y 1 S

Олигополия - 3
Модель Штакельберга
Сопоставление равновесия с равновесием модели
Курно
Вариации модели Бертрана:
дифференцированные товары, ограничение по
мощностям
Варианты соглашений между
олигополистами: картель и сговор
Как известно, в модели Штакельберга фирма,
занимающая лидирующее положение, делает свой
выбор первой.
Дает ли лидирующее положение реальное
преимущество, и как оно сказывается на положении
конкурента (последователя)?
Мы ответим на этот вопрос, доказав три утверждения.
Введем стандартные обозначения:
y1C, y2C
– равновесные выпуски фирм 1 и 2
при конкуренции по Курно
y1S, y2S
– равновесные выпуски фирм 1 и 2
при конкуренции по Штакельбергу
(предположим, лидером является фирма 1)
π1С, π2С, π1S, π2S
– прибыли фирм 1 и 2 в соответствующих
равновесиях
Утверждение 1: π1S ≥ π1С (прибыль лидера в Sравновесии не меньше, чем в C-равновесии).
Доказательство:
Поскольку фирма-лидер ходит первой, она в
принципе может выбрать любой уровень
выпуска, в том числе y1S = y1C.
Наилучшим ответом фирмы 2 на y1C будет y2C
 выпуски будут такими же, как в
равновесии по Курно, а значит и
прибыли будут такими же: π1S = π1С.
Утверждение 2: y2S ≤ y2C (выпуск ведомого в Sравновесии не больше, чем в С-равновесии).
Доказательство:
запишем утверждение 1 как неравенство:
PD(y1S + y2S)y1S – c1(y1S) ≥ PD(y1C + y2C) y1C – c1(y1C)
(1)
Заметим, что при конкуренции по Курно выпуск y1C
является наилучшим ответом фирмы 1 на y2 = y2C. То
есть, при конкуренции по Курно никакой другой выпуск (в
том числе y1S) не принесет фирме 1 больше прибыли:
PD(y1C + y2C)y1C – c1(y1C) ≥ PD(y1S + y2C)y1S – c1(y1S)

(2)
Из левой части (1) и правой части (2) получаем:
PD(y1S + y2S) y1S – c1(y1S) ≥ PD(y1S + y2C) y1S – c1(y1S)
 PD(y1S + y2S) y1S ≥ PD(y1S + y2C) y1S
(предположим, y1S > 0)
 PD(y1S + y2S) ≥ PD(y1S + y2C)
 y2S ≤ y2C, что и требовалось
доказать.
Утверждение также верно и для y1S = 0.
Утверждение 3: y1S ≥ y1C (выпуск лидера в S-равновесии
не меньше, чем в C-равновесии), если функция реакции
фирмы 2 убывает в диапазоне, включающем y1S и y1C.
Доказать этот факт довольно сложно (энтузиасты могут
обратиться, например, к учебнику В. П. Бусыгина,
Е. В. Желободько и А. А. Цыплакова).
Однако, графический
анализ равновесия
по Штакельбергу
наглядно
показывает
справедливость
этого утверждения
Ценовая конкуренция:
за рамками модели Бертрана
Классическая модель ценовой конкуренции Бертрана дает
довольно странные прогнозы: при малом числе фирм, их
экономическая прибыль оказывается нулевой. Этот вывод
обусловлен, во-первых, предпосылкой об однородности товара,
а во-вторых, предпосылкой об одинаковой и постоянной отдаче
от масштаба.
Отказ от этих предпосылок существенно влияет на анализ ценовой
конкуренции. Мы рассмотрим следующие варианты:
• Ценовая конкуренция с дифференциацией продукта
• Ценовая конкуренция с ограничением по производственным
мощностям
Модель ценовой конкуренции с
дифференцированным продуктом
• товары являются близкими, но не совершенными субститутами (в
силу, например, транспортных издержек или качества товара,
обслуживания и т.п.)
• Cпрос на товар фирмы 1:
q1  p1, p2   a  bp1  dp2
• Спрос на товар фирмы 2:
q2  p1, p2   a  bp2  dp1
0d b
 если фирмы повысят цену на одинаковую
величину, объем продаж упадет у обеих
a  c  b  d   при цене на уровне предельных издержек, спрос
положителен
• фирмы одновременно и независимо выбирают цену, которую
назначат за свой товар
• предельные издержки постоянны, одинаковы и равны c
Задача фирмы i:
max  pi  c   a  bpi  dp j 
pi
Функция реакции фирмы i:
pi 
F.O.C. для внутренних
решений:
a  2bpi  dp j  bc  0
a  bc  dp j
2b
NB! функция реакции возрастает по цене, назначенной
конкурентом. Вычислив функцию реакции второй фирмы и
решив систему, мы получим, что:
a  c b  d 
a  bc
p1*  p2 * 
c
c
2b  d
2b  d
Как видим, в равновесии прибыли фирм положительны
Ценовая конкуренция с ограничением по
производственным мощностям
• Две фирмы, производящие однородный товар, конкурируют путем
одновременного выбора цен
• Спрос на их товар линеен: P(q) = a – bq
• Предельные издержки постоянны, одинаковы и равны c
• Производственные мощности фирм ограничены:
q1  K1, q2  K2, K2  K1  (a – c)/b
В этом случае, p1 = p2 = c не является равновесием по Нэшу, что можно
показать следующим образом. Предположим, обе фирмы
установили цену на уровне c, и одна из них (например, фирма 1)
решает отклониться. Т.к. K2  (a – c)/b, на рынке существует
остаточный спрос - покупатели, которые не смогли купить товар по
цене c. Отклоняющаяся фирма максимизирует прибыль с учетом
этого остаточного спроса:
a  c  bK 2
 a  p1

max 
 K 2  ( p1  c )  p1* 
 c   *1  0
p1
2
 b

Т.е., даже без анализа равновесия (который в этой модели довольно
сложен) видно, что прибыли не будут нулевыми!
Конкурировать или договориться?
Альтернативой олигополистической конкуренции может
быть соглашение, регулирующее цены/объемы
производства с целью увеличения совокупной
прибыли отрасли. Мы будем выделять два типа
соглашений:
1) Картель – соглашение с возможностью
перераспределять прибыль
2) Сговор – соглашение без такой возможности
Перспективы обоих вариантов соглашений мы
рассмотрим на примере модели Курно.
Отмеченная на графике точка С
соответствует равновесию при конкуренции
по Курно.
Однако, если каждая фирма снизит свой
выпуск (перейдя в область, отмеченную на
графике красной стрелкой), прибыль обеих
фирм возрастет!
y2
y1 ( y2 )
y2
M
С
y2 ( y1 )
0
y1M
 существует возможность
взаимовыгодного соглашения,
ограничивающего
конкуренцию.
y1
Задача картеля и ее решение
Фирмы, входящие в картель, фактически действуют как одно
предприятие, решая задачу максимизации совокупной прибыли:
N
max p D ( y1  ...  y N )( y1  ...  y N )   ci ( yi )
y1 ,... y N 0
i 1
Неудивительно, что условия первого порядка такой задачи
напоминают те, что мы видели в задаче монополии с несколькими
заводами:
 p D '(Y )Y  p D (Y )  c1 '( y1 )  0, y1  0 или p D (Y )  c1 '(0)

...
 p D '(Y )Y  p D (Y )  c '( y )  0, y  0 или p D (Y )  c '(0)
N
N
N
N

Мы видим, что у тех участниц картеля, которые действительно
что-то производят, предельные издержки должны совпадать.
Решение задачи картеля: пример
Проиллюстрируем решение задачи картеля на хорошо знакомом
примере: дуополия, линейная функция спроса, постоянные и
одинаковые предельные издержки.
Задача картеля:
max (a  by1  by2 )( y1  y2 )  cy1  cy2
y1 , y2 0
F .O.C.
для внутренних
решений :
a  2by1  2by2  c
ac
 y1 *  y2 * 

2b
a  2by1  2by2  c
Видно, что оптимальный выпуск этого картеля должен быть равен
монопольному, причем его можно распределять между участницами
картеля любым образом, т.к. обе фирмы обладают одинаковыми
технологиями с постоянной отдачей от масштаба.
Проиллюстрируем это решение графически:
Зеленая линия представляет
ac
y *  y2 * 
собой график уравнения 1
2b
Обратите внимание: в любой точке на этой линии изопрофиты
участниц картеля касаются друг друга
 невозможно увеличить прибыль одной
фирмы, не снизив прибыли другой, прибыль картеля
действительно максимизируется!
y2
естественно, для других функций спроса и
издержек решение задачи картеля могло бы
выглядеть и иначе…
y2M
Когда формирование картеля
могло бы привести к росту
совокупного выпуска?
0
y1M
y1
Сговор
В случае сговора фирмы-участницы не могут
перераспределять прибыль – т.е. прибыль каждой зависит
от того выпуска (квоты), которая будет ей установлена.
Размер этих квот – это предмет для торга.
Пусть y1C… yNC – уровни выпуска фирм в равновесии по
Курно (ради упрощения, мы будем считать, что если хотя
бы одна фирма не согласится на сговор, они продолжают
конкурировать по Курно).
Искомые квоты (y1*… yN*) должны удовлетворять двум
условиям:
1)
 i ( y1*,..., y N *)   i ( y1C ,..., y N C ), i  1... N
2) Не должно быть возможности увеличить чью-то
прибыль, не уменьшая прибыли остальных.
Сговор: переговорное множество
Вариантов сговора, как правило,
несколько. То, какой из них
реализуется, зависит от
процедуры переговоров и
переговорной силы участников.