Задание N 28

Задание N 28.
Варианты ответа:
Дифференциальные уравнения / Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие
понижение порядка
Общее решение дифференциального
уравнения
имеет вид…
Решение:
Общее решение уравнения
находится с помощью двукратного
интегрирования по следующей схеме:
,
, где
.
28.1
Общее решение дифференциального уравнения
при
имеет вид…
Решение:
Для решения дифференциального уравнения
необходимо сделать замену
. Тогда порядок этого уравнения понизится на одну единицу и оно примет
вид:
, где
,
. Решим последнее уравнение:
и
Следовательно,
,
,
.
, где
.
28.2
Дифференциальное уравнение
приводится к виду…
заменой
Решение:
Так как
, то
уравнение примет вид:
. Тогда данное дифференциальное
.
Теория вероятностей / Определения вероятности
Задание N 29.
Варианты ответа:
Из урны, в которой находятся 12 белых и 10 черных
шаров, вынимают наудачу один шар. Тогда вероятность
того, что этот шар будет черным, равна…
Решение:
Воспользуемся формулой
, где - общее число
возможных элементарных исходов испытания, а
число элементарных исходов, благоприятствующих
появлению события . В нашем случае возможны
элементарных исхода испытания, из
которых благоприятствующими являются
исходов. Следовательно,
.
29.1
Игральная кость бросается один раз. Тогда вероятность того, что на верхней грани
выпадет четное число очков, равна…
Решение:
Воспользуемся формулой
, где - общее число возможных элементарных
исходов испытания, а - число элементарных исходов, благоприятствующих
появлению события . В нашем случае возможны
элементарных исходов
испытания (на верхней грани появится одно, два,…, шесть очков), из которых
благоприятствующими являются три исхода (два, четыре и шесть очков).
Следовательно,
и
.
29.2
Из урны, в которой находятся 6 черных и 10 белых шаров, вынимают одновременно 2
шара. Тогда вероятность того, что оба шара будут белыми, равна…
Решение:
Воспользуемся формулой
, где - общее число возможных элементарных
исходов испытания, а - число элементарных исходов, благоприятствующих
появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных
исходов равно числу способов, которыми можно извлечь два шара из 16 имеющих, то
есть
. А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов,
которыми можно извлечь два белых шара из десяти имеющихся, то есть
Следовательно,
.
.
Теория вероятностей / Теоремы сложения и умножения вероятностей
Задание N 30.
Варианты ответа:
Два предприятия производят разнотипную продукцию.
Вероятности их банкротства в течение года равны 0,1 и 0,2
соответственно. Тогда вероятность того, что в течение года
обанкротится хотя бы одно предприятие, равна…
Решение:
0,28
0,02
0,72
Введем обозначения событий:
- обанкротится первое
0,2
предприятие;
- обанкротится второе предприятие;
обанкротится хотя бы одно предприятие; - ни одно
-
предприятие не обанкротится. Тогда
-
событие, противоположное событию
, где
. причем
. Так как, по условию задачи, события
и
независимы, то
.
30.1Два стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель для
первого и второго стрелков равны 0,7 и 0,85 соответственно. Тогда вероятность того,
что в цель попадет только один стрелок, равна …
Решение:
Введем обозначения событий:
второй стрелок,
- в цель попадет первый стрелок,
- в цель попадет только один стрелок. Тогда
- событие, противоположное событию
условию задачи, события
и
, причем
- в цель попадет
, где
. Так как, по
несовместны и независимы, то
.
30.2
Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности
безотказной работ этих элементов (в течение рабочего дня) равны соответственно 0,9,
0,8 и 0,7. Тогда вероятность того, что в течение рабочего дня будут работать
безотказно все три элемента, равна…
Решение:
Введем обозначения событий:
- в течение рабочего дня безотказно работает ый элемент, - течение рабочего дня работают безотказно все три элемента. Тогда
. Так как, по условию задачи, события ,
и
независимы, то
.
Задание N 31.
Варианты ответа:
Теория вероятностей / Полная вероятность. Формула Байеса.
В первой урне 3 черных и 7 белых шаров. Во второй урне
4 белых и 6 черных шаров. В третьей урне 11 белых и 9
черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар.
Тогда вероятность того, что этот шар окажется белым,
равна…
Решение:
Для вычисления вероятности события (вынутый
наудачу шар – белый) применим формулу полной
вероятности:
.
Здесь:
- вероятность того, что шар извлечен из
первой урны;
- вероятность того, что шар извлечен
из второй урны;
- вероятность того, что шар
извлечен из третьей урны.
- условная вероятность
того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой
урны;
- условная вероятность того, что вынутый
шар белый, если он извлечен из второй урны;
условная вероятность того, что вынутый шар белый, если
он извлечен из третьей урны.
Тогда
.
31.1
В первой урне 6 черных и 4 белых шара. Во второй урне 2 белых и 18 черных шаров.
Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался белым. Тогда вероятность
того, что этот шар извлечен из первой урны, равна…
Решение:
Предварительно вычислим вероятность события
(вынутый наудачу шар – белый) по
формуле полной вероятности:
. Здесь:
- вероятность того, что шар извлечен из первой урны;
что шар извлечен из второй урны;
- вероятность того,
- условная вероятность того, что вынутый
шар белый, если он извлечен из первой урны;
- условная вероятность того, что
вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны.
Тогда
.
Теперь вычислим условную вероятность того, что шар извлечен из первой урны, если
он оказался белым, по формуле Байеса:
.
31.2
С первого станка на сборку поступает 45%, со второго – 55% всех деталей. Среди
деталей первого станка 90% стандартных, второго – 80%. Тогда вероятность того, что
взятая наудачу деталь окажется нестандартной, равна …
Решение:
Для вычисления вероятности события (взятая наудачу деталь окажется
нестандартной) применим формулу полной вероятности:
. Здесь:
поступила с первого станка;
станка;
- вероятность того, что деталь
- вероятность того, что деталь поступила с второго
- условная вероятность того, что деталь нестандартная, если она
изготовлена на первом станке;
- условная вероятность того, что деталь
нестандартная, если она изготовлена на втором станке.
Тогда
Теория вероятностей / Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин.
Задание N 32.
Варианты ответа:
Дискретная случайная величина задана законом
распределения вероятностей
Тогда ее функция распределения вероятностей
имеет вид…
Решение:
По определению
Тогда
а) при
,
б) при
в) при
.
,
,
,
,
,
г) при
,
.
Следовательно,
32.1
Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей
Тогда значения
и
могут быть равны…
Решение:
Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то
Этому условию удовлетворяет ответ:
.
.
32.2
Даны две независимые дискретные случайные величины
Тогда закон распределения вероятностей суммы
и
:
имеет вид…
Решение:
Возможные значения
как
суммы дискретных случайных величин
определяются
, а соответствующие вероятности как произведение
.
Тогда правильным будет ответ:
Математическая статистика / Характеристики вариационного ряда
Задание N 33.
Варианты ответа:
Мода вариационного ряда
равна…
Решение:
Модой вариационного ряда называется
варианта, имеющая наибольшую
частоту. Такой вариантой является
варианта 3, частота которой равна трем.
2
4
3
1
33.1
Медиана вариационного ряда
равна…
Решение:Медианой вариационного ряда называется варианта, расположенная в середине
вариационного ряда. Так как в середине ряда располагаются две варианты: 5 и 6, то
медиана равна их средней арифметической 5,5.
33.2Размах варьирования вариационного ряда
равен…
Решение:
Размах варьирования вариационного ряда определяется как
.
Математическая статистика / Точечные оценки параметров распределения
, то есть
Задание N 34.
Варианты ответа:
В результате измерений некоторой физической величины одним
прибором (без систематических ошибок) получены следующие
результаты (в мм): 8, 10, 12. Тогда несмещенная оценка дисперсии
равна…
10
8
Решение:
2
Несмещенная оценка дисперсии вычисляется по формуле:
4
, где
. Вычислив предварительно
, получаем:
.
34.1
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема
:
Тогда несмещенная оценка математического ожидания равна…
Решение:
Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле:
.
То есть
.
34.2
Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной
величины (в мм): 9, 10, 11, 13, 14. Тогда несмещенная оценка математического
ожидания равна…
Решение:
Несмещенная оценка математического ожидания вычисляется по формуле:
То есть
.
Математическая статистика / Интервальные оценки параметров распределения
Задание N 35.
Дана интервальная оценка
математического ожидания
нормально распределенного количественного признака. Тогда
точечная оценка математического ожидания равна…
Решение:
Интервальная оценка математического ожидания нормально
распределенного количественного признака представляет собой
интервал, симметричный относительно точечной оценки. Тогда
точечная оценка будет равна
.
.
Варианты ответа:
8,8
9,0
0,35
8,75
35.1
Дана интервальная оценка
математического ожидания нормально
распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна…
Решение:Точность
интервальной оценки
определяется как
, то есть
35.2
Точечная оценка математического ожидания нормально распределенного
количественного признака равна 21,5. Тогда его интервальная оценка может иметь
вид…
Решение:Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенного
количественного признака симметрична относительно его точечной оценки. Таким
свойством обладает интервал
.
Математическая статистика / Элементы корреляционного анализа
Задание N 36.
Варианты ответа:
Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид
. Тогда выборочный коэффициент корреляции
может быть равен…
Решение:
0,9
-3,0
Значение выборочного коэффициента корреляции, во-
6,0
первых, принадлежит промежутку
, а во-вторых, его
знак совпадает со знаком выборочного коэффициента
регрессии. Этим условиям удовлетворяет значение
.
- 0,9
36.1
Выборочное уравнение парной регрессии имеет вид
коэффициент регрессии равен…
. Тогда выборочный
Решение:
Если выборочное уравнение парной регрессии имеет вид
коэффициент регрессии равен
. То есть
, то выборочный
.
36.2
При построении выборочного уравнения парной регрессии вычислены: выборочный
коэффициент корреляции
и выборочные средние квадратические отклонения
. Тогда выборочный коэффициент регрессии
на
равен…
Решение:
Выборочный коэффициент регрессии
Тогда
.
на
вычисляется по формуле:
.
Дискретная математика / Декартово произведение множеств
Задание N 37.
Варианты ответа:
Даны множества
,
. Тогда прямым
произведением
является
область, изображенная на рисунке …
Решение:
Декартовым произведением
является множество упорядоченных пар
, где
и
. То есть
.
Изображением данного множества
является IV четверть координатной
плоскости, дополненная отрицательной
полуосью 0у.
37.1
Даны множества
. Тогда прямым произведением
является множество...
Решение:
Декартовым произведением
является множество упорядоченных троек
, где
,
,
.
Выписывая всевозможные такие тройки, получаем множество
.
37.2
Даны множества
. Тогда прямым произведением
является множество...
Решение:
Декартовым произведением
, где
,
является множество упорядоченных троек
,
.
Выписывая всевозможные такие тройки, получаем множество
.
Дискретная математика / Элементы комбинаторики
Задание N 38.
Варианты ответа:
Количество способов распределения трех
призовых мест в олимпиаде по
математике среди 10 участников равно ...
Решение:
Первое место можно распределить 10
способами, второе место уже только 9
способами и третье место – 8 способами.
Следовательно, согласно правилу
умножения имеем:
27
120
720
1000
способов распределения.
38.1
В урне 5 синих и 2 красных шара. Число способов выбора из урны шаров одного цвета
равно …
Решение:
Из урны можно выбрать или 2 синих шара, или 2 красных шара. Число способов
выбора из урны 2 синих шара равно:
=10.
Извлечь из урны 2 красных шара можно только 1 способом. Количество способов
выбора из урны шаров одного цвета вычисляется по правилу сложения:
10+1=11.
38.2
Если «словом» считать любую комбинацию букв, то число «слов», полученных
перестановкой букв в слове «РАМА», равно …
Решение:
Так как в слове «РАМА» буква А встречается два раза, а перестановка одинаковых
букв не меняет «слова», то число «слов» равно числу перестановок из 4 символов с
повторениями:
=12.
Дискретная математика / Основные понятия теории графов
Задание N 39.
Варианты ответа:
Матрица смежности графа G, изображённого
на рисунке, имеет вид…
Решение:
Матрицей смежности графа с n вершинами называется
квадратная матрица порядка n, отражающая смежность
вершин, с элементами
i = 1,..,n; j = 1,..,m.
Граф G неориентированный и определён 3 вершинами,
поэтому матрица смежности 3 порядка. Вершины 1 и 2
смежные, тогда элементы матрицы смежности
; вершины 2 и 3 смежные –
;
вершина 2 смежна сама себе –
. Все остальные
элементы матрицы равны нулю. Следовательно, матрица
смежности имеет вид:
.
39.1
Реализацией неориентированного графа со множеством вершин V={1,2,3,4} и ребер
E={(1,2);(2,3);(2,4);(2,2)} является…
Решение:
Граф задан четырьмя вершинами и четырьмя ребрами. Ребра графа из множества Е
представлены парой концевых вершин. Следовательно, I ребро инцидентно вершинам 1
и 2; II ребро – вершинам 2 и 3; III ребро – вершинам 2 и 4; IV ребро образует петлю в
вершине 2. Граф, удовлетворяющий этим условиям изображается следующим образом:
39.2
Матрицей инцидентности: I=
задан граф…
Решение:
Матрицей инцидентности неориентированного графа с n вершинами и m ребрами
называется прямоугольная матрица порядка nxm, отражающие инцидентность вершин
и ребер, с элементами:
i = 1,..,n; j = 1,..,m.
Матрица инцидентности I – 3 порядка, следовательно, граф задан 3 ребрами и 3
вершинами.
В матрице инцидентности I единичными элементами являются
Следовательно, ребро
инцидентно вершине 1 и является петлей, ребро
инцидентно вершинам 1 и 2; ребро
- вершинам 2 и 3. Граф имеет вид:
Дискретная математика / Ориентированные графы
Задание N 40.
Варианты ответа:
Матрица смежности графа G, изображённого на
рисунке, имеет вид…
Решение:
Матрицей смежности графа с n вершинами
называется квадратная матрица порядка n,
отражающая смежность вершин, с элементами
i = 1,..,n; j = 1,..,m.
Граф G ориентированный определён 3вершинами,
поэтому матрица смежности 3 порядка. Вершина 1
смежна вершинам 1 и 2, следовательно,
; вершина 2 смежна вершине 3, поэтому
. Все остальные элементы матрицы
смежности равны нулю. Тогда матрица смежности
имеет вид:
40.1
.
.
Для ориентированного графа, изображённого на рисунке, полный
путь может иметь вид…
Решение:
Для того, чтобы найти полный путь, необходимо выписать путь, начало которого в
вершине 1, а конец–в вершине 5.
Путем называется конечная последовательность вершин, в которой каждая вершина
(кроме последней) соединена ребром со следующей в последовательности вершиной.
Согласно определению, полный путь может иметь вид
40.2
Матрицей инцидентности:
I=
задан граф…
Решение:
Матрицей инцидентности ориентированного графа с n шинами и m рёбрами называется
прямоугольная матрица порядка nxm, отображающая инцидентность вершин и рёбер, с
элементами:
i=1,..,n; j=1,..,m.
Матрица инцидентности I – порядка
вершинами.
, следовательно, граф задан 5 ребрами и 3
В матрице инцидентности I элементы
и
, следовательно ребро е1
инцидентно вершинам 1 и 2, причём вершина 2 является его началом, а вершина 1концом. Так как
,
концом. Элементы
, то вершина 2 является началом ребра е2, вершина 3тогда ребро е3 определяется началом вершиной 3
и концом вершиной 2. Таким образом, граф имеет вид…
Численные методы / Приближенные числа и действия с ними
Задание N 41.
Варианты ответа:
Форма записи периодической бесконечной десятичной дроби
в виде рациональной дроби имеет вид …
Решение:
Переход от записи рационального числа в виде периодической
бесконечной десятичной дроби к его записи с помощью
рациональной дроби осуществляется по формуле
Поэтому имеем
.
41.1
Форма записи рациональной дроби
в виде бесконечной десятичной дроби имеет вид …
Решение:Поделить числитель дроби на знаменатель:
.
41.2
Форма записи рациональной дроби
в виде бесконечной десятичной дроби имеет вид …
Решение:Поделим числитель дроби на знаменатель:
.
Численные методы / Численные методы решения алгебраических уравнений
Задание N 42.
Варианты ответа:
Меньший положительный корень уравнения
принадлежит интервалу …
Решение:
Запишем исходное уравнение в виде
графики функций
и
и построим
.
При построении графика параболы учтем, что если
, то
. Искомый корень уравнения (абсциссы
точек пересечения графиков функций) принадлежит интервалу
(0,1).
42.1
Действительный корень уравнения
принадлежит интервалу …
Решение:
Запишем исходное уравнение в виде
и построим графики функций
.
Графики указанных функций не пересекаются. Следовательно, уравнение
не имеет действительных корней. С другой стороны, для
, следовательно, решений нет.
Численные методы / Численные методы анализа
Варианты ответа:
43
Положительный корень уравнения
(2,3)
принадлежит интервалу
…
(1,2)
Решение:
Запишем исходное уравнение в виде
и построим графики функций
и
.
Графики указанных функций пересекаются
в двух точках. Положительный корень
уравнения
принадлежит
интервалу
, так как положительная
абсцисса точек пересечения
рассматриваемых графиков функций
принадлежит этому интервалу.
(0,1)
и
43.1
Действительный корень уравнения
принадлежит интервалу …
Решение:
Запишем исходное уравнение в виде
и построим графики функций
.
Указанные графики функций пересекаются в точке с абсциссой, принадлежащей
интервалу
, следовательно, действительный корень уравнения
принадлежит указанному интервалу.
Численные методы / Численное дифференцирование и интегрирование
и
Задание N 44.
Варианты ответа:
0,6
Значение интеграла
с точностью до 0,1 равно …
0,8
Решение:
Представим подынтегральную функцию
в виде
степенного ряда и произведем почленное интегрирование,
имеем
1
0,9
.
При вычислении суммы знакопеременного числового ряда
воспользовались теоремой из математического анализа о
том, что абсолютная величина погрешности при
приближенном вычислении суммы знакочередующегося
числового ряда не превосходит абсолютной величины
первого отбрасываемого члена ряда. В нашем случае
абсолютная величина первого отбрасываемого члена ряда
меньше, чем 0,1.
44.1
Значение интеграла
с точностью до 0,01 равно …
Решение:
Представим подынтегральную функцию
почленное интегрирование, имеем
в виде степенного ряда и произведем
.
При вычислении суммы знакопеременного числового ряда воспользовались
утверждением из математического анализа о том, что абсолютная величина
погрешности при приближенном вычислении суммы знакочередующегося числового
ряда не превосходит абсолютной величины первого отбрасываемого члена ряда. В
нашем случае слагаемое
, поэтому при приближенном вычислении суммы
знакопеременного ряда можно ограничиться двумя слагаемыми
44.2
Значение
с использованием приближенной формулы
с точностью до 0,01 равно …
Решение:
Воспользуемся приближенной формулой
В нашем случае
,
.
,
,
.
и
. Получаем