Основы вычислительной математики Предмет

Основы вычислительной
математики
Предмет
Разработка, исследование и практическое применение
методов приближенного решения математических задач.
Литература:
- Б.П. Демидович, И.А. Марон «Основы
вычислителной математики»
- Г.И. Марчук «Методы вычислительной
математики»
Тема 1. Приближенные числа
•
•
•
•
Определение 1. Приближенным числом называется число,
незначительно отличающееся от точного и заменяющее последнее в
вычислениях. Приближенное число будем обозначать ‘a’, точное число
буквой ‘A’.
Определение 2. Погрешностью приближенного числа ‘а’ (∆a)
называют разность А-а.
Определение 3. Абсолютной погрешностью числа ‘а’ называют модуль
погрешности, то есть |А-а|.
Определение 4. Предельной абсолютной погрешностью
приближенного числа называют любое число ∆а не меньшее ее
абсолютной погрешности (∆а ≥ ∆).
/* Стремятся выбрать его как
можно меньшим в сложившихся условиях. */
Соотношения, вытекающие из определений
•
∆=|A-a|≤∆а --> a - ∆а ≤ A ≤ a + ∆а /* показать на доске ) */
Пример. Определим предельную погрешность числа 3.14,
заменяющего число π , если известно, что 3.14 < π < 3.15.
Так как число π может быть любой точкой из интервала (3.14, 3.15),
длина которого 0.01, то погрешность числа π может быть любой
величиной из интервала (0.0, 0.01). В силу определения, предельная
абсолютная погрешность должна быть не меньше любого из этих
чисел, а тогда получаем ∆а = 0.01.
Если сложившиеся условия немного поменять 3.14 < π < 3.142 , то
можно получить лучшую оценку абсолютной погрешности, а именно:
∆а = 0.002.
•
•
Определение 5. Относительной погрешностью δ приближенного числа
а называют отношение абсолютной погрешности к модулю точного
значение, т. е. δ = ∆ / |A|.
Определение 6. Предельной относительной погрешностью δа
приближенного числа считают любое число, не меньшее
относительной погрешности δ.
Соотношение, вытекающие из определений.
•
δ ≤ δa , ∆ / |A| ≤ δa  ∆ ≤ |A| δa . Отсюда ∆а = |A| δa . На практике А≈а.
Тогда ∆а = |а| δa . С учетом определения предельной абсолютной
погрешности |а|* δa ≥ |A – a| , откуда легко получить границы для
точного значения:
а(1 – δa) ≤ А ≤ а(1+ δa).
Взаимосвязь абсолютной и относительной
погрешностей
Будем считать, что А>0, a>0, ∆а < a. Тогда можно записать
1) δ= ∆/А ≤ ∆а /( a - ∆а ). Отсюда следует, что, зная предельную
абсолютную погрешность ∆а, можно определить предельную
относительную погрешность как
δа = ∆а / (а - ∆а)
Аналогично получаем
2) ∆ = А*δ ≤ (а + ∆)δа  ∆ ≤ a* δа + ∆ * δа Отсюда получаем, ∆(1- δа) ≤ a* δа
далее ∆ ≤ a* δа /(1 - δа). Значит, зная предельную относительную
погрешность δа можно получить предельную абсолютную погрешность
∆а = a* δа /(1 - δа).
Упрощенный вариант полученных формул. Если принять, что ∆а << a, δа <<1,
тогда δа = ∆а / а,
∆а = а* δа .
Основные источники погрешностей
1)
2)
3)
4)
5)
Погрешности, возникающие при решении математических зада имеют
различную природу.
Погрешность задачи,
Погрешность остаточная (из-за наличия бесконечных процессов),
Погрешность начальная (из-за наличия физических констант),
Погрешность округления (конечность разрядной сетки),
Погрешность действий (+, -, *, /).
Десятичная запись, значащие цифры, число верных знаков
Всякое число в десятичной система счисления можно представить в виде а =
αm10m + αm-110m-1 + αm-210m-2 + … + αm-n+110m-n+1 + … , где αm ≠ 0.
Определение 7. Значащей цифрой числа называют любую цифру в ее
записи, отличную от нуля, но и ноль, если он стоит между ненулевыми
цифрами, или служит для обозначение сохраненных разрядов.
Пример. 0.002080 Первых три нуля – незначащие, остальные нули значащие. Последний потому, что он сигнализирует, что число записано с
точностью до миллионных.
Определение 8. Говорят, что ‘n’ первых значащих цифр приближенного числа
являются верными, если абсолютная погрешность этого числа не
превышает половины единицы разряда , выражаемого n-ой значащей
цифрой, считая слева направо.
На математическом языке это можно записать, если Δ=| A-a | ≤ 0.5*10m-n+1,
то первые n цифр αm, αm-1, αm-2, …, αm-n+1 числа а являются верными.
Пример. Точное число А=35.97, а=36.00. Число а имеет три верных
цифры.
| A-a | = 0.03 < 0.5 * 0.1 = 0.5* 10 -1. Так как m=1 для числа А,
m-n+1=-1  1-n+1=-1  n=3.
Связь относительной погрешности приближенного
числа с количеством верных знаков
Теорема. Если приближенное число ‘а’ имеет n верных знаков, то

1
m
(
1 n1
)
10
/* доказать на доске */
Следствие 1. За предельную относительную погрешность можно принять
1
m
(
1 n1
)
10
Следствие 2. Если число ‘a’ имеет не менее 2-х верных значащих цифры,
то за предельную относительную погрешность можно взять
1 1 n1
величину
( )
2 m 10
Пример. Какова предельная погрешность, если вместо π взять 3.14?
В данном случае αm = 3, n = 3 (верных знака), тогда
δa = [1/(2*3) ] * (1/10)n-1 = 1/600 = 1/6 %.