Экономические задачи - Камышинский технологический

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАМЫШИНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ВОЛГОГРАДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ТЕХНИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
КАФЕДРА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Задачи по математике
для экономистов
Методические указания
РПК «Политехник»
Волгоград
2007
УДК 510 (07)
З – 15
ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ: Методические указания
/ Сост. Н. Г. Дементьева, В. Ф. Казак, И. Э. Симонова; Волгоград. гос.
техн. ун-т. – Волгоград, 2007. – 35 c.
Cодержат задачи по математике. Даны 30 вариантов заданий к типовой работе, методические указания по ее выполнению, образцы решения
основных типов задач.
Предназначены для студентов I курса экономических специальностей.
Рецензент: С. В. Мягкова
Табл. 7.
Библиогр.: 4 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета

2
Волгоградский
государственный
технический
университет, 2007
1. Линейная алгебра
Экономический смысл матрицы: матрица представляет собой
упорядоченную систему информации, представленную в виде таблицы.
Система информации о взаимных поставках продукции отраслей материального производства может быть представлена в виде матрицы. Пусть
имеется n отраслей производства. Определим квадратную матрицу A
n  n , элементы которой a ij обозначают объёмы поставок
продукции из i отрасли в j -ю отрасль. Матрицей можно представить и
размером
систему информации о нормах материальных затрат для планирования
снабжения предприятия. Если предприятие производит n типов продукции, используя при этом
m видов сырья, то матрица A  (aij ) размера
определяет
нормы
материальных
затрат.
Так,
m n
a ij (i  1..m, j  1..n) - норма расхода i -го вида сырья на производство
единицы j -го типа продукции.
Предположим, что два различных предприятия одной отрасли
производят одинаковые типы продукции П1 ...П m , на которую расходуется
n видов сырья S1 ...S n . В силу различной технологии нормы мате-
риальных затрат на предприятиях неодинаковы и описываются матрицами размера n  m А и В соответственно. Пусть первое предприятие про-
x1 единиц продукции П1 , x 2 - типа П 2 , … x m - типа П m .
Второе, соответственно, y1 ... y m единиц продукции. Ставится
изводит
Задача 1. Определить матрицу полных материальных затрат в данной отрасли на производство продукции.
Решение. Введём векторы – столбцы производства первого и второго
предприятий:
 x1 
 y1 
X    , Y    .
 xm 
 ym 
Чтобы найти полные затраты первого предприятия по каждому виду сырья, нужно умножить матрицу норм материальных затрат А на столбец Х,
АХ = С (порядок сомножителей определяется возможностью перемножения двух матриц и экономическим смыслом их произведения). Матрицастолбец С имеет размер n  1 . Экономический смысл каждого элемента
3
m
ci   aij x j (i = 1…n) – полные затраты сырья S i на всю продукцию,
j 1
выпускаемую первым предприятием. Аналогично определяются полные
затраты второго предприятия по каждому виду сырья: BY = D, где матрица-столбец D тоже имеет размер n  1 . Полные затраты сырья каждого
вида по обоим предприятиям получаются суммированием матриц С и D:
P = C+D. Экономический смысл каждого элемента pi  ci  d i (i =
1…n) – полные затраты сырья
S i на всю продукцию, выпускаемую дву-
мя предприятиями. В матричном виде P = AX+BY.
Задачи.
1. Определить матрицу полных затрат, если в условиях задачи 1
 2 3 5
 10 
 1 1 2
 25 


 


 
A   3 4 1  , B   4 10 1  , X   15  , Y   26  .
 5 7 6
 20 
7 2 1
 37 


 


 
Пояснить экономический смысл.
2. Определить матрицу полных затрат, если в условиях задачи 1
 7 10 11
 10 
7 6 1
 15 


 


 
A   3 2 4  , B   1 2 8  , X   20  , Y   20  .
8 8 8 
 30 
5 8 9
 25 


 


 
Пояснить экономический смысл.
3. Определить матрицу полных затрат, если в условиях задачи 1
10 
 2 6 1
 7 1 3
 10 
 




 
A   3 2 5  , B   1 2 8  , X  12  , Y   20  .
14 
 5 3 1
 8 9 2
 25 
 




 
Пояснить экономический смысл.
4. Два предприятия выпускают 3 вида мебельных гарнитуров, расходуя
при этом 4 вида сырья: фанеру, пластмассу, ткань, древесину. Нормы материальных затрат для каждого предприятия заданы матрицами А и В. Первое предприятие выпустило 100 гарнитуров 1-го типа, 100 гарнитуров 2-го
типа, 0 гарнитуров 3-го типа. Второе предприятие выпустило, соответ-
4
ственно, 300, 200, 100 гарнитуров. Найти матрицу полных затрат, если
2

0
A
2

3

1 5
0


4 3
4
,
B

6
7 1


7
2 8 

2 3

1 5
0 2

3 1 
5. Используя условие предыдущей задачи, найти матрицу материальных
1

0
затрат, если A  
2

3

1 5
0


4 3
4
, B

4 1
6




5 7
7
7 3

1 5
0 2

3 1 
6. Два предприятия выпускают 3 типа мебельных гарнитуров, расходуя
при этом 4 вида сырья: фанеру, пластмассу, ткань, древесину. Нормы материальных затрат заданы для каждого предприятия матрицами А и В.
Первое предприятие выпустило 120 гарнитуров 1-го типа, 0 гарнитуров
2-го типа, 210 гарнитуров 3-го типа. Второе предприятие выпустило, соответственно, 400, 200, 300 гарнитуров.
2

0
Найти матрицу полных затрат, если A  
2

3

1 3
0


4 5
4
,
B

3
1 1


1
2 7 

1 5

2 1
0 2

3 1 
7. Используя условие предыдущей задачи, найти матрицу материальных
1

0
затрат, если A  
1

3

4 5
0


3 2
3
,
B

2
2 1


3
4 5 

9 2

1 5
0 1

3 1 
Задача 2. В городе имеются ателье индивидуального пошива женского
лёгкого платья первого, второго и третьего разрядов. Каждое ателье изготавливает 4 вида изделий: юбки, платья, блузки, брюки. Ателье s разряда
за изготовление изделия i вида получает d si рублей. Матрица расценок
D  (d si ) , s = 1,2,3,4; i = 1,2,3,4. Существует единый поквартальный
план пошива для ателье всех разрядов, который задаётся матрицей
5
P  ( p ij ) , i,j = 1,2,3,4, где pij - количество изделий i вида, которое каждое ателье должно изготовить в j квартале. Требуется определить матрицу Т поквартальной выручки ателье каждого разряда.
Решение. Пусть t sj - выручка ателье s-разряда в j-квартале s=1,2,3,4;
j=1,2,3,4 – элементы матрицы Т. Тогда d si  d s1 p1 j  d s 2 p2 j  d s 3 p3 j 
4
 d s 4 p4 j   d si pij , где каждое слагаемое определяет квартальную
i 1
выручку ателье от изделий соответствующего вида. По правилу умножения матриц можем записать в матричном виде: T = DP, т.е. матрица поквартальной выручки определяется как произведение матрицы расценок
D на матрицу поквартального плана Р. Ответ: T=DP.
8. Найти матрицу поквартальной выручки ателье, если матрица расценок
 35

 15 45 20 20 


 30
D   20 50 25 25  , P  
30
 25 60 30 40 



 20

30 40 30 

25 20 20 
- матрица по35 40 30 

18 15 20 
квартального плана. Провести анализ результатов.
9. Найти матрицу поквартальной выручки ателье, если матрица расценок
 100 200 210 250 


 30 40 10 15 


 300 250 200 150 
D   50 55 60 65  , P  
- матрица
100 90 250 300 
 10 60 20 15 




 300 300 400 250 


поквартального плана.
Провести анализ результатов.
10. Найти матрицу поквартальной выручки ателье, если матрица расценок
 45

 15 45 25 26 


 30
D   20 50 27 28  , P  
30
 25 60 30 40 



 26

квартального плана.
Провести анализ результатов.
6
50 40 50 

25 30 40 
- матрица по35 40 30 

28 35 60 
11. Найти матрицу поквартальной выручки ателье, если матрица расценок
 35

 85 45 90 70 


 90
D   60 50 25 25  , P  
70
 25 65 30 40 



 20

30 40 30 

25 20 22 
- матрица по35 40 35 

78 45 20 
квартального плана.
Провести анализ результатов.
12. Найти матрицу поквартальной выручки ателье, если матрица расценок
 50

 25 45 95 70 


 90
D   60 50 30 25  , P  
70
 55 60 35 55 



 80

30 40 30 

25 82 45 
- матрица по35 40 35 

78 42 55 
квартального плана.
Провести анализ результатов.
13. Найти матрицу поквартальной выручки ателье, если матрица расценок
 45

 15 25 10 50 


 90
D   30 15 25 35  , P  
70
 15 45 30 40 



 20

35 50 70 

25 50 25 
- матрица по35 70 35 

75 45 55 
квартального плана.
Провести анализ результатов.
14. Для изготовления трёх видов изделий необходимы детали трёх типов,
потребности в которых заданы в таблице 1. Потребности в сырье для изготовления деталей заданы в таблице 2. Определить потребности в сырье
для изготовления x1 - изделий 1-го вида, x 2 - изделий 2-го вида, x3 - изделий 3-го вида.
7
Таблица 1
Таблица 2
1 . В т ул к а
Вид
изделий
1
2
3
5
3
2
2.Колесо
4
6
2
3 . К о р п ус
1
1
1
Детали
Материал
Тип
детали
1
2
3
Дерево
1
0
2
Сталь
0
1
3
Задача 3. Три цеха предприятия выпускают продукцию 3-х видов. Часть
продукции идёт на внутреннее потребление, остальная часть является конечным продуктом. Требуется выявить распределение между цехами
продукции, идущей на внутреннее потребление и общие (валовые) объёмы выпускаемой продукции ( x , i  1, 2, 3 ), если заданы матрица коэф-
i
фициентов прямых материальных затрат и вектор конечной (валовой)
продукции Y:
 200 
 0.3 0.1 0.4 




A   0.2 0.5 0  Y   100  .
 300 
 0.3 0.1 0.2 




Заполнить таблицу межотраслевого баланса (МБ).
Решение. Поскольку выпускаемый продукт Х используется как для внутреннего потребления в количестве АХ, где А – матрица прямых затрат,
так и в качестве конечного продукта Y, то справедливо матричное уравнение X – AX = Y или (Е - А)Х = Y (где Е – единичная матрица). Решение
этого уравнения находится по формуле
X  ( E  A) 1 Y .
 0.7  0.1  0.4 


( E  A)    0.2 0.5
0 ,
  0.3  0.1 0.8 


 2.041 0.612 1.02 


1
( E  A)   0.816 2.245 0.408  ,
 0.867 0.510 1.684 


8
 2.041 0.612 1.02   200   775.3 

 
 

X   0.816 2.245 0.408    100    510.1  .
 0.867 0.510 1.684   300   729.6 

 
 

Таблица межотраслевого баланса (МБ), имеет вид:
Продукция
Цеха
1
2
3
Условно – чистый
продукт
Валовая
продукция
1
2
3
232.6
155.1
232.6
155
51
255
51
153.1
291.8
0
145.9
291.9
775.3
510.1
729.6
Конечная
продукция
200
100
300
600
Таблица 3
Валовая продукция
775.3
510.1
729.6
2015
15. Для трех отраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат
 200 
 0.1 0.2 0.1




A   0.2 0.1 0  и Y   150  - вектор конечной продукции.
 250 
 0 0.2 0.1




Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой
продукции. Заполнить таблицу МБ.
16. Используя условие задачи 3, выявить распределение между цехами
продукции, идущей на внутреннее потребление, и общие (валовые) объёмы выпускаемой продукции ( x ij ), если
 180 
 0 0.1 0.2 




A   0.1 0.2 0.1 и Y   200  . Результаты занести в таблицу МБ.
 200 
 0.2 0.1 0.2 




17. Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат
150 
 0.2 0.1 0.2 




A   0 0.1 0.2  и Y  180  - вектор конечной продукции.
100 
 0.1 0 0.1 




9
Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой
продукции. Результаты занести в таблицу МБ.
18. Для трех отраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат
 180 
 0.4 0.2 0.3 




A   0.2 0.1 0  и Y   200  - вектор конечной продукции.
 160 
 0.2 0.1 0 




Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой
продукции. Результаты занести в таблицу МБ.
19. Для трех отраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат
140 
 0.3 0.2 0.2 




A   0.1 0.1 0.4  и Y  120  - вектор конечной продукции.
110 
 0.1 0.2 0 




Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой
продукции. Результаты занести в таблицу МБ.
20. Для трех отраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат
 120 
 0.1 0.3 0.1




A   0.2 0.1 0.3  и Y   100  - вектор конечной продукции.
 200 
 0.2 0.1 0.3 




Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой
продукции. Результаты занести в таблицу МБ.
21. Для трех отраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат
180 
 0.4 0 0.2 




A   0.2 0.4 0  и Y  110  - вектор конечной продукции.
130 
 0.2 0.1 0 




Найти коэффициенты полных материальных затрат и вектор валовой
продукции. Результаты занести в таблицу МБ.
22. Данные о реализации товаров в 3-х магазинах предоставлены матрицами
10
17

6
A
11

7

4 12 
 20


4 13 
 10
B

 20
4 8


 10
4 6 

5 10 
12 3


5 15 
8 3
C

10 3
5 8


4 3
5 10 

4

4
6

7 
В строках указаны суммы, вырученные за каждый сезон (весна, лето
осень, зима), а в столбцах – выручка о продажи трех видов товаров (платья, костюмы, обувь). Требуется: 1) показать, что каждый сезон первый и
третий магазины, вместе взятые, продали товаров каждого вида на сумму,
большую, чем второй магазин; 2) найти общие суммы продажи всех трех
магазинов (по сезонам и всего).
23. В трех торговых точках проведена ревизия и получены следующие
данные о продаже трех видов товаров (в условных единицах):
 1 0 3


A   3 1 7  . В кассе 1-го магазина обнаружено 31.8 условных еди 2 1 8


ниц, 2-го – 154.6 у.е., 3-го – 141.1 у.е. Требуется определить, по какой
цене продавался каждый вид товаров (с тем, чтобы сравнить эти цены с
имеющимися в накладных).
24. Предприятие выпускает три типа игрушек в количестве, характеризуемом вектор-планом X=(10,7,4). Для изготовления используется 5 видов
 
сырья. Задана матрица A  aij
i  1 3 ; j  1 5 , где aij характеризует расход j -го сырья на единицу i -го вида продукции:
1
 
 5 10 3 9 2 
 4


A  4 8 5 6 8
C   3  - вектор стоимости единицы
 
 6 12 4 3 5 


9
 2
 
каждого вида сырья. Определить необходимое количество каждого вида
сырья для обеспечения плана (B), стоимость сырья для единицы каждого
вида продукции (D) и общую стоимость всего сырья для всей продукции
(Q). Указание. B=XA, D=AC, Q=XD.
11
25. Предприятие выпускает три типа игрушек в количестве, характеризуемом вектор-планом X=(9,8,3). Для изготовления используется 5 видов
сырья. Задана матрица
A   aij  i  1 3 ; j  1 5 , где aij характеризует расход j -го сырья на единицу i -го вида продукции:
2
 
4 9 2 8 1
5


C   4  - вектор стоимости единицы
A  3 7 4 5 7
 
 7 11 3 2 4 


 10 
3
 
каждого вида сырья. Определить необходимое количество каждого вида
сырья для обеспечения плана (B), стоимость сырья для единицы каждого
вида продукции (D) и общую стоимость всего сырья для всей продукции
(Q). Указание. B=XA, D=AC, Q=XD.
26. Три предприятия используют два вида сырья: уголь и древесину. За-
 10 20 

 и матрица стоимостей
даны матрица расходов сырья X  50 0


 30 10 


перевозок тремя видами транспорта
 3 5 8
P
 . Определить матрицу затрат по видам транспорта. Про 7 2 8
вести анализ результатов.
27. Три предприятия используют два вида сырья: уголь и древесину. За-
 20 40 


даны матрица расходов сырья X  60 30 и матрица стоимостей


 40 20 


перевозок тремя видами транспорта
 5 4 6
P
 . Определить матрицу затрат по видам транспорта.
7 6 1
Провести анализ результатов.
28. Два цеха предприятия выпускают продукцию двух видов: 1-ый цех –
продукцию 1-го вида, 2-ой цех – продукцию 2-го вида. Часть выпускае-
12
мой продукции идет на внутреннее потребление, остальная часть является конечным продуктом. Требуется выявить распределение между цехами продукции, идущей на внутреннее потребление, и общие (валовые)
объемы выпускаемой продукции
 x  , если заданы матрица прямых заij
трат
A   aij  и вектор конечного (валового) продукта Y.
 1 5 1 10 
A

1 4 1 5 
130 

Y  
190 
29. Два предприятия производят музыкальные центры, телевизоры, плееры. Количества продукции каждого вида, производимые за месяц, приведены в таблице 4.
Таблица 4
Вид продукции
Количество
продукции в
условных
единицах
Телевизоры
I предприятие
II предприятие
Музыкальные
центры
Плееры
100
300
200
200
100
300
Данные о прибыли от реализации единицы каждого вида изделий в каждый из трех месяцев приведены в таблице 2.
Таблица 5
Месяц
I
Виды изделий
II
III
Прибыль (в условных единицах)
Телевизоры
1,2
1,21
1,23
Музыкальные центры
1,1
1,12
1,15
Плееры
1,4
1,41
1,42
30. Два предприятия производят музыкальные центры, телевизоры, плееры. Количества продукции каждого вида, производимые за месяц, приведены в таблице 6.
Таблица 6
Вид продукции
Количество
продукции в
условных
единицах
I предприятие
II предприятие
Телевизоры
Музыкальные центры
Плееры
200
400
100
300
300
200
13
Данные о прибыли от реализации единицы каждого вида изделий в каждый из трех месяцев приведены в таблице 7.
Месяц
Виды изделий
Телевизор
Музыкальный центр
Плеер
I
1,4
1,3
1,2
II
Прибыль (в условных единицах)
1,1
1,2
1,3
Таблица 7
III
1,2
1,3
1,4
2. Введение в математический анализ
В экономике многие зависимости могут быть заданы функциями как
одной переменной y = f(x), так и нескольких переменных
y  f ( x1 , x2 ....xn ) . Наличие функциональных зависимостей позволяет
использовать аппарат математического анализа для решения экономических проблем. В качестве примеров функциональных зависимостей в
экономике можно привести следующие функции, имеющие экономический смысл в некоторой области значений аргумента:
 Функция спроса от цены товара, y = f(x), x  цена товара, y  спрос на
товар.
 Функция цены от спроса товара, y = f(x), x  спрос на товар, y  цена
товара.
 Суммарная выручка, равная произведению количества проданного
товара на цену товара, тоже является функцией спроса.
 Суммарные издержки производства F от объема производства x:
F=F(x) и средние (удельные) издержки производства (себестоимость) f 
функции от объема производства x: f(x) = F(x)/x.
Суммарные издержки производства F иногда выражаются линейной
функцией от объема выпускаемой продукции x: F(x) = ax + b, где a 
сумма издержек первой группы на единицу продукции, b  издержки
производства, не зависящие от объема выпуска (вторая группа). К первой группе издержек относятся расходы, зависящие от объема выпуска
продукции, например, стоимость сырья, оплата рабочим и т.п. Ко второй
группе относится амортизация здания, его отопление и т.п. Средние издержки, или себестоимость продукции, f(x) в этом случае имеет вид f(x)
= F(x)/x = (ax+b)/x=a + b/x.
Задачи.
1. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы)
определяются по формуле y = ax + b, где x  объем партии. Причем па-
14
раметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса
механической обработки: для первого варианта y = 1.45x + 20, а для второго варианта при x = 100 (дет), y = 157.5 (руб), при x = 300 (дет), y =
452.5 (руб). Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т.е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при
x = 200 (дет).
2. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются функциями y = 150x + 50 и y = 25x + 250, где x  расстояние в сотнях километров; y  транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?
3. Известно, что средние издержки (себестоимость) определяются зависимостью y = 2xp, где x объем производства. Определить значение p, если известно, что при x = 100, y = 20.
4. Известно, что стоимость рулона ткани y прямо пропорциональна x 
количеству метров в рулоне. Зная, что цена 1 м ткани равна 130 руб, выписать функцию y = f(x) и вычислить стоимость рулона, содержащего 300
м.
5. Зная, что объем производства y связан с производительностью труда
x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно,
что при x = 3, y = 185, при x = 5, y = 305. Определить объем производства
при x = 20.
6. Прогноз численности населения на ближайшую перспективу можно
производить по формулам: (1) y = y0 + bt и (2) y = y0 at , где y  численность населения; y0  исходная численность (по переписям или оценке); b
 средний абсолютный прирост, a  средний темп роста (в форме коэффициента роста); t (лет)  длина периода, на который производится прогноз. Определить численность населения в данном регионе через 3 года
по формулам (1) и (2), если y0 = 3*104 , b = 3*103, a = 1.1. Сравнить результаты.
7. Пусть имеется запас некоторого сырья, составляющий B тонн, которого должно хватить на A дней. Расход материала должен быть равномерным, т.е. ежедневно расходуется одинаковое количество сырья. Составить уравнение, выражающее зависимость неизрасходованного сырья
y от количества прошедших дней x. Построить график при A = 10, B = 5.
Определить, каков остаток сырья через 3 дня, если A = 5, B = 15.
8. Зависимость уровня потребления y некоторого вида товаров от уровня дохода семьи x выражается формулой y = a - b/(x + c). Полагая a = 2.8,
b = 168, c = 10, построить график этой зависимости; провести экономический анализ. Вычислить уровень потребления при x = 158.
15
9. Продолжительность выполнения работы y (мин.) при повторяемых
операциях есть величина, обратно пропорциональная числу x (шт.) этих
операций. Построить график этой зависимости y = f(x), если известно, что
при 0  x  200 справедлива формула y = a/(x + c), причем при x = 0
y = 150, при x = 200 y = 50. Вычислить, сколько минут выполняется работа при 50 операциях.
10. Рентабельность y связана с себестоимостью продукции x следующей
зависимостью: y = a/x – 1 , где a  цена единицы продукции. Построить
график этой зависимости при a = 100. Пояснить его экономический
смысл. Вычислить рентабельность при x1 = 50 и x2 = 150. Дать пояснения.
11. Распределение дохода в капиталистическом обществе может быть
описано законом Парето: y = ax-m , где y  число лиц, имеющих доход, не
меньший x; m, a  положительные постоянные. Требуется: 1) при a =
3*109 , m = 3/2 определить число лиц, имеющих доход не меньше 1600
денежных единиц; 2) при a = 2*109 , m = 3/2 определить число лиц, чей
доход не меньше 105 денежных единиц.
12. Постоянные издержки при производстве ручных часов составляют 12
тыс. руб. в месяц, а переменные - 700 руб. за единицу продукции. Продукция продается по цене 1200 руб. за единицу. Составить функцию прибыли. Определить:
а) точку безубыточности;
б) сколько единиц продукции нужно произвести, чтобы прибыль составила 105 тыс. руб. в месяц.
13. Определить сумму, которую получит вкладчик через 3 года, вкладывая 500 руб. под сложный процент, ставка которого 3%.
14. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются функциями y = 65x + 360 и y = 45x + 160, где x  расстояние в сотнях километров; y  транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?
15. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы)
определяются по формуле y = ax + b, где x  объем партии, причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта
y = 2x + 15, а для второго варианта при x = 20 (дет.) y = 150 (руб.), при x
= 100 (дет.) y = 710 (руб.). Требуется: 1) провести оценку двух вариантов,
т.е. определить, какой из них выгоднее в зависимости от объема партии;
2) построить графики; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x = 80 (дет.).
16. Определить сумму, которую получит вкладчик через 5 лет, вкладывая 2500 руб. под сложный процент, ставка которого 5%.
16
17. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы)
определяются по формуле y = ax + b, где x  объем партии, причем параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта y = 5x + 40, а для второго
варианта при x = 30 (дет.) y = 200 (руб.), при x = 90 (дет.) y = 800 (руб.).
Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т.е. определить, какой из
них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить графики издержек; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при
x = 60 (дет.).
18. Зная, что объем производства y связан с производительностью труда
x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно,
что при x = 150 y = 352, при x = 77 y = 301. Определить объем производства при x = 210.
19. Зная, что объем производства y связан с производительностью труда
x линейной зависимостью, определить эту зависимость, если известно,
что при x = 100 y = 360, при x = 80 y = 240. Определить объем производства при x = 110.
20. Зависимость уровня потребления y некоторого вида товаров от уровня дохода семьи x выражается формулой y = a – b/(x + c). Полагая a = 3,
b = 250, c = 20, построить график этой зависимости; провести экономический анализ. Вычислить уровень потребления при x = 100.
21. Исследовать поведение функции спроса от цены товара y
= 200 ( x  2) при увеличении цены (x   ).
22. Издержки перевозок двумя видами транспорта выражаются функциями y = 60x + 300 и y = 15x + 150, где x  расстояние в сотнях километров; y  транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?
23. Пусть имеется запас некоторого сырья, составляющий B тонн, которого должно хватить на A дней. Расход материала должен быть равномерным, т.е. ежедневно расходуется одинаковое количество сырья. Составить уравнение, выражающее зависимость неизрасходованного сырья
y от количества прошедших дней x. Построить график при A =20, B =5.
Определить, каков остаток сырья через 5 дней, если A =10, B =15.
24. Издержки на изготовление партии деталей (годовой программы)
определяются по формуле y  ax  b , где x - объем партии, причем
параметры a и b различны для двух вариантов технологического процесса механической обработки: для первого варианта y  1.2  x  30 , а
для второго варианта при x =100 (дет), y =150 (руб.), при x=200 (дет),
y=250. Требуется: 1) провести оценку двух вариантов, т.е. определить,
какой из них выгоднее в зависимости от объема партии; 2) построить
17
графики издержек; 3) найти себестоимость продукции для обоих вариантов при x=200 (дет).
25. Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются
уравнениями
 p  3x  15,

 p  x  3.
а) Найти точку рыночного равновесия.
б) Найти точку равновесия после введения налога, равного 3%.
Найти увеличение цены и уменьшение равновесного объема
продаж.
в) Какая субсидия приведет к увеличению объема продаж на 2 единицы?
30) Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются
уравнениями
 p  3x  15,

 p  x  3.
а)
Вводится пропорциональный налог, равный 20%. Найти новую
точку равновесия и доход правительства.
б) Правительство установило минимальную цену, равную 7. Сколько денег будет израсходовано на скупку излишка?
31) Предприятие купило автомобиль стоимостью 40 тыс. руб. Ежегодная
норма амортизации составляет 10% от цены покупки. Написать уравнение, определяющее стоимость автомобиля в зависимости от времени t,
построить график. Найти стоимость автомобиля: а) через 5 лет; б) через 6
лет и 3 месяца.
32) Газовая плита была куплена за 8000 руб. Амортизация начисляется
линейно и составляет 15% в год от первоначальной стоимости.
Найти:
а) стоимость газовой плиты через t лет;
б) стоимость газовой плиты через 6 лет после начала эксплуатации;
в) срок службы плиты.
29. Фирма купила четыре одинаковых компьютера. Первоначальная стоимость каждого компьютера составляет 1200 у.е., остаточная – 80 у.е.
Срок жизни компьютера по норме – 4 года. Через 2 года компьютеры были проданы по цене 600 у.е. каждый. Построить график функции, определяющей стоимость четырех компьютеров в зависимости от времени t.
Какую прибыль получило предприятие после продажи?
30. Станок был куплен за 20 тыс. руб., его остаточная стоимость – 600
руб. Определить срок службы станка, если:
18
а)
амортизация начисляется ежегодно из расчета 10% от последней
стоимости станка;
б) норма амортизации составляет 10% от первоначальной стоимости.
3. Дифференциальное исчисление
Экономический смысл производной.
Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества
выпускаемой однородной продукции x.
Пусть x  прирост продукции, тогда  y приращение издержек производства и y/x  среднее приращение издержек производства на единицу продукции.
Производная
y’ =
y
lim x
x 0
выражает предельные издержки производ-
ства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.
Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции x) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными затратами (на сырье, топливо
и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный продукт и другие величины. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс
изменения экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса).
Относительная скорость изменения (темп) функции y = f(x) определяется ее логарифмической производной
Ty = (ln y)’ =
y'x
.
y
Эластичность функции y = f(x)  предел отношения относительного
приращения функции к относительному приращению независимой переменной x при x  0:
Ex(y) =
lim (
x 0
y x
x
: )  y' x .
y x
y
Эластичность функции равна произведению независимой переменной на
темп функции
Ex(y) = xTy..
19
Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов
изменится функция y = f(x) при изменении независимой переменной x на
1%. Коэффициент эластичности применяется при анализе спроса и потребления. Если
E x ( y)  1 , то спрос считают эластичным, если
E x ( y)  1 , то нейтральным, если E x ( y)  1 , то спрос неэластичен
относительно цены (дохода).
Производственная функция  экономико-математическое выражение
зависимости результатов производственной деятельности от обусловивших эти результаты показателей (факторов). Производственные функции,
в которых устанавливается зависимость объема производства продукции
от наличия ресурсов, называют также функциями выпуска, а функции, в
которых рассматривается зависимость затрат на производство от выпуска
продукции  функциями производственных затрат. В общей форме производственная функция имеет вид:
a
a
a
y =a x1 1 x 2 2 ...x n n ,
где y обозначает величину общественного продукта;
x1 , x2 ,...xn  затра-
ты ресурсов; a  коэффициент, зависящий от размерности единиц измерения затрат и выпуска;  1 ,  2 ,... n  параметры, численно равные коэффициентам эластичности выпуска относительно затрат соответствующего ресурса.
Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:



y = a x1 1 x 2 2 x3 3 ,
где y  национальный доход;
x1 , x 2 , x3  объемы соответственно трудо-
вых ресурсов, производственных фондов, природных ресурсов. Для производственной функции y = f( x1 , x2 ,....x n ) отношение y/ x i выражает
среднюю производительность (отдачу, эффективность) i-го ресурса, т.е.
величину общественного продукта на единицу i-го ресурса. Частная производная
y ' xi  lim
xi 0
y xi
xi
характеризует предельную производительность (отдачу, эффективность)
i-го ресурса и показывает приближенно изменение величины общественного продукта при изменении i-го ресурса на 1 ед. (при постоянстве
других ресурсов).
20
Задачи.
Производная функции, ее нахождение.
1. Функция издержек производства y(x) от объема продукции x имеет
вид y(x) = 100x-0.2x3. Определить средние и предельные издержки при
объеме продукции 12 ед.
2. Себестоимость продукции y(x) связана с объемом продукции x уравнением y(x) = 6ln(1 + 3x). Определить среднюю и предельную себестоимость продукции при объеме продукции 10 ед.
3. Производительность труда бригады рабочих может быть описана
уравнением y(t) = -2.5t2+ 15t + 100, где 1≤ t ≤ 8  рабочее время в часах.
Вычислить скорость и темп изменения производительности труда при
t = 2 и t = 7.
4. Себестоимость штангенциркулей на Ставропольском инструментальном заводе описывается функцией y(x) = 0.01x2- 0.5x +12 при
5 ≤ x ≤ 50, где x  объем выпускаемой за месяц продукции (тыс.ед.).
Определить скорость и темп изменения себестоимости при выпуске 20
тыс. ед. и 40 тыс. ед. продукции.
5. Стоимость произведенной продукции на 1 руб. основных промышленно-производственных фондов (фондоотдача) y(x) зависит от коэффициента сменности оборудования (характеризующего степень равномерности использования оборудования по сменам) x следующим образом:
y(x) = x +C, где C  const. Найти: 1) скорость изменения фондоотдачи
при коэффициенте сменности оборудования x = 1.35; 2) функцию этого
изменения, если C = 0, полагая, что некоторое время фондоотдача будет
изменяться с постоянной скоростью.
6. В среднем расход на питание y(x) в зависимости от годового дохода x
на душу населения описывается функцией y(x) = 25x1/2. Вычислить:
1) скорость изменения расходов на питание при годовом доходе 16 тыс.
у. е.. и 25 тыс. у. е. руб. 2) Полагая, что некоторое время расход на питание будет изменяться с постоянной скоростью, найти функцию этого изменения при годовом доходе 1600 руб. и 2500 руб.
7. Функция спроса y(x) (руб.) от доходов потребителя x (руб.) имеет вид
y(x) = 2x + 5. Найти коэффициент эластичности спроса при доходе, равном 2000 руб.
8. Зависимость между объемом выпуска готовой продукции однотипных предприятий y(x) (млн. руб.) и объемом производственных фондов x
(млн. руб.), выражается функцией y(x) = 0.6x – 4. Найти коэффициент
эластичности выпуска продукции для предприятия, имеющего производственные фонды 40 млн. руб.
9. Зависимость между количеством выпускаемых деталей в партии x
(тыс. шт.) и затратами на их изготовление y(x) (тыс. руб.) для предприя-
21
тий отрасли выражается уравнением y(x) = 27/x + 6. Найти коэффициент
эластичности для затрат предприятий.
10. Зависимость урожайности зерновых культур y(x) (ц/га) от количества
осадков x(см.), выпавших в период роста растений, может быть выражена уравнением у(x)=-44+4х-0,05х2. Найти коэффициент эластичности
урожайности при количестве осадков: 1) 40 см.; 2) 30 см.
11. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y(x) (в руб.)
и выпуском продукции x (в млн. руб.) выражается уравнением
у(x)=-0,5х+80. Найти коэффициент эластичности себестоимости при выпуске продукции 30 млн. руб.
12. Заданы функции спроса у(x) и предложения (количества товара,
предлагаемого в продажу в единицу времени) z(x) от цены x: у(x)=10-х,
z(x)=3x-6. Найти 1) цену равновесия, при которой спрос и предложение
уравновешиваются; 2) эластичность спроса и предложения для цены равновесия.
13.
Функция
предложения
z(x)
некоторого
товара
есть
z(x) = (20+ х1) / (1 + 10х), а функция спроса у(x) = (25 -х+4х2) / (1 + 10х),
где x-цена товара.
Определить: 1) цену равновесия, при которой спрос и предложение уравновешиваются; 2) эластичность спроса и предложения для цены равновесия.
14. Зависимость потребления у(x) от дохода x задается функцией
у(x)=ах/(x+b). Показать, что коэффициент эластичности потребления от
дохода не зависит от параметра a и стремится к нулю при неограниченном возрастании дохода.
15. 3адана функция у(x)=f(x) полных затрат предприятия на производство
Х единиц продукции. Как связаны между собой коэффициенты эластичности полных и средних затрат?
16. Как связаны между собой предельные и средние полные затраты
предприятия, если коэффициент эластичности полных затрат равен 1?
17. Задана функция полных затрат в виде y(x)= x3-2x2. При каком объеме
производства x предельные средние и полные затраты совпадают?
Пусть K=K(t) – приближенная величина вклада в момент времени t, rставка банковского процента. Если проценты начинаются один раз за период времени t, то проценты за этот период составят Krt, (r номинальная ставка за год, t – доля года). Так как приращение вклада и
проценты по вкладу -одно и то же, то К = Krt, а r = К / Kt. Заменяем
приращение К на дифференциал dK = K't. Отсюда
r≈K’t /
K’t=K’/K=(lnK)′.
22
18. Величина вклада K(t)=Ko(t+l) 1,5 , где t -число лет от открытия вклада;
Ко – величина вклада в начальный момент времени t=0. Определить, как
изменится ставка банковского процента за период от 3 до 5 лет.
19. Величина вклада K(t)=Ko(t+l) 1,8, где t -число лет от открытия вклада;
Ко – величина вклада в начальный момент времени t=0. Определить, как
изменится ставка банковского процента за период от 3 до 5 лет.
Пусть A(t) -стоимость некоторого актива А в момент времени t, r – доходность от вложения денег в другие активы. Для простоты будем считать, что r не зависит от времени. Когда выгодно покупать или продавать
актив А? Для этого необходимо найти интервал времени, в течение которого мгновенная доходность актива А будет больше r. Так как мгновенная доходность актива А совпадает с темпом роста его стоимости, то искомый интервал времени задается неравенством [lnA(t)]′> r. Если данное
неравенство задает интервал (t1, t2). то актив А следует купить в момент
t1 и продать в момент t2.
20. Пусть r=10% годовых, А(t) = Cearctgt, где С –const. В какой момент
времени выгоднее купить (продать) актив А?
21. Две реки следует соединить каналом. Первая река там, где должен
проходить канал, имеет вид параболы у = x2, а вторая река – вид прямой
х-у-2=0. Соединяющий реки канал должен иметь наименьшую длину.
Как его нужно проложить? Составить уравнения канала. Сделать чертеж.
22. Функция спроса у (руб.) от цены х (руб.) продукта имеет вид
у(х) = 100 - х. Найти коэффициент эластичности спроса при цене товара
20 руб.
23. Зависимость между издержками производства у и объемом выпускаемой продукции x на предприятии выражается функцией у(х) = 50х+0.05х2
. Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10
ед.
24. Зависимость между себестоимостью единицы продукции у(х) (в
млн.руб.) и выпуском продукции х (в млн.руб.) выражается уравнением
у(х)=-0.Зх+70. Найти коэффициент эластичности себестоимости при выпуске продукции 40 млн. руб.
25. Объем продаж видеомагнитофонов задается следующей функцией
времени:
V (t )  5000  1000t  100t 2 ,
где t – время, измеряемое в месяцах; V – количество видеомагнитофонов,
проданных за месяц. Найти скорость изменения объема продаж в момент
времени t=3.
26. Население некоторой страны растет по следующему закону:
23
P(t )  100000(1  t ) 2 ,
где время t измеряется в годах. Найти скорость изменения населения при
t=2.
27. Издержки удаления p процентов загрязнений из использованной воды равны C ( p)  7600h /(105  p) . Найти скорость изменения издержек в точке p=52.5.
28. Выручка от оптовой продажи радиоприемников определяется функцией R( x)  75 x  0.05 x , 0  x  750 ,
где x – число проданных радиоприемников. Найти предельную выручку,
если продано:
а) 100 радиоприемников; б) 200 радиоприемников.
29. Найти предельную выручку для следующей функции R(x):
2
R( x)  2 x  0.01x 2 .
30. Найти предельную выручку для следующей функции R(x):
3
R( x)  4 x  0.005x 2 .
4. Исследование функции и построение графиков
Пусть q -выпуск продукции (в натуральных единицах); R(q) - выручка от продаж; C(q) -издержки производства, связанные с выпуском q единиц продукции. Тогда прибыль П(q)=R(q)-С(q).
1) Функции R(q),C(q) определены на [0;+∞) и дифференцируемы при
q >0.
2) Максимум прибыли достигается в некоторой точке q ≠ 0.
Если условия 1 и 2 выполнены, то функция П(q)=R(q)-С(q) дифференцируема и имеет на интервале (0;+∞) максимум в точке q*≠0. По теореме
Ферма П′(q*) = 0. Так как П'(q) =R'(q) - С'(q), то в точке q = q * получаем
R'(q*) = C'(q*). В случае, когда объем производства q не влияет на цену
продукции p , имеем R(q) = pq; R'(q) = p, тогда p =C'(q*). Далее считаем,
что функция C(q) определена и дифференцируема на промежутке [0;+∞).
Таким образом, предельные издержки MC=C'(q).
Как и любая коммерческая фирма, конкурентная фирма стремится
максимизировать свою прибыль, поэтому при данной цене продукции р
она устанавливает объем выпуска q равным q* , где q*- точка глобального максимума функции прибыли. Следовательно, q*= S(p), где S(p) функция предложения, Т.е. S(p) -обратная функция для функции C′(q).
24
Задачи.
1. Найти объем производства при цене р=15; С(q)=q3 + Зq.
2. Найти объем производства при цене p=100; C(q)=q2+2q+2.
3. Экспериментально установлено, что расход бензина у(х) (л) на 100 км
пути автомобилем ГА3-69 в зависимости от скорости (км/ч) описывается
функцией у(х) = 18-0.3x+0.003х2, где 30≤ x<100. Цена бензина 1 у.е. за
1л. Определить:
1) наиболее экономичную скорость автомобиля, при которой расход бензина будет минимальной; 2) экономию в затратах на бензин на участке
шоссе в 500 км при прохождении его с этой скоростью по сравнению со
скоростью 90 км/ч.
4. Зависимость расхода автомобилем горючего от скорости движения задается функцией y(x)=20-0.4x+0.005x2, где у(х) - расход горючего (л.) на
100 км пути, х -скорость автомобиля (км/ч). Как изменяется расход горючего в зависимости от скорости движения автомобиля?
5. Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей - постоянной, равной а руб., и переменной -возрастающей пропорционально кубу скорости (коэффициент пропорциональности K). Найти крейсерскую
скорость судна, при которой плавание будет наиболее экономично. Вычислить ее значение при а=640, К=0.04.
6. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом
32 м3 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
7. Консервная банка данного объема имеет форму цилиндра. Каково
должно быть соотношение ее размеров (высоты и диаметра), чтобы на
изготовление пошло минимальное количество жести?
8. Из имеющихся досок можно построить забор длиной 200 м. Определить размеры двора прямоугольной формы, которой можно огородить
этими досками, используя для одной стороны двора стену близлежащего
здания.
9. Себестоимость продукции С(тыс.руб.) описывается функцией
С(х)=0.00025х3+0.0025х2+0.58х+19; 15≤ x≤ 550, где х - объем выпускаемой продукции в месяц (тыс.ед.). Определить, при каком количестве продукции прибыль будет максимальной, если продукция реализуется по
цене 2 тыс. руб. за 1 тыс.ед. Вычислить величину прибыли. Указание.
Прибыль определяется как разность между выручкой от реализации продукции и ее себестоимостью.
10. На станции В железной дороги ВД расположен завод В. Продукция
этого завода поставляется заводу А. Ближайшей от А точкой железной
дороги является Д. Расстояния ВД и АД равны соответственно 100 км и
40 км. Необходимо завод А связать прямолинейной шоссейной дорогой с
железной дорогой так, чтобы провоз груза из В в А по маршруту ВСА
25
был наиболее дешевым. Известно, что стоимость провоза единицы груза
на расстояние 1 км по железной дороге равна 3 у.е.., а по шоссе 5 у.е. Где
должно находиться начало шоссе? Сделать чертеж.
11. Лодка находится на расстоянии 3 км от ближайшей точки А берега.
Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на берегу на
расстоянии 5 км. от А. Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а пассажир,
выйдя из лодки, может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна
пристать лодка, чтобы пассажир достиг села в кратчайшее время?
12. Для изучения производственных операций следует произвести n замеров из общего числа N элементов изучаемого процесса. Суммарные затраты на выполнение такого хронометра определяются формулой
S(n)=Со +С1n +Nz / 750 n , где Со, C1-постоянные для этого вида операций величины, z -оплата труда рабочих за 1 час. Найти такое значение
n, при котором затраты будут наименьшими, если С1=0.05 руб/ч; z=0.9
руб/ч; N=l0000.
13. Общая сумма расходов на перевозку и хранение деталей на складе
определяется формулой C(x)=sQ(x)+bx/2, где х -размер партии деталей;
Q- необходимое число деталей для работы; s - затраты на перевозку одной партии деталей ; bx/2 -затраты на хранение половины партии (условно средний запас); Q/x - количество партий деталей. Определить оптимальный размер партии, при котором расходы будут минимальны. Вычислить это значение при Q=50, S=0,2 руб., b=0,1 руб.
14. База берет на себя обязательство хранения некоторого товара и его
выдачи потребителю в объеме r=2,5 т. ежедневно. Стоимость хранения p
товара на базе равна 8 руб. за 1т. в сутки. Получить товар база может в
любом заранее оговоренном количестве и в любое указанное время, но
только равными партиями объема q и через равные промежутки времени
Т. стоимость хранения запаса q в течение Т суток равна pqT/2. Загрузка
базы товаром и подготовка к его приему обходятся базе независимо от
количества привозимого товара в p=l00 руб. Определить объем товара,
который должна заказывать база, и интервалы поставки, чтобы суточные
затраты были минимальными. Очередной заказ поступает в момент израсходования предыдущего. Указание. При составлении функции суточных затрат учесть, что T=q/r.
15. Производительность труда рабочих цеха определяется уравнением у =
11.3хе-0,417x, где у – число деталей, изготовленных в единицу времени; х –
время от начала работы (час). Исследовать функцию производительности
труда на отрезке[0;8] и построить ее график
16. Трудоемкость проектировании микросхемы у (час) характеризуется
зависимостью у=0.04x2-1.84х+25.1; 10≤ х≤ 40. Определить число элемен-
26
тов в микросхеме, при котором трудоемкость ее проектирования будет
минимальной, а также величину соответствующей трудоемкости.
17. Пусть функция спроса на некоторый товар, имеющий цену х, есть
y=f(x). Выручка от продажи товара составит z=xy. Как изменится выручка
от продажи товара при повышении его цены при эластичном спросе, т.е.
при условии, что |Ех(у)| > 1?
18. Найти функцию предложений конкурентной фирмы S(p), если ее
функция издержек имеет вид C(q)=q2 +6q+5. Проанализировать положение фирмы при цене р =10.
19. Каково должно быть отношение высоты к радиусу основания конического шатра данной вместимости, чтобы на изготовление пошло
наименьшее количество материала?
20. Найти функцию предложения конкурентной фирмы S(p), если ее
функция издержек имеет вид С(q)=3q2+18q-3. Проанализировать положение фирмы при цене р=24.
21. Найти функцию предложения конкурентной фирмы S(p), если ее
функция издержек имеет вид С(q)=5q2+160q-3. Проанализировать положение фирмы при цене р=200.
22. Зависимость потребления у от дохода х дли предметов первой необходимости задается функцией у(х) = ax/(x + b). Изобразить график этой
функции.
23. Зависимость между товарооборотом и производительностью труда
торговых работников универмага имеет вид у(х) = 2х + 8/х, где х средний оборот на одного работника в относительных единицах. Исследовать эту зависимость, построить ее график.
24. Функция издержек имеет вид C ( x)  0.01x  0.2 x  10 x  2000 .
Найти предельные издержки. Посчитать их значение и проанализировать
результат при x=10.
25. Компании требуется произвести 1000 единиц некоторого товара в год.
Издержки подготовки производства одной партии составляют 320 руб.
Издержки производства товара составляют 8 руб. за единицу продукции,
а издержки хранения – 1 руб. за единицу. Найти такое число единиц товара в партии x, при котором совокупные издержки производства и хранения были бы минимальны.
26.
Функция
издержек
производства
шин
имеет
вид
C ( x)  30 x  2100 . Цена одной шины 20 у.е. Найти точку безубыточности. Построить график.
27. Постоянные издержки при производстве ручных часов составляют 12
тыс. руб. в месяц, а переменные – 300 руб. за одни часы. Цена часов 500
руб. Написать функции дохода и издержек. Построить графики. Найти
точку безубыточности.
3
27
2
28. Мебельная фабрика продает каждый стул по цене 3 тыс. руб. Функция
издержек линейная. Издержки составляют 48 тыс. руб. за 10 стульев и
43.2 тыс. руб. за 6 стульев. Составить функцию дохода и функцию издержек. Найти точку безубыточности.
29. Настольные лампы продаются по цене 1200 руб. каждая. Постоянные
издержки составляют 24 тыс. руб. в месяц, а переменные – 800 руб. за
лампу.
а) найти точку безубыточности, построить график.
б) сколько ламп фабрика должна произвести и продать, чтобы получить 15% дохода на деньги, вложенные в фиксированные затраты?
30. Найти функцию предложений конкурентной фирмы S(p), если ее
функция издержек имеет вид C(q)=q2 +4q+6. Проанализировать положение фирмы при цене р =10.
5. Неопределенный интеграл
В зависимости от конкретного смысла функции f(x) (физического,
геометрического, экономического) при интегрировании мы получаем выражение для соответствующего закона, описывающего данный объект.
Характеристики экономических закономерностей можно восстановить,
если известна скорость (интенсивность, плотность) или темп роста (относительная скорость) некоторого экономического процесса. Зная предельные издержки производства у' = f(x) , можно найти издержки производства у(х)=∫ f(x)dx+С (здесь х – объем однородной продукции). Зная скорость у'(t)=f(t) (или темп у'(t)/y(t) изменения производительности труда),
можно найти производительность труда y(t) = ∫ f(t)dt + C
Задачи.
1. Считая, что производительность труда имеет тенденцию скорости роста, найти закон изменения производительности труда, если темп ее роста равен f(t)=2t/(t2+1).
2. Скорость изменения производительности труда y(t) задается уравнением y(y)=-4t+8. Найти закон изменения производительности труда.
3. Темп изменения производительности труда прямо пропорционален величине tl/2 с коэффициентом пропорциональности k, k<0. Найти закон
изменения производительности труда, если при t=0 производительность
составляла l у.е.
4. Темп изменения производительности труда равен f(t)=t/(t2+0.04).
Найти закон изменения производительности труда, если известно, что
при t=0 производительность составляла 2 у.е.
28
5. Предельные издержки производства f(x) определяются уравнением
f(х)=а+bх2, где х - объем выпускаемой продукции. Найти зависимость
издержек производства от х.
6. Предельные издержки (расход) на перевозку товара зависят от расстояния х: f(x)=6x+4. Определить зависимость расходов на перевозку товара
от расстояния при условии, что при х=0 расходы составляют 1 у.е.
7. Предельная цена f(x) на товар является функцией спроса х и задается
формулой f(x)=a - bx, (а>0, b>0). Определить зависимость цены от спроса
при условии, что при отсутствии спроса (х=0) цена равна С 0 усл.ед.
8 Предполагая, что в производственной функции Кобба–Дугласа
Yt  at Lt K t затраты труда Lt изменяются линейно, затраты капитала К
постоянны, α=β=1 и a t = а0 eqt (при фиксированных затратах труда и
капитала темпы выпуска продукции постоянны), найти выражение для
суммарного выпуска продукции.
9. Скорость формирования оборотных средств можно рассматривать так
же, как скорость потока денежных средств k′(t)=I(t), I(t)=4t+5. Найти зависимость оборотных средств от времени.
10. Скорость формирования оборотных средств можно рассматривать,
как скорость потока денежных средств K'(t)=I(t), I(t)=7-2t+t2. Найти зависимость оборотных средств от времени.
11.Темп изменения производительности труда прямо пропорционален
t
величине 3t  t , коэффициент пропорциональности k, k<0. Найти закон изменения производительности труда, если при t=0 производительность составляла 2 у.е.
12. Темп изменения производительности труда равен f(t)=(t+1)/(t+5).
Найти закон изменения производительности труда, если известно, что
при t=0 производительность составляла 1 у.е.
13. Предельные издержки производства f(x)=5+3x2, где х – объем выпускаемой продукции. Найти зависимость издержек производства от х.
14. Предельные издержки (расход) на перевозку товара зависят от расстояния х: f(x)=8х+1. Определить зависимость расходов на перевозки
товара от расстояния при условии, что при х=0 расходы составляют 2 у.е.
15. Предельная цена f(x) на товар является функцией спроса х и задается
формулой f(х)=5-2х. Определить зависимость цены от спроса при условии, что при отсутствии спроса (х=0) цена равна 3 у.е.
16. Темп изменения производительности труда равен f(t)=(4t+1)/(3t+7).
Найти закон изменения производительности труда, если известно, что
при t=0 производительность составляла 3 у.е.
29
17 Предельная цена f(x) на товар является функцией спроса х и задается
формулой f(x) = 7-10х. Определить зависимость цены от спроса при
условии, что при отсутствии спроса (x=0) цена равна 1 у.е.
18. Темп
изменения
производительности
труда
равен
f (t )  2t  3 /(t 2  6) . Найти закон изменения производительности
труда, если известно, что при t=0 производительность составляла 2 у.е.
19. Темп изменения производительности труда прямо пропорционален
величине t2-t, коэффициент пропорциональности k, k<0. Найти закон изменения производительности труда, если при t=0 производительность
составляла 1 у.е.
20. Считая, что производительность труда имеет тенденцию роста, найти
закон изменения производительности труда, если темп ее роста равен
f(t)=2,5t+5.
21. Предельные издержки производства f(t)=10+3,5x2, где x – объем выпускаемой продукции. Найти зависимость издержек производства от x.
22. Предельная цена f(x) на товар является функцией спроса x и задается
формулой f(x)=127-150x. Определить зависимость цены от спроса при
условии, что при отсутствии спроса (x=0) цена равна 10 у.е.
23. Темп
изменения
производительности
труда
равен
f (t )  (5t  30) /( 4t 2  12) . Найти закон изменения производительности труда, если известно, что при t=0 производительность составляла 4
у.е.
24. Скорость изменения инвестиций имеет вид
функцию изменения капитала.
I (t )  t 2  5t  1 . Найти
25. Скорость изменения инвестиций имеет вид I (t )   3t  2  . Найти
2
функцию изменения капитала.
26. Функция предельного дохода имеет вид R( x)  20  0.02 x . Найти
функцию дохода. Найти закон спроса на продукцию.
27. Функция предельного дохода имеет вид R( x)  25  0.4 x  0.06 x .
Найти функцию дохода. Найти закон спроса на продукцию.
2
28. Функция предельного дохода имеет вид
R( x) 
x2
x3  900
. Найти
функцию дохода. Найти закон спроса на продукцию.
x
29. Функция предельного дохода имеет вид R( x)  (5  x)e 5 . Найти
функцию дохода. Найти закон спроса на продукцию.
30
30. Функция предельного дохода имеет вид R( x)  45  0.04 x  0.003x 2 .
Найти функцию дохода. Найти закон спроса на продукцию.
6. Определенный интеграл
Определенный интеграл используется для нахождения дисконтированного объема дохода. Определение начальной суммы по ее конечной
величине, полученной через время n при годовом проценте p, называется
дисконтированием.
 Пусть Kn – конечная сумма, полученная за n лет;
 p – годовой процент (процентная ставка);
 i=p/100 – удельная процентная ставка (процент, приносимый одной
денежной единицей);
 D=Kn-K – дисконт (разность между конечной суммой Kn и дисконтируемой (начальной) суммой K).
Проблема дисконтирования встречается при определении экономической
эффективности капитальных вложений.
Kn
.
1  in
Kn
 В случае сложных процентов Kn=K(1+i)n, поэтому K 
.
(1  i) n

Если проценты простые, то Kn=K(1+in), тогда
K
 Величина r=1+i называется коэффициентом сложного процента.
 Число v=1/r называется коэффициентом дисконта, тогда K=Knvn.
Задачи.
1. Считая годовой доход f(t) функцией времени, определить дисконтированный объем дохода за T лет при удельной норме процента i (процент
начисляется непрерывно).
2. Вычислить дисконтированный доход за 5 лет при условии, что годовой доход f(t)=40 тыс.у.е., а удельный процент i=0,04.
3. Вычислить дисконтированный доход за бесконечный промежуток
времени при условии, что годовой доход f(t)=30 тыс.у.е., а удельный
процент i=0,02.
4. Определить объем выпуска продукции при производительности
f(t)=11,3te-0,417t за первые 5 часов работы.
5. Найти объем продукции, выпущенной за год (258 рабочих дней) при
восьми часовом рабочем дне, если производительность задана функцией
f(t)=-0,0033t2+0,089t+20,96, 1≤ t ≤8. Указание. Сначала найти объем
продукции за 8 часов, затем умножить его на 258.
31
6. При непрерывном производстве химического волокна производительность аппарата y(t) (т/ч) растет с момента запуска в течение 10 часов,
а затем остается постоянной. Сколько волокна дает аппарат в первые сутки после запуска? Дано y(t)=et/5-1.
7. Определение объема шихты, требуемый на изготовление металлических отливок, производится по формуле v=100(vот+vлит)/(100-m), где vот
– объем готовой отливки; vлит – объем литников; vлит≈ 0,3vот; m – процент
невозвратных потерь; m=10%. Найти объем шихты, необходимой для отливки шкива, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры,
ограниченной линиями y(x)=x2+1, x=-1, x=2.
8. Зависимость затрат времени t от степени освоения производства задается формулой t=ax-b, где a – затраты времени на первое изделие; x –
порядковый номер изделия в партии; b – показатель производственного
процесса. Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия
в период освоения от x1 до x2. Вычислить tср при a=600 мин., b=0,5,
x1=100, x2=121.
9. Переменные издержки производства определяются функцией
y(x)=4x+1, где x – объем производственной продукции. Найти средние
издержки при объеме производства, изменяющемся от 3-х до 5-ти ед.
10. Опоры моста высотой 3 м в сечении представляют собой гиперболу
yx=2, пересеченную прямыми y=2x+3, y=2x-3. Сколько потребуется машин бетона на 8 таких опор, если в машине 3 м3 бетона.
11. Прямоугольный резервуар с площадью горизонтального сечения S=6
м2 наполнен водой до высоты H=5 м. Определить время T, в течение которого вся вода вытекает из резервуара через небольшое отверстие в его
дне, площадью s=0,01 м2, если скорость истечения воды равна
0,6 2 gh , где h – высота уровня воды над отверстием; g – ускорение
силы тяжести.
12. Скорость изменения расходов на питание y(x) в зависимости от изменения доходов x задана формулой y ( x)  1,25 / x . Найти годовой расход на питание, если известно, что годовой доход составил 1600 руб.
13. Найти среднее значение издержек производства Kср, если предельная
величина издержек равна K(x)=6x+4, а объем продукции изменяется от 0
до 3-х у.е. Указать объем продукции, при котором издержки принимают
среднее значение.
14. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько
необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80 м, ширина в
центре – 20 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски?
15. Силос заложен в яму параболического сечения шириной 10 м, глубиной 2 м, длиной 25 м. Определить, сколько силоса в яме.
32
16. В какое время опорожнится наполненная доверху вертикальная цилиндрическая бочка диаметра D=2 м и высоты H=10 м через круглое отверстие в дне диаметра d=3 см?
17. Под строительство больничного комплекса задан непрерывный денежный поток со скоростью I(t)=-t2+20t+5 (млрд. руб/год) в течение 10
лет с годовой процентной ставкой p=5%. Найти дисконтированную стоимость этого потока. Указание. В непрерывной модели время изменяется
непрерывно, поэтому дисконтированная стоимость потока
T
П   I (t )e  pt dt .
0
18. Дана функция предельных издержек MC=3q2-48q+202, 1≤ q≤ 20.
Найти функцию C=C(q) и вычислить издержки в случае производства 10
ед. товара, если цена единицы товара – 50 руб. Указание. MC=C'(q).
19. В цехе выпускают продукцию 11 рабочих. Производительность i – го
рабочего равна 1+0,1(i-1) кг продукции в час, i=1,...,11. Каждый рабочий
дал 7 кг продукции. Определить суммарное время работы всех рабочих
цеха и производительность труда всего цеха.
20. В какое время опорожнится наполненная доверху вертикальная цилиндрическая бочка диаметра D=1 м и высотой H=2 м через круглое отверстие в дне диаметра d=1 см? Указание. См. №11
21. В 1991 г. в некотором городе проживало 400 000 жителей, а в 1999 г.
– 410 000. Найти среднюю численность населения в этом городе, исполь1
зуя формулу:
S
T
S
1
S 0 ( T ) T dt , где S – среднее население; T – пе
T0
S0
риод наблюдений; S0 – численность населения к началу периода; ST –
численность населения к концу периода.
22. Под строительство цементного завода задан непрерывный денежный
поток со скоростью I(t)=-2t2+30t+100 (млрд. руб/год) в течение 8 лет с
годовой процентной ставкой p=7%. Найти дисконтированную стоимость
этого потока. Указание. В непрерывной модели время изменяется непрерывно, поэтому дисконтированная стоимость потока
T
П   I (t )e  pt dt .
0
23. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько
необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 200 м, ширина в
центре – 50 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски?
33
24. Скорости изменения издержек и дохода во времени имеют вид:
C (t )  3  t , R(t )  15  2t . Найти максимальное значение прибыли,
которое можно получить от этого производства; когда производство следует остановить?
25. Найти выигрыш потребителей и поставщиков товара, законы спроса и
предложения на который имеют следующий вид:
5 p  2 x  50,

5 p  6 x  10.
26. Найти выигрыш потребителей и поставщиков товара, законы спроса и
 p  44  x 2 ,
предложения на который имеют следующий вид: 
2
 p  x  2 x  20.
27. Сколько лет нужно продолжать добычу нефти для достижения максимального значения прибыли, если скорость изменения издержек и дохода имеет вид: C (t )  3  2t , R(t )  28  3t ?
28. Сколько лет нужно продолжать добычу газа для достижения максимального значения прибыли, если скорость изменения издержек и дохода
имеет вид:
2
3
2
3
C(t )  10  3t , R(t )  46  t ?
29. Сколько лет нужно продолжать добычу руды для достижения максимального значения прибыли, если скорость изменения издержек и дохода
имеет вид:
4
5
4
5
C (t )  22  4t , R(t )  134  3t ?
30. Функция предельных издержек некоторого предприятия имеет вид:
C( x)  60  0.04 x  0.003x 2 .
Найти функцию издержек, если издержки производства 100 единиц продукции составляют 9000 тыс. руб.
Литература
1.
2.
3.
4.
Е. Кочович, Финансовая математика. М.: Финансы и статистика, 1994.
Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум,
часть I, II/Под.ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2005
М.С. Красс, Б.П. Чупрынов, Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М.: Дело, 2003
М.С. Красс, Б.П. Чупрынов, Математика для экономистов. – СПб.: Питер, 2005
34
Составители:
Наталья Геннадьевна Дементьева
Вячеслав Федорович Казак
Ирина Эдуардовна Симонова
ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ
Методические указания
Под редакцией авторов
Темплан 2007 г., поз. № 45.
Подписано в печать 16. 03. 2007 г. Формат 60×84 1/16.
Бумага листовая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 2,19. Усл. авт. л. 2,0.
Тираж 100 экз. Заказ №
Волгоградский государственный технический университет
400131 Волгоград, просп. им. В. И. Ленина, 28.
РПК «Политехник»
Волгоградского государственного технического университета
400131 Волгоград, ул. Советская, 35.
35