1_08

1.8. Ферми-системы.
Модель сильной связи
Модель сильной связи.
Гамильтонова матрица.
Модель сильной связи без взаимодействия
Модель сильной связи
 Волновая функция электрона в кристалле имеет максимумы вблизи
ионного остова и близка к атомной волновой функции локализованного
на соответствующей орбитали электрона. Вдали от иона волновая
функция электрона асимптотически переходит в плоскую волну,
соответствующую свободному движению. Такие функции называются
функциями Ваннье
 Хорошим квантовым числом в приближении сильной связи электрона с
узлом является номер узла
2
Модель сильной связи
 Операторы рождения и уничтожения электрона:
 Гамильтониан системы, выраженный через операторы рождения и
уничтожения:
 Первое слагаемое (потенциальная энергия) описывает "затравочную"
энергию электронов, локализованных на узлах; второе слагаемое
(кинетическая энергия) описывает туннелирование (или перескоки)
электронов на соседние узлы
3
Гамильтонова матрица
для модели сильной связи
 Нужно сразу сформировать базис,




4
упорядоченный по числам заполнения,
в котором можно организовать
эффективную процедуру поиска
нужного состояния
Процедура формирования базиса
Случай 1: на последнем узле находятся
одна или более частиц
Случай 2: на последнем узле нет частиц
Узлы в системе могут быть
пронумерованы независимо от их
пространственного расположения.
Результаты расчета не зависят от
того, в каком порядке пронумерованы
узлы, важно лишь не менять эту
нумерацию в процессе расчета
Модель сильной связи
 Слагаемое,
описывающее
локализованных на узлах:
потенциальную
энергию
электронов,
 Действие каждого из них не приводит к изменению волновой функции:
 Кинетическое слагаемое гамильтониана приводит к появлению в
гамильтоновой матрице недиагональных слагаемых:
 Если в одномерной цепочке нечетное количество частиц, то знак
матричного элемента перескока будет всегда одинаков, как если бы не
было антисимметрии
5
Модель сильной связи
 Слагаемое,
описывающее
локализованных на узлах:
потенциальную
энергию
электронов,
 Действие каждого из них не приводит к изменению волновой функции:
 Кинетическое слагаемое гамильтониана приводит к появлению в
гамильтоновой матрице недиагональных слагаемых:
 Если в одномерной цепочке нечетное количество частиц, то знак
матричного элемента перескока будет всегда одинаков, как если бы не
было антисимметрии
6
Модель сильной связи
без взаимодействия
 Фурье-представление:
 Гамильтониан
в этом представлении диагонален – импульсное
представление является в данной задаче собственно энергетическим
 Полная энергия системы:
 Отрицательный знак матричных элементов перескока выбран из
удобства описания спектра системы в импульсном пространстве; такая
возможность выбора знака обусловлена справедливостью следующего
свойства модели сильной связи: спектр системы не меняется при
изменении знака перед амплитудой перескока в случае приближения
ближайших соседей
7
Модель сильной связи
без взаимодействия
 Одномерный случай:
 Зона проводимости: ширина зоны
пропорциональна вероятности
перескока. При увеличении
концентрации электронов зона будет
последовательно заполняться в
соответствии с принципом Паули, так что
заняты будут все состояния ниже
некоторого максимального
энергетического уровня, называемого
уровнем Ферми
 При учете взаимодейтсвия между
частицами точного аналитического
решения получить, как правило, не
8
удается
Пример. Одномерная цепочка
 Одномерная периодическая цепочка из 6 узлов с 3 частицами
 В системе 6 разрешенных одночастичных уровней энергии:
 Энергия основного состояния:
 Первое возбужденное состояние:
 Первое возбужденное состояние
четырехкратно вырождено
9
Пример. Одномерная цепочка
10
Пример. Одномерная цепочка
 Первое возбужденное состояние четырехкратно вырождено
11