Инновационный подход к проблеме сжатия информации как

Бурмистров В.В.
главный специалист НИИ управления мировым сообществом
vburmistrov@rambler.ru
ИННОВАЦИОННЫЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ СЖАТИЯ ИНФОРМАЦИИ
КАК МОДЕЛЬ ПАМЯТИ И БАЗОВЫЙ ЭЛЕМЕНТ ДЛЯ ПОВЫШЕНИЯ
ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ РОБОТОТЕХНИКИ
«Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище
божественного духа, почти, что амфибия бытия с небытием».
Г.В. Лейбниц.
1. Введение
Увеличение объема используемой человеком информации и растущий спрос на
нее обусловили появление отрасли знания, связанной с автоматизацией обработки
информации, - информатики. Информатика - прикладная наука, использующая научные
достижения многих наук. В этом смысле информатика технологична и часто смыкается
с информационными технологиями.
Чтобы работать с данными различных видов, необходимо унифицировать форму
их представления, а это можно сделать с помощью кодирования. Универсальная
система кодирования требуется для того, чтобы большое количество различных видов
информации можно было бы обработать на компьютере. При хранении и передаче
данных по каналам связи объем информации является основным параметром. Поэтому
проблема представления дополняется проблемой сжатия, т.е. плотной упаковкой
информации.
Работа с большим количеством данных автоматизируется проще, когда данные
упорядочены. Вследствие неуклонно растущих объемов обрабатываемой информации
особое
значение
приобретает
сжатие
данных.
Избыточность
информации
предоставляет широкое поле деятельности в этой области. Наличие избыточности
допускает переход на иную систему кодирования, которая бы уменьшила ее.
Никакая определенная математическая схема не исчерпывает всей конкретности
действительных явлений, поэтому процесс познания конкретного протекает всегда в
борьбе двух тенденций. С одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и
логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не
укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм,
более гибких и полнее охватывающих эти явления. Чтобы быть в состоянии
1
исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить
их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное.
В
данной
работе
рассматривается
представление
информации
в
виде
рациональных коэффициентов многочлена и проводятся исследования о возможности
ее сжатия.
Единицей «информации» считаем число, цифру, символ, действие.
2. Информация - объект математического исследования
2.1. Понятие об упаковке и сжатии информации
Последовательность чисел, представляющая запись некоторой информации, как
правило, не отображает реальный физический процесс, а является искусственно
созданным процессом, у которого отсутствует как прошлое, так и будущее. Отсутствие
физической природы в данной последовательности чисел позволяет обращаться с ней
достаточно вольно. Её можно «перетасовать как колоду карт», делать с ней любые
нелинейные преобразования, получить новую последовательность чисел, которая могла
бы быть описана некоторой функциональной зависимостью. Всё то же самое относится
и к исходной информации, отображающей реальный физический процесс. Главное,
чтобы при всех преобразованиях, производимых с исходной информацией, сохранялись
сведения о значении и месте каждого числа исходной числовой последовательности.
«Упаковка информации» означает другое, отличное от обычного, размещение
символов на том же носителе, либо смена носителей информации, а «сжатие
информации» означает сокращение числа символов, отображающих эту информацию, с
применением определенных скрытых или принятых по умолчанию законов.
Накопление большого объема информации в цифровом виде привело к созданию
новых условий для доступа, переработки, хранения и передачи этих потоков
информации.
Это
дало
толчок
к
созданию
новых
технологий:
созданию
вычислительной техники – для обработки и хранения информации; новых носителей
информации, созданных на базе нанотехнологий, – для хранения информации;
формированию различных цифровых каналов (трактов) и линий цифровой сети связи –
для высокоскоростной передачи информации (больших потоков информации) на
различные расстояния и обеспечения безопасности связи и информации; Интернет –
сеть доступного пользования для всех потребителей информации.
Решение
этой
задачи,
по
мнению
направлениях.
2
автора,
происходит
в
следующих
Первое, «упаковка информации» - это применение нанотехнологий для создания
новых носителей информации и новой вычислительной техники, позволяющей
увеличить количество единиц информации на единицу объёма (площади).
Второе, «сжатие информации» - это введение новых символов и раскрытие
законов,
описывающих
числовую
последовательность
цифровой
информации,
позволяющей существенно снизить объем хранилищ, повысить степень защиты
информации.
Третье, «каталогизация» - это выделение общих признаков, характеризующих
индивидуальность каждой информации, позволяющей увеличить скорость обработки и
доступа к ней с целью её быстрого извлечения из хранилища.
Четвертое,
«синтез
информации»
-
это
создание
новых
числовых
последовательностей, на основе раскрытых законов, позволяющих получить утерянную
или неизвестную информацию.
3. Нелинейные преобразования цифровой информации
3.1.
Аддитивная
и
мультипликативная
форма
математического
представления цифровой информации
Для того чтобы подвергать исходную информацию обработке и сжатию, её
необходимо
математически
описать
и
сделать
необходимые
нелинейные
преобразования.
Пусть исходная информация представлена в виде некоторой числовой
последовательности:
(1) а0 , а1 , а2 ,..., аn2 , аn1 , аn ,
где аi – символы, отображающие запись информации, выраженные через целые
рациональные числа, а (n +1) – количество числовых символов, т.е. длина числовой
последовательности.
Пусть дан степенной ряд в виде возвратной последовательности следующего
вида:
(2) x n , x n1 , x n2 ,..., x 2 , x,1 ,
где x – произвольная переменная.
Сделаем
искусственные
нелинейные
преобразования.
Свяжем
числовую
последовательность (1) со степенным рядом (2) следующей зависимостью:
(3) а0 x n  а1 x n1  а2 x n2  ...  аn2 x 2  аn1 x  аn .
Выражение (3) представляет из себя сумму степенных функций, нелинейно
связанных с числовой последовательностью (1), что соответствует аддитивной форме
3
математического представления цифровой информации. При этом положение числа в
числовой последовательности (1) однозначно определяется показателем степени
степенных функций.
Выражение (3) является многочленом n-й степени и обозначается Pn (x) , т.е.
(4) Pn ( x)  а0 x n  а1 x n1  а2 x n2  ...  аn2 x 2  аn1 x  аn .
Выражение (4) представило исходную информацию (1) в функциональную
зависимость в виде многочлена n-й степени Pn (x) . Это позволяет перейти к
следующему этапу нелинейных преобразований для получения новой числовой
последовательности, в которой её члены можно располагать в произвольном порядке,
удобном для дальнейшей обработке и сжатию.
Решением многочлена Pn ( x)  0 , является решение алгебраического уравнения
(5) а0 x n  а1 x n1  а2 x n2  ...  аn2 x 2  аn1 x  аn  0 ,
где а0 , а1 , а2 ,..., аn2 , аn1 , аn - коэффициенты уравнения (5) и являются данными, x
- называется неизвестным и является искомым. Пусть x1 , x2 ,..., xn2 , xn1 , xn – все n корней
уравнения (5), а также корни многочлена Pn (x) . В дальнейшем для простоты расчетов
будем полагать а0  1 . Тогда уравнение (5) можно представить в следующем виде:
(6) ( x  x1 )( x  x2 )...( x  xn1 )( x  xn )  0 .
При этом корни уравнения (6) связаны с коэффициентами а0 , а1 , а2 ,..., аn2 , аn1 , аn
следующей зависимостью:
n
(7) x1  x2  ...  xn   xi  а1 ,
i 1
x1 x2  x1 x3  ...  xn1 xn 
n
x x
i
i , j 1( i j )
x1 x2 x3  x1 x3 x4  ...  xn2 xn1 xn 
j
 а2 ,
n
x x x
i j k
i , j ,k 1( i j k )
 а3 ,
.................................................................
n
x1 x2 ...xn   xi  (1) n аn .
i 1
Корни уравнения (6) представляют из себя новую числовую последовательность,
как правило, комплексных чисел:
(8) x1 , x2 ,..., xn2 , xn1 , xn .
4
Перейдя к данному виду представления информации, мы уходим от зависимости
местоположения члена исходной числовой последовательности (1) от показателя
степени неизвестного x .
Корни xi многочлена Pn (x) в выражении (8) могут быть «перетасованы» в любой
произвольной последовательности. Их местоположение не влияет на вычисление
значений исходной числовой последовательности (1).
Выражение (6) соответствует мультипликативной форме математического
представления цифровой информации.
Комплексные числа в числовой последовательности (8) являются теми
объектами, которые будут подвергаться дальнейшей обработке и сжатию. Чтобы
проводить дальнейшие преобразования с ними, необходимо ознакомиться с их
свойствами.
3.2. Свойства комплексных чисел и разнообразие форм их записи и
представления
Очень
важно,
что
у
уравнения
с
действительными
коэффициентами
комплексные корни могут являться только парами.
Пусть x1 , x2 ,..., xn2 , xn1 , xn – все n корней уравнения (6) являются комплексными.
При этом, если n  2k , то мы будем иметь k пар комплексно-сопряженных
корней:
(9) xi  аi  jbi , xi*  аi  jbi ,
где аi – реальная часть, bi – мнимая часть комплексных корней, j   1 , а
i  arctg (bi a ) , i  аi2  bi2 ,
i
где i – аргумент, а  i – модуль комплексных корней, а xi xi* - пара комплексносопряженных корней.
Классическая форма записи комплексных чисел представлена в (9) в виде двух
слагаемых: реальной и мнимой части.
Вторая форма записи комплексных чисел в виде показательных функций
представлена в выражении (10) :
(10) xi   i e ji , xi*   i e  ji .
Используя формулу Муавра, выражение (10) можно представить в виде
слагаемых двух тригонометрических функций. Это третья форма записи комплексных
чисел, которая представлена в выражении (11):
5
(11) xi  i Cosi  i Sini , xi*   i Cosi   i Sini .
Так как у уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни
могут являться только парами, т. е. комплексно-сопряженными, то половину этих
корней можно в дальнейшем отбрасывать от рассмотрения, в виду избыточности
информации, содержащейся в них.
В частности рассмотрим две последовательности, а именно, последовательность
модулей и последовательность аргументов комплексных чисел, представленных,
соответственно, в выражении (12) и (13):
(12) 0 , 1 ,  2 ,...,  k 2 ,  k 1 ,  k ,
(13) 0 , 1 , 2 ,..., k 2 , k 1 , k ,
для n  2k .
В силу того, что в последовательности (13) скрыта периодичность, а именно,
Cosi  Cos(i  2k ) ,
то мы вправе преобразовывать эту последовательность в любую другую,
удобную для математического описания, отнимая или добавляя к каждому члену
выражения (13) любой период 2πk .
Разнообразие форм записи и представления комплексных чисел позволяет
исходную числовую последовательность (1) преобразовать в разнообразные другие
числовые последовательности, удобные для их математического описания.
3.3. Векторное представление комплексных корней
Другая удобная форма представления комплексных чисел в виде векторов на
комплексной
плоскости.
Она
позволяет
наглядно
увидеть
как
нелинейные
преобразования с комплексными числами меняют структуру расположения векторов на
комплексной плоскости и, соответственно, приводящие к изменению структуры
коэффициентов многочлена, а, следовательно, и к изменению исходной информации.
При решении уравнения n-й степени с рациональными коэффициентами (6) мы
получаем n комплексно-сопряженных корней x1 , x2 ,..., xn2 , xn1 , xn , которые можно
представить в виде n векторов на комплексной плоскости. В общем случае
комплексный
корень
имеет
модуль  i и
аргумент i произвольной
Комплексные корни в виде векторов представлены на рис.1.
6
величины.
Рис. 1. Векторное представление комплексных корней.
Большой интерес представляют комплексные корни с единичными модулями
при решении симметрических уравнений с рациональными коэффициентами и в
частности при решении уравнения n-й степени с единичными коэффициентами,
который мы подробно рассмотрим в разделе базовые многочлены.
3.4. Исследование зависимости структуры коэффициентов многочлена от
изменения структуры его корней
Корни x1 , x2 ,..., xn2 , xn1 , xn многочлена n – степени Pn (x) однозначно отображают
структуру его коэффициентов. Рассмотрим, как изменение структуры корней
многочлена влияет на изменение структуры его коэффициентов.
Исследование
этой
зависимости
поможет
понять,
какие
нелинейные
преобразования необходимо сделать с корнями многочлена, коэффициенты которого
отображают исходную информацию, чтобы получить такой набор коэффициентов,
который был бы удобен для математического описания.
Для упрощения записи и дальнейших исследований представим многочлен
Pn (x) в виде произведения двух векторов n – мерного пространства:
(14) Pn ( x)  A  B ,
где A  (а0 , а1 , а2 ,..., аn2 , аn1 , аn ) - вектор-столбец
коэффициентов
многочлена
Pn (x) , а B  (b0 , b1 , b2 ,..., bn2 , bn1 , bn ) - вектор-строка степенных функций вида: b j  x n j ,
где j  1,2,3,..., n .
Решением Pn ( x)  0 , является нахождение произведения A  B  0 . Произведение
двух векторов n – мерного пространства равно нулю тогда и только тогда, когда оба эти
вектора ортогональны друг другу. Решением уравнения (14) будет нахождение следа
(сечения этих двух векторов в пространстве) в виде n – мерного вектора корней
многочлена X  ( x1 , x2 ,..., xn2 , xn1 , xn ) .
7
Рассмотрим, что происходит со структурой коэффициентов многочлена n –
степени, когда его вектор корней изменяется по определенному закону. Пусть
решением исходного многочлена P1n ( x) с коэффициентами A  (а0 , а1 , а2 ,..., аn2 , аn1 , аn )
является
n
–
мерный
вектор
его
корней
X  ( x1 , x2 ,..., xn2 , xn1 , xn ) ,
а
Y  ( y1 , y2 ,..., yn2 , yn1 , yn ) - n – мерный вектор корней нового многочлена P2 n ( x) с
коэффициентами C  (c0 , c1 , c2 ,..., cn2 , cn1 , cn ) . Пусть корни многочлена P2 n ( x) связаны с
корнями многочлена P1n ( x) следующей функциональной зависимостью:
(14) Y  k ( x, j )  X , где yi  k ( x, j )  xi .
Подставив
в
(14)
C  (c0 , c1 , c2 ,..., cn2 , cn1 , cn ) нового
(15),
многочлена
получим,
что
P2 n ( x) связаны
с
коэффициенты
коэффициентами
A  (а0 , а1 , а2 ,..., аn2 , аn1 , аn ) исходного многочлена P1n(х) следующей функциональной
зависимостью:
(15) C  A  F , где F  ( f 0 , f1 , f 2 ,..., f n2 , f n1 , f n ) и f i  k i ( x, j ) .
Таким образом, исходя из (14) и (15) коэффициенты многочлена P2 n ( x) связаны с
коэффициентами многочлена P1n ( x) следующей функциональной зависимостью:
(16) ci  k i ( x, j )  ai , где j  1,2,3,..., n .
Формула (16) распространяется на все случаи, независимо от того, к какому
полю чисел принадлежат корни многочлена. При этом, если
k ( x, j )  1 ,
то
F  ( f 0 , f1 , f 2 ,..., f n2 , f n1 , f n ) превращается в единичный вектор и C  A , следовательно,
равны корни многочленов P2 n ( x) и P1n ( x) и, соответственно, равны коэффициенты этих
многочленов.
Таким образом, управляя корнями многочлена, мы управляем структурой его
коэффициентов. Следовательно, можно утверждать, что всегда найдется такая функция
f i  k i ( x, j ) которая точно отобразит необходимую для нас структуру коэффициентов
,
многочлена. Если в качестве базы взять многочлен P1n ( x) с вектором коэффициентов
A  (а0 , а1 , а2 ,..., аn2 , аn1 , аn )
и,
решением
которого
является
вектор
корней
X  ( x1 , x2 ,..., xn2 , xn1 , xn ) , то задача отождествления структур других многочленов
будет сводиться только к поиску класса функций f i  k i ( x, j ) .
Рациональные коэффициенты многочлена могут быть подвержены различным
алгебраическим действиям, что позволяет представить структуру многочлена в виде
8
набора нескольких функциональных зависимостей, в частности, в виде набора ряда
базовых многочленов.
3.5. Многообразие способов изменения структуры корней многочлена
Разнообразие форм записи и представления комплексных чисел позволяет
исходную
числовую
последовательность
преобразовать
в
другие
числовые
последовательности, удобные для их математического описания. Это, в свою очередь,
позволяет так защитить исходную информацию, что она практически не подлежит
расшифровке, если неизвестен закон обратного нелинейного преобразования.
Векторное представление является самым наглядным способом для зрительного
восприятия изменения структуры корней многочлена. Так как корни являются
комплексно-сопряженными, то на комплексной плоскости они располагаются в виде
векторов симметричных друг другу относительно реальной оси. Достаточно повернуть
верхнюю половину этих комплексных векторов на некоторый угол, задаваемый
определенным законом, как это приведет к изменению структуры коэффициентов
многочлена. Изменение масштабности реальной и мнимой оси комплексной плоскости
по заданному закону, поворот комплексной плоскости на определенный угол и многое
другое – все это приводит к нелинейным преобразованиям комплексных корней.
Даже самые незначительные изменения векторов на комплексной плоскости
приводят к серьезным нелинейным преобразованиям структуры коэффициентов
многочлена. Исследования показали, что преобразованная последовательность чисел не
коррелированна с исходной последовательностью и значит, может быть использована
для защиты при передаче и хранении исходной информации.
Теоретически любую исходную информацию, любой длины (рис.2), можно
преобразовать в однородную информацию, состоящую из одинаковых чисел (рис.3).
Рис. 2. Исходная информация представлена в виде изображения автомобиля.
9
Рис. 3. Черный квадрат Малевича.
4. Базовые многочлены
4.1. Базовые многочлены и их свойства. Анализ условий разложения
основного базового многочлена
В качестве базового многочлена Pn (x) n-й степени может быть использован
любой многочлен с произвольными коэффициентами. Нам необходимо только знать
его корни. На практике вычисление корней многочлена для больших значений степени
n является трудоемкой задачей и требует приближенных методов вычисления. Чтобы
этого избежать, в качестве базовых необходимо использовать такие многочлены, корни
которого можно точно вычислять по формуле. В главе 3.4 было показано, как по
заданным корням одного многочлена можно получить корни другого многочлена.
В качестве основного базового многочлена
Pn (x) n-й степени возьмем
многочлен, коэффициенты которого представлены в виде единичного вектора
A  (1,1,1,...,1) который имеет вид:
,
n
(17) Pn ( x)  x n  x n1  x n2  ...  x 2  x  1 или Pn ( x)   x i .
i 0
Пусть
x1 , x2 ,..., xn2 , xn1 , xn – все n корней уравнения (5), а также корни
многочлена Pn (x) , которые вычисляются по формуле:
(18) xi  e ji где i  2i
(n  1) и
i  1,2,3,..., n
.
Разложение многочлена общего вида (4) на множители (другие многочлены)
одна из важнейших задач для понимания природы плотного сжатия исходной
информации. Это позволяет многочлен n – степени Pn (x) , отображающего исходную
информацию, представить в виде произведения нескольких многочленов. Такая
мультипликативная
преобразовать
форма
исходную
представления
информацию,
но
многочлена
и
разбить
позволяет
исходную
не
только
числовую
последовательность на m других последовательностей меньшей длины. Когда длина
10
исходной информации n очень велика, то вероятность ее математического описания
снижается. Уменьшение количества символов в числовой последовательности
значительно увеличивает эти шансы.
С другой стороны, мультипликативная связь этих многочленов позволяет
рассматривать их в любой последовательности отдельно, независимо друг от друга.
При этом присутствует внутренняя связь между коэффициентами всех многочленов,
каждый из которых несет в себе историю об исходной информации. Эта внутренняя
связь между коэффициентами всех многочленов подвержена математическому
описанию.
В дальнейшем увидим, что один и тот же многочлен может быть разложен на
другие многочлены в различных сочетаниях и различной длины.
Чтобы все это понять, рассмотрим условия разложения многочлена на
множители на примере основного базового многочлена.
Лемма 1. Многочлен вида (17) разлагается на множители (другие многочлены),
если число его членов (n+1) разлагается на простые числа, т.е.:
(n  1)  m1  m2  m3  ...  m p
,
где mi - простое число.
Тогда многочлен вида (17) можно представить в виде произведения «p»
многочленов:
n
m1 1
m2 1
m p 1
i 0
j 0
k 0
t 0
Pn ( x)   x i   x m0 j   x m0m1k  ...   x
m0 m1...m p t
,
где m0  1 и в общем виде принимает вид:
p 1 mk 1 1
n
Pn ( x)   x i  
i 0
k 0
x
k
 mt
j
t 0
j 0
.
При этом количество вариантов разложения многочлена вида (17) будет равно
числу перестановок элементов вектора M  (m1 ; m2 ; m3 ;...; m p ) , т.е. будет равно «p!» факториал.
Многочлены вида (17), число членов которых (n+1) не являются простыми
числами, разлагаются на множители вида:
t
(19) Pn ( x)   x mi ,
i 0
t
(20) Pn ( x)   (1)i 1  x mi ,
i 0
где m  1,2,..., M ; t  1,2,..., T и n  m  t , где n – степень многочлена Pn (x) .
11
Корни многочлена (19) вычисляются по формуле:
(21) xi  e ji , где i  2 (3  i  p)
(t  1)  m или
i  2 (3  i  p) (n  m) ,
а корни многочлена (20) вычисляются по формуле:
(22) xi  e ji , где i  2 [(t  1)  i  p]
(t  1)  m

m,
где i  1,2,3,..., n и p  1,2,3,..., t .
Многочлены вида (19) и (20) также являются базовыми.
4.2. «Золотое сечение» в разложении многочленов. Рациональные и
иррациональные коэффициенты в разложении многочленов
Фундаментальное свойство золотого сечения, единство аддитивности и
мультипликативности, - было открыто в 1202 г. математиком Фиббоначчи. Все эти
свойства ярко проявились при анализе разложения базового многочлена.
Общая формула разложения основного базового многочлена n-й степени вида
(17) на многочлены, где присутствуют коэффициенты в виде «золотого сечения».
Для n  5 p  k  1
n
k 1
i 0
i 0
p
2
(23) Pn ( x)   x i  x i   ( x 2 k5  (1) p  F ( 1)  x k5  1)
где F 
p i
p i
p
i 1 p 1
,
5 1
.
2
Известны четыре вида основных пропорций: арифметическая, геометрическая,
гармоническая и золотые сечения. Все эти виды пропорций и связи наглядно
проявились при анализе базового многочлена (17), который можно также представить в
другой мультипликативной форме в виде произведения квадратных многочленов с
действительными коэффициентами для n ≥ 2.
Для n  2k
n
k
(24) Pn ( x)   x i   ( x 2  d i  x  1)
i 0
i 1
k
, где
d
i 1
i
 B1
k
и

(d i  d j )
i , j 1
2  di  d j
 B3
Для n  2k  1
n
k
i 0
i 1
(25) Pn ( x)   x i  ( x  1)   ( x 2  d i  x  1)
k
, где
 di  B2
i 1
k
и
di
(d
i , j 1
j

dj
di
)  B4
,
где B1 , B2 , B3 , B4 – целые рациональные числа и i  j .
4.3. Многочлен - основа системы счисления
Рассмотренные нами многочлены общего вида (4) являются основой для любой
системы счисления. При этом основанием системы счисления является неизвестное x, а
12
числовая последовательность (1) представляет из себя коэффициенты этой системы
счисления.
Все рассмотренные нелинейные преобразования, которые осуществлялись с
исходной информацией, одинаково действуют для любой системы счисления. Поэтому
все это справедливо и для двоичной системы счисления.
Представив исходную цифровую информацию в виде многочлена Pn (x) и
разложив на множители, можно получить m других цифровых последовательностей в
том же двоичном коде. Эта мультипликативная форма представления многочлена
позволяет «перетасовать» эти m последовательностей в любом порядке без потери
исходной информации. При передаче в канале связи эти цифровые последовательности
будут восприниматься как некая другая информация, кардинальным образом
отличающаяся от исходной, что является хорошей ее защитой.
5. Частотный спектр базовых многочленов
5.1. Понятие частотного спектра многочлена
Для последовательности аргументов в выражении (13) ставится в соответствие
последовательность косинусов и синусов этих аргументов, т.е. Cosi и Sin i , которая
представляет из себя условные гармоники, у которых вместо частоты и времени
является аргумент комплексного числа.
Вводим новое понятие – спектр многочлена. Данное понятие необходимо для
отображения индивидуальности исходной информации. Под «спектром многочлена»
понимается совокупность гармонических составляющих аргументов комплексных
корней данного многочлена. Совокупность этих гармонических составляющих будет
отождествлять в виде спектра индивидуальность исходной информации.
5.2. Свойства частотного спектра базового многочлена
Рассмотрим последовательность синусов и косинусов. Рассмотрим свойства
данного
частотного
произведение
спектра.
косинусов.
Для
Данное
этого
вычислим
понятие
произведение
необходимо
для
синусов
и
отображения
индивидуальности исходной информации. Под «спектром многочлена» понимается
совокупность гармонических составляющих аргументов комплексных корней, которые
представляют из себя условные гармоники, у которых вместо частоты и времени
является аргумент комплексного числа, исключив из рассмотрения Cosi  0 и
Sini  0 .
Во всех случаях суммы углов частотного спектра всех базовых многочленов
одинаковой длины равны между собой. Сумма углов частотного спектра в радианах:
13
n
Sug    i    n
i 1
.
6. Заключение
В бесконечном «море чисел», любую их последовательность, какое бы
искусственное происхождение она не имела, всегда можно отождествить с некоторым
физическим явлением или процессом, природа и закон которого на сегодняшний день
не проявились и, следовательно, нам не известны. Постоянный процесс познания
окружающего нас мира постепенно приоткрывает их тайны и позволяет нам
математически их описывать.
Проводимые в настоящее время работы по совершенствованию и развитию
системы связи, информатизации и автоматизации повседневной деятельности органов
управления различных уровней направлены на внедрение в деятельность должностных
лиц перспективных информационных и телекоммуникационных технологий. В связи с
этим особое значение приобретает вопрос определения нового перечня услуг связи,
предоставляемых должностным лицам органов и пунктов управления.
Предложенный подход по нелинейному преобразованию позволяет существенно
снизить объем информации, хранящийся в памяти робототехники.
14