Действия с комплексными числами».

Областное государственное автономное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Ангарский техникум строительных технологий»
ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
методические указания к самостоятельной работе по
учебной дисциплине «Математика»
Ангарск, 2013г.
Рассмотрено и одобрено
на заседании ПЦК
естественнонаучного цикла
Протокол № ____ от «___»______20___г.
Председатель ПЦК
_____________ А.А. Тюрнева
Утверждаю:
Директор АТСТ
___________ В.Н. Леснов
Рассмотрено и одобрено
на заседании методического совета
Протокол № ____ от ______________
Председатель совета,
зам.директора по УМР
_______________ О.Н. Ермакова
Автор: Кезля С.В., преподаватель математики первой квалификационной категории ОГАОУ СПО
«Ангарский техникум строительных технологий»
Рецензент: Клопцова Л.И., зам. директора по учебной работе, преподаватель математики высшей
квалификационной категории ГБОУ СПО «Ангарский автотранспортный техникум»
СОДЕРЖАНИЕ
Пояснительная записка ……………………………………………………………
4
Введение………………………………..…………………………………………..
5
Комплексные числа и их свойства ……………………………………………….
6
Примеры действий с комплексными числами….……………………………….
9
Задачи для самостоятельного решения ………………………………………….
10
Тренировочные упражнения………………………………………………….......
11
Литература ……………………………………………………...............................
13
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Методические указания для самостоятельной работы разработаны в соответствии с рабочей программой
учебной дисциплины «Математика», федеральными государственными стандартами для обучающихся по
специальностям СПО.
Важно то, что при решении задач в процессе обучения математике одной из основных целей является
формирование той системы знаний, которая предусмотрена и отражена в учебниках математики. В предлагаемых
методических указаниях значительное место уделяется задачам, способствующим усвоению основных понятий и
действий с комплексными числами. Задачи, представленные в методических указаниях могут использоваться для
изучения темы «Действия с комплексными числами». В сборнике имеются задачи, по типу, идее или содержанию
которых обучающийся может составить аналогичные, если это представится ему интересным.
Новизна данного методического указания заключается в том, что её содержание выстроено под содержание
учебной программы «Математика» для образовательных учреждений среднего профессионального образования.
Цель методических указаний овладеть правилами действий с комплексными числами при выполнении
самостоятельной работы на основе полученных теоретических знаний.
Данная методическая разработка содержит теорию основных понятий, формулы, примеры с разобранными
решениями, тренировочные задания с ответами для самостоятельной работы, контрольную работу на два варианта,
список используемой литературы.
Уровень качества усвоения знаний обучающихся оценивается в рамках экзамена.
УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»
Самостоятельная работа обучающегося (всего)
систематическая обработка конспектов занятий, учебной литературы
выполнение практических заданий
подготовка к контрольным работам
подготовка рефератов
137
33
90
6
8
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ СВОЙСТВА
1. О комплексных числах
В связи с развитием алгебры потребовалось ввести наряду с положительными и отрицательными числами числа
нового рода. Они зазываются комплексными.комплексное число имеет вид a+bi, a и b- действительными числами, iчисло, называемое мнимой единицей. Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a+bi;
действительное число b-ординатой комплексного числа a+bi. Основное свойство числа i состоит в том что 𝑖 2 = −1.
2. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Y
м
b
µ
a
x
Рис. 1
Комплексное число a+bi изображают точкой м, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного числа, а
ордината у равна ординате b комплексного числа (рис.1).
3. Тригонометрическая формула комплексного числа.
Абсцисса а и ордината b комплексного числа a+bi выражается через модуль r и аргумент q формулами:
а = 𝑟cos µ 𝑟 = 𝑎⁄cos µ 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏 2
b = rsin µ 𝑟 = 𝑏⁄sin µ cos µ =
𝑎
√𝑎2
+
𝑏2
sin µ =
𝑏
√𝑎2
+ 𝑏2
r-радиус вектора (a+bi), µ-угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс (см. рис.1).
Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде 𝑟(cos µ + sin µ); r>0 это выражение называется
тригонометрической формой комплексного числа.
«Никто не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они
представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств» Л. Карло.
4. Действия с комплексными числами
4.1 Сложение комплексных чисел
Определение: суммой комплексных чисел a+bi и c+di называют комплексное число (a+c)+(b+d)I.
Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных чисел равна действительному
числу:
(a+bi)+(a-bi)=(a+a)+(b-b)i=a+a=2a
Условие равенства двух комплексных чисел 𝑧1 =a+bi, 𝑧2 =c+di:
𝑎=𝑏
𝑧1 = 𝑧2 <=> {
𝑐=𝑑
Действительное число а записывается так же в виде а+0*I (или а-0*i).
Комплексные числа вида bI, a=0 называется «чисто линейными».
Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость
следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводиться к сложению действительных частей и
коэффициентов мнимых частей, a и bявляются действительными числами, для которых справедливы указанные
законы.
4.2 Вычитание комплексных чисел
Определение: разностью комплексных чисел a+biи c+di называют комплексное число
(a-c)+(b-d)I.
4.3 Умножение комплексных чисел
Определение: произведение комплексных чисел a+bi и c+di называется комплексное число (ac-bd)+(ad+bc)i.
Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как
двучлены, а затем предположить, что 𝑖 2 =-1.
Произведение сопряженных чисел a+bi и a-bi равно 𝑎2 + 𝑏 2 .
(a+bi) (a-bi)=𝑎2 − (𝑏 2 ) = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑖 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 , 𝑖 2 = −1
Произведение сопряженных чисел есть действительное число и притом положительное число.
4.4 Деление комплексных чисел
Определение: разделить комплексное число a+bi на комплексное число c+di- значит
𝑎 + 𝑏𝑖 (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 + 𝑑𝑖)
=
𝑐 + 𝑑𝑖 (𝑐 + 𝑑𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖)
Записать частное в виде дроби и умножать числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со
знаменателем.
Решение квадратных уравнений
Рассмотрим квадратное уравнение a𝑥 2 +bx+c=0.
На множестве действительных чисел это уравнение:
1.
Имеет один корень, если D=0
2.
Имеет два корня, если D>0
3.
Не имеет действительных корней, если D<0
Пример №1𝑧 2 =-25
Т.к. 𝑖 2 =-1, то можно записать 𝑧 2 =25𝑖 2 или 𝑧 2 -25𝑖 2 =0. Раскладывая левую часть на множители, получаем (z-5i)(z+5i)=0,
𝑧1 =5i, 𝑧2 =-5i. Ответ: 5i ;-5i.
Пример№2Решить уравнение 𝑧 2 -4z+13=0.
Находим корни уравнения: по формулам, т. к. 𝑖 2 =-1
𝑧1 =
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 4 ± √16 − 52 4 ± √−36 4 ± √36𝑖 2 4 ± 6𝑖
=
=
=
=
2𝑎
2
2
2
2
==
2(2 ± 3i
= (2 ± 3𝑖).
2
Заметим, что найденные корни являются сопряженными: 𝑧1 =2+3i𝑧2 =2-3i.
Найдем сумму и произведение этих корней:
(2+3i)+(2-3i)=(2+2)×(3-3)i=4
(2+3i)×(2-3i)=4-9𝑖 2 =4+9=13
Число 4 – это 2-й коэффициент уравнения, взятый с противоположным знаком, а число 13 – свободный член, т.е.
справедлива теорема Виета.
𝑎𝑥 2 +bх+c=0
𝑥1 +𝑥2 =
−𝑏
𝑎
𝑐
𝑥1 ×𝑥2 = .
𝑎
Пример №𝟑 Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющее корень
𝑧1 =-1-2i. Второй корень 𝑧2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем 𝑧2 , т.е. 𝑧2 =-1+2i. По теореме
Виета находим
𝑧1 +𝑧2 =(-1-2i)+(-1+2i)=(-1-1)+(-2+2)i=-2
𝑧1 ×𝑧2 =(-1-2i)×(-1+2i)=(−1)2 -(2𝑖)2 =1-4𝑖 2 =1+4=5
Ответ: 𝑧 2 +2z+5=0
Примеры действий с комплексными числами
Пример№1 𝑧1 =2+3i𝑧2 =-4+7i
Найти 𝑧1 +𝑧2 ; 𝑧1 -𝑧2 ; 𝑧1 ×𝑧2 ; 𝑧1 /𝑧2 .
1.1
𝑧1 +𝑧2 = ( 2+3i) + (-4+7i)=(2-4)+(3+7)i=-2+10i;
1.2
𝑧1 -𝑧2 = ( 2+3i) - (-4+7i)=(2+4)+(3-7)i=6-4i;
1.3
𝑧1 ×𝑧2 =( 2+3i) × (-4+7i)=-8+14i-12i+21𝑖 2 =-29+2i, учитывая𝑖 2 =-1;
1.4
𝑧1 /𝑧2 =
(2+3𝑖)×(−4−7𝑖)
=
−8−14𝑖−12𝑖−21𝑖 2
16−49𝑖 2
(−4+7𝑖)×(−4−7𝑖)
13−26𝑖 13 26
=
65
= - i, учитывая 𝑖 2 =-1.
65 65
Пример№2 Представить в тригонометрической форме комплексные числа.Место для формулы.
1) 4-4√3i;
2) -2i; 3) 1-√5 .
Используем формулы: z=r×(𝑐𝑜𝑠 𝜑+i𝑠𝑖𝑛 𝜑); r=√𝑎2 + 𝑏 2; 𝑐𝑜𝑠 𝜑=
𝑎
√𝑎2 +𝑏 2
; 𝑠𝑖𝑛 𝜑=
𝑏
√𝑎2 +𝑏 2
.
2
2.1 |z|=r=√42 + (−4√3) =√16 + 48=√64=8, определим в какой четверти находится точка с координатами (a;b)
a=4, b=-4√3. Точка находится в четвертой четверти, следовательно𝑐𝑜𝑠 𝜑 > 0 𝑠𝑖𝑛 𝜑 < 0.
4 1
𝜋
−4√3
8 2
3
8
𝑐𝑜𝑠 𝜑= = 𝜑 = − 𝑠𝑖𝑛 𝜑=
=-
𝜋
𝜋
3
3
√3
2
𝜑=−
𝜋
3
Ответ: z=8×(𝑐𝑜𝑠(- )+𝑖 𝑠𝑖𝑛(− )).
2.2 |z|=r=√02 + (−2)2 =2. Точка имеет координаты (0, -2), находится на оси OY.
0
𝜋
−2
𝜋
2
2
2
2
𝑐𝑜𝑠 𝜑= =0 𝜑=− 𝑠𝑖𝑛 𝜑= =-1 𝜑=- .
𝜋
𝜋
2
2
Ответ: z=2×(𝑐𝑜𝑠(− )+i𝑠𝑖𝑛(− )).
2.3 a=1-√5b=0
|z|=r=√(1 − √5)2 + 02 =|1-√5|
𝑧, 𝑧 > 0
По свойству модуля |z|={−𝑧, 𝑧 < 0r=√5-1
1−√5
𝑐𝑜𝑠 𝜑=
=-1 𝜑=π𝑠𝑖𝑛 𝜑=
√5−1
0
=0 𝜑=π
√5−1
Ответ: |z|=(√5-1)×(𝑐𝑜𝑠 𝜋+i𝑠𝑖𝑛 𝜋).
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Найти сумму и произведение комплексных чисел
№1 𝑧1 =5+2√6I 𝑧2 =5-2√6i
№2 𝑧1 =5-3i 𝑧2 =-1+6i
№3 𝑧1 =0,2+4i 𝑧2 =-0,3-0,9i
Ответы: №1 10 и 49; №2 -4+3iи 18-27i; №3 -0,1+3,1i и 3,54-1,38i.
Найти разность и частное комплексных чисел
№1 𝑧1 =2+2i 𝑧2 =1-i
№2 𝑧1 =a+√𝑏 i 𝑧2 =a-√𝑏i
№3 𝑧1 =5-3i 𝑧2 =-4+7i
𝑎2 −𝑏
Ответы: №1 -1-3i и -0,5i; №2 -2√6𝑖и
𝑎2 +𝑏
41 23
№3 -9+10i и - + i.
34 34
Представить в тригонометрической форме комплексные числа
№1 𝑧1 =2+2√3i
№2 z=15i
№3 z=√3-1
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
3
3
2
2
2
2
Ответы: №1 4(𝑐𝑜𝑠 +i𝑠𝑖𝑛 ); №2 5(𝑐𝑜𝑠 +i𝑠𝑖𝑛 ); №3 (√3-1)(𝑐𝑜𝑠 +i𝑠𝑖𝑛 ).
Решить уравнения на множестве комплексных чисел
№1 𝑥 2 +6x+34=0
№2 𝑥 2 +64=0
№3 𝑥 4 +15𝑥 2 +54=0
Ответы: №1 -3+5i; №2 8i; -8i; №3 3i; -3i.
Каждому человеку важно знать, какого уровня он достиг в том или ином виде деятельности. Так как главной
деятельностью студента является учебная, то результатом работы будет грамотное выполнение заданий.
«Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, необъяснимых или глухих чисел,
но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что надо размышлять дни и ночи над их удивительной
законченностью» С. Стевин (1548г.-1620г.)
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел
I вариант
II вариант
(3+5i) и (7-2i)
(6+2i) и (5+3i)
(3-2i) и (5+i)
(-2+3i) и (7-2i)
(4+2i) и (-3+2i)
(5-4i) и (6+2i)
(-3-5i) и (7-2i).(-5+2i) и (5+2i).
2. Произведите умножение комплексных чисел
(2+3i)(5-7i)
(6+4i)(5+2i)
(3-2i)(7-i)
(-2+3i)(3+5i)
(1-i)(1+i)
(3-i)(3+i)
(6+4i)3i
(2-3i)(-5).
3. Решите уравнения
𝑥 2 +3x+4=0
4𝑥 2 -20x+26=0
2,5𝑥 2 +x+1=0
𝑥 2 +6x+34=0
𝑥 2 +49=0
𝑥 2 =36.
4. Представьте комплексное число в тригонометрической форме
Z=-3
z=1
Z=2i
z=-4i
Z=3+√3I
z=-2+2i.
5. Найдите частное комплексных чисел
𝑧1 =2+3i 𝑧2 =5-7i
𝑧1 =-2+3i 𝑧2 =3+5i.
Ответы: I вариант задание 1
10+3i; 8-i; 1+4i; 4-7i.
Задание2
31+I; 19-21i; 2; -12+18i
Задание3
−3+𝑖√7 −3−𝑖√7 −1+3𝑖 −1−3𝑖
2
;
2
;
5
;
2
; 7i; -7i.
-4+7i; -2-3i; 7; -10-3i
Задание4
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
2
2
2
2
6
6
3×(𝑐𝑜𝑠( − )+𝑖𝑠𝑖𝑛(− )); 2×(𝑐𝑜𝑠 +𝑖 𝑠𝑖𝑛 ); 2√3×(𝑐𝑜𝑠 +𝑖 𝑠𝑖𝑛 )
−11 29
Задание5
74
+ i.
74
Ответы: II вариант задание1 11+5i; 5+I; 11-2i; 4i; 1-i; -1-6i; 0.
Задание2 22+32i; -21-I; 10;-10+15i’
Задание3
Задание4
Задание5
5+𝑖 5−𝑖
;
2
2
; -3+5i; -3-5i; 6i; -6i
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
3𝜋
2
2
2
2
4
(𝑐𝑜𝑠 +𝑖 𝑠𝑖𝑛 ); 4×(𝑐𝑜𝑠( − )+𝑖𝑠𝑖𝑛(− )); 2√2×(𝑐𝑜𝑠
9
34
19
+ i.
34
+i𝑠𝑖𝑛
3𝜋
4
)
ЛИТЕРАТУРА
1. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика / А.П. Савин. – М.: Академия, 2008. – 352 с.
2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М.: АСТ: Астрель, 2006. – 509 с. [3]
е.: ил.
3. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах. Кн.для учителя / И.С. Петраков. – М.: Просвящение, 2010. –
225 с.
4. Сканави М.И. Сборник задач по математике (геометрия) / М.И. Сканави. – М.: Оникс, 2008. – 512 с.