08-05-03

08-05-03. Корни многочленов
1. Определение корня многочлена.
В теории многочленов важную роль играет понятие корня.
Корнем многочлена P ( x ) называется всякое число a , для которого
значение P (a ) равно нулю.
Пример 1. Число 2 является корнем многочлена P( x)  x3  6 x 2  12 x  8 , так как
P(2)  23  6  22  12  2  8  8  24  24  8  0 .
Пример 2.
Действительно,
Число
2 1
является
корнем
многочлена
P( x)  x 2  2 x  1 .
P( 2  1)  ( 2  1) 2  2  ( 2  1)  1 
 ( 2) 2  2  2  1  2  2  2  1  (2  1  2  1)  (2  2  2  2)  0  0  0
Многочлен может вовсе не иметь корней. Например, выражение x 2  1
положительно при любом значении x . Следовательно, многочлен x 2  1 никогда не
обращается в нуль.
Бывают многочлены, имеющие 2, 3 и более различных корней. Например,
выражение ( x  1)( x  2)( x  4) обращается в нуль при x  1 , x  2 и x  4 .
2. Корни многочленов первой степени.
Рассмотрим многочлен первой степени P( x)  ax  b , где a , b — фиксированные
числа, причем a  0 . Число k является корнем этого многочлена, если выполняется
равенство a  k  b  0 . Таким образом, число k является решением линейного уравнения
ax  b  0 .
Умея решать линейные уравнения, мы тем самым можем находить корни
многочленов первой степени.
Пример 3. Пусть Q( x)  4 x  3 .
Составим уравнение 4z  3  0 . Отсюда 4z  3 , z   34 . Следовательно, многочлен
Q( x)  4 x  3 имеет единственный корень x1   34 .
3. Корни многочленов второй степени.
Решая квадратное уравнение ax 2  bx  c  0 , где a  0 , мы находим такие числа, при
которых значение многочлена P( x)  ax 2  bx  c равно нулю. Это значит, что корни
многочлена P( x)  ax 2  bx  c второй степени можно искать как корни соответствующего
квадратного уравнения.
Пример 4. Пусть P( x)  6 x 2  7 x  2 . Составим уравнение 6 x 2  7 x  2  0 и
выполним преобразования:
7
2

6  x 2  x    0
6
6

2
x2  2 
2
7
7 7 2
x     
12
 12   12  6
2

7  49  2  2 12
x




122
 12 
2

7  1
x


 2
 12  12
Найденные числа x1  23 и x2 
x1 
7 1 2
  
12 12 3
x2 
7 1 1
  
12 12 2
1
2
являются корнями многочлена P( x)  6 x 2  7 x  2 .
Пример 5. Пусть P( x)  x 2  x  3 . Запишем квадратное уравнение x 2  x  3  0 . Для
нахождения корней выпишем дискриминант этого уравнения D  (1)2  4  3  11  0 .
Следовательно, как было показано в третьей главе, данное уравнение не имеет
действительных решений. Поэтому многочлен P( x)  x 2  x  3 не имеет действительных
корней.
4. Теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.
Часто коэффициентами многочлена являются целые числа. В этом случае перебором
элементов из конечного множества чисел удается либо найти рациональные корни этого
многочлена, либо доказать, что рациональных корней не существует.
Этот перебор основывается на следующей теореме, известной как теорема Гаусса.
Пусть P( x)  an x n  an 1 x n 1    a1 x  a0 , где a0 , a1 , ..., an — целые числа, причем
an  0 , a0  0 . Несократимая дробь
p
q
может быть корнем многочлена P ( x ) только в
том случае, когда число q является делителем коэффициента an при старшей
степени x , и число p является делителем свободного члена a0 .
Пример 6. Рассмотрим многочлен P( x)  2 x3  x 2  6 x  3 .
Пусть несократимая дробь
p
q
является корнем многочлена P ( x ) . Тогда по теореме
гаусса число p является делителем целого числа -3, а число q — делителем целого числа
2. Следовательно, нужно выбирать число p только из набора чисел {11 33} , а
положительное число q только из набора чисел {1 2} .
Таким образом, рациональные корни данного многочлена следует искать среди
дробей
1 1 3 3 1 1 3 3
       
2 2 2 2 1 1 1 1
Вычислим для этих чисел значения многочлена P ( x ) :
1
P  
2
 1
P  
 2
3
P 
2
 3
P 
 2
P(1)
P(1)
P(3)
P(3)
2
2 
1 1
1
 2  6   3  0
3
2 2
2
1 1
1
1
 2  6   3  12 
3
2 2
2
2
3
2
3
1
3 3
 2        6   3  10 
2
2
2 2
3





2
3
3 3
2        6   3  21
2
2 2
2  1  6  3  4
2  1  6  3  12
2  33  32  6  3  3  60
2  33  32  6  3  3  84
Проверка показывает, что из рациональных чисел только число x1  12 является
корнем многочлена P( x)  2 x3  x 2  6 x  3 .
Пример 7. Рассмотрим многочлен P( x)  2 x 2  5 x  2 .
Пусть несократимая дробь
p
q
является корнем многочлена P ( x ) . Тогда по теореме
Гаусса число p является делителем целого числа 2, а поэтому может принимать одно из
следующих значений:
1 1 2 2
Число q является делителем коэффициента при x 2 , то есть делителем числа 2.
Поэтому положительное значение числа q может быть либо 1, либо 2.
Таким образом, рациональные корни данного многочлена следует искать среди
чисел
1 1
  1 1 2 2
2 2
Проверка показывает, что
1
1
1
P    2  2  5   2  0
2
2
2
P(2)  2  4  5  2  2  0
Следовательно, x1  12 и x2  2 –это все корни многочлена 2 x 2  5 x  2 .
5.* Проследим доказательство теоремы Гаусса на примере
P( x)  4 x3  17 x 2  16 x  3 .
Предположим, что несократимая дробь
выполняется равенство
3
p
q
2
многочлена
является корнем многочлена P ( x ) . Тогда
 p
 p
p
4     17   16  3  0
q
q
q
Домножим обе части на q 2 , получаем
4 p3  17 p 2 q  16 pq 2  3q3  0
Отсюда
17 p 2 q  16 pq 2  3q 3

4 p3 
q (17 p 2  16 pq  3q 2

4 p3 
17 p 2  16 pq  3q 2

4 p2

q
В левой части этого равенства целое число, а поэтому число
как числа p и q взаимно просты, то
4 p3
q
4 p3
q
также целое. Но так
может быть целым только в том случае, когда
число 4 делится на q . Поэтому положительное число q может принимать только одно из
следующих значений: 1, 2, 4.
Аналогично из равенства
4 p3  17 p 2 q  16 pq 2  3q  0
получаем
4 p 3  17 p 2 q  16 pq 2  3q 3 
0
2
2
p (4 p  17 pq  16q )
 3q 3
4 p2 17 pq 16q2

3q 2

p
Из последнего равенства следует, что 46,65mm47,83mm05z13.pc x число
Но так как числа p и q взаимно просты, то
3
3q
p
3q3
p
целое.
может быть целым только в том случае,
когда число 3 делится на p . Поэтому целое число p может принимать только одно из
следующих значений:
1 1 3 3
В
результате
получаем,
что
рациональные
корни
многочлена
3
2
P( x)  4 x  17 x  16 x  3 следует искать среди чисел:
1 1 3 3 1 1 3 3
           1 1 3 3
4 4 4 4 2 2 2 2
Контрольные вопросы и задания
1. Что называется корнем многочлена?
2. Сколько корней может иметь многочлен?
3. Сколько корней имеет многочлен первой степени ?
4. Сколько корней может иметь многочлен второй степени ?
5. В чем состоит теорема Гаусса о рациональных корнях многочленов с целыми
коэффициентами?
Задачи и упражнения
1. Пусть P ( x ) и Q ( x) — два многочлена, причем a — корень многочлена P ( x ) . Всегда
ли a будет корнем многочлена P( x)  Q( x) ? При каком условии a будет корнем
многочлена P( x)  Q( x) ?
2. Является ли корнем многочлена
а) 3x 12 число -3 ?
б) 0 5 x  3 число 6 ?
в)
г)
д)
е)
x 2  10 x  20 число 5  5 ?
x 2  3 x  2 число 3 ?
x3  x 2  3x  1 число 1  2 ?
x3  3x 2  2 число 2  3 ?
3. Найдите корни многочленов:
а) 2x 1б) ; 2x  3 в) ; 7 x  3 ;
г) x 2  5 x  6 д) ; x 2  8 x  15 е) ; 2 x 2  2 x  1 ;
ж) 2 x 2  9 x  5 .
4. Составьте многочлен первой степени, корнем которого является число:
в) б) -0,2; а) 7; 2 г) ; 1  2 3 .
5. Составьте многочлен второй степени, корнями которого являются числа:
б) 7 и а) 3 и -2; 52 в) ; 1  5 и 1  5 ;
г) 13 и 54 .
6.*Составьте многочлен второй степени с целыми коэффициентами, один из корней
которого равен:
а) 7 б) ; 3  2 .
7. Найдите рациональные корни многочлена:
а) x3  2 x 2  x  2 ;
б) x3  6 x 2  15 x  14 ;
в) 2 x 3  4 x 2  x  15 ;
г)  6 x 4  x3  7 x 2  x  1 ;
д)  x 4  4 x3  2 x 2  12 x  9 .
8.*Какие из чисел
б) - а) 3; 32 г) в) 17;
;  23
могут быть корнями многочлена 2 x3  mx 2  nx  21 с целыми коэффициентами m и n ?
Ответы и указания
Задача 7  . Указания. а) Заметим, что ( 7) 2  7 , поэтому искомым многочленом
будет x 2  7  0 .
б) Рассмотрим многочлен вида P( x)  ( x  (3  2))( x  a) . В результате получим:
( x  (3  2))( x  a)  x 2  (a  3  2) x  a(3  2) . Отсюда видно, что если a  2  b , где
b — целое число, то в результате коэффициент при x будет целый. Подставляя вместо a
x 2  (b 2  b  3  2) x  ( 2  b)(3  2)  x 2 
P( x)
число
получим:
2 b в
Поэтому если b  3 , то P ( x ) — многочлен с целыми
коэффициентами: P( x)  x 2  6 x  7 .
Задача 8. Указание. В силу теоремы Гаусса корнями многочлена 2x3  mx 2 
(b  3)  2(3  b) .
nx  21 с целыми коэффициентами могут быть несократимые дроби qp , где p является
целым делителем числа 21, а q — натуральным делителем числа 2. Таким образом,
искомые дроби могут содержаться только среди дробей 1, 12 , 1 ,  12 , 3, 32 , 3 ,  32 , 7, 72 ,
7 ,  72 , 21, 212 , 21 ,  212 . Поэтому только варианты а) и б) являются подходящими.