Задания олимпиады 21.02.2015 для 9 классов

Задания олимпиады 21.02.2015 для 9 классов
1. В гараже 7 различных машин. Надо разделить их на группы так, чтобы каждая машина попала
ровно в одну группу, и в каждой группе было хотя бы две машины. Сколькими способами это
можно сделать?
𝑎𝑦 − 4𝑥 + 𝑎 + 1 = 0,
2. При каких а система {
не имеет решение?
3 + 𝑎 = (6 + 𝑎)𝑥 + 2𝑦.
3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты
(х,у) которых
3
4
2
2
удовлетворяют уравнению х + у = (ху) + у х.
4. Точка Н является основанием высоты ВН, проведенной из вершины прямого угла треугольника
АВС. Окружность с диаметром ВН пересекает стороны АВ и СВ в точках Р и К соответственно.
Найдите ВН, если РК=10.
1
1
1 2
5. Решите в натуральных числах уравнение р + 𝑞 = (5) , если 𝑝 > 𝑞.
6. В классе количество девочек меньше количества мальчиков пять раз. В турнире по шашкам все
они сыграли друг с другом ровно один раз, причем за выигранную партию давали одно очко
победившему игроку и ноль очков проигравшему, за ничью – пол-очка каждому. Мальчики в
сумме набрали 1,2 раза больше очков, чем девочки. Сколько очков набрали мальчики?
7. Незнайке прислали задание из 55 вопросов. Известно, что он выполнил задание правильно не
менее, чем на35% . За каждый верный ответ ему давали 7 баллов, за неверный ответ – отнимают
8 баллов, если он не отвечал на вопрос – 0 баллов. В итоге он в сумме получил 15 баллов. На
сколько вопросов он ответил правильно, если на каждый вопрос ему давали только один шанс?
8. Сколько решений в натуральных числах, отличных от единицы, имеет уравнение
𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥3 ∙ … ∙ 𝑥201 = 𝑝1 ∙ 𝑝2 ∙ 𝑝3 ∙ … ∙ 𝑝202 ,
в левой части которого стоят неизвестные, а в правой – различные простые числа?
Задания олимпиады 21.02.2015 для 10-11 классов
1. Каких 11-значных чисел больше: нечётных с суммой цифр 92 или чётных с суммой цифр 90?
2. Сколькими способами число 15 можно представить в виде суммы нескольких натуральных
слагаемых, если представления, отличающиеся порядком, считаются различными?
3. В тетраэдре ABCD <BAC=900, <DAB=<DAC=600.Какой угол ребро AD образует с плоскостью
ABC?
4. В кучке n камней. Два игрока берут поочерёдно по два или три камня. Выиграет игрок,
5.
6.
7.
8.
забравший последние камни. Если же в кучке останется один камень, то объявляется ничья.
Каким будет результат игры при выборе правильной стратегии, если
а) n=28; б) n=34; в) n=45 ?
Найдите наименьшее значение функции 𝑓(𝑥) = ∑2015
𝑘=1 |𝑥 + 𝑘|.
Пусть 𝐴1 𝐴2 … 𝐴2015 𝐴1 – замкнутая ломаная в пространстве, М – произвольная точка, не
совпадающая ни с одной вершиной этой ломаной, 𝑀𝑘 – ортогональная проекция точки M на
прямую 𝐴𝑘 𝐴𝑘+1. Докажите, что 𝑐𝑜s(𝐴1 𝑀𝑀1 ) cos(𝐴2 𝑀𝑀2 )… cos(𝐴2015 𝑀𝑀2015 )=
= 𝑐𝑜s(𝐴2 𝑀𝑀1 ) cos(𝐴3 𝑀𝑀2 )…𝑐𝑜s(𝐴1 𝑀𝑀2015 ).
Игра начинается с числа 15. Два игрока поочерёдно прибавляют к имеющемуся перед их ходом
числу натуральное число, не превосходящее его трети. Выиграет тот, кто получит число 2015.
Кто выиграет при выборе правильной стратегии: начинающий или его соперник?
Сколько решений в натуральных числах, отличных от единицы, имеет уравнение
𝑥1 ∙ 𝑥2 ∙ 𝑥3 ∙ … ∙ 𝑥2014 = 𝑝1 ∙ 𝑝2 ∙ 𝑝3 ∙ … ∙ 𝑝2015 ,
в левой части которого стоят неизвестные, а в правой – различные простые числа?