ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В
advertisement
Лекция №6 СПЕКТРАЛЬНОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Основные свойства автокорреляционной функции стационарного случайного процесса Перечислим основные автокорреляционной стационарного (в широком случайного процесса. свойства функции смысле) 1. Автокорреляционная функция является четной функцией, ССП K x K x Это свойство вытекает из симметричности корреляционной функции. 2. Значение автокорреляционной функции при 0 равно дисперсии ССП: K x 0 D x 3. При автокорреляционной стремится к нулю, т.е. значение функции K x 0 4. Значение автокорреляционной 0 функции ССП при всегда больше или равно ее значенью при 0 , т.е. K x 0 K x Типичная кривая корреляционной функции ССП, иллюстрирующая перечисленные выше свойства этой функции, представлена на рисунке. K x Dx 0 Асимптотическое приближение к нулю при не всегда происходит монотонно, могут быть случаи, когда значения корреляционной функции колеблются около нуля, приближаясь к нулю при увеличении. Отношение K x rx Dx называется нормированной корреляционной функцией ССП. Величину rx иногда называют коэффициентом корреляции ССП. Функция rx обладает теми свойствами, что и автокорреляционная функция. Коэффициент корреляции является четной функцией аргумента. Максимальное значение rx 0 1 соответствует 0 . Выполняется неравенство rx 1 и при любом значении причем rx . rx 0 при Для ССП всегда можно указать такое 0, что при 0 случайные величины X t X t для любого t можно и считать практически некоррелированными, т.е. K x 0 0 . Величина 0 называется интервалом корреляции и определяется либо долей от rx 0 1 , либо половиной ширины основания прямоугольника единичной высоту площадь которого ровна площади под кривой коэффициента корреляции В первом случае для определения решают уравнение: rx rx 1 0 Во втором - для определения интеграл 0 вычисляют 1 0 rx d rx d 2 0 r x 1 0 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ Безынерционное нелинейное преобразование Случай безынерционного преобразования самый простой при исследовании нелинейных цепей. При этом сигнал на выходе цепи t определяется значением входного сигнала t в тот же момент времени t t q t Здесь q t некоторая нелинейная функция t t t Для аппроксимации функции q t применяют разные методы. К наиболее употребительным относятся: полиномиальный, метод аппроксимации кусочно-ломанной характеристикой, трансцендентными функциями (экспонентой, синусоидой и т.д.). Предположим, нам известна ПРВ f x случайной величины и нам надо найти ПРВ случайной величины q в какой-то момент времени . Предположим снова, что существует однозначная обратная функция q 1 . Это справедливо, если q - монотонно возрастающая или убывающая функция. Будем при этом исходить из того, что, если величина находится в интервале x0 , x0 x то величина обязательно будет в интервале y 0 , y 0 ,y где y 0 qx0 y 0 y qx0 x Нелинейное преобразование примерно постоянна 0 0 0 Тогда равны и вероятности этих двух событии: В f y y f x0 x этом случае предполагаем, что интервалы и малы x и y ПРВ в них примерно постоянно. Переходя к пределу x, y 0 , получаем: f y dy f x dx или 1 dq y dx 1 f y f x f q y dy dy Поскольку плотность вероятности – величина положительная, а в случае убывающей функции q 1 y производная будет отрицательна, то в формулу надо поставить модуль производной. Таким образом, f y f q 1 y dq 1 y dy Более сложным является случай, когда зависимость q y не является монотонной функцией. В этом случае не существует однозначной обратной функции q 1 y : каждому значению у соответствует несколько значений х. Пусть будут две ветви функции 1 q11 y q и 2 y . q 1 y В этом случае вероятность попадания на интервал y 0 , y 0 y равна сумме вероятностей попадания на интервалы x1 , x1 dx и x 2 , x 2 dx : f y dy f dy f x1 dx1 f x 2 dx2 Выразив х через у, окончательное выражение: получим 1 1 d q y d q2 y 1 1 1 f y f q1 y f q2 y dy dy Если ветвей обратной функции много, то выражение примет вид: 1 d qi y 1 f y f qi y dy i 1 n
