Основные теоретические положения

Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный педагогический университет
имени Козьмы Минина»
(Мининский университет)
Факультет естественных, математических и компьютерных наук
Кафедра «Математика и математическое образование»
С.В. Кириллова, О.К. Огурцова
Элементарная математика:
Стереометрия.
Взаимное расположение прямых и плоскостей в
пространстве.
Задачи на построение в пространстве
Часть 1
Учебно-методическое пособие
Нижний Новгород
2014
3
УДК 511.1
ББК 22.10я73
К - 431
Рецензент:
кандидат пед. наук, доцент кафедры математики и математического
образования Г.Л. Барбашова
К - 431
Кириллова С.В.
Элементарная математика: Стереометрия. Взаимное расположение
прямых и плоскостей в пространстве. Задачи на построение в
пространстве. Часть 1: учебно-методическое пособие/ С.В.
Кириллова, О.К. Огурцова. - Н.Новгород: Мининский университет,
2014 – 32 с.
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по
специальности 050201.65 «Математика с дополнительной специальностью». В раздел
включены две дидактические единицы: геометрия прямых и плоскостей в пространстве;
геометрия построений в пространстве. Для каждой единицы выделены основные
теоретические положения, наборы решённых ключевых задач, характерные методы и
приёмы решения задач, приведены списки задач для аудиторной и самостоятельной работы,
указана литература к ним.
УДК 511.1
ББК 22.10я73
© Кириллова С.В., Огурцова О.К.,2014
© Мининский университет, 2014
4
Введение
Цель данного учебно-методического пособия по стереометрии –
оказание помощи студентам в усвоении курса элементарной математики, в
частности раздела «Стереометрия. Взаимное расположение прямых и
плоскостей в пространстве. Задачи на построение в пространстве». Раздел
содержит две дидактические единицы: геометрия прямых и плоскостей в
пространстве; геометрия построений в пространстве. В разработке каждой
дидактической
единицы
представлено
следующее
содержание:
систематизированный теоретический материал; задачи, иллюстрирующие
применение этого материала; комментарии к поиску и решению ключевых
задач, в которых отражены основные методы и приёмы поиска и решения
задач; список задач для аудиторной и самостоятельной работы студентов.
Для каждой дидактической единицы запланированы следующие виды
учебной деятельности студентов.
1.
Аудиторные занятия: лекции и практикумы.
2.
Самостоятельная работа студентов:
- подготовка к практическим занятиям: изучение математической
литературы по каждой теме, анализ учебников по математике для школы,
выполнение практических заданий, подготовка к выступлению (по теории или с
решением конкретных задач);
- разработка материалов для проведения микросреза (теоретического
характера) по конкретной теме;
- разработка материалов для проведения микросреза (практического
характера) по конкретной теме;
- создание «методической копилки» (подбор упражнений для конкретной
темы, наглядные пособия, дидактические материалы, творческие упражнения,
дифференцированные задания и др.);
- самостоятельное изучение отдельных тем;
- подготовка к контрольной работе.
3. Контроль самостоятельной работы студентов:
- текущий контроль (выполнение кратких письменных работ; создание
«банка» задач; решение задач из списков);
- промежуточный контроль (выполнение контрольной работы; отчёт по
спискам задач);
- зачёт.
Для организации самостоятельной деятельности студентов в пособие
включены, кроме списков задач, список литературы и контрольная работа.
Список литературы содержит источники, в которых находится достаточно
теоретического и задачного материала для подготовки к практическим
занятиям, подборки заданий для микросрезов, создания собственного «банка»
задач по конкретной теме. Контрольная работа отражает уровень обязательных
требований к знаниям и умениям студентов по данному разделу и
предназначена для подготовки к аудиторной контрольной работе.
5
Задачи, представленные в пособии,
литературы, частично составлены авторами.
частично
заимствованы
Примерный тематический план изучения раздела
Раздел дисциплины
Количество часов
Раздел: Взаимное расположение
прямых и плоскостей в пространстве.
Задачи на построение в пространстве
1.
Параллельность
и
перпендикулярность
прямых
и
плоскостей
в
задачах
на
доказательство
2. Воображаемые построения
3. Центральное и параллельное
проектирования и их свойства.
Изображение фигур на плоскости.
Метрические задачи на изображениях
Плоских фигур
4. Проекционный чертеж. Построение
сечений
призмы
и
пирамиды
плоскостью, заданной тремя точками,
методом следов
5. Построение сечений призмы и
пирамиды плоскостью, заданной тремя
точками,
методом
внутреннего
проектирования
(методом
вспомогательных сечений)
6. Построение сечений призмы и
пирамиды
плоскостью
с
использованием признаков и свойств
параллельности прямых и плоскостей
(комбинированный метод)
7. Некоторые метрические задачи на
проекционном чертеже (построение
прямой, перпендикулярной к прямой, к
плоскости, общего перпендикуляра
двух
скрещивающихся
прямых,
сечения, перпендикулярного прямой
или плоскости, на изображениях куба и
правильного тетраэдра)
6
Итого по
разделам
дисциплины
Практ.
занятия
Самост.
работа
24
32
4
4
2
4
6
2
4
6
2
4
2
4
6
2
4
6
4
4
56
8
6
8
из
8. Нахождение расстояний и углов в
пространстве
конструктивным
методом
10
6
4
Изучение раздела «Стереометрия. Взаимное расположение прямых и
плоскостей в пространстве. Задачи на построение в пространстве» направлено
на формирование у студента следующих компетенций:
ОК-1 - владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу,
восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения;
ОК-4 - способен использовать знания о современной естественнонаучной
картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять
методы математической обработки информации, теоретического и
экспериментального исследования;
ОПК-3 - владеет основами речевой профессиональной культуры.
В результате освоения раздела студент должен:
знать:
- аксиомы, определения понятий, формулировки теорем о взаимном
расположении прямых и плоскостей в пространстве;
- о двух видах построений в пространстве;
- последовательность этапов решения задачи на воображаемые построения и
сущность каждого этапа;
- описание понятий изображения фигуры на плоскости, полного и неполного
изображения;
- определения секущей плоскости и сечения многогранника плоскостью;
- сущность метода следов в построении сечений;
- сущность метода внутреннего проектирования (вспомогательных сечений) в
построении сечений;
- сущность комбинированного метода в построении сечений;
- описание понятия метрической задачи и условий, необходимых и
достаточных для её решения;
- сущность синтетического (конструктивного) метода решения задач на
нахождение углов;
- сущность синтетического (конструктивного) метода решения задач на
нахождение расстояний;
уметь:
- применять определения, признаки и свойства для установления взаимного
расположения прямых и плоскостей в пространстве;
- применять последовательность этапов для решения задач на воображаемые
построения в пространстве;
- строить сечение призмы и пирамиды плоскостью, заданной тремя точками,
точкой и прямой, двумя пересекающимися прямыми, на основе аксиом (метод
следов);
- строить сечение призмы и пирамиды плоскостью методом внутреннего
проектирования (методом вспомогательных сечений);
7
- строить сечение призмы и пирамиды плоскостью с использованием
параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, причём плоскость
может быть задана параллельной или перпендикулярной заданным прямым или
плоскостям;
владеть навыками:
- вычисления расстояния между двумя точками, от точки до прямой или
плоскости, между параллельными или скрещивающимися прямыми,
параллельными прямой и плоскостью, параллельными плоскостями, в
частности, если названные фигуры задаются элементами многогранников,
конструктивным методом;
- вычисления угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми,
пересекающимися прямой и плоскостью, пересекающимися плоскостями, в
частности, если они задаются элементами многогранников, конструктивным
методом.
Тема 1. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей в
задачах на доказательство
Задачи данной темы направлены на осознание, осмысление и применение
теоретического материала темы, на усвоение методов доказательства.
Основные теоретические положения
Список теоретических положений к теме, который приведён ниже,
составлен в соответствии с учебником [1].
I. Введение.
Основные фигуры: точка, прямая, плоскость.
Соглашения: 1) существуют точки, лежащие, и точки, не лежащие в данной
плоскости; 2) для любой плоскости выполняются аксиомы и теоремы
планиметрии; равные (подобные) фигуры (треугольники) могут лежать в
различных плоскостях.
Аксиомы: А1-А3.
Определения: принадлежности прямой плоскости, пересечения прямой и
плоскости, пересечения двух плоскостей.
Теоремы: следствия из аксиом [1, п. 3].
II. Параллельность прямых и плоскостей.
Определения: параллельных прямых в пространстве; параллельных прямой и
плоскости; скрещивающихся прямых; параллельных плоскостей.
Теоремы: о параллельных прямых [1, п. 4]; лемма о пересечении плоскости
параллельными прямыми; о параллельности трёх прямых [1, п. 5]; признак
параллельности прямой и плоскости; свойства параллельности прямой и
плоскости [1, п. 6]; признак скрещивающихся прямых; свойство
скрещивающихся прямых [1, п. 7]; признак параллельности плоскостей;
свойства параллельных плоскостей [1, п. 10-11].
8
III. Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Определения: перпендикулярных прямых; прямой, перпендикулярной к
плоскости; перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости; наклонной;
проекции наклонной; угла между прямой и плоскостью; двугранного угла; угла
между пересекающимися плоскостями; перпендикулярных плоскостей.
Теоремы: лемма о перпендикулярности двух параллельных прямых к
третьей прямой [1, п. 15]; о связи между параллельностью прямых и их
перпендикулярностью к плоскости [1, п. 16]; признак перпендикулярности
прямой и плоскости [1, п. 17]; о существовании прямой, перпендикулярной к
плоскости [1, п. 18]; теорема о трёх перпендикулярах и обратная к ней [1, п. 20];
признак перпендикулярности двух плоскостей и следствие [1, п. 23].
Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений
Задача 1. Плоскость  и прямая a параллельны. Докажите, что в
плоскости  существует прямая, параллельная прямой a .
Доказательство. Возьмём в плоскости 
произвольную точку A (соглашение 1).
Т.к. плоскость  и прямая a
параллельны, то A a (определение
параллельности прямой и плоскости).
Тогда существует плоскость  (рис. 1),
задаваемая точкой A и прямой a
(теорема-следствие 1 из аксиом).
Если две плоскости (  и  ) имеют
общую точку ( A ), то они имеют
общую прямую ( b ), на которой лежат
все общие точки этих плоскостей (А3). b a ,
т.к. в противном случае прямая a имеет с
плоскостью  общую точку, что противоречит условию задачи.
Задача 2. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку M
прямой a и перпендикулярные к этой прямой, лежат в плоскости, проходящей
через точку M и перпендикулярной к прямой a .
Доказательство. Очевидно, что через данную прямую ( a ) в
пространстве проходит бесконечное число плоскостей. Рассмотрим две из этих
плоскостей и проведём в каждой из них через точку M прямые b и c ,
перпендикулярные к прямой a (соглашение 2). Через две пересекающиеся
прямые ( b и c ) проходит плоскость, и притом только одна (рис. 2а), т.е. ими
можно однозначно задать плоскость  (теорема-следствие 2 из аксиом). Тогда,
если прямая ( a ) перпендикулярна к двум пересекающимся прямым ( a  b и
Рисунок-1
9
a  c ), лежащим в плоскости (  ), то она перпендикулярна к этой плоскости, т.е.
a   (признак перпендикулярности прямой и плоскости).
Докажем, что любая прямая d  a ,
M  d лежит в плоскости  . Предположим,
что это не так. Через две пересекающиеся
прямые ( a и d ) проходит плоскость (рис. 2б), и
притом только одна, т.е. получим плоскость
 (теорема-следствие 2 из аксиом).
Если две плоскости (  и  ) имеют общую точку ( M ),
Рисунок-2а
то они имеют общую прямую, на которой
лежат все общие точки этих плоскостей (А3).
Обозначим эту прямую d1 . Если прямая
перпендикулярна к плоскости ( a   ), то она
перпендикулярна к любой прямой, лежащей
в этой плоскости ( d1 лежит в  ), т.е. a  d1 .
Но тогда в плоскости  есть две прямые d и d1 ,
проходящие через точку M и перпендикулярные
к прямой a . Это невозможно, значит, прямая d
лежит в плоскости  .
Рисунок-2б
Комментарий к задачам 1-2.
1) В процессе решении задач представленного вида (задач на доказательство)
должно формироваться умение оперировать перечисленными выше
теоретическими положениями. Поэтому на каждом этапе процесса решения
задачи следует чётко выделять, какие теоретические положения и как
используются. Например, основой решения задачи 1 становится соглашение 1 о
существовании точек, лежащих в данной плоскости; определение
параллельности прямой и плоскости; теорема-следствие 1 из аксиом,
позволяющее однозначно задать плоскость в пространстве; аксиома А3; задачи
2 – соглашение 2 о выполнимости всех положений планиметрии на
фиксированной плоскости, в частности, о существовании и единственности
прямой, проходящей в плоскости через данную точку и перпендикулярной к
данной прямой; теорема-следствие 2 из аксиом, позволяющее однозначно
задать плоскость в пространстве; признак перпендикулярности прямой и
плоскости; аксиома А3; свойство прямой, перпендикулярной к плоскости,
следующее из определения перпендикулярности прямой и плоскости.
2) Следует также особо обратить внимание на применение метода «от
противного» при решении задачи 2, что позволило доказать принадлежность
прямой плоскости.
10
Часть теоретического материала темы содержится в задачном материале
учебника [1] в виде задач-теорем, которые не всегда чётко выделены.
Например, представленные далее задачи 3-6. Эти задачи отражают
дополнительные свойства различных случаев взаимного расположения прямых
и плоскостей в пространстве. Зачастую, теоретическое положение, полученное
в ходе решения одной из таких задач, становится основой для решения
следующей задачи. Например, при решении задачи 4, представленной далее,
кроме основных теоретических положений темы, используется утверждение,
доказанное в задаче 3; при решении задачи 5 - утверждение, доказанное в
задаче 4; при решении задачи 6 - утверждение, доказанное в задаче 5.
Задача 3. Докажите, что если прямая a пересекает плоскость  , то она
также пересекает любую плоскость, параллельную данной плоскости.
Доказательство. Рассмотрим произвольную
плоскость  ,   . Через произвольную точку B
плоскости  , не лежащую на прямой a (рис. 3),
проведём прямую b , параллельную прямой a .
Так как прямая a пересекает плоскость  , то
прямая b тоже пересекает эту плоскость
(по лемме о пересечении плоскости
параллельными прямыми). Учитывая, что   ,
т.е. у них не может быть общих точек, значит
прямая b не может лежать в плоскости  , т.е.
пересекает плоскость  в точке B . Поэтому
прямая a тоже пересекает плоскость  .
Рисунок-3
Задача 4. Прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей.
Докажите, что эта прямая либо параллельна другой плоскости, либо лежит в
ней.
Доказательство. Возможны три случая взаимного расположения прямой
и плоскости: а) прямая лежит в плоскости; б) прямая параллельна плоскости; в)
прямая пересекает плоскость. Если данная прямая пересекает вторую
плоскость, то она обязана пересекать и первую (см. задачу 3), но прямая
параллельна первой плоскости. Значит, случай в) невозможен.
Задача 5. Плоскости  и  параллельны, A – точка плоскости  .
Докажите, что любая прямая, проходящая через точку A и параллельная
плоскости  , лежит в плоскости  .
Доказательство. Пусть прямая a проходит через точку A и параллельна
плоскости  . Тогда (см. задачу 4) прямая a либо параллельна плоскости  ,
11
либо лежит в ней. Но параллельность прямой a плоскости  не возможна в
силу наличия у них общей точки – точки A . Значит, прямая a лежит в
плоскости  .
Задача 6. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей
перпендикулярна к данной прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к
этой прямой.
Доказательство. Пусть   и   a . Тогда
прямая a пересекает плоскость  , например, в
точке A (рис. 4). Докажем, что   a .
Возьмём в плоскости  произвольную
прямую b1 . Через точку A плоскости 
проведём прямую b, b b1 . Тогда (по признаку
параллельности прямой и плоскости)
прямая b  . В результате (см. задачу 5)
прямая b лежит в плоскости  . Так как a   ,
а прямая b лежит в плоскости  , то a  b ,
значит a  b1 (по лемме о перпендикулярности
двух параллельных прямых к третьей прямой).
Рисунок-4
Следовательно, по определению перпендикулярности
прямой и плоскости a   .
Комментарий к задачам 3-6.
Рассмотренные задачи наглядно иллюстрируют тот факт, что при решении
многих задач темы используется перебор возможных вариантов взаимного
расположения рассматриваемых простейших фигур в пространстве. Это
позволяет отсеять невозможные случаи их расположения и прийти к тому, что
требуется доказать.
Задачи
7. Докажите, что через любые три точки проходит плоскость.
8. Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки
лежат в одной плоскости.
9. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые,
проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в
одной плоскости.
10. Две прямые пересекаются в точке M . Докажите, что все прямые, не
проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной
плоскости.
12
11. Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной
плоскости, либо имеют общую точку.
12. Несовпадающие плоскости  и  имеют две общие точки A и B .
Докажите, что плоскости  и  пересекаются по прямой AB .
13. Параллельные прямые a и b лежат в плоскости  . Докажите, что прямая c ,
пересекающая прямые a и b , также лежит в плоскости  .
14. Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость  .
Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость  .
15. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что
любая прямая, параллельная отрезку DC , пересекает плоскости данных
треугольников.
16. Точки A и B лежат в плоскости  , а точка C не лежит в плоскости  .
Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AB и BC ,
параллельна плоскости  .
17. Докажите, что если данная прямая параллельна прямой, по которой
пересекаются две плоскости, и не лежит в этих плоскостях, то она параллельна
этим плоскостям.
18. Основание AB трапеции ABCD параллельно плоскости  , а вершина C
лежит в плоскости  . Докажите, что: а) основание DC трапеции лежит в
плоскости  , б) средняя линия трапеции параллельна плоскости  .
19. Плоскость  и прямая a параллельны прямой b . Докажите, что прямая a
либо параллельна плоскости  , либо лежит в ней.
20. Плоскость  параллельна стороне BC треугольника ABC и проходит через
середину стороны AB . Докажите, что плоскость  проходит также через
середину стороны AC .
21. Плоскости  и  пересекаются по прямой AB . Прямая a параллельна как
плоскости  , так и плоскости  . Докажите, что прямые a и AB параллельны.
22. Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую,
попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо
параллельны, либо имеют общую точку.
23. Прямая a параллельна плоскости  . Докажите, что если плоскость 
пересекает прямую a , то она пересекает и плоскость  .
24. Через точку M , не лежащую на прямой a , проведены две прямые, не
имеющие общих точек с прямой a . Докажите, что по крайней мере одна из этих
прямых и прямая a являются скрещивающимися прямыми.
25. Прямая c пересекает прямую a и не пересекает прямую b , параллельную
прямой a . Докажите, что b и c – скрещивающиеся прямые.
13
26. Докажите, что если AB и DC скрещивающиеся прямые, то AD и BC также
скрещивающиеся прямые.
27. Через каждую из двух параллельных прямых a и b и точку M , не лежащую
в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости
пересекаются по прямой, параллельной прямым a и b .
28. Даны две скрещивающиеся прямые и точка A . Докажите, что через точку A
проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным
прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.
29. Докажите, что если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей,
то она пересекает и другую плоскость.
30. Две плоскости  и  параллельны плоскости  . Докажите, что плоскости
 и  параллельны.
31. Даны две пересекающиеся прямые a и b и точка A , не лежащая в
плоскости этих прямых. Докажите, что через точку A проходит плоскость,
параллельная прямым a и b , и притом только одна.
32. Плоскости  и  параллельны, прямая a лежит в плоскости  . Докажите,
что прямая a параллельна плоскости  .
33. Докажите, что плоскости  и  параллельны, если две пересекающиеся
прямые плоскости  параллельны плоскости  .
34. Две стороны треугольника параллельны плоскости  . Докажите, что и
третья сторона треугольника параллельна плоскости  .
35. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости,
пересекают одну из параллельных плоскостей в точках A1 , B1 и C1 , а другую - в
точках A2 , B2 и C2 . Докажите, что треугольники A1 B1C1 и A2 B2C2 подобны.
36. Докажите, что две плоскости, перпендикулярные к одной прямой,
параллельны.
37. Прямая a перпендикулярна к плоскости  и перпендикулярна к прямой b ,
не лежащей в этой плоскости. Докажите, что b  .
38. Докажите, что если плоскость перпендикулярна к некоторой прямой, то и
любая параллельная ей прямая перпендикулярна к этой прямой.
39. Докажите, что если точка X равноудалена от концов данного отрезка AB ,
то она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка AB и
перпендикулярной к прямой AB .
40. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных
скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой
прямой.
41. Из некоторой точки проведены к плоскости две наклонные. Докажите, что:
а) если наклонные равны, то равны и их проекции; б) если проекции наклонных
14
равны, то равны и наклонные; в) если наклонные не равны, то большая
наклонная имеет большую проекцию.
42. Прямая a пересекает плоскость  в точке M и не перпендикулярна к этой
плоскости. Докажите, что в плоскости  через точку M проходит прямая,
перпендикулярная к прямой a , и притом только одна.
43. Прямая BM перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD .
Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости ADM и BCM ,
перпендикулярна к плоскости ABM .
44. Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой
пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих
плоскостей.
45. Докажите, что если плоскости перпендикулярны, и в одной из них проведён
перпендикуляр к их линии пересечения, то он служит перпендикуляром к
другой плоскости.
46. Плоскости  и  взаимно перпендикулярны. Через некоторую точку
плоскости  проведена прямая, перпендикулярная к плоскости  . Докажите,
что эта прямая лежит в плоскости  .
47. Плоскости  и  пересекаются по прямой a и перпендикулярны к
плоскости  . Докажите, что прямая a перпендикулярна к плоскости  .
48. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к
одной и той же плоскости, параллельны.
Тема 2. Воображаемые построения
Основные теоретические положения
I. Геометрические построения в пространстве делятся на два вида:
воображаемые построения и эффективные (реальные построения). Задачи на
построение в стереометрии решаются по той же схеме, что и в планиметрии:
анализ, построение, доказательство, исследование.
II. Сущность решения задачи на воображаемые построения состоит в том,
чтобы доказать существование объекта на основании введённых аксиом,
определений понятий и доказанных теорем. Решение таких задач
сопровождается построениями в воображении и их переносом на рисунок,
который играет лишь иллюстративную роль, служит опорой для мышления.
III. Среди задач на воображаемые построения можно выделить основные:
1) через данную точку провести прямую, пересекающую данную прямую;
2) через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой;
3) через данную точку провести прямую, скрещивающуюся с данной
прямой;
15
4) через данную точку провести прямую, параллельную данной
плоскости;
5) через данную точку провести плоскость, параллельную данной прямой;
6) через данную точку провести плоскость, параллельную данной
плоскости;
7) через каждую из двух скрещивающих прямых провести плоскость так,
чтобы эти плоскости были параллельны;
8) через данную точку провести плоскость, перпендикулярную данной
прямой;
9) через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной
плоскости;
10) построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
Построения, выполняемые в процессе решения этих задач, становятся
«инструментом» и в дальнейшем применении подробно не описываются.
Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений
Задача 49. Даны скрещивающиеся прямые a и b . Постройте плоскость,
проходящую через прямую a и параллельную прямой b .
Анализ. Предположим, что плоскость  – искомая, т.е. проходит через
прямую a и параллельна прямой b . Так как b  , то в плоскости  существует
прямая b1 , параллельная прямой b (см. задачу 1). Прямые a и b скрещиваются,
поэтому прямые a и b1 могут только пересекаться. Тогда плоскость  можно
задать пересекающимися прямыми a и b1 (теорема-следствие 2 из аксиом).
Построение. На прямой a возьмём
произвольную точку A (рис. 5). Через точку A
проведём прямую b1 , b1 b (III 2). Прямые a и
b1 пересекаются. Проведём через них плоскость
 . Плоскость  – искомая.
Доказательство. Прямая a лежит в плоскости 
по построению. b  по признаку
параллельности прямой и плоскости.
Исследование. Т.к. точка A произвольна, то
Рисунок-5
может возникнуть предположение, что задача имеет
несколько решений. Докажем, что это неверно и искомая плоскость 
единственная. Если предположим, что построена еще плоскость  1 ,
проходящая через прямую a и параллельная прямой b , то в ней через точку A
16
пройдёт прямая b2  b1 , параллельная прямой b , что противоречит теореме о
параллельных прямых [1, п. 4].
Комментарий к задаче
1) При решении задачи применялся метод нисходящего анализа, который
традиционно используется для решения задач на воображаемые построения.
Поэтому потребовалось последовательно и подробно описывать все этапы
решения задачи на построения.
2) Задача наглядно иллюстрирует, что в стереометрии под действиями «взять
точку», «провести прямую», «построить плоскость» понимаются логические
операции, состоящие из ссылок на аксиомы, определения понятий, теоремы,
уже решённые задачи, утверждающие существование того или иного объекта.
Задача 50. Даны точка M и две плоскости  и  . Постройте плоскость
 , проходящую через точку M и перпендикулярную плоскостям  и  .
Решение. Данные плоскости  и  либо параллельны, либо
пересекаются. Поэтому рассмотрим два случая.
1.   (рис. 6а). В этом случае
достаточно провести плоскость  ,
перпендикулярную одной из данных
плоскостей, например, плоскости  .
Чтобы плоскости  и  были
перпендикулярны, достаточно, чтобы
плоскость  проходила через прямую,
перпендикулярную к плоскости  .
Поэтому проводим через точку M
прямую m , перпендикулярную данной
плоскости  (III 9). Любая плоскость,
проходящая через прямую m , искомая
Рисунок-6а
Рисунок-6б
(по признаку перпендикулярности
плоскостей).
Задача в данном случае имеет
бесконечно много решений.
2. Плоскости  и  пересекаются
(рис. 6б). В этом случае достаточно через
точку M провести плоскость  ,
перпендикулярную линии пересечения
плоскостей (III 8). Задача в данном случае
имеет единственное решение.
17
Комментарий к задаче
Задача решена методом восходящего анализа, поэтому не требовалось отдельно
подробно описывать все этапы решения задачи на построения. Они
проходились в процессе решения задачи параллельно для каждого из
возможных случаев.
Задачи
51. Постройте прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые и
параллельную данной плоскости.
52. Даны пересекающиеся плоскости  и  . A  a, B   . Постройте плоскость,
проходящую через точки A и B , параллельную линии пересечения плоскостей
 и .
53. Через данную точку проведите прямую, параллельную двум данным
плоскостям.
54. Даны три попарно скрещивающиеся прямые. Постройте прямую,
пересекающую две из данных прямых и параллельную третьей.
55. В данной плоскости проведите прямую, параллельную другой данной
плоскости и пересекающую данную прямую.
56. Через данную точку проведите прямую, пересекающую данную прямую и
параллельную данной плоскости.
57. Через данную точку проведите плоскость, параллельную двум данным
скрещивающимся прямым.
58. Через данную точку проведите прямую, перпендикулярную двум данным
скрещивающимся прямым.
59. Проведите прямую, перпендикулярную данной плоскости  и
пересекающую данные скрещивающиеся прямые a и b .
60.Через данную точку M проведите плоскость, параллельную данной прямой
a и перпендикулярную данной плоскости  .
Тема 3. Центральное и параллельное проектирования и их свойства.
Изображение фигур на плоскости. Метрические задачи на
изображениях плоских фигур
Основные теоретические положения
I. При изучении стереометрии важное значение имеет изображение фигур
на чертеже. В планиметрии изображением фигуры Ф0 , называемой оригиналом,
считается любая фигура Ф , подобная фигуре Ф0 . Сложнее обстоит дело с
изображением фигур в стереометрии. В начертательной геометрии детально
разработаны различные методы построения изображений, связанные с
понятиями центрального и параллельного проектирований, их свойствами.
Однако в школьном курсе геометрии выполнение чертежей в какой-либо
18
определённой проекции ни в коей мере не оправдано, и оказывается вполне
целесообразным выполнять построение изображений фигур в так называемой
произвольной (центральной или параллельной) проекции. Произвольность при
этом состоит в том, что положение оригинала относительно плоскости, на
которую осуществляется проектирование, и направление проектирования на
эту плоскость остаются неопределёнными.
Проекционное изображение фигуры Ф0 можно получить, таким образом,
не непосредственным проектированием фигуры Ф0 , а выполняя построения в
строгом соответствии с законами проектирования, т.е. сохраняя аффинные
свойства оригинала. Напомним некоторые из аффинных свойств:
1. свойство фигуры быть точкой, прямой, плоскостью;
2. свойство фигур иметь пересечение;
3. деление отрезка в данном отношении;
4. свойство прямых (плоскостей, прямой и плоскости) быть параллельными;
5. свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией;
6. отношение длин параллельных отрезков; и т.д.
В итоге, треугольник (и его частные виды) изображается в виде
треугольника, параллелограмм (и его частные виды) изображается в виде
параллелограмма. Изображением окружности является эллипс. Трапеция (и её
частные виды) изображается в виде трапеции с сохранённым отношением
оснований. Изображением тетраэдра служит четырехугольник с его
диагоналями. Сферу (шар) принято изображать в ортогональной проекции,
поэтому её изображением служит круг. Для получения изображения любой
другой фигуры следует выделить те соотношения между элементами
оригинала, которые не изменяются при проектировании.
II. Ранее было сказано, что геометрические построения в пространстве
делятся на два вида: воображаемые построения и эффективные (реальные
построения, т.е. построения с помощью реальных инструментов, применяемых
для построений на плоскости). Эффективные построения выполняются на
метрически определённом чертеже.
Строя изображение фигуры Ф0 в соответствии с законами
проектирования, получаем фигуру Ф , обладающую всеми аффинными
свойствами фигуры Ф0 . Однако фигура Ф0 может обладать и такими
свойствами, которые не сохраняются при проектировании – метрическими.
Например, при проектировании не сохраняются:
- отношение длин непараллельных отрезков;
- величина угла между прямыми (плоскостями, прямой и плоскостью);
- отношение величин углов; и т.д.
Таким образом, чтобы сделать чертёж метрически определённым изображение
фигуры сопровождают текстом, в котором поясняют вид фигуры, указываются
некоторые условия.
III. Решая метрические задачи на построение на изображениях плоских
фигур, можно использовать следующие утверждения:
19
1. в равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота,
проведённые из вершины к основанию, совпадают;
2. биссектриса внутреннего (внешнего) угла треугольника делит
противоположную сторону внутренним (внешним) образом на отрезки,
пропорциональные прилежащим сторонам;
3. если две прямые перпендикулярны, то и соответственно параллельные им
прямые перпендикулярны;
4. квадраты катетов прямоугольного треугольника относятся как их
проекции на гипотенузу;
5. прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке;
6. признаки подобия треугольников.
Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений
Задача 61. Постройте изображение правильного шестиугольника.
Анализ. Рассмотрим в оригинале правильный шестиугольник
A0 B0 C0 D0 E0 F0 (рис. 7а). В нём можно заметить
следующие соотношения:
1) стороны A0 B0 , B0 C0 ,..., F0 A0 равны;
2) диагонали A0 D0 , F0 C0 , E0 B0 равны;
3) диагонали A0 E0 , F0 D0 ,..., B0 F0 равны;
4) стороны A0 B0 и E 0 D0 , B0 C0 и F0 E0 ,
C 0 D0 и F0 A0 параллельны;
5) диагонали A0 E0 и B0 D0 , A0 C0 и F0 D0 ,
B0 F0 и C0 E0 параллельны;
6) диагонали A0 D0 , F0 C0 , E0 B0 пересекаются
в одной точке O0 и делятся ею пополам;
Рисунок-7а
7) четырёхугольники A0 B0 C0 O0 , B0 C0 D0 O0 ,..., A0 F0 E0 O0 - ромбы; и т.д.
Соотношения 1)-3) не могут быть использованы для построения изображения,
т.к. они не сохраняются при проектировании. Достаточно использовать,
например, соотношения 6) и 7).
Построение. Строим параллелограмм
ABCO - изображение ромба A0 B0 C0 O0
(рис. 7б). Для точек A, B, C строим
симметричные относительно точки O точки D, E , F . Шестиугольник ABCDEF изображение правильного шестиугольника.
Доказательство. Проводя анализ,
мы для рассмотрения оставляли именно
аффинные свойства оригинала, поэтому
построение верно.
Исследование. Найденное построение
Рисунок-7б
20
не является единственно возможным, т.к. могут быть использованы и другие
аффинные свойства оригинала.
Комментарий к задаче.
1) При решении задачи применялся метод нисходящего анализа, который
традиционно используется для решения задач на построение. Но как наглядно
иллюстрирует рассмотренная задача этап доказательства в данном виде задач
проходит чисто формально, т.к. уже на этапе анализа оставляются для
рассмотрения только аффинные свойства оригинала. Поэтому его можно
отдельно и не оформлять.
2) При проведении анализа пришлось изображать оригинал рассматриваемой
фигуры, что является традиционным при решении задач на построение
изображений плоских фигур. При решении задачи на построение изображения
пространственной фигуры на данном этапе используется её модель.
Вообще, ко всем видам изображений пространственных фигур
предъявляются такие требования:
1. изображение должно быть верным, т.е. оно должно представлять собой
фигуру, подобную произвольной проекции оригинала;
2. изображение должно быть по возможности наглядным, т.е. должно
вызвать пространственное представление об оригинале (для достижения
большей наглядности изображения, например, так называемые
невидимые линии изображают пунктиром);
3. изображение должно быть легко выполнимым, т.е. правила построения
должны быть максимально простыми.
Поэтому, при построении изображения призмы сначала изображается одно
её основание, затем задаётся боковое ребро, а под конец другое основание,
стороны которого параллельны соответствующим сторонам первого основания,
и оставшиеся боковые рёбра, параллельные исходному боковому ребру. Если
призма прямая, то боковое ребро из соображений наглядности принято
изображать в виде отрезка вертикальной прямой, как и любой перпендикуляр к
основной плоскости.
При построении изображения пирамиды сначала изображается её основание,
затем находится основание высоты пирамиды (если расположение его можно
точно задать в плоскости основания), затем в виде отрезка вертикальной
прямой изображается высота пирамиды и, в результате соединения вершины
пирамиды со всеми вершинами основания, получаются боковые рёбра
пирамиды.
Задача 62. На изображении равнобедренного треугольника, у которого
боковая сторона втрое больше основания, постройте изображение высоты,
проведённой к боковой стороне.
21
Решение. Рассмотрим несколько способов решения данной задачи,
подробно не разделяя этапы решения.
1 способ Рассмотрим в оригинале равнобедренный треугольник
A0 B0 C0 , A0 B0  A0 C0  3B0 C0 (рис. 8а). Пусть в нём построена высота B0 M 0 к
1
3
боковой стороне. Тогда, отметив на A0 C0 точку D0 , такую, что D0 C 0  A0 C 0 ,
получим равнобедренный треугольник B0 C 0 D0 , в
котором B0 M 0 также является высотой. Рассмотрим,
как проходят в нём другие высоты. Т.к. треугольник
B0 C 0 D0 - равнобедренный ( B0 C 0  C 0 D0 
1
A0 C 0 ), то
3
C 0 K 0 - медиана и высота. Третья высота D0 F0 будет
проходить через точку пересечения B0 M 0 и C 0 K 0 точку H 0 , и будет параллельна медиане и
высоте A0 E0 равнобедренного треугольника A0 B0 C0 .
В результате возникает следующее построение.
На изображении треугольника A0 B0 C0 треугольнике ABC делим отрезок AC в отношении
Рисунок-8а
1 : 2 , считая от вершины C , получаем точку D (рис.
8б). Далее отмечаем середину отрезка BD - точку K ,
середину отрезка BC - точку E . Строим
DF AE, F  BC . Находим точку пересечения CK и
DF - точку H . Проводим отрезок BM через точку
H , M  AC . BM - искомое изображение высоты к
боковой стороне.
2 способ Треугольники A0 E0 C0 и B0 M 0 C 0
подобны (по двум углам). Тогда
1
2
1
6
C0 M 0 C0 B0 1


C0 E0 C0 A0 3.
Но C 0 E0  B0 C 0  A0 C 0 . Значит C 0 M 0 
1
A0 C 0 .
18
В результате возникает следующее построение.
Рисунок-8б
Делим отрезок AC в отношении 1 : 17 , считая от вершины C , получаем точку
M . BM - искомое изображение высоты к боковой стороне.
3 способ Пристроим справа к треугольнику ABC - образу треугольника
A0 B0 C0 , треугольник AB1C , такой, что AB1  AC, CB1 
1
AC (рис. 8в). Тогда
3
треугольники A0 B0 C0 и AB1C подобны (по трём сторонам). В итоге, выполнив
22
точное построение высоты B1 M
треугольника AB1C , получим, что
CM C0 M 0
.

MA M 0 A0
Значит BM - искомое изображение высоты к
боковой стороне.
Комментарий к задаче.
1) Рассмотрен классический пример решения
задачи на эффективное построение на
изображении плоской фигуры на метрически
определённом чертеже. Именно условие, что
дано изображение равнобедренного
треугольника, у которого боковая сторона
Рисунок-8в
втрое больше основания, сделало чертёж
метрически определённым.
2) Представленные три способа решения задачи наглядно раскрывают
особенности каждого из них. Первый способ основан на использовании
утверждений, перечисленных в пункте III. Второй – на нахождении того, в
каком отношении основание искомого изображения высоты делит
соответствующую боковую сторону треугольника. Третий показывает, что
зачастую уместно ввести в рассмотрение фигуру, подобную оригиналу, и
выполнить соответствующие построения на ней, выделяя соотношения,
которые не изменяются при проектировании. Очень часто, как это и показано в
рассмотренной задаче, бывает удобно, рационально фигуру, подобную
оригиналу, строить на одной из сторон изображения.
В задачах на изображении окружности часто используется изображение
её взаимно перпендикулярных диаметров. Поэтому решим следующую задачу.
Задача 63. На изображении окружности постройте изображение её
взаимно перпендикулярных диаметров.
Решение. Рассмотрим в оригинале окружность
и её два взаимно перпендикулярных диаметра A0 B0 и
C 0 D0 (рис. 9а). Замечаем, что каждый из них делит
пополам хорды, параллельные другому диаметру.
Отсюда возникает построение. На изображении
Рисунок-9а
окружности проводим параллельные
хорды MN и PQ (рис. 9б). Находим
их середины, которые задают
изображение диаметра A0 B0 отрезок AB с концами на
изображении окружности.
Определяем его середину – точку O , и
Рисунок-9б
23
строим через неё изображение диаметра C 0 D0 - отрезок CD , параллельный
построенным хордам и с концами на изображении окружности. При этом точка
O - изображение центра окружности.
Комментарий к задаче.
1) Рассмотренное выше построение изображения двух взаимно
перпендикулярных диаметров окружности может далее считаться
элементарным построением и подробно не описываться, так в более сложных
задачах именно оно позволяет задать на изображении две взаимно
перпендикулярные прямые.
2) В ходе решения данной задачи было также показано, как строится
изображение центра окружности, что используется во многих задачах,
связанных с изображением окружности.
Задачи
правильного:
64. Постройте изображение
а) восьмиугольника, б)
пятиугольника.
65. Произвольный треугольник ABC является изображением правильного
треугольника A1 B1C1 . Постройте изображение центра окружности, вписанной в
треугольник A1 B1C1 .
66. Произвольный треугольник ABC является изображением прямоугольного
равнобедренного треугольника
Постройте
A1 B1C1 A1 B1  A1C1 , A1  90   .
изображение высоты A1 M 1 и перпендикуляра M 1 H1 к A1C1 .
67. Произвольный треугольник ABC является изображением равнобедренного
треугольника A1 B1C1  A1 B1  A1C1  . Постройте изображение перпендикуляра к
основанию, проведённого из середины боковой стороны.
68. На изображении правильного треугольника постройте изображение
прямоугольной трапеции с острым углом 30  , высотой, равной высоте данного
треугольника, и меньшим основанием, равным стороне данного треугольника.
69. Дано изображение треугольника и его двух высот. Постройте изображение
центра окружности, описанной около этого треугольника.
70. Трапеция ABCD служит изображением трапеции A ' B ' C ' D ' , углы при
основании которой равны 45 . Постройте изображение центра окружности,
описанной около оригинала.
71. На изображении треугольника A1 B1C1 , у которого A1 B1 : B1C1 : C1 A1  2 : 3 : 4 ,
постройте изображение вписанной окружности.
72. Дано изображение квадрата и точки, лежащей в его плоскости. Постройте
изображения прямых, проходящих через данную точку и перпендикулярных: а)
сторонам квадрата, б) диагоналям квадрата, в) прямой, проходящей через
вершину квадрата и середину стороны квадрата, не содержащей эту вершину.
24
73. На изображении ромба, диагонали которого относятся как 3 : 2 , постройте
изображение точек касания вписанной окружности со сторонами ромба.
74. На изображении равнобедренного треугольника, у которого высота,
проведённая к основанию, равна основанию, постройте изображение центра: а)
описанной, б) вписанной окружности треугольника-оригинала.
75. Дано изображение окружности, точки и прямой, лежащих в одной
плоскости. Постройте изображение прямой, перпендикулярной данной прямой
и проходящей через данную точку.
76. На изображении окружности постройте изображение описанного около неё
правильного треугольника.
77. На изображении окружности постройте изображение: а) вписанного в неё;
б) описанного около неё квадрата.
78. На изображении окружности постройте изображение вписанного в неё: а)
правильного треугольника; б) прямоугольного треугольника с заданным
отношением катетов.
Тема 4. Проекционный чертеж. Построение сечений призмы и пирамиды
плоскостью, заданной тремя точками, методом следов
Основные теоретические положения
I. Задачи на эффективное построение точки пересечения прямой и
плоскости, линии пересечения двух плоскостей относятся к числу позиционных
и решаются на проекционном чертеже.
Проекционный чертёж связан с понятием позиционной полноты
изображения. Рассмотрим это подробнее.
Пространственная фигура Ф0 проектируется на некоторую плоскость  0/ .
Это проектирование,
называемое вспомогательным,
может быть как параллельным,
так и центральным. На рисунке
10а показано вспомогательное
параллельное проектирование.
Далее фигура Ф0 и её проекция
(вспомогательная) – фигура Ф0/ проектируются на плоскость  ,
отличную от плоскости  0/ .
Плоскость  называют
проекционной плоскостью или
плоскостью изображения
(это плоскость чертежа).
Рисунок-10
25
Проектирование на плоскость  называют внешним. Оно также может быть и
параллельным, и центральным. В результате выполнения внешнего
проектирования фигур Ф0 и Ф0/ на плоскость  на ней получаются
соответственно фигуры Ф и Ф / , которые называют проекцией и вторичной
проекцией фигуры Ф0 (рис. 10б). Проекцию плоскости  0/ на плоскость 
обозначим  / . Плоскость  / называют основной плоскостью. Вторичные
проекции всех элементов фигуры Ф0 принадлежат плоскости  / . Таким
образом, плоскость  / является плоскостью вторичных проекций.
Пусть точки A, B, C... и A / , B / , C / ... - это соответственно проекции и
вторичные проекции точек A0 , B0 , C0 ... фигуры Ф0 . Тогда, если вспомогательное
проектирование фигуры Ф0 было параллельным, т.е. A0 A0/ B 0 B0/ C 0 C0/ ... , то в
плоскости изображения будет AA/ B B / CC / ... . Таким образом, соответствие
A  A / на плоскости изображения можно (разумеется, условно) рассматривать
как
некоторый
род
проектирования,
его
называют
внутренним
проектированием.
Отметим, что если вспомогательное проектирование фигуры Ф0 было
центральным, то соответствие A  A / , которое будет установлено на плоскости
изображения, будет также центральным.
Под проекцией (изображением) пространственной фигуры понимают
совокупность проекций всех её точек.
Точка A0 называется заданной на проекционном чертеже, если известны
её проекция и вторичная проекция, т.е. пара точек A и A / .
Изображение фигуры Ф0 называется полным, если каждая точка A0 ,
принадлежащая фигуре Ф0 , является заданной на проекционном чертеже.
В результате, изображение призмы (пирамиды) принято считать
проекционным чертежом, на котором каждая точка изображена вместе с её
параллельной (центральной) проекцией на плоскость основания. В призме
направление проектирования определяется боковым ребром. В пирамиде
центром проектирования является её вершина.
II. Для решения многих геометрических задач, связанных с
многогранниками, приходится строить их сечения различными плоскостями.
Плоскость называется секущей, если по обе стороны от неё имеются точки
данного многогранника.
В общем случае секущая плоскость пересекает плоскость каждой грани
многогранника и каждую из прямых, на которых лежат рёбра многогранника.
Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани
многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани,
а точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, содержащую какоенибудь ребро, называют следом секущей плоскости на этой прямой. Если
секущая плоскость пересекает непосредственно грань многогранника, то можно
26
также говорить о следе секущей плоскости на грани в виде отрезка и
аналогично о следе на ребре.
Многоугольник, сторонами которого являются следы секущей плоскости
на гранях, называется сечением многогранника.
Наиболее распространённым является способ задания секущей плоскости
тремя точками, не лежащими на одной прямой, что обосновывается первой
аксиомой стереометрии.
Если при построении сечения сначала строится след секущей плоскости
на плоскости какой-нибудь грани многогранника, затем строится след
соответствующего ребра, лежащего в этой грани, на плоскости сечения, далее
строится след секущей плоскости на другой грани многогранника и т.д., то
говорят, что используется метод следов.
Задачи, иллюстрирующие применение основных теоретических положений
Задача 79. Дан проекционный чертёж точек A0 и B0 (рис. 11а). Постройте
изображение точки пересечения прямой A0 B0 с плоскостью проекций.
S
S
B
B
A
A
/
/
A/
X
A/
B/
B/
а
б
Рисунок-11
Построение. Искомой будет точка X - точка пересечения прямых AB и
A / B / (рис. 11б).
Комментарий к задаче
1) Действительно единственным решением данной задачи будет точка
пересечения исходной прямой с её проекцией. Причём задача не всегда имеет
решение, т.к. исходная прямая и её проекция могут оказаться параллельными,
т.е. исходная прямая может быть параллельна плоскости проекций.
2) Данная задача иллюстрирует эффективное построение точки пересечения
прямой и плоскости: для того, чтобы построить точку пересечения прямой с
плоскостью, нужно спроектировать данную прямую на заданную плоскость и
найти точку пересечения данной прямой с её проекцией.
27
Задача 80. Дана пирамида SABCD и точки M и N в гранях SAB и SBC .
Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями всех граней
пирамиды.
Построение. Очевидно, что точками пересечения прямой MN с
плоскостями боковых граней SAB и SBC являются соответственно точки M и
N.
Точки M / и N / - проекции точек M и N на плоскость проекций
(плоскость основания пирамиды), получаются как точки пересечения прямых
SM и SN соответственно с прямыми AB и BC (рис. 12).
Строим точку пересечения прямой MN с плоскостью основания как точку
пересечения прямых MN и M / N / - точку P .
Пусть прямая M / N / пересекает прямые DA и DC соответственно в точках
F и K . Тогда прямые SF и SK - линии пересечения плоскости SMN с
плоскостями граней SAD и SCD соответственно.
Далее строим точки Q и R - точки пересечения прямой MN с
плоскостями боковых граней SAD и SCD , как точки пересечения прямой MN с
прямыми SF и SK соответственно.
S
R
N
M
D
Q
C
A
N/
M/
P
F
K
B
Рисунок-12
Комментарий к задаче
1) Данная задача иллюстрирует, что изображение пирамиды можно
рассматривать как проекционный чертёж, на котором каждая точка может быть
рассмотрена вместе с её центральной проекцией на плоскость основания
пирамиды; центром проектирования является вершина пирамида. На основе
этого была построена точка пересечения заданной прямой с плоскостью
основания пирамиды.
28
2) Так же в задаче наглядно показано, что если существует точка пересечения
прямой с плоскостью, то она обязательно принадлежит линии пересечения
заданной плоскости с плоскостью, содержащей заданную прямую. На основе
указанного факта были получены последние две точки пересечения заданной
прямой с плоскостями боковых граней пирамиды.
Задача 81. На рёбрах BB1 , CC1 и DD1 призмы ABCDA1 B1C1 D1 заданы
соответственно точки P , Q и R (рис. 13). Постройте след секущей плоскости
PQR на плоскости нижнего основания.
Рисунок-13
Построение. Т.к. требуется построить след секущей плоскости PQR на
плоскости нижнего основания, то спроектируем точки P , Q и R на плоскость
нижнего основания. Боковое ребро призмы определяет направление
проектирования. Т.к. точка P задана на ребре BB1 , то точка P / - проекция точки
P - совпадает с точкой B . Аналогично точка Q / совпадает с точкой C , а точка
R / - с точкой D .
Строим точку S1 - точку пересечения прямых PQ и P / Q / ( BC ). Точка S1
лежит на прямой PQ и поэтому лежит и в секущей плоскости PQR . Кроме того,
точка S1 лежит на прямой P / Q / ( BC ), т.е. лежит в плоскости нижнего основания
призмы. Таким образом, точка S1 лежит на линии пересечения секущей
плоскости с плоскостью основания, т.е. точка S1 лежит на следе секущей
плоскости PQR .
Аналогично находится точка S 2 - точка пересечения прямых QR и Q / R /
( CD ). Точка S 2 также лежит на следе секущей плоскости.
Итак, искомым следом секущей плоскости является прямая S1S 2 .
Комментарий к задаче
1) Данная задача иллюстрирует, что изображение призмы можно рассматривать
как проекционный чертёж, на котором каждая точка может быть рассмотрена
вместе с её параллельной проекцией на плоскость основания призмы;
направление проектирования определяется боковым ребром призмы. На основе
этого были построены точки пересечения прямых, лежащих в заданной
плоскости, с плоскостью основания призмы.
2) Решение данной задачи даёт основу для построения сечений многогранников
методом следов. Оно указывает способ построения следа секущей плоскости на
29
плоскости грани, чаще всего – основания призмы или пирамиды: для того,
чтобы построить линию пересечения двух плоскостей, нужно найти две общие
точки этих плоскостей.
Задача 82. Постройте сечение призмы ABCA1 B1C1 плоскостью,
проходящей через точки P , Q и R (рис. 14), где точка R принадлежит грани
AA1C1C , точка P - ребру B1C1 , а точка Q - ребру AB .
Рисунок-14
Построение. Сначала построим след секущей плоскости PQR на
плоскости нижнего основания призмы. Для этого спроектируем точки P , Q и R
на плоскость нижнего основания. Т.к. точка P задана на ребре B1C1 , то точка
P / - проекция точки P - лежит на ребре BC , где PP / BB1 . Точка Q / совпадает с
точкой Q , т.к. точка Q принадлежит ребру AB . Т.к. точка R принадлежит
грани AA1C1C , то точка R / - проекция точки R - лежит на ребре AC , где
RR / BB1 .
У плоскости PQR и плоскости нижнего основания призмы уже есть одна
общая точка – точка Q . Строим вторую общую точку X - точку пересечения
прямых PR и P / R / . Итак, следом секущей плоскости PQR на плоскости
нижнего основания призмы является прямая QX .
Пусть прямая QX пересекает ребро AC в точке K . Тогда отрезок QK
является следом секущей плоскости на грани нижнего основания призмы и
первой стороной сечения. В результате прямая KR есть линия пересечения
секущей плоскости с плоскостью грани AA1C1C , а отрезок KEE  KR  A1C1 
является следом секущей плоскости на этой грани и следующей стороной
сечения.
Построим след секущей плоскости на прямой, содержащей ребро AA1 , точку пересечения прямых KR и AA1 - точку M . Тогда прямая QM есть линия
пересечения секущей плоскости с плоскостью грани AA1 B1 B , а отрезок
QF F  QM  BB1  является следом секущей плоскости на этой грани и
следующей стороной сечения.
30
Осталось соединить отрезками точки P и F , P и E , т.к. эти пары точек
лежат соответственно в плоскости одной грани. В итоге PFQKE - искомое
сечение.
Комментарий к задаче
Задача наглядно иллюстрирует применение метода следов при построении
сечения многогранника.
Задачи
83. Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями всех граней
пирамиды ABCD , если точки M и N заданы соответственно:
а) на ребре AB и в грани ACD ;
б) в гранях ABC и ACD ;
в) вне пирамиды.
84. Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями всех граней
пирамиды SABCD , если точки M и N заданы соответственно:
а) в гранях ASB и CSD ;
в) вне пирамиды.
85. Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями всех граней
параллелепипеда ABCDA1 B1C1 D1 , если точки M и N заданы соответственно:
а) на ребре AA1 и в грани BB1C1C ;
б) в гранях AA1 B1 B и BB1C1C ;
в) на верхнем основании и в боковой грани.
86. Дан параллелепипед ABCDA1 B1C1 D1 и точки M и N вне его. Постройте точки
пересечения прямой MN с плоскостями всех граней параллелепипеда.
87. На ребре SC пирамиды SABCD задана точка P , в грани SAB – точка Q , а
внутри пирамиды, в плоскости SBD , задана точка R . Постройте след секущей
плоскости PQR .
88. Постройте сечение четырёхугольной пирамиды плоскостью, заданной:
а) тремя точками на трёх боковых рёбрах пирамиды;
б) двумя точками на боковых рёбрах пирамиды и точкой на её боковой
грани, не содержащей этих рёбер;
в) точкой на боковом ребре пирамиды и двумя точками на её боковых
гранях, не содержащих это ребро;
г) тремя точками на боковых гранях пирамиды.
89. Постройте сечение призмы ABCA1 B1C1 плоскостью, заданной точками P , Q и
R , где:
а) P лежит на ребре BB1 , Q лежит на ребре AC , R лежит на продолжении
ребра CC1 , причём точка C1 лежит между точками C и R ;
б) P лежит в грани AA1 B1 B , Q лежит на ребре AC , R лежит в грани
BB1C1C ;
в) P лежит на ребре A1 B1 , Q - точка отрезка DC1 , где точка D лежит на
ребре AB , R лежит на продолжении ребра BC , причём точка C лежит между
точками B и R .
31
90. Постройте сечение четырёхугольной призмы плоскостью, заданной:
а) тремя точками на трёх боковых рёбрах призмы;
б) двумя точками на боковых рёбрах призмы и точкой на её боковой
грани, не содержащей этих рёбер;
в) точкой на боковом ребре призмы и двумя точками на её боковых
гранях, не содержащих это ребро;
г) тремя точками на боковых гранях призмы.
91. Постройте сечение четырёхугольной призмы плоскостью, заданной тремя
точками, из которых:
а) одна принадлежит нижнему основанию, а две – боковым рёбрам;
б) одна принадлежит нижнему основанию, а две – боковым граням;
в) одна принадлежит верхнему основанию, а две – боковым граням;
г) одна принадлежит плоскости нижнего основания, одна – плоскости
верхнего основания и одна – боковой грани призмы.
92. Постройте сечение призмы ABCDA1 B1C1 D1 плоскостью, заданной точками
M , N и P на её рёбрах AA1 , BB1 , CC1 .
93. Постройте сечение четырёхугольной призмы плоскостью, заданной тремя
точками, из которых одна принадлежит плоскости нижнего основания, одна –
плоскости верхнего основания и одна – боковой грани призмы.
94. На рёбрах A1 B1 и DD1 призмы ABCDA1 B1C1 D1 заданы соответственно точки P
и Q , а на диагонали AC1 призмы – точка R . Постройте сечение призмы
плоскостью PQR .
95. Постройте сечение пирамиды SABC плоскостью MNP , если точки M , N и
P заданы вне пирамиды.
96. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, заданной тремя точками
на трёх его попарно скрещивающих рёбрах.
97. На рёбрах AA1 , CC1 и EE1 призмы ABCDEA1 B1C1 D1 E1 заданы соответственно
точки P , Q и R . Постройте сечение призмы плоскостью PQR .
32
Список литературы
Основная литература:
1. Геометрия: Учебник для 10-11 классов средней школы/ Л. С. Атанасян, В. Ф.
Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.- М., 2010.
2. Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И. Расстояния и углы в стереометрии: Учеб.метод. пособие. – Н.Новгород, 2010.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Дополнительная литература:
Аргунов Б. И., Балк М. Б. Элементарная геометрия.- М., 1966.
Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии Ч.
II. Стереометрия. – М., 1992.
В помощь учителю математики (методические рекомендации по решению
стереометрических задач на построение и отыскание множеств точек). –
Горький, 1984.
Гусев В. А., Литвиненко В. И., Мордкович А. Г. Практикум по элементарной
математике. Геометрия.- М., 1992.
Пособие по элементарной математике: Методы решения задач. Ч. 2/
Григорьева Т.П., Кузнецова Л.И., Перевощикова Е.Н., Пыжьянова А.Н. – Н.
Новгород, 2000.
Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней
школы/А.Г. Цыпкин, А.И. Пинский. – М., 1983.
Энциклопедия элементарной математики. Книга 1V. Геометрия.- М.-Л.,
1963. Книга V. Геометрия.- М., 1966.
Учебники по математике для средней школы.
Периодические издания: журналы «Математика в школе», «Математика для
школьников», «Квант», газета «Математика» – приложение к газете «Первое
сентября».
Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:
1. www.biblioclub.ru ЭБС «Университетская библиотека онлайн»
2. www.elibrary.ru Научная электронная библиотека
3. www.ebiblioteka.ru Универсальные базы данных изданий
Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный педагогический университет
имени Козьмы Минина»
(Мининский университет)
Факультет естественных, математических и компьютерных наук
Кафедра «Математика и математическое образование»
33
Учебное издание
Кириллова Светлана Владимировна
Огурцова Ольга Константиновна
Элементарная математика:
Стереометрия.
Взаимное расположение прямых и
плоскостей в пространстве.
Задачи на построение в пространстве
Часть 1
Учебно-методическое пособие
34