
дольше, чем «несимметричные», что также и показатель лучшей способности к
воспроизводству. Асимметрия лица – это показатель старения.
Учитель: Симметрия господствует не только в природе, но и в творчестве человека:
архитектуре, живописи, музыке, литературе.
3-й ученик: Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит
внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.
Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности – ведь симметричные
предметы обладают большей устойчивость и равной функциональностью в разных
направлениях. Все это привело человека к мысли, о том, что чтобы сооружение было красивым
оно должно быть симметричным. Прекрасные образцы симметрии демонстрируют
произведения архитектуры. Архитектура сопровождает человечество на всем его историческом
пути. По образному выражению Н. В. Гоголя: «…Архитектура – тоже летопись мира. Она
говорит, когда уже молчат и песни и предания…». Начну свой рассказ о симметрии в
архитектурных строениях с египетских пирамид. Интересны также древнерусские постройки, в
частности деревянные церкви. Стройные и выразительные, рубленные восьмериком, т. е. с
симметричными восьмигранными шатрами, они как нельзя лучше соответствовали понятию
красоты в средневековой Руси.
Примерами тому, что принципы симметрии стали руководящими для архитекторов более
поздних времен, могут служить церковь Вознесения в Коломенском (1532г.), здание СЭВ в
Москве.
Впечатляющим примером может также служить храм Василия Блаженного на Красной
площади в Москве. Храм состоит из девяти различных храмов, каждый из которых строго
симметричен, но в целом он не обладает симметрией. Асимметрическое сооружение
представляет гармоничную композицию из симметричных элементов, т. е. храм являет собой
гармоничное соотношение симметрии и асимметрии. Здесь интересно отметить следующий
факт. Луи Пастер считал, что именно асимметрия отличает живое от неживого, полагая, что
симметрия – страж покоя, а асимметрия – двигатель жизни.
Огромное влияние симметрии в живописи. На рисунках хорошо видна симметрия.
Для усиления эстетического воздействия симметрия используется и в поэзии, и в музыке.
«Душа музыки – ритм – состоит в правильном периодическом повторении «частей
музыкального произведения», писал русский физик Г. В. Вульф. На Руси с давних пор
сложилась своя система звонов колоколов, колокола звонили по-разному, в каждом случае со
своим ритмом, со своей симметрией. Музыка, исполняемая на музыкальных инструментах или
воспроизводимая человеческим голосом, также полна симметрии.
Симметрию можно увидеть в стихотворениях – это чередование рифм, ударных слогов, т. е.
ритмичность.
«А щи пища?». Эта фраза – так называемый палиндром. Именно так называют слово или
предложение, одинаково читающиеся как слева направо, так и справа налево. Есть
палиндромические имена собственные, как, например, Анна; существуют целые фразыпалиндромы. Палиндром - это абсолютное проявление симметрии в литературе. Например:
«А луна канула»,
«А роза упала на лапу Азора»,
«Городничему в уме чин дорог».
Палиндром В.Набокова:
Я ел мясо лося, млея...
Рвал Эол алоэ, лавр.
Те ему: "Ишь! И умеет Рвать!"
Он им: "Я - минотавр!"
Также мы встречаемся с симметрией в технике, в быту, в геральдике.
Симметрия в геральдике (ее ещё называют геральдической) использовалась разными народами
для украшения предметов быта и культа. На серебряной вазе царя шумеров Энтемены,
правившего в городе Лагаше около 2700 г. до н. э., был изображен орел с распростертыми
крыльями. В когтях у него с каждой стороны по оленю, а на оленей нападают львы. Этот
геральдический мотив был обнаружен в Персии, в Сирии, а потом стал гербом Византии,
символизируя устремленность государства как на запад, так и на восток. После падения
Византии племянница ее последнего императора Софья Палеолог бежала в Рим, а оттуда была
выдана замуж за великого князя московского Ивана III.
Самым ценным приданным своей невесты жених считал ее родство с византийским
императором, что давало ему повод объявить Москву третьим Римом, завладеть
государственным гербом - двуглавым орлом - и объявить себя уже не великим князем, а
государем (царем) всея Руси. Двуглавый орел хорошо послужил государству Российскому как
символ объединения русских земель вокруг богатого города и умного, волевого лидера. В 1997
году отмечался полутысячелетний юбилей Российского герба. За пять веков исторические
судьбы России многократно менялись, но государственный герб нашей страны – ее
изобразительное имя – неизменно служил Родине, и остается ее главным символом в наши дни.
Учитель: Получается, что всякий раз, когда мы, говорим о гармонии, красоте, мы тем самым
касаемся симметрии. Дальше поговорим о симметрии в неживой природе.
4-й ученик:
На первый взгляд мир неживой природы кажется лишенным симметрии и порядка, но это не
так. Ярким доказательством этого утверждения могут служить кристаллы. Все твердые тела
состоят из кристаллов. Симметрия кристаллов является следствием их внутреннего строения:
их атомы и молекулы имеют упорядоченное взаимное расположение, образуя симметричную
решетку из атомов – так называемую кристаллическую решетку. На рисунке представлены
кристаллы топаза, берилла, дымчатого кварца. Загадочная снежинка – это маленький кристалл
замерзшей воды. Снежинки могут принимать такие различные формы, что на них находятся
свои охотники-коллекционеры, собирающие фотографии ледяных кристаллов. Форма
снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией.
Симметрии также имеют большое значение в химии. Способ группировки атомов в молекулы
является основным фактором, определяющим химические свойства элемента, и симметрия
может сыграть здесь решающую роль. Графит, например, состоит из атомов углерода,
образующих слои, способные скользить друг по другу, благодаря чему мы можем писать
карандашом. В 1985г. был открыт так называемый «углерод шестьдесят» или фуллерен, чьи
сочленения сильно напоминают места соединения швов на футбольном мяче. Своим названием
он обязан архитектору Ричарду Бакминстеру Фуллеру. Среди химических элементов «углерод
шестьдесят» имеет самую высокую симметрию из всех известных.
Учитель: Сегодня вы убедились, что в окружающей нас действительности очень много
симметричных объектов. Это делает мир вокруг нас красивым и гармоничным. 20 февраля 2002
года отмечался Международный день симметрии. Многие интернет-страницы опубликовали
открытия, истории и разные любопытные математические курьезы из жизни артистов, ученых
и коллекционеров. Так, например, в истории шахмат есть сведения о полностью симметричном
поединке, который длился 16 ходов и закончился вничью. К концу поединка доска
демонстрировала совершенно симметричное расположение черных и белых фигур. Этот
поединок был разыгран на Всероссийском турнире любителей в 1909г.; соперниками были
Герш Ротлеви(Польша) и Моисей Захарович Эльяшов (Латвия).
1.e4 e5 2.Кf3 Кf6 3.Кc3 Кc6 4.Cb5 Cb4 5.O-O O-O 6.d3 d6 7.C:c6 C:c3 8.C:b7 C:b2 9.C:a8
C:a1 10.Cg5 Cg4 11.Ф:a1 Ф:a8 12.C:f6 C:f3 13.C:g7 C:g2 14.C:f8 C:f1 15.Ф:f1 Ф:f8
16.Фg2 Фg7
А сейчас вернемся к симметрии в геометрии.
Задача 6. Сколько осей симметрии имеет: отрезок, прямая, луч?
Задача 7. Какие из данных фигур имеют ось симметрии. Сколько?
Задача 8. Выбрать из предложенных фигур те, у которых:
а) одна ось симметрии;
б) две оси симметрии;
в) четыре оси симметрии;
г) пять осей симметрии;
д) шесть осей симметрии;
е) не имеет осей симметрии;
ж) бесконечно много осей симметрии.
Задание 9. Дано игровое поле 3х4 и 12 геометрических фигур, имеющих ось симметрии (одну
или несколько). Разместить фигуры в клетках поля так, чтобы ни по горизонтали, ни
по вертикали не встречались фигуры, имеющие одинаковое число осей симметрии.
Задание 10. Приведите примеры букв, имеющих горизонтальную или вертикальную оси
симметрии.
Тест
1. Какая фигура имеет три оси симметрии?
а) ромб;
б) равносторонний треугольник;
в) отрезок.
2. Какая буква имеет ось симметрии?
а) R;
б) Z;
в) V
3. Сколько осей симметрии имеет параллелограмм?
а) одну;
б) две;
в) ни одной.
4. Какие из графиков функций, изображенных на рисунке, симметричны относительно оси
Оу?
Итог урока : выставляются оценки, обобщается пройденный материал при помощи
обсуждения в виде эвристической беседы с учащимися класса, еще раз все вспоминают
слова ученых о симметрии.
«Математик любит прежде всего симметрию»
Максвелл Д.
«Красота тесно связана с симметрией»
Вейль Г.
«Симметрия … является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков
пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство»
Вейль Г.
«Для человеческого разума симметрия обладает, по-видимому, совершенно особой
притягательной силой»
Фейнман Р.
Домашнее задание
Постройте фигуру, симметричную пятиугольнику АВСДЕ относительно прямой а, если:
а) прямая а лежит вне пятиугольника;
б) прямая а проходит через одну из сторон пятиугольника;
в) прямая а проходит внутри пятиугольника.