Комментарии к презентации: «Геометрические задачи в ГИА 2012 года» Слайд 2:

Комментарии к презентации:
«Геометрические задачи в ГИА 2012 года»
Слайд 2: Государственная итоговая аттестация в 9 классе продолжает
совершенствоваться - экзамен за курс основной школы будет проходить по
математике, в отличие от предыдущих лет, когда основное внимание
уделялось только алгебре.
В контрольные измерительные материалы ГИА включаются задания по
геометрии, теории вероятности, статистике; станет больше практических
заданий, в которых проверяется общематематическая компетентность
выпускника.
Я слежу за выходом демоверсий, и это заставляет совершенствовать
формы преподавания и формы контроля знаний. Мною рассмотрен вариант
демоверсии 2012 г.
Слайд 3. В демонстрационном варианте модели 2012 г. в первой части
сохраняется 18 заданий, но помимо привычных заданий по алгебре, теории
вероятности и статистике, есть четыре задачи по геометрии. Количество
заданий во второй части сохраняется, из пяти предложенных, есть две задачи
по геометрии, причем одна из них на доказательство геометрического факта.
Основной акцент сделан на проверку освоения математических компетенций
(в первую очередь на умение решать практические задачи, применять
математические знания).
При подготовке к экзамену, особое внимание следует уделить
геометрии, так как даже к первой части необходимо изучить весь
теоретический материал и уметь применять полученные знания на практике.
Слайд 4. Для примера рассмотрим демонстрационный вариант
экзаменационной работы для проведения в 2012 году государственной
(итоговой) аттестации (в новой форме) по Математике.
Рассмотрим одно из заданий 1-й части.
Укажите номера верных утверждений:
1
1) Диагонали параллелограмма равны.
2) Два различных диаметра окружности пересекаются в точке,
являющейся центром этой окружности.
3) Сумма углов трапеции равна 360°.
4) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению
катетов.
5) Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению
противолежащего катета к гипотенузе.
Ответ: 235.
Слайд 5. Подобное задание, несмотря на то, что оно находится в 1
части осложнено своим объемом информации. К примеру, каждый ученик
знает, что площадь треугольника равна половине произведения основания на
высоту, но не каждый помнит, что для прямоугольного треугольника эта
формулировка видоизменяется до половины произведения катетов. Так же
требует более тщательной отработки вопрос о точке пересечения диаметров
окружности, требующий визуализации знаний. Немаловажным остается
верное понимание задания, приходится отрабатывать фразу «верно», «не
верно». Для того, что бы запланировать тему, мне необходимо знать на какой
именно материал придется сделать упор, для дальнейшего упрощения задачи
ученикам при сдаче экзамена.
Особенности этого задания заключаются в следующем:
1.
Для выполнения этого задания необходимо знать:
2.
Свойства параллелограмма.
3.
Свойства окружности.
4.
Свойства трапеции.
5.
Формулу площади прямоугольного треугольника.
6.
Формулу нахождения sin острого угла.
2. В отличие от ГИА по физике, существует возможности выбора
нескольких вариантов.
При подготовке к ГИА необходимо отработать навыки решения
2
подобных задач, причем обратить внимание на такую особенность, что в
задании может быть как фраза «Укажите номера верных утверждений», так
и фраза «Укажите номера НЕ верных утверждений».
Слайд 6. Рассмотрим задачу из части 2.
Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса AD пересекает
медиану ВК в точке Е, при этом BD:CD = 3:2. Найдите площадь
четырехугольника EDCK (решение задачи в презентации).
Слайд 7. Для решения данной задачи необходимо знание свойств
медианы, биссектрисы, формулы площади треугольника.
Предлагаю решить ученикам задачу. Анализируя итоги, выделяю
затруднения. Отрабатываем с учениками элементы западающих тем.
Предлагаю решить задачу еще раз, видоизменив данные, прошу обменяться
тетрадями, даю на доску критерии оценивания. Ученики устраивают
самопроверку.
Слайд 8. Критерии оценивания.
Критерии
оценивания
выполнения задания
Баллы
Решение задачи верное, все его
шаги обоснованы, получен верный
4
ответ
Решение задачи в целом верное,
получен верный ответ, но решение
обосновано
недостаточно;
или:
решение задачи в целом верное, но
допущена
ошибка,
одна
из-за
3
вычислительная
которой
получен
неверный ответ
3
Другие
случаи,
не
соответствующие указанным выше
0
критериям
Максимальный балл
Слайд 9.
4
Хочется
сказать несколько
слов о
геометрической
составляющей в ЕГЭ.
В последнее время увеличивается геометрическая составляющая
раздела «С». Из шести задач экзамена ЕГЭ 2011 года задачи С2 и С4 - по
геометрии: С2 - задача по стереометрии, С4 - по планиметрии.
Слайд 10. Стоит заметить, что в ЕГЭ 2011 года и задача С5: Найдите
все положительные значения а, при каждом из которых система
имеет
единственное решение).
2
2

 х  5   y  4  4

2
2

x  2  y  a
фактически является также геометрической, соответствуя таким разделам
планиметрии как «Окружность» и «Координатный метод». Таким образом,
решение половины заданий группы «С» требует знания геометрии.
Старый выпускной школьный экзамен был обязательным только по
алгебре, а по геометрии он был по выбору, проводился в устной форме и
содержал
вопросы
на
знание
теории
и
одну
несложную
задачу.
Теоретический и задачный материал выпускного экзамена включал разделы
только стереометрии. Курс
заканчиваться
планиметрии изучался в 7-9 классах и мог
необязательным «теоретическим» экзаменом, в 10 – 11
классах к планиметрии не возвращались и использовали только для решении
стереометрических задач.
Я считаю, что повышение значимости геометрии в ЕГЭ – верное
решение. Если в разделе С сохранятся задачи из геометрии, то изучению
этого предмета будет уделяться достойное место в курсе среднего и старшего
4
звена, что будет способствовать всестороннему развитию мышления
учащихся.
Слайд 11. Рассмотрим задачу по геометрии одного из вариантов ЕГЭ
2011 года.
Задача С4 (планиметрическая, максимальный балл — 3). Прямая,
перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает
от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите
радиус
окружности,
если
отрезок
прямой,
заключенный
внутри
треугольника, равен 6, а отношение боковой стороны треугольника к его
основанию равно 5/6.
Слайд 12. У данной задачи существует два решения в зависимости от
чертежа. Решения привожу в комментариях (приводится с помощью формул
тригонометрии).
Рассмотрим решение относительно рис. 1.
«Обозначим ABC   . Тогда cos  
BC
3
4
 , sin   , AC  AB  sin   4x
2 AB 5
5
. Так как BO – биссектриса треугольника ABE, то
OE
BE

,
AE  OE AB
3
2
следовательно OE   x . Пусть прямая MN перпендикулярна AB, касается
окружности, пересекает АВ в точке М, а АС – в точке N (рис. 1).
MAN  1800  2 ,
sin MAN  sin 2  2 sin  cos  
cos MAN 
24
,
25
7
.
25
7
4
Тогда в треугольнике AMN MN=6, AM  , AN 
четырехугольника
суммы
противоположных
25
. У описанного
4
сторон
равны:
7
21
7 
25 

.
BC  MN  BM  CN ; 6 x  6   5 x     5 x   , откуда находим: x  , OE 
2
4
4 
4 

Решение задачи для рис.2.
5
Пусть прямая MN перпендикулярна AB, касается окружности,
пересекает АВ в точке М, а ВС в точке N (рис.2). В прямоугольном
треугольнике
NMB
четырехугольника
AC  MN  AM  CN ;
Ответ:
NBM   , MN  6, BM 
суммы
9
15
, BN  .
2
2
противоположных
У
описанного
сторон
равны:
9
9 
15 

5 х  6   5 х     6 х   , откуда находим: х  3, ОЕ  .
2
2 
2

9
21
или ».
2
4
Слайд 13. Задачу можно решить
еще
и
без
применения
формул
тригонометрии.
Если
учащийся
заметил,
что
окружность является вневписанной для
прямоугольного треугольника ANM, то
он может найти ее радиус, используя
формулу для радиуса вневписанной
окружности:
7
6
S
AM  MN
21
4
ra 



p  a AM  AN  MN 7  25  6 4
4 4
Слайд 14. Далее идет таблица критериев, согласно которой ученик
получает:
3 балла — за верный ответ;
2 балла - за верное рассмотрение одного из двух случаев;
1 балл - за рассмотрение хотя бы одного из возможных случаев,
содержащее арифметическую ошибку, приведшую к неверному ответу.
Слайд 15. Важно, что ученик должен быть готов к тому, что задача
6
имеет не одно возможное решение и уметь применять навыки решения задач
к подобным.
Для этого необходимо:
1.
На уроках геометрии, разобрать не простую задачу, для
которой легко создать подобную, после чего предложить учащимся в
качестве домашнего задания самостоятельно придумать несколько
подобных задач и решить их. На следующем уроке необходимо
уделить внимание разбору домашней работы и авторов лучших задач
поощрить положительной отметкой.
2.
Решить на уроке (или задать на дом) несколько весьма
простых задач, в которых требуется рассмотреть два или более вариантов решения.
Слайд 16. Результат подобной работы:
1.
Отработка навыков применения знаний, полученных на
уроках.
2.
Развитие творческой активности учащихся.
3.
Выработка умений и навыков быстрого нахождения связей
между уже решенными и новыми, более трудными, задачами.
Слайд 17. Примеры некоторых задач такого вида.
АВ 2

Задача 1. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем АС 3 .
Найдите АВ, если АС =15. (Два варианта.)
Задача 2. Точки А, В и С лежат на одной прямой, причем точка С
расположена вдвое дальше от одной из точек А и В, чем от другой. Найдите
АВ, если АС = 18. (Четыре варианта.)
Задача 3 . Катет прямоугольного треугольника равен 5, а один из углов
в два раза больше другого. Найдите периметр треугольника. (Три варианта.)
Задача 4. Даны два подобных треугольника. Стороны первого равны 8;
10 и 16. Одна из сторон второго равна 2. Найдите периметр второго
треугольника. (Три варианта.)
7
Задача 5 . В угол вписаны две касающиеся друг друга окружности
радиусов 3 и 9. Найдите радиус третьей окружности, вписанной в угол и
касающейся одной из данных окружностей. (Два варианта.)
Задача 6. Радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а наименьшее
расстояние от точки на одной окружности до точки на другой равной 1.
Найдите расстояние между центрами этих окружностей. (Два варианта.)
Задача 7. Две окружности радиусов 4 и 9 касаются между собой.
Прямая MN касается этих окружностей соответственно в точках М и N.
Найдите радиус третьей окружности, касающейся двух данных окружностей
и прямой MN. (Два варианта.)
Задача 8. Центры трех попарно касающихся друг друга окружностей
являются вершинами прямоугольного треугольника. Радиусы двух из этих
окружностей равны соответственно 2 и 3. Найдите радиус третьей
окружности. (Два варианта.)
Задача 9. Две стороны треугольника равны 39 и 20, а высота,
опущенная на третью сторону, равна 15. Найдите площадь треугольника.
(Два варианта.) Задача 10. Две стороны треугольника равны 39 и 20, а
высота равна 15. Найдите площадь треугольника. (Четыре варианта.)
Слайд 18 – 29. В последующих слайдах приведены в качестве примера
задачи, которые можно использовать на уроках, в качестве одного из этапов
подготовки к ЕГЭ (задачи на окружности, треугольники, трапеции и
параллелограммы). На параллелограммах мне хотелось бы немножко
остановиться, вернувшись к изучению теоретической части на уроке, с целью
подготовки к ГИА и ЕГЭ.
Слайд 30. Существует другой вид системной работы над темой,
составленный на основе планирования.
Задача этой работы: достижение положительных результатов.
Я решила взять для примера одну из достаточно сложных тем и
рассмотреть возможность систематизации знаний, для достижения лучшего
результата при усвоении материала. Рассмотрим пример систематизации
8
знаний на теме «Параллелограмм».
Слайд 31. Применим для наглядности презентацию, в которую собран
весь
основной
материал,
касающийся
этой
темы
(демонстрация
презентации).
Такого типа презентацию можно использовать так же на уроках
обобщения материала.
Слайд 32. Даю прямое определение параллелограмма, визуализирую
его, далее работа над понятием идет в другом контексте, в виде
доказательства.
Слайд 33, 34. Свойства параллелограмма четко сформулированы и
визуализированы.
Слайд 35, 36, 37, 38. Признаки параллелограмма.
Я столкнулась с такой проблемой, что учащиеся не умеют записывать
условия задачи, которые, как известно, являются одной из важнейших
составляющих верного решения.
Слайд 39 – 42. Предлагаю ученикам задачи на готовых чертежах.
Постановка задачи: 1. Запись условия; 2. Решение с пояснениями; 3. Ответ.
Слайд 43. Предлагаю на рассмотрение еще один вид систематизации
знаний – кроссворд. Для решения его необходимо системное усвоение
пройденного раздела.
Слайд 44. Ответы.
Слайд 45. Изучение геометрии в 7 – 9 классе влечет за собой развитие
образного и логического мышления,
что является одним из важнейших
факторов в достижении успеха в дальнейшем обучении.
Слайд 46.
Список литературы, необходимой для подготовки к ГИА 2012.
1. Обязательный минимум содержания основного общего
образования по математике.
2. Федеральный
компонент
государственного
стандарта
общего образования. Математика. Основное общее образование.
9
3. Математика 9 класс. Подготовка к ГИА 2012. Под ред. Ф. Ф.
Лысенко, Ф. Ю. Калабухова.
4. Геометрия. Сборник заданий для проведения экзамена в 9
классе. А. Д. Блинков, Т. М. Мищенко.
5. ЕГЭ
2011.
Математика:
типовые
экзаменационные
варианты / И.Р. Высоцкий [и др.]; под ред. А.Л. Семенова и И.В.
Ященко. — М.: 1 Национальное образование, 2010.
6. Гордин Р.К. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С4. Геометрия.
Планиметрия / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. - М.:
МЦНМО, 2011.
7. Потоскуев Е.В, Звавич Л.И. Геометрия, 10 класс: задачник
для
общеобразовательных
учреждений
с
углубленным
профильным изучением математики / под науч. ред.
и
А.Р.
Рязановского. - М.: Дрофа, 2003-2011.
8. Потоскуев Е.В, Звавич Л.И. Геометрия: контрольные и
проверочные работы. 10-11 классы. - М.: Дрофа, 2007.
9. Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Геометрия в таблицах. 7-11
кл.: справ, пособие. — М.: Дрофа, 1997-2011.
10.
Потоскуев Е.В, Звавич Л.И. Геометрия. 10 класс:
учеб. для общеобразовательных учреждений с углубленным и
профильным изучением математики / под науч. ред. А.Р.
Рязановского. - М.: Дрофа, 2003-2011.
11.
Смирнов В.А. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2.
Геометрия. Стереометрия / под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко. М.: МЦНМО, 2011.
12.
Цифровые образовательные ресурсы.
10