Инверсия – раз

Инверсия – раз
Инверсия – два
0. Нарисуйте образ окружности и двух касательных к ней, проведенных из одной точки, при инверсии а) относительно точки пересечений касательных; б) относительно
точки касания; в) относительно центра окружности.
11.
Теорема Птолемея. Докажите, что во вписанном четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению его диагоналей.
1.
Нарисуйте образ треугольника и его высот при инверсии. Для красоты можно
добавить описанную вокруг треугольника окружность.
12.
Сумма противоположных углов A и C четырехугольника ABCD равна 90°. Докажите, что (AB×CD)2+(AD×BC)2=(AC×BD)2.
2.
В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите
ГМТ их точек касания (сделайте инверсию относительно угла сегмента).
13.
3.
В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей. Рассмотрим множество прямых, проходящих через их точки пересечения. Докажите,
что все такие прямые проходят через одну точку ( сравните с предыдущей задачей. Догадайтесь, что за точка. Решите двумя способами – инверсия относительно угла сегмента и относительно искомой точки).
Теорема Фейербаха. Докажите, что окружность, проходящая через середины
сторон треугольника, касается его вписанной и трех вневписанных окружностей
(сделайте инверсию относительно середины стороны так, чтобы окружность инверсии проходила через точку касания вписанной окружности).
14.
На отрезке АВ отмечена точка М и на отрезках АВ и АМ как на диаметрах построены по одну сторону от прямой АВ полуокружности С1 и С2. Окружность С3 касается полуокружностей С1 и С2 и перпендикуляра а, восставленного к прямой АВ в
точке М. Докажите, что общая касательная к окружностям С2 и С3 проходит через
точку В.
15.
Окружность касается внутренним образом окружности, описанной около треугольника ABC , а также его сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Докажите, что центр вписанной в треугольник ABC окружности лежит на отрезке PQ.
4.
Построить окружность, касающуюся данной прямой ℓ и проходящую через две
заданные точки А и В.
5.
а) Постройте окружность, касающуюся данной окружности S и проходящую через
две заданные точки А и В. б) Докажите, что через любые две точки, лежащие
внутри окружности, можно провести только две касающиеся ее окружности.
6.
Постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей S1 и S2, и проходящую через заданную точку А.
7.
Задача Аполлония (как он её решал, не зная инверсии?). Постройте окружность, которая касается трех
данных. Когда это возможно, а когда нет?
8.
На окружности w выбраны точки A и B. Рассматриваются всевозможные пары касающихся окружностей w1 и w2, лежащих внутри w, таких, что w1 касается w в точке A, а w2 касается w в точке B. Найдите
ГМТ точек касания окружностей w1 и w2.
9.
Четыре окружности расположены так, что первая касается второй в точке A, вторая третьей – в точке B, третья четвёртой – в точке C, а четвёртая первой – в точке
D. Все касания внешние. а) Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности. б) а могут ли они лежать на одной прямой?
10.Даны четыре окружности S , S , S , S . Пусть S
1 2 3 4
1 и S2 пересекаются в точках A1 и A2,
S2 и S3 — в точках B1 и B2, S3 и S4 — в точках C1 и C2, S4 и S1 — в точках D1 и D2 (рис.).
Докажите, что если точки A1, B1, C1, D1 лежат на одной окружности S (или прямой),
то и точки A2, B2, C2, D2 лежат на одной окружности (или прямой).
16. Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN . Около треугольников — лучей звезды описали
окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных
от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.
17. Дана окружность и точка P внутри нее, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке P . Найдите
геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим
окружностям.
18. Напишите преобразование комплексной плоскости, соответсвующее инверсии
относительно а) единичной окружности с центром в начале координат; б) произвольной окружности.
19.
Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, лежат на од𝑎−𝑐
ной прямой тогда и только тогда, когда число
, называемое простым отно𝑏−𝑐
шением трех комплексных чисел, вещественно.
20.
Докажите, что точки, соответствующие комплексным числам a, b, c, d, лежат на
одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда чис𝑎−𝑐 𝑏−𝑐
ло
:
, называемое двойным отношением четырех комплексных чисел, ве𝑎−𝑑 𝑏−𝑑
щественно.