kos_1x

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ
Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего
профессионального образования «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского
Союза В.А. Петрова»
Утверждаю
Заместитель директора по учебной
работе
________________ Г.Г. Агаджанов
«___» _____________20__г.
Комплект контрольно-оценочных средств
по учебной дисциплине
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
основной профессиональной образовательной программы
по специальности СПО 230115 «Программирование в компьютерных системах»
Согласовано
Зав. методическим кабинетом
________________Г.А. Белоусова
«___»_____________ 2013 г.
Разработчик:___________________
Обсуждено на заседании цикловой
комиссии «____________________»
«___»_______________2013 г.
Протокол №___
Председатель цикловой комиссии
_______________/_______________
Ставрополь, 2013
1
Комплект контрольно-оценочных средств разработан на основе Федерального
государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по
специальности СПО230115, программы учебной дисциплины элементы высшей
математики
Разработчики: Глебова Л.Н., Марченко В.Ф. – преподаватели государственного
бюджетного образовательного учреждения среднего профессионального образования
«Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»
Одобрено на заседании цикловой комиссии
_________________________________________________________
Протокол №_______ от «_____» _________ 20____г.
Председатель ПЦК ________________________ /______________/
Одобрено Методическим советом колледжа
Протокол №_______ от «_____» _________ 20____г.
2
Содержание
1. Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств .......................................................... 3
2. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке .................................. 4
3. Оценка освоения учебной дисциплины................................................................................. 7
3.1. Формы и методы оценивания .....................................................................................................7
3.2. Типовые задания для оценки освоения учебной дисциплины ................................................8
3.2.1. Типовые задания для оценки знаний ............................................................................. 8
3.2.2. Типовые задания для оценки знаний для промежуточной аттестации ................... 14
4. Контрольно-оценочные материалы для итоговой аттестации по учебной дисциплине.20
Приложение................................................................................................................................ 25
Задания для оценки освоения дисциплины............................................................................. 25
Литература……………………………………………………………………………………..129
3
1. Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств
В результате освоения учебной дисциплины элементы высшей математики
обучающийся должен обладать предусмотренными ФГОС по специальности СПО 230115
Программирование в компьютерных системах следующими умениями, знаниями, которые
формируют профессиональную компетенцию, и общими компетенциями:
У 1 - выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;
У 2 - решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на
плоскости;
У 3 - применять методы дифференциального и интегрального исчисления;
У 4 - решать дифференциальные уравнения;
У 5 - пользоваться понятиями теории комплексных чисел;
З 1- основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;
З 2- основы дифференциального и интегрального исчисления;
З 3- основы теории комплексных чисел.
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии,
проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного
развития.
ОК 5. Использовать
информационно-коммуникационные
технологии
в
профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами,
руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за
результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития,
заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной
деятельности.
ОК 10. Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных
профессиональных знаний (для юношей).
Формой аттестации по учебной дисциплине является экзамен
2. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке
2.1. В результате аттестации по учебной дисциплине осуществляется комплексная проверка
следующих умений и знаний, а также динамика формирования общих компетенций:
4
Таблица 1.1
Результаты обучения: умения, знания и
общие компетенции
Уметь:
У 1 - выполнять операции над матрицами
и решать системы линейных уравнений;
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных
задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование
информации, необходимой для эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационнокоммуникационные
технологии
в
профессиональной деятельности.
У 2 - решать задачи, используя уравнения
прямых и кривых второго порядка на
плоскости;
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных
задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных
и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
У 3. применять методы
дифференциального и интегрального
исчисления;
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных
задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 7. Брать на себя ответственность за
работу членов команды (подчиненных), за
результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи
профессионального и личностного развития,
заниматься самообразованием, осознанно
планировать повышение квалификации.
У 4 - решать дифференциальные
уравнения;
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных
задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 6. Работать в коллективе и в команде,
Показатели оценки результата
Форма контроля и
оценивания
- выполнение действий над матрицами:
сложение,
вычитание,
умножение,
умножение матрицы на число
-вычисление определителей
- решение систем линейных уравнений
методом обратной матрицы
- решение систем линейных уравнений
по формулам Крамера
- решение систем линейных уравнений
методом Гаусса
Устный опрос
Самостоятельные
работы;
практические
работы
контрольные
работы;
- Выполнение действий над векторами:
сложение и вычитание векторов,
умножение вектора на число
- Нахождение скалярного, векторного и
смешанного произведения векторов
- Составление уравнений прямых и
кривых 2 порядка, их построение
Устный опрос
Самостоятельные
работы;
практические
работы
контрольные
работы;
-Вычисление предела функции в точке и
в бесконечности
- Исследование функции на
непрерывность в точке
- Нахождение производной функции
- Нахождение производной сложной
функции
- Вычисление производной неявной
функции. Логарифмическое
дифференцирование Производная
функции, заданной параметрически.
- Исследование функции с помощью
производной и построение графика
- Нахождение неопределенных
интегралов
-Интегрирование функций, содержащих
квадратный трехчлен. Интегрирование
рациональных функций
- Вычисление определенных интегралов
-Вычисление площадей фигур с
помощью определенного интеграла
-Исследование сходимости
положительных, знакочередующихся
рядов
Разложение функции в степенной ряд
-Решение дифференциальных уравнений
первого и второго порядка (перечислить
виды)
Устный опрос
Самостоятельные
работы;
практические
работы
контрольные
работы;
Устный опрос
Самостоятельные
работы;
практические
работы
5
эффективно
общаться
с
руководством, потребителями.
коллегами,
У 5 - пользоваться понятиями теории
комплексных чисел;
ОК
2.
Организовывать
собственную
деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных
задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК
4.
Осуществлять
поиск
и
использование информации, необходимой
для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационнокоммуникационные
технологии
в
профессиональной деятельности.
Знать:
З1 - основы математического анализа,
линейной алгебры и аналитической
геометрии;
ОК 1. Понимать сущность и социальную
значимость своей будущей профессии,
проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных
задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных
и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 6. Работать в коллективе и в команде,
эффективно
общаться
с
коллегами,
руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за
работу членов команды (подчиненных), за
результат выполнения заданий.
- Производить действия с комплексными
числами в алгебраической,
тригонометрической, показательной
формах.
- Осуществлять геометрическую
интерпретацию комплексного числа.
-Переводить комплексные числа из
одной формы в другую.
З2 - основы дифференциального и
интегрального исчисления;
ОК
4.
Осуществлять
поиск
и
использование информации, необходимой
для
эффективного
выполнения
профессиональных
задач,
профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационнокоммуникационные
технологии
в
профессиональной деятельности.
- Воспроизводить методы вычисления
пределов, замечательные пределы
- Классифицировать точки разрыва
функции
Воспроизводить
правила
дифференцирования и производные
основных элементарных функций
- Воспроизводить алгоритм построения
графиков
функций
с
помощью
производной
- Называть табличные интегралы.
Решать интегралы методом замены
переменной, интегрированием по частям.
-использовать приложение
определенного интеграла к вычислению
площадей плоских фигур, объемов тел
вращения, пути, пройденного точкой
З3 - основы теории комплексных чисел
ОК 3. Принимать решения в стандартных
и нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
- Представлять комплексного числа в
алгебраической, тригонометрической,
показательной формах, выполнять
действия в них.
Устный опрос
Самостоятельные
работы;
практические
работы
- Воспроизводить алгоритмы решения
систем линейных уравнений методом
обратной матрицы, по формулам
Крамера, методом Гаусса
- Воспроизводить Скалярное, векторное
и смешанное произведения векторов
- Определять уравнения кривых второго
порядка
6
3. Оценка освоения учебной дисциплины
3.1. Формы и методы оценивания
Предметом оценки служат умения и знания, предусмотренные ФГОС по дисциплине
Элементы высшей математики, направленные на формирование общих и
профессиональных компетенций.
Оценка освоения дисциплины Элементы высшей математики включает текущий
контроль успеваемости, итоговую аттестацию в виде экзамена. Проведение текущего
контроля успеваемости осуществляется в форме устных опросов, письменных заданий,
практических занятий, контрольных работ. Для этих целей формируются фонды оценочных
средств, включающие типовые задания, контрольные работы, тесты и методы контроля,
позволяющие оценить знания, умения и уровень приобретенных компетенций.
7
Контроль и оценка освоения учебной дисциплины по темам (разделам)
Таблица 2.2
Элемент учебной
дисциплины
Формы и методы контроля
Контроль в ходе изучения дисциплины
Форма контроля
Раздел 1
Элементы линейной
алгебры
Тема 1.1
Элементы линейной
алгебры
Раздел 2
Элементы
аналитической
геометрии
Тема 2.1
Элементы
аналитической
геометрии
Раздел 3
Основы
математического
анализа
Тема 3.1
Пределы и
непрерывность
Тема 3.2
Дифференциальное
исчисление функций
одной переменной
Тема 3.3
Интегральное
исчисление
Тема. 3.4
Теория рядов
Тема. 3.5
Дифференциальные
уравнения
Раздел 4.
Теория
комплексных чисел
Тема. 4
Комплексные числа
Практическая работа №1-5
Тестирование
Самостоятельные работы
Устный опрос
Практическая работа №6-9
Тестирование
Самостоятельные работы
Устный опрос
Практическая работа № 10-12
Самостоятельные работы
Устный опрос
Практическая работа № 13-20
Тестирование
Самостоятельные работы
Устный опрос
Практическая работа № 21-27
Тестирование
Самостоятельные работы
Устный опрос
Практическая работа № 28-30
Самостоятельные работы
Устный опрос
Практическая работа № 31-32
Тестирование
Самостоятельные работы
Устный опрос
Практическая работа № 33-34
Тестирование
Проверяемые
ОК, У, З
Промежуточная
аттестация
Форма
Проверяемые
контроля
ОК, У, З
Экзамен
У1,
З 1,
ОК 4, ОК 5,ОК2
У1,
З 1,
ОК 4, ОК 5,ОК 2
Экзамен
У2,
З1
ОК 1, ОК 2, ОК
3, ОК 6, ОК 7
Экзамен
У3
З2
ОК 2, ОК 4,
ОК5, ОК7, ОК8
Экзамен
У5
З3ОК 2, ОК4,
ОК5, ОК3
У2,
З1
ОК 2, ОК 3,
У3
З2
ОК 2, ОК7 , ОК8
У3
З2
ОК 2, ОК7 , ОК8
У3
З2
ОК 2, ОК7 , ОК8
У3
З2
ОК 2, ОК7 , ОК8
У4
З2
ОК 2, ОК6
У5
З3
ОК 2, ОК4, ОК5,
ОК3
3.2. Типовые задания для оценки освоения учебной дисциплины
3.2.1. Типовые задания для оценки знаний
1) Задания в тестовой форме (пример)
по теме «Линейная алгебра»
1 
 4
 , то матрица 5 А имеет вид:
1. Если матрица А  
  2  3
8
10   20
5    20 5 
 24
 b) 

 c) 
а) 
  12  30    10  15    10  3 
 1 0

2. Если матрицы А   3 1
 4 1

 4 1 7
 4



а )  9 2 5  b)  9
 3 4 1
3



4
 2 1  1



2  и В   3 0 1  , то матрица 2 А  В имеет вид:
 5 2  3
2 


1  7
 1 8 4 



1 5  c)   3 1  2 
 4 1 0 
1 2 


 4 1 7


3. Для матрицы А   9 2 5 
  3 4 2


диагонали
указать сумму элементов, расположенных на главной
а ) 6 b) 10 c) 8
 4 1 7


4. Для матрицы А   9 2 5 
  3 4 2


побочной диагонали
указать сумму элементов, расположенных на
а ) 6 b) 10 c) 8
5. При умножении матрицы А на матрицу B должно соблюдаться условие:
а) число строк матрицы А равно числу строк матрицы B
b) число строк матрицы А равно числу столбцов матрицы B
с) число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы B
6. Квадратная матрица называется диагональной, если:
а) элементы, лежащие на главной диагонали равны нулю
b) элементы, не лежащие на главной диагонали равны нулю
а) элементы, лежащие на побочной диагонали равны нулю
1 4
5
7. При каком значении  определитель 0 4
2
равен нулю?
0 0 2  1
а ) 2 b ) 12 c )  2
8. Если поменять местами две строки (два столбца) квадратной матрицы, то определитель:
а) не изменится
b) станет равным нулю
с) поменяет знак
1 2 0
9. Чему равен минор М 21 определителя 3
5
а) 4
b) 0
7 1 ?
4
2
с) 11
9
1 2 0
10. Чему равен минор М 31 определителя 3 7  1 ?
5 4 2
а) 4
b) -2
с) 0
1 2 0
11. Чему равно алгебраическое дополнение А21 определителя 3 7  1 ?
5 4 2
а) -4
b) 0
с) -11
1 2 0
12. Чему равно алгебраическое дополнение А31 определителя 3 7  1 ?
5
а) 4
b) -2
4
2
с) 0
3x  y  5

13. Чему равен главный определитель системы уравнений  2 x  y  z  0
2 x  y  4 z  15

а) -5
b) 6
с) 5
2 0 
 1 2
, то определитель матрицы А  D равен:
 и D  
14. Если матрицы А  
  2 0
 3  4
а) -32
b) 32
с) -16
15. Найти минор для элемента а 32
3 2 1 0
2 2 1 4
определителя  
4
0 1 2
3
а) 2
1
1 4
b) 20 c)  20
16. Найти алгебраическое дополнение для элемента а 32
3 2 1 0
2 2 1 4
определителя  
4
0 1 2
3
1
1 4
а ) 2 b) 20 c)  20
17. Найти минор для элемента а 2 3
4 0 1
определителя   2  1 3
3
2 2
а)  8 b ) 8 c)  5
18. Найти алгебраическое дополнение для элемента а 2 3
4 0 1
определителя   2  1 3
3
2 2
а)  8 b ) 8 c)  5
2) Практическая работа (пример)
10
Практическая работа № 1
Вычисление определителей второго и третьего порядков
Цель работы: Проверить знание свойств определителей 2 и 3 порядков, правила вычисления
определителей, вычислительные навыки.
Теоретический материал
Определение 1. Матрицей размера 2 x 2 называется совокупность чисел,
расположенных в виде таблицы из 2 строк и 2 столбцов. Обозначается
a 
a
Числа, составляющие A   11 12  эту матрицу, называются ее элементами и
 a21 a22 
обозначаются буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки,
а второй - номер столбца, в которых стоит данное число.
Определение 2. Определителем (или детерминантом) второго порядка,
соответствующим данной матрице, называется число a11  a22  a21  a12 .
Определитель обозначают символом
a11 a12
a21 a22
a11
a12
= a11  a22  a21  a12 .
a21 a22
Числа а 11 , а12, а21, а22называются элементами определителя.
Определение 3. Аналогично, если
 a11 a12 a13 


A   a21 a22 a23  - квадратная матрица размера 3 x 3
a

 31 a32 a33 
(3 строки, 3 столбца), то соответствующим ей определителем третьего порядка
называется число, которое вычисляется следующим образом
a11 a12 a13
a
a23
a
a
a
a
a21 a22 a23  a11  22
 a12  21 23  a13  21 22 .
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a31 a32 a33
По определению,
Правило «треугольников» (правило Саррюса)
Задания
1.Вычислить определители второго порядка: 1)  
 к1
2  к2
к1  к 2
5
,
к1
2)   3
3 к2
52
,
6
1
0,5
3)  9
0,53
к 1 64 6
42
11
2.Вычислить определители третьего порядка:
 1 3к1 2
3к 2
4
5
1)   2
1
8
1
к 2 , 2)   8
2
2
7к 2  2  2 , 3)   3
1
8
2
 1 х  к1
3. Решить уравнение: 2
1
1  2 к1  к 2
2
3
2
к1
5
5
к1
к2
х
1
3  к2 
 1  2 0 ,
х 4
2
3
4 к2
8
1
Вариант
к1
к2
Вариант
к1
к2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
3
2
3
1
-2
6
-6
-5
-2
1
-3
-4
-1
-2
1
-4
1
-3
5
3
-2
1
1
4
3
2
-1
5
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
4
5
2
-2
2
0
-1
-3
-4
0
4
-1
2
-2
-5
-1
1
0
1
-2
7
4
3
1
8
-2
3
-3
5
-1
Ответы
вариант
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
1
-15
-32
-39
-16
-24
-40
40
-30
48
40
10
-20
39
16
40
1 задание
2
3
6
-180
-63 -244
6
-180
-71
-20
-219 -180
-373 -52
-229 140
162 -372
-87
396
-85
332
-304 140
-223 -52
156 204
63
268
-377
76
2 задание
1
2
3
-84 -220 127
-63
-68
55
-104 2372 261
-45
-68
63
-94 1212 185
-20 4028 145
-19 1308 -23
-138 -220 286
27
-68 -65
18
-68 -35
-24 2500 -68
-36 1308 91
-8
452 -27
31
-100 45
-26 4028 -15
вариант
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
1
-16
-40
-10
16
-10
0
29
45
32
0
-20
20
14
80
30
1 задание
2
3
63 -244
-65
68
4
-116
-79
140
146 -116
-925
12
-302
76
231 204
-83
268
-600
12
158 -244
-227
76
229 -116
-379 -140
65
332
1
-89
-72
-52
-9
-64
-21
-24
-16
9
-20
-102
-18
-73
-29
46
2 задание
2
-100
-68
232
-68
-220
8092
2500
1308
-68
10628
-220
1308
1212
4028
-100
3
3
109
45
60
59
90
85
9
-85
-9
90
172
27
123
-125
55
Решение типового варианта
Вычислить определители.
2
5
1)
 2  (4)  (3)  5  8 15  7
3 4
3 2 1
5 3
2 3
2 5
 2
 1
2) 2 5 3  3 
 3  15  12  2  6  9  8  15  9  6  7  8
4 3
3 3
3 4
3 4 3
Решить уравнения:
12
1). x 2 
2x 5
0
3 1
x 2  2 x  15  0
x 2  2 x  15  0
x1  5,
1
2). 1
3
1
3
x2
x2  3
2 2
5 x
2 4
3 1
 8
0
3 4
3 7
2
x 2
1
1 1
1 3
 2
 2
  20  3x  8  14  12  0
2
3 2
3 x2
6  x 2  2  2  3  2  ( x 2  9)  20  3x  8 2  0
6  x 2  2  2 x 2  18  20  3x  16  0
x 2  3x  18  0
x1  6, x2  3
Контрольные вопросы
1. Что называется определителем матрицы?
2. Какие способы вычисления определителя третьего порядка вам известны?
3. Перечислите свойства определителей.
3) Самостоятельная работа (пример)
Вариант 1


Даны векторы a (9;2;1) и b (4;3;0) (для № 1-5).
 
1. Найти a  b .(Ответ: 24)
 
 24 

2. Найти a  b . Ответ : 
 5 86 

3. Найти a 2 .(Ответ: 86)

4. Найти b .(Ответ: 5)
  
  
5. Найти
координаты
векторов
c  a b ,
d  a b ,
c13;1;1, d 5;5;1, f  27;6,0 )
6. В прямоугольной декартовой системе координат построить
B (3; -4), C (-3; 4). Определить расстояние между точками A и
(Ответ: AB  5, BC  10, AC  5 )




f  3a .(Ответ:
точки A (0; 0),
B, B и C, A и C.
Вариант 2


Даны векторы a (3;2;1) и b (3;0;4) (для № 1-5).
 
1. Найти a  b .(Ответ:-5)
 
1
2. Найти a  b .(Ответ: 
)
14

3. Найти a 2 .(Ответ: 14)

4. Найти b .(Ответ: 5)

      
5. Найти координаты векторов c  a  b , d  a  b , f  3a .
(Ответ: c0;2;5, d  6;2;3, f 9;6,3)


13
6. В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0),
C (-3; 4), D (-2; 2) E (10; -3). Определить расстояние между точками C и D, A и D,
D и E. (Ответ: CD  5 , AD  2 2 , DE  13 )
3.2.2. Типовые задания для оценки знаний для промежуточной аттестации
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
Вопросы к экзамену
Определители второго и третьего порядка , их вычисление и свойства.
Определители n-го порядка, их вычисление.
Теорема о разложении определителя по элементам любой строки или столбца.
Миноры и алгебраические дополнения.
Матрицы, действия над ними.
Обратная матрица, алгоритм нахождения.
Решение систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными при помощи
определителей (по формулам Крамера)
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Матричный способ решения систем.
Векторы, линейные операции над ними.
Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты вектора.
Скалярное произведение векторов.
Векторное произведение векторов.
Смешанное произведение векторов.
Общее уравнение прямой, его частные случаи.
Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и
начальной ординатой.
Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Уравнение прямой , проходящей через точку в данном направлении ( уравнение пучка
прямых).
Взаимное расположение двух прямых. Условие параллельности и перпендикулярности
прямых.
Расстояние от точки до прямой.
Угол между прямыми.
Окружность, ее уравнения.
Эллипс, его уравнение.
Гипербола, ее уравнение.
Парабола, ее уравнение.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Понятие предела функции.
Техника вычисления пределов. Раскрытие неопределенностей.
Сравнение бесконечно малых. Принцип замены эквивалентными.
Приращение аргумента и приращение функции.
Непрерывность и точки разрыва функции.
Понятие производной. Правило нахождения.
Основные правила дифференцирования. Дифференцирование основных элементарных
функций.
Дифференцирование сложной функции.
Производные высших порядков.
Производная неявной функции.
Логарифмическое дифференцирование.
Геометрические приложения производной.
14
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
Механические приложения производной.
Дифференциал функции
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
Промежутки монотонности функции.
Экстремумы функции.
Наименьшее и наибольшее значения функции.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.
Асимптоты. Алгоритм нахождения.
Неопределенный интеграл и его свойства.
Непосредственное интегрирование.
Интегрирование способом подстановки. Алгоритм.
Интегрирование по частям.
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.
Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование тригонометрических функций.
Интегрирование простейших иррациональных функций.
Определенный интеграл и его свойства.
Методы интегрирования определенного интеграла.
Приложения определенного интеграла (вычисление площадей плоской фигуры, решение
физических задач).
Числовые ряды. Основные понятия.
Необходимый и достаточные признаки сходимости положительных рядов.
Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.
Степенные ряды.
Разложение элементарных функций в степенные ряды.
Дифференциальные уравнения. Основные понятия и определения.
Уравнения с разделяющимися переменными. Алгоритм решения.
Однородные уравнения.
Линейные уравнения. Алгоритм решения.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Алгоритм
решения.
Понятие комплексного числа. Степени мнимой единицы.
Алгебраическая форма комплексного числа. Действия в ней.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия в ней.
Показательная форма комплексного числа. Действия в ней.
Перевод из одной формы комплексного числа в другую.
Задания к экзаменам
1. Даны вершины треугольника ABC: A (-2, 4), В (3, 1), С (10, 7).
Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты CH;
Ответ : AB :3x  5 y  14  0, CH  :5x  3 y  29  0
2. Даны вершины треугольника ABC: A (-2, 4), В (3, 1), С (10, 7).
Найти: а) уравнение медианы АМ; б) уравнение прямой, проходящей через вершину С
параллельно стороне АВ.
Ответ : AM  : y  4, CK  :3x  5 y  65  0
3. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A(3, 1) перпендикулярно к прямой
BC, если В(2, 5), С(1, 0).
Ответ : l  : x  5 y  2  0
4. Доказать, что четырехугольник ABCD - трапеция, если A(3, 6), В(5, 2), С(-1, -3),
D(-5,5).
Ответ : k AB  kCD  2   AB  CD
15
5. Треугольник задан вершинами А(2; -1), В(-7, 3) и С(-1, -5). Составить уравнение
биссектрисы угла С. Ответ : x  1  0
6. Разложить функцию в ряд Маклорена а) f ( x)  sin
x ; б ) f ( x)  е 4 х ;
4 x 
x x x 2 x x3 x
4 x 4 x 
Ответ : a) sin x  x 


 ....  б )e 4 x  1 

 ... 
3!
5!
7!
1!
2!
n!
7. Исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера:


1
2n  n2
2
а) 
б)
Ответ : l  0  1  сходится
Ответ
:
l


1

сходится

n
5
5
n 1 2n  1!
n 1
2
n

3n  n 2
3n
3
г)
Ответ : l  0  1  сходится
Ответ
:
l


1

сходится


7
7n
n 1
n 1 n!
8. Исследовать на сходимость по признаку Даламбера:


5n
2n
1
а)  n Ответ : l   1  сходится б) 
Ответ : l  0  1  сходится
5
n 1 5
n 1 n !
9. Исследовать на сходимость по радикальному признаку Коши
в)


n2
n

1
1
 n 
 n 
а)  
 Ответ : l   1  сходится б )  
 Ответ : l   1  сходится
е
2
n 1 n  1 
n 1 2n  1 
10. Найти производную функции
3
8
3
2
2
а ) y   5 x 2  4 x 3  4 , Ответ : y   2  5  12 x  5
x
x
x
x
x
3
б ) y  arcsin 2 x  3  x Ответ : y 
 arcsin 2 x  3 x  ln 3
2
1  4 x  arcsin 2 x
3
2 20
2 4
Ответ : y 
x  2  6 5
в ) y  x 3   5  5 x,
2
x
x
x x
4
9 2x2  1
3
Ответ : y  3 x  3 
г ) y  3 ( x  3) 4  3
2
2 x  3x  1
3
2 x 3  3x  1




д) y  5 x 2  3 x 4 
4 5
 ,
x3 x
е) y  5 7 x 2  3x  5 


43
12 5
x 4  2
3
x
x
14 x  3
20

4
x  15
7 x 2  3x  5
Ответ : y  10 x 
5
Ответ : y 
( x  1) 4
55


10arcctg 5 x  ln x  5 arcctg 2 5 x

1  25 x 2
x5
3
2 6x  1
12
4
Ответ : y 

з) y  3 3x 4  2 x  5 
5
2
x  24
( x  2)
3 3 3x 4  2 x  5
ж) y  arcctg 5x  ln x  5, Ответ : y 
2

и) y  arccos x 2  ctg 3 x,
Ответ : y 



 4 x  ctg 3 x  arccos x 2
1  4x2
5 7 3 4 28
5
5
7
x  5
к ) y  4 x 6   3 x 7  4 Ответ : y  24 x  2 
x
3
x
x
x

3 arccos x 2  ctg 2 x
sin 2 x
11. Найти производную функции, если а) arcctg y  4 x  5 y, Ответ : y  

4 1  y2
6  5y2

tg3x  tg 3 x
 3 ln x
y  

 x
2
x 
 cos 3x
12. Найти производную функции :
б ) y  x tg 3 x Ответ :
16
y  cos x  ln cos 2 x  2 sin x  tg 2 x
sin x  y 
б) y  cosx  y  Ответ : y  
1  sin x  y 
13. Провести полное исследование функции и построить график
x 2  2x  2
x
а) y 
б) y 
9 x
x 1
2x  1
14. Найти наименьшее и наибольшее значения функции y 
на отрезке
( x  1) 2
а) y  (cos 2 x) sin x , Ответ :
 1 
  2 ;0
8
 1
 y     ; y  1   y 0  1
min   ; 0 
9
 2
 2 
15. Записать уравнение касательной и нормали к графику функции
y  x 2  16 x  7 в точке с абсциссой х0  1 . Ответ : 14 x  y  6  0; x  14 y  113  0
Ответ : y
 1 
max   ; 0 
 2 
16. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
x  2 y  4  0, x  y  5  0, y  0 Ответ : 13,5 кв.ед
0 
3 6
 2 1 1




17. Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA:А =  2  1 1 , В =  2 4  6  .
1  2 3 
 1 0 1




 9 14  3 
18  3 9 




Ответ : а) АВ   5 6 9  б ) ВА   6  2 0 
4 4 3 
 1 3 2




 2

18. Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BAА =  8
 3

 2 3 6 
  10 13



Ответ : а) АВ    11 15  24  б ) ВА    46 48
 8  13 14 
 12  7



 1  3
 2 1 2



 7  6  , В =.  3  5 4 
 1 2 2
4
2 


4 

29 
 11
  2  1  1
 1 4 7 




0 2
19. Для матриц А и В найти  А  В  , если А   2 5  8 , В   1
 4 1 0 
 3 6 9 




 16 42 30 


2
Ответ :  А  В    6 4  66 
 23 73 57 


2
 3 5  2


20. Найти матрицу, обратную данной А   1  3 2  Ответ :
6 7  3


3 6
 2 1 1



А   2  1 1 , В   2 4
21. Даны две матрицы A и B:
1  2
 1 0 1



  0,5 0,1 0,4 


А   1,5 0,3  0,8 
 2,5 0,9  1,4 


1
0 

 6 .
3 
17
0,5  1
 9 14  3 
 0,5




1
Найти: а) AB; б) А Ответ : а) 5 6 9  б ) А   0,5  0,5 0 
4 4 3 
  0,5  0,5 2 




1 2 3 4
3 2 1 0
2 3 4 1
2 2 1 4
22. Вычислить определители: а )
б)
3 4 1 2
4
0 1 2
4 1 2 3
3
1 1 4
1
Ответ : а)   160; б )  8
2 x  y  3z  7

23. Решить систему уравнений по формулам Крамера 2 x  3 y  z  1 Ответ : а) 3;2;1;
3x  2 y  z  6

24. Решить систему уравнений по формулам методом Гаусса
2 x  y  3z  7
2 x  y  2 z  3


а) 2 x  3 y  z  1
б)  x  y  2 z  4 Ответ : а) 3;2;1; б) 1;3;1
3x  2 y  z  6
4 x  y  4 z  3


25. Решить систему с помощью обратной матрицы (матричным методом):
2 x  y  2 z  3

 x  y  2 z  4 Ответ : 1;3;1
4 x  y  4 z  3

26. Найти интегралы:
1
2 5
4 3 2
а)  ( x x x )dx,
Ответ :
x C
5
3x  8
б)  2
dx
Ответ : 2 ln x  2  ln x  5  C
x  3 x  10
4x3  2x 2  7x
2 x3 x 2
в) 
dx,
Ответ :

 7 ln x  C
3
2
2x
1
dx
 x 5
Ответ : arctg     C
г)  2
3
x  10 x  34
 3 3
2
x 6
2
1
5
д) 
dx,
Ответ :
ln x  ln x  3 
C
2
3
3
x3
x( x  3)
x 5 x 3
 x 2 x dx
е)
ж)
з) 
Ответ :
4x 3  2x 2  7 x
dx,

2x
dx
4 x 2  16 x  9
3x  1
и) 
dx,
 x  3 2  x  5 
x4
C
4
2x3 x 2 7

 xC
3
2 2
1
1
Ответ : ln x  2 
4 x 2  16 x  9  C
2
2
Ответ :
1
1
1
Ответ :  ln x  3 
 ln x  5  C
4
x3 4
3
к)

3
6x 5 5 2
x
x
x
5
(

4
e

6

x
)
dx
Ответ
:
3
ln
x

4
e


x C
 x
ln 6 2
18
x2  7x  6
dx,
x 2  9 x  3
л) 


1
x
Ответ :  ln x  3  ln x 2  9  arctg  C
3
3
3x 1 9
 x C
ln 3 9
x4
1
8
н)  2
dx,
Ответ :  ln  x  3  ln  x  4   C
7
7
x  x  12
4


о)   3 x 2   cos x  5 sin x dx Ответ : x3  4 ln x  sin x  5 cos x  C
x


7
11
 4
2 2 3 3
7x2 


Ответ : x  x  C
п)   x x 
dx,
3
11
7
x2 

м)
x
x
8
 (5e  3  x )dx
р) 
dx
x  10 x  34
2
Ответ : 5e x 
1
 x 5
Ответ : arctg   
3
 3 3
27. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

 


  
а  2 i  j  2 k и b  3 i  2 j  2 k . Ответ : 3 кв.ед
28. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах



a   3; 2;1 , b  1; 0;  1, c  1;  2;1 . Ответ : 12 куб .ед
29. Выполнить действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме и
результат изобразить геометрически:
1  (i)17
Ответ : 1  i
а)
i 23
1 i 
б) 
  (2  3i )(3  5i )
1 i 


в)  1  i 3   (1  i 3 ) Ответ :


3
1
i
2
2
2
2 
2
Ответ : 19i  10
30. Произвести действие и результат представить в тригонометрической форме:
1 i 1 i




Ответ : 2 cos  i sin 
а) 1  i 1  i
2
2

3i 23  (i 4 3 ) 4
5
5 

Ответ : 3 2  cos
 i sin
б)

5
4
4 
i

2
2 

 i sin
в) ( 1  i 3 ) 2 Ответ :  cos

3
3 
2
2

г)
4
4 

 i sin
; Ответ :  cos

3
3 

i( 3  i)
2(1  i 3 )
31. Дано: Z 1  1  3 i, Z 2  2  2i;
Вычислить:
z1
;z
z2 1
5
2
7
7 
5
5 

 i sin
 i sin
 cos
; 32  cos

2 
12
12 
3
3 

32. Найти пределы:
Ответ :
4
Ответ : 
x 0 3 x  2 x
а ) lim
б ) lim
x
2
 x  5x  x Ответ : 52 
2
19
 x  4
в ) lim 

x  x  8


 3x
Ответ :е12
1  1  x 2 Ответ :  1 
 
x 0
x2
2
г ) lim
 5x 4  x 3  2 x 
 Ответ : 5
д) lim 
x 
x4


sin 2 x
2
Ответ :
е) lim
x  tg 3 x
3
4x 2  9
Ответ : 6
3 2x  3
x
ж ) lim

2

з) lim x 3  3x 2 Ответ : 
x
 x  10 
и ) lim 

x 
 x 
2 x 1
Ответ : е 20
 2x 
л) lim  3
 Ответ : 0
x  x  1


x3  x 2  2x
Ответ : 2
x 0
x2  x
6
1 Ответ :  1 
 
п) lim (

)
x 3 9  x 2
x3
9
н) lim
к ) lim
x 5
5 x
3  2x  1
Ответ : 3
 x 1 
м) lim 
 Ответ : 0
x  4 x  5


x  2 x
Ответ : 2
о) lim
x 0
x 1
3x
33. Решить дифференциальные уравнения:
а) x dx  y dy  0 ; Ответ : y  c  x 2
б) dy  x 2 1dx , если y  4 при х 1 ; Ответ : y  4
в) x y 2 1dx  y x 2 1dy  0 ; Ответ : y 2 
2
3
C
1
x 1
2
1
3

y  x ; Ответ : y   C   x
x
x

2
д) y   y tg x  cos x ; Ответ : y  Sinx  C cos x
е) y   2 y   y  0 ; Ответ : y  C1e x  C2 e x
ж) y   4 y   13 y  0 ; Ответ : y  e 2 x  C1Cos3x  C2 Cos3x 
з) y   y   2 y  0 ;
Ответ : y  C1e 2 x  C 2 e  x
г) y  
4. Контрольно-оценочные материалы для итоговой аттестации по учебной
дисциплине
I. ПАСПОРТ
Назначение:
КОМ предназначен для контроля и оценки результатов освоения учебной дисциплины
элементы высшей математики по специальности СПО 230115 Программирование в
компьютерных системах
Умения
У1 - выполнять операции над матрицами и решать системы линейных уравнений;
У2- решать задачи, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на
20
плоскости;
У3- применять методы дифференциального и интегрального исчисления;
У4- решать дифференциальные уравнения;
У5 - пользоваться понятиями теории комплексных чисел;
Знания
З1 -основы математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии;
З2 - основы дифференциального и интегрального исчисления;
З3 - основы теории комплексных чисел
II. ЗАДАНИЕ ДЛЯ ЭКЗАМЕНУЮЩЕГОСЯ
Пример экзаменационного билета:
1. Определители второго и третьего порядка, их вычисление и свойства.
2. Даны вершины треугольника ABC: A (-2, 4), В (3, 1), С (10, 7).
Найти: а) уравнение стороны АВ; б) уравнение высоты CH;
3. Исследовать на сходимость по радикальному признаку Коши

 n 
  2n  1 
n 1
n
Литература для обучающихся:
При ответе на билет можно пользоваться тетрадью для самостоятельной подготовки к
экзамену, справочными таблицами: «Значениям синусов, косинусов и тангенсов табличных
углов», «Таблица производных и первообразных».
Формулами: «Основные
тригонометрические формулы», «Разложение основных функций в степенные ряды»,
«Эквивалентные бесконечно малые функции»
III. ПАКЕТ ЭКЗАМЕНАТОРА
III а. УСЛОВИЯ
Инструкция для обучающихся
Экзамен проводится в устной форме по билетам.
Первая группа экзаменующихся – 6 человек
Билет состоит из трех вопросов: первый – теоретический вопрос, второй и третий –
практическое задание.
Внимательно прочитайте задания к билету. Кратко письменно изложите
теоретический вопрос и запишите решение практических заданий.
Время выполнения задания – 30 мин.
Количество вариантов заданий для экзаменующихся – 30 билетов
Эталон ответа:
1. Определители второго и третьего порядка, их вычисление и свойства.
Матрицей размера 2 x 2 называется совокупность чисел, расположенных в
виде таблицы из 2 строк и 2 столбцов. Обозначается
a 
a
Числа, составляющие A   11 12  эту матрицу, называются ее элементами и
 a21 a22 
обозначаются буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки,
а второй - номер столбца, в которых стоит данное число.
Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим
данной матрице, называется число a11  a22  a21  a12 .
Определитель обозначают символом
21
a11
a12
a21 a22
a11
a12
= a11  a22  a21  a12 .
a21 a22
Числа а 11 , а12, а21, а22называются элементами определителя.
По определению,
Свойства определителя второго порядка
1) Определитель не изменится, если все его строки заменить
(транспортировать) соответствующими столбцами (равномерность строк и столбцов).
а11 а12
а
а 21 3 5 3  2
 11

 3  4  (2)  5  22
а 21 а 22
а12 а 22  2 4 5 4
2) При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак
на противоположный.
3 5
2 4
а11 а12
а
а
  21 22

3 5
а11 а12  2 4
а 21 а 22
3) Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак
определителя:
3 1
а11 к а12
а
а 3 2
 к 11 12
  2
  2 3  3  7 1  4
7 3
а 21 к а 22
а 21 а 22 7  6
4) Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю.
3 2
 3  (2)  3  (2)   6  6  0
3 2
5) Если все элементы двух строк или столбцов определителя пропорциональны, то
определитель равен нулю.
к а11 к а12
 к  а11  а22  а21  к  а12  0
а 21
а 22
3 2
 3 4  6  2  0
6 4
6) Если все элементы строки или столбца определителя равны нулю, то
определитель равен нулю
0 а12
0
0 а 22
7)Если к одной строке (столбцу) поэлементно прибавить другую строку (столбец),
умноженную на одно и то же число, то новый определитель совпадает с исходным,
то есть не изменится
а11  к а12 а12
а
а
 11 12
а 21  к а 22 а 22
а 21 а 22
8)Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже)
главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали:
а11 а12
а
0
 11
0
0 а 22
а 21 а 22
Определители третьего порядка, их вычисление
22
 a11 a12 a13 


A   a21 a22 a23  - квадратная матрица размера 3 x 3
a

 31 a32 a33 
(3 строки, 3 столбца), то соответствующим ей определителем третьего порядка
называется число, которое вычисляется следующим образом
a11 a12 a13
a
a23
a
a
a
a
a21 a22 a23  a11  22
 a12  21 23  a13  21 22 .
a32 a33
a31 a33
a31 a32
a31 a32 a33
Числа а11, а12, ... , а33 называются элементами определителя. Формула дает
разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.
Определители третьего порядка обладают всеми свойствами определителей второго
порядка.
Правило «треугольников» (правило Саррюса)
Еще один способ вычисления определителя
2. Даны вершины треугольника ABC: A (-2, 4), В (3, 1), С (10, 7).Найти: а) уравнение
стороны АВ; б) уравнение высоты CH;
Решение. а) Для составления уравнения стороны AB используем уравнение прямой,
проходящей через две точки.
 AB : x  xB  y  y B  AB  : x  3  y 1  AB  : x  3  y 1
 2  3 4 1
5
3
x A  xB y A  y B
3 x  3   5  y 1
3 x 9 5 y 5
3 x  5 y 14  0
1
б) СH    AB , k CH  
k AB
Разрешим уравнение AB относительно y.
3
14
3
5 y   3x  14  0, y   x 
 0, k AB   ,
5
5
5
CH  :
y 7
или
y  yC  k CH x  xc 
5
x 10 ,
3
3 y  21  5 x  50 ,
k CH 
5
3
5 x  3 y  29  0

 n 
3. Исследовать на сходимость по радикальному признаку Коши  

n 1 2n  1 
n
23
n
 n 
n

1 1
  lim
Решение: Найдем lim n 
  lim   1, следовательно, данный ряд
n 
n


n


2 n 1 
2 2
 2 n 1 
является сходящимся.
III б. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ
Оценка «отлично» ставится при полном ответе на билет. Возможны одна - две
неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик
легко исправил по замечанию учителя.
Оценка «хорошо» ответ удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при
этом допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов
или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.
Оценка «удовлетворительно» ставится, если неполно или непоследовательно раскрыто
содержание материала, но показано общее понимание вопроса, допущены ошибки в
определении понятий; ученик не справился с применением теории в новой ситуации при
выполнении практического задания.
Оценка «не удовлетворительно» ставится, если не раскрыто основное содержание
учебного материала; допущены ошибки в определении понятий, при использовании
математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не
исправлены после нескольких наводящих вопросов преподавателя.
К грубым ошибкам относятся ошибки, которые обнаруживают незнание учащимися
формул, правил, основных свойств, теорем и неумение их применять; незнание приемов
решения задач, рассматриваемых в учебниках, а также вычислительные ошибки, если они не
являются опиской.
К негрубым ошибкам относятся: потеря корня или сохранение в ответе постороннего
корня; отбрасывание без объяснений одного из них и равнозначные им.
К
недочетам
относятся: нерациональное решение, описки, недостаточность или
отсутствие пояснений, обоснований в решениях.
24
Приложение
Задания для оценки освоения дисциплины
Тема 1.1 Элементы линейной алгебры (У1, З1)
Практическая работа № 1
Тема: Вычисление определителей второго и третьего порядков
Цель: Проверить знание свойств определителей 2 и 3 порядков, правила
вычисления определителей, вычислительные навыки.
Задания
1.Вычислить определители второго порядка: 1)  
 к1
2  к2
к1  к 2
5
,
к1
2)   3
3 к2
52
,
6
1
0,5
к 1 64 6
3)  9
0,53
42
2.Вычислить определители третьего порядка:
 1 3к1 2
3к 2
4
5
1)   2
1
8
1
к 2 , 2)   8
2
2
7к 2  2  2 , 3)   3
1
8
2
 1 х  к1
3. Решить уравнение: 2
1
1  2 к1  к 2
2
3
2
к1
5
5
к1
к2
х
1
3  к2 
 1  2 0 ,
х 4
2
3
4 к2
8
1
Вариант
к1
к2
Вариант
к1
к2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
3
2
3
1
-2
6
-6
-5
-2
1
-3
-4
-1
-2
1
-4
1
-3
5
3
-2
1
1
4
3
2
-1
5
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
4
5
2
-2
2
0
-1
-3
-4
0
4
-1
2
-2
-5
-1
1
0
1
-2
7
4
3
1
8
-2
3
-3
5
-1
Ответы
вариант
1.
2.
3.
4.
5.
1 задание
1
2
3
-15
6
-180
-32 -63 -244
-39
6
-180
-16 -71
-20
-24 -219 -180
2 задание
1
2
3
-84 -220 127
-63
-68
55
-104 2372 261
-45
-68
63
-94 1212 185
вариант
16.
17.
18.
19.
20.
1
-16
-40
-10
16
-10
1 задание
2
3
63 -244
-65
68
4
-116
-79
140
146 -116
1
-89
-72
-52
-9
-64
2 задание
2
-100
-68
232
-68
-220
3
109
45
60
59
90
25
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
-40
40
-30
48
40
10
-20
39
16
40
-373
-229
162
-87
-85
-304
-223
156
63
-377
-52
140
-372
396
332
140
-52
204
268
76
-20
-19
-138
27
18
-24
-36
-8
31
-26
4028
1308
-220
-68
-68
2500
1308
452
-100
4028
145
-23
286
-65
-35
-68
91
-27
45
-15
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
0
29
45
32
0
-20
20
14
80
30
-925
-302
231
-83
-600
158
-227
229
-379
65
12
76
204
268
12
-244
76
-116
-140
332
-21
-24
-16
9
-20
-102
-18
-73
-29
46
8092
2500
1308
-68
10628
-220
1308
1212
4028
-100
85
9
-85
-9
90
172
27
123
-125
55
Контрольные вопросы:
1. Что называется определителем матрицы?
2. Как вычислить определитель второго порядка?
3. Какие способы вычисления определителя третьего порядка вам известны?
4. Перечислите свойства определителей.
Практическая работа № 2 (У1, З1)
Тема: Вычисление определителей четвертого порядка
Цель: Проверить знания и умения учащихся по вычислению миноров, алгебраических
дополнений, определителей третьего и четвертого порядков.
Задания
2
1
Даны определители: 1)  
3к 2
2
1 1
2 3
2 1
к1
5
,
4
1  2 1 к2
 2 3 к1 2
2)  
,
1 3 2 4
1 3 3
1
2
3
4
1) Найти миноры и алгебраические дополнения элементов аi3 , а2 j
2) Вычислить определители, разложив их по элементам а) i-ой строки, б) j-го столбца
Вариант
к1
к2
i
j
Вариант
к1
к2
i
j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
3
2
3
1
-2
6
-6
-5
-2
1
-3
-4
-1
-2
1
-4
1
-3
5
3
-2
1
1
4
3
2
-1
5
1
2
1
3
4
2
1
4
2
1
3
4
2
1
3
2
1
3
4
1
2
4
3
1
1
2
3
4
2
1
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
4
5
2
-2
2
0
-1
-3
-4
0
4
-1
2
-2
-5
-1
1
0
1
-2
7
4
3
1
8
-2
3
-3
5
-1
2
1
3
4
1
2
4
3
1
1
2
3
4
2
1
1
2
1
3
4
2
1
4
2
1
3
4
2
1
3
A2j
52
30

58
160
Ответы
вариант
1.
Мi3
-72
50
M2j
-52
-30
Ai3
72
-50
вариант
16.
Мi3
-33
-25
M2j
15
65
Ai3
33
25
A2j
-15
-65

24
175
26
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
9
-15
14
50
-19
-19
7
-11
36
5
93
50
46
-8
-61
-15
27
50
-39
-40
21
7
-40
-10
-39
50
-34
-47
15
55
-88
-40
6
10
10
75
54
5
-6
10
-58
-30
-35
55
-30
55
-78
0
12
-5
0
10
-19
-25
-10
35
-9
-15
-14
50
-19
19
-7
-11
-36
-5
93
50
-46
8
61
15
-27
-5-39
40
-21
-7
40
10
-39
-50
-34
-47
-15
-55
88
40
6
10
-10
75
54
5
-6
10
58
30
35
-55
30
-55
-78
0
-12
5
0
10
-19
-25
10
-35
18
145
82
180
26
115
70
170
-90
100
-72
85
-20
250
58
-5
54
10
-129
100
-30
100
-20
60
200
-25
-154
110
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
-27
50
-19
-12
15
-2
-72
50
35
15
74
10
-44
-33
27
50
258
50
-54
-30
-34
-33
-13
-11
-21
5
-39
50
26
-15
5
60
-33
-15
24
10
25
15
-10
40
-6
10
-73
-15
-5
20
-54
-30
-6
10
-115
-35
-15
35
-42
-25
-27
-50
-19
-12
-15
2
72
-50
-35
-15
-74
-10
-44
-33
-27
50
-258
-50
54
30
-34
-33
13
11
21
-5
-39
-50
26
-15
-5
-60
33
15
24
10
25
15
10
-40
-6
10
-73
-15
5
-20
54
-30
-6
10
-115
-35
15
-35
42
25
14
160
47
120
42
55
89
130
-200
115
-106
100
-86
80
50
25
-239
120
27
190
-58
90
110
135
-186
115
222
-50
Контрольные вопросы:
1. Что называется минором?
2. Что называется алгебраическим дополнением элемента матрицы?
3. Как разложить определитель по элементам столбца или строки?
Практическая работа № 3
Действия над матрицами
Цель: Проверить знания операций над матрицами, умения выполнять действия с
матрицами: сложение, вычитание, умножение матрицы на число, произведение матриц
Задания
1.Выполнить действия над матрицами D  2   А  В  к1  В  к 2  А
2.Вычислить матрицу и найти ее определитель С  к1  В  к 2  А В , где
2  2
1


А   1  3 1 
2 1
4 

3. Найти С  D и
 к1

В 2
3

2
1
 к2
 1

2
4 
D С
Вариант
к1
к2
1
2
3
3
4
3
-2
1
-4
Ответ
с
741
36069
8359
Вариант
к1
к2
16
17
18
4
5
2
-1
1
0
Ответ
с
18343
121446
1800
27
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
1
-2
6
-6
-5
-2
1
-3
-4
-1
1
-3
5
3
-2
1
1
4
3
2
-1
5
-1323
810
-84134
-2009
-31696
199611
-73794
-2520
-17756
-9581
999
-1494
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
-2
2
0
-1
-3
-4
0
4
-1
2
-2
-5
1
-2
7
4
3
1
8
-2
3
-3
5
-1
-291
-144
-79233
-477
-16524
-21195
-129536
3000
84
729
-1463
-7520
Ответы
вариан
т
1.
CD
DC
 61 178  104 


  32 317  58 
  24 196  29 


22 122 
 215


  394 81  90 
 144  14 53 


2.
364
8 
 82


  272 756  70 
  474 1528 9118 


130 446 
 8


  904 482  50 
  152  20 230 


3.
66  58 
 1


  50 319  86 
 32 114  25 


4.
вариан
т
16.
CD
DC
 134 608 16 


  468 600  134 
  550 696  154 


 200 230 434 


  936 294  94 
  68 84
86 

17.
  435 1057 399 


  1045 1258  130 
  1796 2403  185 


  538 481 1229 


  2078 915  75 
  651 378 281 


52
184 
 373


  470  5  144 
  102  50  73 


18.
  68 8  160 


20 
 124 164
 200 268
40 

0
 80 
  60


36
4 
  60
 312  156 160 


  96  26  192 


20 
 128 178
 310 450
46 

52
 142 
  196



24
30
36 

 414  288 234 


19.
 14 112 
 76


  170 54  256 
  18  26  10 


 8  128 74 


 50 110 16 
 98 280
2 

5.
  273 129  501


  783  264 144 
  264  87
33 

20.
4  72 
 36


140
172
8 

 28 48  20 


8
44 
 92



176
12

84 

 108  48 12 


6.
  271  175  149 


186
 86 
 9
 836
651
 13 

  246  111

 69
 0
 159  210

797
  478

 369
 390
 973  1266

21.
28
112 
  182


  224 308  322 
 882  476  98 


  616 1498  742 


 644  882 630 
 1680  1820 1526 


7.
38
56 
 36


  202 222  368 
 346  454 546 


  160  48  178 


6
360 
 286
 734
4
958 

22.
58
6 
  51



178
175

214


 520  534 451 


  295 340  376 


 394  261 456 
 1002  546 1131 


8.
 3704  48 1060 


  512 472  124 
  780 720  164 


 2644 1164 2228 


 560 1636  180 
 372 1428  268 


23.
129
153 
 249



315
372

522 

 228  567 675 


 12  213  81 


351 
 234 177
 603 252 1107 


 243 

 81 
 189 
 511

317 
749 
28
9.
 7672 2014 1312 


26
 1780 
  2222
 2874  182 1538 


 7448 1900 866 


  1594 222  900 
  3258 400  1510 


24.
 906 292 408 


  568 124  814 
  554 0  518 


58
302 
 776


  224 258  282 
  480 540  522 


10.
739 
 2935 877



1145
108

1240 

  1356  47  955 


 2762 161 509 


  688 275  545 
  1441 538  949 


25.
224 
  176 48



272
400

416 

 944  672  304 


  704 1936  848 


 736  1136 720 
 1968  2192 1760 


11.
112
88 
 52


  236 324  364 
 456  884 704 


64
 304 
  244


 404  124 532 
 1064  284 1448 


26.
 124 652 16 


  548 540  160 
  516 424  148 


 292 244 428 


  952 212  116 
  220 76
8 

12.
  195  79  175 


96
 14 
 29
 556 389 111 


  316 339  337 


 238  159 195 
 623  652 487 


27.
 35  29 43 


  89 64  84 
 136  99 165 


  50  55  47 


 108 45 107 
 247 124 269 


13.
66
164 
 223


  296 229  494 
 56
 180 281 

 73  194 46 


 106 217 126 
 276 418 443 


28.
  32  34  16 


 154 194  4 
  34 10  74 


36
106 
 168


  234  18  124 
 6
 72  62 

14.
408
720 
 942


  620  240  926 
  1334  496  2250 


334
546 
 808


  496  138  854 
  1116  268  2218 


29.
238
114 
 107



186
346

299 

 259  1268 523 


  168 101  221


 336  191 453 
 956  396 1335 


  386 577  495 


 500  441 583 
 1311  874 1475 


30.
1023
835 
 307


1361

484

1528 

  1700  615  2127 


729 
 2982 1105


  1008  343  865 
  1993  664  2243 


15.
63 
  45 117



221
252

284 

 604 871 441 


Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Что называется матрицей?
Какие матрицы называются равными?
Что называется главной диагональю матрицы?
Какая матрица называется диагональной?
Как найти сумму и разность матриц?
Правило умножения матрицы на число.
В чем состоит обязательное условие существования произведения матриц?
Практическая работа № 4
Нахождение обратной матрицы
Цель: Проверить умения нахождения миноров, алгебраических дополнений и
определителей. Правило вычисления обратной матрицы.
Задания. Дана матрица
 к1

А 2
3

2
1
 к2
 1

2  . Найти
4 
29
а) А 1 и проверить , что А  А 1  А 1  А  Е
б ) А  А 1
Вариант
к1
к2
Вариант
к1
к2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
3
2
3
1
-2
6
-6
-5
-2
1
-3
-4
-1
-2
1
-4
1
-3
5
3
-2
1
1
4
3
2
-1
5
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
4
5
2
-2
2
0
-1
-3
-4
0
4
-1
2
-2
-5
-1
1
0
1
-2
7
4
3
1
8
-2
3
-3
5
-1
Ответы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
30
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
Какая матрица называется невырожденной?
Транспонированная матрица.
Какая матрица называется обратной по отношению к данной?
Каков порядок вычисления обратной матрицы?
Практическая работа №5
Системы линейных алгебраических уравнений
Цель: Проверить умения учащихся решать системы линейных уравнений по правилу
Крамера, с помощью обратной матрицы (матричным методом), методом Гаусса.
Задание:
1. Решить системы уравнений:
а) по формуле Крамера;
б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);
в) Методом Гаусса.
2 x  y  3z  7,

1.1.2 x  3 y  z  1,
3x  2 y  z  6.

2 x  y  2 z  3,

1.2. x  y  2 z  4,
4 x  y  4 z  3.

3x  y  z  12,

1.3. x  2 y  4 z  6,
5 x  y  2 z  3.

2 x  y  3z  4,

1.4. x  3 y  3z  11,
 x  2 y  2 z  7.

3x  2 y  4 z  12,

1.5.3x  4 y  2 z  6,
2 x  y  z  9.

8 x  3 y  6 z  4,

1.6. x  y  z  2,
4 x  y  3z  5.

4 x  y  3z  9,

1.7. x  y  z  2,
8 x  3 y  6 z  12.

2 x  3 y  4 z  33,

1.8.7 x  5 y  24,
4 x  11z  39.

2 x  3 y  4 z  12,

1.9.7 x  5 y  z  33,
4 x  z  7.

 x  4 y  z  6,

1.10.5 y  4 z  20,
3x  2 y  5 z  22.

4 x  y  4 z  19,

1.13.2 x  y  2 z  11,
 x  y  2 z  8.

3x  2 y  4 z  21,

1.11.3x  4 y  2 z  9,
2 x  y  z  10.

2 x  y  2 z  0,

1.14.4 x  y  4 z  6,
 x  y  2 z  4.

3x  2 y  5 z  5,

1.12.2 x  3 y  4 z  12,
 x  2 y  3z  1.

2 x  y  2 z  8,

1.15. x  y  2 z  11,
4 x  y  4 z  22.

2 x  y  3z  9,

1.16. x  5 y  z  20,
3x  4 y  2 z  15.

2 x  y  3z  0,

1.17.3x  4 y  2 z  1,
 x  5 y  z  3.

 3x  5 y  6 z  8,

1.18.3x  y  z  4,
 x  4 y  2 z  9.

31
3x  y  z  4,

1.19. 3x  5 y  6 z  36,
 x  4 y  2 z  19.

3x  y  z  11,

1.20.5 x  y  2 z  8,
 x  2 y  4 z  16.

3x  y  z  9,

1.21.5 x  y  2 z  11,
 x  2 y  4 z  19.

2 x  3 y  z  4,

1.22.2 x  y  3z  0,
3x  2 y  z  1.

3x  4 y  2 z  11,

1.25.2 x  y  z  4,
3x  2 y  4 z  11.

2 x  3 y  z  12,

1.23.2 x  y  3z  16,
3x  2 y  z  8.

 x  2 y  3z  14,

1.24.2 x  3 y  4 z  16,
3x  2 y  5 z  8.

 x  5 y  6 z  15,

1.26.3x  y  4 z  13,
2 x  3 y  z  9.

4 x  y  6,

1.27.3x  2 y  5 z  14,
 x  3 y  4 z  19.

5 x  2 y  4 z  16,

1.28. x  3z  6,
2 x  3 y  z  9.

 x  4 y  z  9,

1.29.4 x  y  5 z  2,
3 y  7 z  6.

7 x  4 y  z  13,

1.30.3x  2 y  3z  3,
2 x  3 y  z  10.

2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
 x  y  z  0,

3.1.2 x  3 y  4 z  0,
4 x  11y  10 z  0.

3x  y  2 z  0,

3.2. x  y  z  0,
 x  3 y  3z  0.

4 x  y  10 z  0,

3.4. x  2 y  z  0,
2 x  3 y  4 z  0.

 x  y  2 z  0,

3.7.2 x  y  3z  0,
3x  2 z  0.

2 x  5 y  z  0,

3.5.4 x  6 y  3z  0,
 x  y  2 z  0.

2 x  y  5 z  0,

3.8. x  2 y  3z  0,
5 x  y  4 z  0.

 x  3 y  z  0,

3.10.2 x  5 y  2 z  0,
 x  y  5 z  0.

2 x  y  3z  0,

3.11.3x  y  2 z  0,
 x  3 y  4 z  0.

5 x  5 y  4 z  0,

3.9.3x  y  3z  0,
 x  7 y  z  0.

 x  2 y  z  0,

3.12.2 x  3 y  2 z  0,
3x  2 y  5 z  0.

2 x  y  z  0,

3.13.3x  2 y  4 z  0,
 x  5 y  3z  0.

4 x  y  3z  0,

3.14.8 x  y  7 z  0,
2 x  4 y  5 z  0.

 x  4 y  3z  0,

3.15.2 x  5 y  z  0,
 x  7 y  2 z  0.

 x  2 y  z  0,

3.16.3x  y  2 z  0,
2 x  3 y  5 z  0.

 x  2 y  3z  0,

3.17.2 x  y  z  0,
3x  3 y  2 z  0.

3x  2 y  0,

3.18. x  y  2 z  0,
4 x  2 y  5 z  0.

2 x  y  3z  0,

3.19. x  2 y  5 z  0,
3x  y  z  0.

3x  2 y  z  0,

3.20.2 x  y  3z  0,
4 x  3 y  4 z  0.

 x  3 y  4 z  0,

3.21.5 x  8 y  2 z  0,
2 x  y  z  0.

3x  5 y  z  0,

3.22.2 x  4 y  3z  0,
 x  3 y  z  0.

3x  2 y  z  0,

3.23.2 x  3 y  2 z  0,
4 x  y  4 z  0.

7 x  y  3z  0,

3.24.3x  2 y  3z  0,
 x  y  2 z  0.

 x  3 y  2 z  0,

3.3.2 x  y  3z  0,
3x  5 y  4 z  0.

3x  y  3z  0,

3.6.2 x  3 y  z  0,
 x  y  3z  0.

32
 x  2 y  4 z  0,

3.25.2 x  y  3z  0,
 x  3 y  z  0.

7 x  6 y  z  0,

3.26.4 x  5 y  0,
 x  2 y  3z  0.

5 x  4 y  2 z  0,

3.27.3x  2 y  0,
4 x  y  3z  0.

6 x  5 y  4 z  0,

3.28. x  y  z  0,
3x  4 y  3z  0.

8 x  y  3z  0,

3.29. x  5 y  z  0,
4 x  7 y  2 z  0.

Ответы
 x  7 y  3z  0,

3.30.3x  5 y  z  0,
3x  4 y  2 z  0.

вариант

1
12,36,24,12
2
-6,12,18,2
3
-12,36,24,-12
x, y, z
вариант

3 , 2, 1
3, -2, 1
6
-1,-1,-6,-5
-2, 3, -1/3
7
1,3,-6,-1
x, y, z
вариант

1 ,6, 5
3, -6, -1
11
-60,-300,60,-60
12
58,174,116,0
x, y, z
вариант

5, -1, 1
3, 2, 0
16
44,-44,176,44
x, y, z
8
-261, -1827,
1305, -261
7, 5, 1
13
-6,-6,6,-24
4
8,-8,28,4
5
-60,0,240,-300
-1, 3,5, 0,5
9
61,-122,244,61
0, -3, 5
-2, 4, 1
1, 0,-5
6,0,12,6
15
-6,-6,-12,-24
0, 2, 1
1, 2, 4
17
-44,-44,44,-44
1, -1, 4
18
-49,49,-245,294
19
49,-109,-651,782
20
27,0,270,-27
-1, 4, 1
1, -1, 1
-1, 5, -6
-109/49, -93/7,
782/49
0, 10, -1
вариант

x, y, z
21
27,9,-60,156
1/3,-20/9,52/9
22
12,-12,24,0
-1, 2, 0
23
12,-12,36,60
-1, 3, 5
24
-58,-58,116,-174
1, -2, 3
25
-60,-180,-60,-60
3, 1, 1
вариант

26
104,208,-104,
208
27
99,-99,198,-297
28
67,-150,-329,84
29
92, -92, -184, 0
30
102,0,306,-102
2, -1, 2
-1, 2, -3
-150/67,
-329/67,
-84/67
-1, -2, 0
0, 3, -1
x, y, z
14
10
96,96,0,-480
Тест
по теме «Линейная алгебра»
1 
 4
 , то матрица 5 А имеет вид:
Если матрица А  
  2  3
10   20
5    20 5 
 24
 b) 

 c) 
а) 
  12  30    10  15    10  3 
 1 0

1. Если матрицы А   3 1
 4 1

 4 1 7
 4



а )  9 2 5  b)  9
 3 4 1
3



4
 2 1  1



2  и В   3 0 1  , то матрица 2 А  В имеет вид:
 5 2  3
2 


1  7

1 5 
1 2 
 1 8 4 


c)   3 1  2 
 4 1 0 


33
 4 1 7


2. Для матрицы А   9 2 5 
  3 4 2


диагонали
указать сумму элементов, расположенных на главной
а ) 6 b) 10 c) 8
 4 1 7


3. Для матрицы А   9 2 5 
  3 4 2


побочной диагонали
указать сумму элементов, расположенных на
а ) 6 b) 10 c) 8
5. При умножении матрицы А на матрицу B должно соблюдаться условие:
а) число строк матрицы А равно числу строк матрицы B
b) число строк матрицы А равно числу столбцов матрицы B
с) число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы B
6. Квадратная матрица называется диагональной, если:
а) элементы, лежащие на главной диагонали равны нулю
b) элементы, не лежащие на главной диагонали равны нулю
а) элементы, лежащие на побочной диагонали равны нулю
1 4
5
2 равен нулю?
7. При каком значении  определитель 0 4
0 0 2  1
а ) 2 b ) 12 c )  2
8. Если поменять местами две строки (два столбца) квадратной матрицы, то определитель:
а) не изменится
b) станет равным нулю
с) поменяет знак
1 2 0
9. Чему равен минор М 21 определителя 3 7  1 ?
5
а) 4
b) 0
4
2
с) 11
1 2 0
10. Чему равен минор М 31 определителя 3 7  1 ?
5 4 2
а) 4
b) -2
с) 0
1 2 0
11. Чему равно алгебраическое дополнение А21 определителя 3 7  1 ?
5 4 2
а) -4
b) 0
с) -11
34
1 2 0
12. Чему равно алгебраическое дополнение А31 определителя 3 7  1 ?
5 4 2
а) 4
b) -2
с) 0
3x  y  5

13. Чему равен главный определитель системы уравнений  2 x  y  z  0
2 x  y  4 z  15

а) -5
b) 6
с) 5
2 0 
 1 2
, то определитель матрицы А  D равен:
 и D  
14. Если матрицы А  

2
0
3

4




а) -32 b) 32
с) -16
3 2 1 0
2 2 1 4
15. Найти минор для элемента а 32 определителя  
4
0 1 2
3
а) 2
b) 20
1
1 4
c)  20
16. Найти алгебраическое дополнение для элемента а 32
3 2 1 0
2 2 1 4
определителя  
4
0 1 2
3
а) 2
b) 20
b) 8
4 0 1
определителя   2  1 3
3
2 2
c)  5
18. Найти алгебраическое дополнение для элемента а 2 3
а)  8
1 4
c)  20
17. Найти минор для элемента а 2 3
а)  8
1
b) 8
4 0 1
определителя   2  1 3
3
2 2
c)  5
Самостоятельная работа
Вариант 1
  1 0 3
 2 3 0




1. Найти матрицу C=A+3B, если A    2 1 8  , B   2 4 1  .
 1 3 0
 2 4 3




 1 3 9 


Ответ: C   4 13 11
 5 13 3 


2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
35
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
 x1  2 x 2  x3  1,

 2 x1  x 2  x3  5,
3x  2 x  x  7.
2
3
 1
Ответ: (2;0;1)
Вариант 2
1.
2.
3.
4.
  1 0 3
 2 3 0




Найти матрицу C=2A-B, если A    2 1 8  , B   2 4 1  .
 1 3 0
 2 4 3




6  3
 5


Ответ: C    6  2 15 
 3
5
6 

Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
 x1  x2  2 x3  2,

 x1  2 x2  x3  7,
 2 x  x  3x  5.
2
3
 1
Ответ: (1;3;0)
Вариант 3
1.
2.
3.
4.
  1 0 3
 2 3 0




Найти матрицу C=3A+B, если A    2 1 8  , B   2 4 1  .
 1 3 0
 2 4 3




 5 9 3


Ответ: C    4 7 25 
 7 15 9 


Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
 x1  3x 2  2 x3  4,

 x1  4 x 2  x3  7,
 2 x  x  x  3.
2
3
 1
Ответ: (0;2;1)
Вариант 4
  1 0 3
 2 3 0




1. Найти матрицу C=A-4B, если A    2 1 8  , B   2 4 1  .
 1 3 0
 2 4 3




36
3  12 
 6


Ответ: C    10  15 4 
  2 8
3 

2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
 x1  2 x 2  x3  3,

 x1  3x 2  x3  6,
2 x  x  x  4.
2
3
 1
Ответ: (2;1;1)
Вариант 5
1.
2.
3.
4.
  1 0 3
 2 3 0




Найти матрицу C=4A-B, если A    2 1 8  , B   2 4 1  .
 1 3 0
 2 4 3




 9 12  3 


Ответ: C    10 0 31 
 7 13 12 


Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
 x1  x2  3x3  2,

 x1  2 x2  x3  3,
3x  7 x  x  10.
2
3
 1
Ответ: (1;1;0)
Вариант 6
1.
2.
3.
4.
  1 0 3
 2 3 0




Найти матрицу C=A+2B, если A    2 1 8  , B   2 4 1  .
 1 3 0
 2 4 3




0 3 6 


Ответ: C   2 9 10 
 4 10 3 


Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.
Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
 x1  x2  x3  3,

 2 x1  x2  x3  1,
2 x  3x  x  1.
2
3
 1
Ответ: (0;1;2)
37
Тема. 2
Элементы аналитической геометрии
Устный опрос
1. Что называется вектором?
2. Какие векторы называются коллинеарными?
3. Что называется координатами вектора?
4. Как найти координаты вектора, заданного двумя точками?
5. Как найти длину вектора, заданного своими координатами?
6. Запишите формулы деления отрезка в данном отношении.
7. Дать определение проекции вектора на ось и перечислить ее свойства.
8. Дать определение скалярного произведения векторов.
9. Дать определение векторного произведения векторов.
10. Дать определение смешанного произведения векторов.
Практическая работа № 6
Операции над векторами. Вычисление модуля и скалярного произведения
Цель: Проверить знания и умения по нахождению: координат вектора, операций над
векторами, модуля вектора и скалярного произведения.
Задания
1. По координатам точек A, B и С для указанных векторов найти:
a) Координаты векторов a  AB, b  BC , c  AC, d  BA, p  CA
  

b) Модуль вектора к  3а  в  d
c) Скалярное произведение векторов а и b;
d) Проекцию вектора с на вектор d;
e) Координаты точки М, делящей отрезок р в отношении :
Варианты
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Координаты
точки А
Координаты
точки В
Координаты
точки С
(-2, 1,3)
(1, 3, 6)
(7, 2, 1)
(3, 5, 4)
(5, 3, 2)
(11, 1, 2)
(9, 5, 3)
(7, 2, 1)
(1, 2, 3)
(-2, 5, 1)
(3, 1, 2)
(3, -1, 2)
(4, 5, 1)
(1, -3, 1)
(5, 7, -2)
(-l, 4, 3)
(5, 4, 1)
(2, -1, 4)
(-1, 1, 2)
(1, 3, 4)
(3, -6, 2)
(-3, 4, -5)
(5, 1, -2)
(-2, 7, -5)
(2, -5, 1)
(-3, 3, 4)
(-3, 2, 1)
(3, -5, 6)
(-5, 3, -1)
(3, 2, -7)
(-4, 3, -1)
(-2, 4, 1)
(1, 3, 1)
(-2, -4, 3)
(-3, 1, 3)
(3, 2, -4)
(-3, 5, 2)
(-3, 0, -2)
(2, -3, -5)
(-2, 5, 0)
(-5, -3, -1)
(1, -7, 2)
(-3, 4, 5)
(6, -2, 1)
(-7, 4, -3)
(-4, -2, 7)
(4, -7, 4)
(-4, 3, -4)
(-6, 4, 5)
(4, -3, 2)
(2, 3, 4)
(4, -5, - 1)
(-3, -6, 7)
(0, -2, 3)
(1, -4, 6)
(-2, -7, 1)
(2, -1, 3)
(4, 5, -3)
(-6, 3, -1)
(3, -2, -4)


1
1
2
3
2
1
3
3
2
4
2
1
3
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
1
1
3
4
3
3
3
1
1
2
3
4
1
3
2
1
2
38
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
(1, -1, 1)
(3, 1, 2)
(-3, 0, 1)
(5, 1, 2)
(0, 2, -3)
(3, -1, 2)
(5, 3, 1)
(3, 1, -3)
(6, 1, -3)
(4, 2, 3)
(-5, -3, 1)
(-7, -2, -4)
(2, 7, -3)
(-2, 1, -3)
(4, -3, -2)
(-2, 3, 1)
(-1, 2, -3)
(-2, 4, 1)
(-3, 2, 1)
(-3, 1, -8)
(2, -1, 0)
(-4, 0, 3)
(-4, 3, 5)
(4, -3, 5)
(-5, -4, 0)
(4, -5, -3)
(3, -4, 2)
(1, -2, 5)
(-1, -3, 4)
(2, -4, 5)
3
2
1
2
1
3
1
3
4
3
2
1
3
3
2
4
2
4
3
2
2. Доказать, что векторы а, b, с образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
Варианты
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
а
(5, 4, 1)
(2, -1, 4)
(-1, 1, 2)
(1, 3, 4)
(1, -1, 1)
(3, 1, 2)
(-3, 0, 1)
(5, 1, 2)
(0, 2, -3)
(3, -1, 2)
(5, 3, 1)
(3, 1, -3)
(6, 1, -3)
(4, 2, 3)
(-2, 1,3)
(1, 3, 6)
(7, 2, 1)
(3, 5, 4)
(5, 3, 2)
(11, 1, 2)
(9, 5, 3)
(7, 2, 1)
(1, 2, 3)
(-2, 5, 1)
(3, 1, 2)
(3, -1, 2)
(4, 5, 1)
(1, -3, 1)
(5, 7, -2)
(-l, 4, 3)
b
(-3, 5, 2)
(-3, 0, -2)
(2, -3, -5)
(-2, 5, 0)
(-5, -3, 1)
(-7, -2, -4)
(2, 7, -3)
(-2, 1, -3)
(4, -3, -2)
(-2, 3, 1)
(-1, 2, -3)
(-2, 4, 1)
(-3, 2, 1)
(-3, 1, -8)
(3, -6, 2)
(-3, 4, -5)
(5, 1, -2)
(-2, 7, -5)
(2, -5, 1)
(-3, 3, 4)
(-3, 2, 1)
(3, -5, 6)
(-5, 3, -1)
(3, 2, -7)
(-4, 3, -1)
(-2, 4, 1)
(1, 3, 1)
(-2, -4, 3)
(-3, 1, 3)
(3, 2, -4)
c
(2, -1, 3)
(4, 5, -3)
(-6, 3, -1)
(3, -2, -4)
(2, -1, 0)
(-4, 0, 3)
(-4, 3, 5)
(4, -3, 5)
(-5, -4, 0)
(4, -5, -3)
(3, -4, 2)
(1, -2, 5)
(-1, -3, 4)
(2, -4, 5)
(-5, -3, -1)
(1, -7, 2)
(-3, 4, 5)
(6, -2, 1)
(-7, 4, -3)
(-4, -2, 7)
(4, -7, 4)
(-4, 3, -4)
(-6, 4, 5)
(4, -3, 2)
(2, 3, 4)
(4, -5, - 1)
(-3, -6, 7)
(0, -2, 3)
(1, -4, 6)
(-2, -7, 1)
d
(7, 23, 4)
(0, 11, -14)
(28, -19, -7)
(13, -5, -4)
(-15, -10, 5)
(16, 6, 15)
(-16, 33, 13)
(15, -15, 24)
(-19, -5, -4)
(-3, 2, -3)
(-9, 34, -20)
(l, 12, -20)
(15, 6, -17)
(-12, 14, -31)
(31, -6, 22)
(-2, 17, 5)
(26, 11, 1)
(6, -9, 22)
(36, 1, 15)
(-5, 11, -15)
(-10, -13, 8)
(-1, 18, -16)
(-4, 11, 20)
(-4, 22, -13)
(14, 14, 20)
(-5, 11, 1)
(19, 33, 0)
(-8, -10, 13)
(14, 9, -1)
(6, 20, -3)
ответ
3i+2j-k
-i+2j+2k
2i+3j-4k
2i-j+3k
2i+3j-k
2i-2j+k
2i+3j+4k
-i+3j+4k
2i-j+3k
-i+2j+k
2i+4j-5k
2i+j-3k
i-2j-3k
i-2j-3k
2j-3k
2i+j-k
2i+3j+k
2i-3j-k
5i+2j-k
-i+2j-3k
-i+3j+2k
2i-j+3k
3i-j+2k
3i+2j-k
2i+4k
-i+5j+2k
3i+4j-k
-2i+3j+2k
2i-j+k
i+j-2k
Контрольные вопросы
1. Что называется вектором?
2. Какие векторы называются коллинеарными?
3. Что называется координатами вектора?
4. Как найти координаты вектора, заданного двумя точками?
5. Как найти длину вектора, заданного своими координатами?
6. Запишите формулы деления отрезка в данном отношении.
39
Практическая работа № 7
Тема. Вычисление векторного и смешанного произведений
Цель: Проверить знания, умения по вычислению координат и модуля вектора, скалярного,
векторного и смешанного произведений векторов.
Задание
1.
Даны векторы a, b и с. Необходимо:
а) вычислить смешанное произведение трех векторов;
б) найти модуль векторного произведения;
в) вычислить скалярное произведение двух векторов;
г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора;
д) проверить, будут ли компланарны три вектора.
Вариант
Векторы
Смешанное
произведение
Модуль
векторн
произвед.
Скалярное
произвед
1
a  2i  3 j  k ,
a, 3b, c
3a, 2 c
b,  4c
2
b  j  4k ,
c  5i  2 j  3k
a  3i  4 j  k ,
5a, 2b, c
4b, 2 c
a, 2b,3 c
3
4
5
6
7
8
b  i  2 j  7k ,
c  3i  6 j  21k
a  2i  4 j  2k ,
b  7i  3 j ,
c  3i  5 j  7 k
a  7 i  2 k ,
b  2i  6 j  4k ,
c  i  j  2k
a  4i  2 j  k ,
b  3i  5 j  2k ,
c  j  5k
a  3i  2 j  k ,
b  2 j  3k ,
c  3i  2 j  k
a  i  j  3k ,
b  2i  3 j  5k ,
c  7i  2 j  4 k
a  4i  2 j  3k ,
b  2i  k ,
c  12i  6 j  9k
Коллине
арны или
перпенд.к
векторов
Компланарность
векторов
a, c
a, 2b, 3c
a, c
b, c
2a,  3b, c
3a,  7в
 2a, c
a, c
3a, 2b, 3c
a,  2b,7 c
4b,3 c
2a,7 c
b, c
2a, 4b,3с
a, 6b, 3 c
a , 2b
a,  4 c
a, b
a, 6b,3 c
a,  3b, 2 c
5a, 3c
 2a, 4b
a, c
5a, 4b,3 c
7 a,  4b, 2 c
3a, 5c
2b,4 c
b, c
7 a, 2b, 5c
2a, 3b, c
4a, 3b
b,4 c
a, c
2a, 3b,  4c
40
3a,  4b, 2 c
7a,  3c
2b,3а
в, c
7 a, 2b,  3c
2a,  4b, 3 c
3b,9 c
3a,5 c
a, b
3a,  4b,9 c
a,  4b, 2 c
 2b, 4c
 3a,6 c
b, c
a,  2b,6 c
 2a, b,2 c
4b,7 c
5a,  3b
b, c
 2a, 4b,7 c
12
a  i  5k ,
b  3i  2 j  2k ,
c  2i  4 j  k
a  6i  4 j  6k ,
b  9i  6 j  9k ,
c  i  8k
a  5i  3 j  4k ,
b  2i  4 j  2k ,
c  3i  5 j  7 k
a  4i  3 j  7 k ,
13
b  4i  6 j  2k ,
c  6i  9 j  3k
a  5i  2 j  2k ,
2a, 4b,5 c
 3b,11c
8a,  6c
a, c
8a,3b,11 c
14
b  7i  5k ,
c  2i  3 j  2k
a  4i  6 j  2k ,
5a, 7b,2 c
 4b,11a
3a,  7c
a, b
3a, 7b,2 c
5a,  b,3 c
 7 a, 4 c
3a, 9b
a, c
3a,  9b,4 c
4a,  6b,5 c
 7 a, 9 c
3b,  8c
b, c
4a,  6b,9 c
7a, 5b, c
 5a, 4b
3b,  8c
a, c
7a, 5b, c
2a,  7b,3 c
 6a, 4 c
5b,7а
b, c
2a,  7b,4 c
a,  6b,2 c
 8b,5 c
 9a, 7c
a, b
a,  6b, 5c
 6b,7 c
9a, 4 c
b, c
 2a, 7b, 4c
5b, 3c
7 a,  4b
b, c
7 a,  4b, 3c
9
10
11
15
16
17
18
19
20
21
b  2i  3 j  k ,
c  i  5 j  3k
a  4i  2 j  3k ,
b  3 j  5k ,
c  6i  6 j  4k
a  3i  8 j ,
b  2i  3 j  2k ,
c  8i  12 j  8k
a  2i  4 j  2k ,
b  9i  2k ,
c  3i  5 j  7 k
a  9i  3 j  k ,
b  3i  15 j  21k ,
c  i 5j k
a  2i  4 j  3k ,
b  5i  j  2k ,
c  7i  4 j  k
a  9i  4 j  5k ,
b  i  2 j  4k ,
c  5i  10 j  20k
a  2i  7 j  5k ,
b  i  3 j  6k ,
c  3i  2 j  4k
 2a, 7b,5 c
 3a, 6b, c
41
a  7i  4 j  5k ,
22
b  i  11 j  3k ,
c  5i  5 j  3k
a  4i  6 j  2k ,
b  2i  3 j  k ,
c  3i  5 j  7 k
a  3i  j  2k ,
b  i  5 j  4k ,
c  6i  2 j  4k
a  3i  j  5k ,
b  2i  4 j  8k ,
c  3i  7 j  k
23
24
25
3a,  7b,2 c
2b,6 c
 4a,  5 c
a, c
 4a, 2b,6 c
6a, 3b,8 c
 7b, 6 а
 5a, 4c
a, b
 5a, 3b,4 c
4a,  7b,2 c
6a,  4 c
 2a, 5b
a, c
6a,  7b,  2c
2а,  b,3 c
 9 a , 4c
5b,6 c
b, c
2a, 5b,6 c
26
a  3i  2 j  7 k ,
 2a, b,7 c
5a,  2 c
3b, c
a, c
 2a, 3b,7 c
27
b  i  5k ,
c  6i  4 j  k
a  3i  j  5k ,
 3a, 4b,5 c
6b,3 c
a, 4 c
b, c
 3a, 4b,5 c
a, 7b,2 c
 5a, 4b
8 c,3а
a, c
 3a, 4b, 8c
3a,  5b,4 c
6b,2 c
 2a, 8 c
b, c
3a, 6b,4 c
5a, 3b,4 c
4b, а
7 a ,  2c
a, b
5a, 4b,  2c
b  2i  4 j  6k ,
c  i  2 j  3k
a  4i  5 j  4k ,
b  5i  j ,
c  2i  4 j  3k
a  9i  4k ,
b  2i  4 j  6k ,
c  3i  6 j  9k
a  5i  6 j  k ,
b  4i  8 j  7 k ,
c  3 j  4k
28
29
30
Ответы
Вариант
а) Смешанное
произведение
16.
а)
Смешанное
произведение
0
6
17.
-10430
40389
984
0
18.
0
3365604
3255
42
19.
1068
478400
-315
12
20.
0
52611300
6660
56
21.
2196
126900
1288
78750
0
22.
28728
870912
0
0
17280
60
23.
0
0
-560
-1680
219177
78
24.
0
0
160
1.
-261
2.
0
3.
-1840
4.
0
5.
-2538
6.
0
7.
-4480
8.
9.
б) Модуль
векторн
произвед.
19116
0
612108
0
3192
0
в)
Скалярное
произвед
40
Вариант
б) Модуль
векторн
произвед.
252 917
в)
Скалярное
произвед
-1632
42
10.
0
6488829
630
25.
0
11.
-464
127488
504
26.
0
10 2997
33
12.
13.
0
4360
-240
0
27.
28.
0
2114
0
80
0
14.
15.
0
-1170
682
567
29.
30.
0
11940
0
33 682
0
56 638
900
2519424
20 857
0
-144
28
4 9933
2.
Вершины пирамиды находятся в точках А, В, С и D. Вычислить:
а) площадь указанной грани;
б) объем пирамиды ABCD.
Ответы
Вариант
1
Координаты
вершины А
A(3, 4, 5)
Координаты
вершины В
В(1, 2, 1)
Координаты
вершины С
С(-2, -3, 6)
Координаты
вершины Д
D(3, -6, -3)
Грань
а)
ACD
Ответ
а)
2
А(-7, -5, 6)
В(-2, 5, -3)
С(3, -2, 4)
D(l, 2, 2)
BCD
1350
82/3
3
A(1, 3, 1)
В(-1, 4, 6)
С(-2, -3, 4)
D(3, 4, -4)
ACD
3
4
А(2, 4, 1)
В(-3, -2, 4)
С(3, 5, -2)
D(4, 2, -3)
ABD
891
2
395
5
A(-5, -3, -4)
В(1, 4, 6)
С(3, 2, -2)
D(8, -2, 4)
ACD
6137
2
304/3
6
A(3, 4, 2)
В(-2, 3, -5)
С(4, -3, 6)
D(6, -5, 3)
ABD
8 26
7
A(-4, 6, 3)
В(3, -5, 1)
С(2, 6, -4)
D(2, 4, -5)
ACD
94
70/3
8
A(7, 5, 8)
В(-4, -5, 3)
С(2, -3, 5)
D(5, 1, -4)
BCD
5 46
202/3
9
A(3, -2, 6)
В(-6, -2, 3)
С(1, 1, -4)
D(4, 6, -7)
ABD
4050
52
10
A(-5, -4, -3)
В(7, 3, -1)
С(6, -2, 0)
D(3, 2, -7)
BCD
1422
2
42
11
A(3, -5, -2)
В(-4, 2, 3)
С(1, 5, 7)
D(-2,-4, 5)
ACD
6986
2
202/3
12
А(7, 4, 9)
В(1, -2, -3)
С(-5, -3, 0)
D(1, -3, 4)
ABD
3 131
50
4
A(-4, -7, -3)
В(-4, -5, 7)
С(2, -3, 3)
D(3, 2, 1)
BCD
2 69
148/3
14
А(-4, -5, -3)
В(3, 1, 2)
С(5, 7, -6)
D(6, -1, 5)
ACD
3 809
110
15
A(5, 2, 4)
В(-3, 5, -7)
С(1, -5, 8)
D(9, -3, 5)
ABD
2 299
286/3
16
A(-6, 4, 5)
В(5, -7, 3)
С(4, 2, -8)
D(2, 8, -3)
ACD
10 117
150
17
A(5, 3, 6)
В(-3, -4, 4)
С(5, -6, 8)
D(4, 0, -3)
BCD
2294
18
A(5, -4, 4)
В(-4, -6, 5)
С(3, 2, -7)
D(6, 2, -9)
ABD
6 115
82/3
19
A(-7, -6, -5)
В(5, 1, -3)
С(8, -4, 0)
D(3, 4, -7)
BCD
86/3
20
A(7, -1, -2)
В(1, 7, 8)
С(3, 7, 9)
D(-3, -5, 2)
ACD
158
2
5957
21
A(5, 2, 7)
В(7, -6, -9)
С(-7, -6, 3)
D(l, -5, 2)
ABD
3194
76
22
A(-2, -5, -1)
В(-6, -7, 9)
С(4, -5, 1)
D(2, 1, 4)
BCD
1802
226/3
23
A(-6, -3, -5)
В(5, 1, 7)
C(3, 5, -1)
D(4, -2, 9)
ACD
24101
2
4/3
2114
Ответ
б)
42
25/3
40
332/3
124/3
43
24
A(7, 4, 2)
B(-5, 3, -9)
C(1, -5, 3)
D(7, -9, 1)
AВD
25
A(-8, 2, 7)
B(3, -5, 9)
С(2, 4, -6)
D(4, 6, -5)
AСD
2 146
296/3
26
A(4, 3, 1)
В(2, 7, 5)
С(-4, -2, 4)
D(2, -3, -5)
ACD
7 34
80/3
27
A(-9, -7, 4)
B(-4, 3, -1)
С(5, -4, 2)
D(3, 4, 4)
BCD
1346
120
28
A(3, 5, 3)
В(-3, 2, 8)
С(-3, -2, 6)
D(7, 8, -2)
ACD
26/3
29
A(4, 2, 3)
B(-5, -4, 2)
С(5, 7, -4)
D(6, 4, -7)
ABD
5 11
3086
30
A(-4, -2, -3)
В(2, 5, 7)
С(6, 3, -1)
D(6, -4, 1)
ACD
6641
2
116
11161
186
178/3
Контрольные вопросы
Как вычисляется скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?
Как вычисляется векторное произведение векторов?
Что называется смешанным произведением векторов?
Какие векторы называются компланарными?
1.
2.
3.
4.
Практическая работа № 8
Составление уравнений прямых и их построение
Цель: Проверить знания и умения по составлению уравнений прямых: по двум точкам,
расположенных перпендикулярно и параллельно данной прямой. Построение прямой.
Задание
1. Даны вершины треугольника ABC: А х1 , у1 , В х2 , у 2 , С х3 , у3  Найти:
а) уравнение стороны АВ;
б) уравнение высоты CH;
в) уравнение медианы AM;
г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;
е) расстояние от точки С до прямой АВ.
А х1 , у1 
В х2 , у2 
С  х3 , у 3 
Ответ а)
Ответ е)
1
A (-2, 4)
B (3, 1)
С (10, 7)
10,5
2
A (-3, -2)
B (14, 4)
С (6, 8)
3
А (1, 7)
В (-3, -1)
C (11, -3)
4
А (1, 0)
В (-1, 4)
С (9, 5)
5
A (1, -2)
В (7, 1)
С (3, 7)
6
A (-2, -3)
В (1, 6)
С (6, 1)
y  6,6 x  2,8
6
16
y
x
17
17
y  2x  5
y  2 x  2
y  0,5 x  2,5
y  3x  3
7
A (-4, 2)
В ( -6, 6)
С (6, 2)
y  2x  5
3 5  1,4
8
A (4, -3)
В (7, 3)
С (1, 10)
y  2 x  11
19 / 5  8,6
В (8, 2)
С (3, 8)
y  1,5 x  10
13,5 / 3,25  7,5
В (5, -7)
С (7, 7)
y  0,5 x  4,5
15 / 1,25  13,6
С (-3, 3)
y  5 x  11
29 / 26  5,8
Варианты
9
A (4, -4),
10
A (-3, -3)
11
A (1, -6)
В (3, 4)
110 / 53  15,1
13,4
9,4
2,7
2 10  0,63
44
12
A (-4, 2)
13
А (-5, 2)
14
A (4, -4)
15
В (8, -6)
С (2, 6)
y
2
2
x
3
3
9 / 1.16  9
С (5, 7)
y  0,4 x  4
45 29 / 29  8.4
В (6, 2)
С (-1, 8)
y  3 x  16
27 / 10  8.5
A (-3, 8)
В (-6, 2)
С (0,-5)
y  2 x  14
3.8 5  8.5
16
A (6, -9)
В (10, -1)
С (-4, 1)
y  2 x  21
30 / 5  13.4
17
A (4, 1)
В (-3, -1)
С (7, -3)
34 / 53  4,7
18
A (-4, 2)
В (6, -4)
С (4, 10)
2
1
y x
7
7
y  0,6 x  0,4
19
A (3, -1)
B (11, 3)
С (-6, 2)
y  0,5 x  2,5
7,5 / 1,25  6,7
20
21
A (-7, -2)
A (-1, -4)
В (-7, 4)
В (9, 6)
С (5, -5)
С (-5, 4)
12
8
22
A (10, -2)
В (4, -5)
С (-3, 1)
x  7
y  x3
y  0,5 x  7
23
A (-3, -1)
В (-4, -5)
С (8, 1)
y  4 x  11
42 17 / 17  10.2
24
A (-2, -6)
В (-3, 5)
С (4, 0)
25
A (-7, -2)
В (3, -8)
С (-4, 6)
y  11x  28
y  0,5 x  2,5
36 122 / 61  6.5
4,2 5  9,4
26
A (0, 2)
В (-7, -4)
С (3, 2)
y  0,6 x  6,2
25 34 / 17  8.6
27
A (7, 0)
В (1, 4)
С (-8, -4)
42 / 13  11,7
28
A (1, -3)
B (0, 7)
С (-2, 4)
2
14
y x
3
3
y  10 x  7
29
A (-5, 1)
B (8, -2)
С (1, 4)
30
A (2, 5)
B (-3, 1)
С (0, 4)
В (0, -4)
3
2
x
13
13
y  0,8 x  3,4
y
20 34 / 17  6.9
3.8 5  8.5
23 101 / 101  2.3
57 / 78  4,3
3 41 / 41  0.5
2. Решить следующие задачи
2.1. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x - 2у - 7
= 0 и x + 3y - 6 = 0 и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3. Ответ : x  3
2.2. Найти проекцию точки A(-8, 12) на прямую, проходящую через точки B(2, -3) и
C(-5,1). Ответ : A1  12, 5
2.3. Даны две вершины треугольника ABC: A(-4, 4), В(4, -12) и точка М(4, 2)
пересечения его высот. Найти вершину С. Ответ :C 8, 4
2.4.Найти уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок, равный 2, и
проходящей параллельно прямой 2y - x = 3. Ответ : x  2 y  4  0
2.5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(2, -3) и точку пересечения
прямых 2x - y = 5 и x + y = 1. Ответ : x  2
2.6. Доказать, что четырехугольник ABCD - трапеция, если A(3, 6), В(5, 2), С(-1, -3),
D(5,5).
2.7. Записать уравнение прямой, проходящей через точку A(3, 1) перпендикулярно к
прямой BC, если В(2, 5), С(1, 0). Ответ : x  5 y  8  0
2.8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(-2, 1) параллельно прямой
MN, если M(-3, -2), N(1, 6). Ответ : 2 x  y  5  0
2.9. Найти точку, симметричную точке M(2, -1) относительно прямой x - 2у + 3 = 0.
 4 23 
Ответ : M 1   ; 
 5 5 
45
2.10. Найти точку O пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, если A(-1, -3),
 1
B(3, 5), С(5,2), D(3, -5). Ответ :MO 3; 
 3
2.11. Через точку пересечения прямых 6x - 4у + 5 = 0, 2x+ 5y + 8 = 0 провести прямую,
параллельную оси абсцисс. Ответ : y  1
2.12. Известны уравнения стороны AB треугольника ABC 4x + y = 12, его высот BH 5x
- 4y = 12 и AMx + y = 6. Найти уравнения двух других сторон треугольника AВС.
Ответ : 7 x  7 y  16  0; 4 x  5 y  28  0
2.13. Даны две вершины треугольника AВС: A(-6, 2), B(2, -2) и точка пересечения его
высот H(1,2). Найти координаты точки M пересечения стороны AС и высоты BH.
 10 62 
Ответ :M  ; 
 17 17 
2.14. Найти уравнения высот треугольника ABC, проходящих через вершины А и В,
если А(-4, 2), В(3, -5), C(5, 0). Ответ : 7 x  5 y  2  0; 9 x  2 y  28  0
2.15. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через
середины сторон треугольника, вершинами которого служат точки А(2, 3), В(0, -3), С(6,3).
2

Ответ :M  3; 
3

2.16. Составить уравнение высоты, проведенной через вершину А треугольника ABC,
зная уравнения его сторон: АВ - 2х - у - 3 = 0, АС -x + 5y - 7 = 0, ВС - 3x - 2у + 13 = 0.
Ответ : 2 x  3 y  7  0;
2.17. Дан треугольник c вершинами А(3, 1), В(-3, -1) и С(5, -12). Найти уравнение и
вычислить длину его медианы, проведенной из вершины С.
54
Ответ : 2 x  y  2  0; d 
 13,1
17
2.18. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку
пересечения прямых 2х + 5у - 8 = 0 и 2x + 3y + 4 = 0. Ответ : 6 x  11y  0;
2.19. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 3x + 5у - 15 = 0, проведенных через
точки пересечения данной прямой с осями координат.
Ответ : 5 x  3 y  25  0; 5 x  3 y  9  0;
2.20. Даны уравнения сторон четырехугольника: х - у = 0, х + 3у = 0, х - у - 4 = 0, 3х + у
- 12 = 0. Найти уравнения его диагоналей. Ответ : y  0; x  3
2.21. Составить уравнения медианы СМ и высоты СК треугольника ABC, если A(4, 6),
В(-4, 0), С(-1, -4). Ответ : 7 x  y  3  0  CM ; 4 x  3 y  16  0  CK
2.22. Через точку Р(5, 2) провести прямую: а) отсекающую равные отрезки на осях
координат; б) параллельную оси Ох; в) параллельную оси Оу.
Ответ : x  y  7  0; y  2; x  5
2.23. Записать уравнение прямой, проходящей через точку А(-2, 3) и составляющей с
осью Ох угол: а) 45°, б) 90°, в) 0°. Ответ : x  y  5  0  CM ; x  2  0; y  3  0
2.24. Какую ординату имеет точка С, лежащая на одной прямой с точками А(- 6, -6) и
В(3, -1) и имеющая абсциссу, равную 3? Ответ : y  9
2.25. Через точку пересечения прямых 2х - 5у - 1 = 0 и х + 4у - 7 = 0 провести прямую,
делящую отрезок между точками A(4, -3) и B(-1, 2) в отношении = 2 / 3.
Ответ : 2 x  y  5  0;
2.26. Известны уравнения двух сторон ромба 2х -5у - 1 = 0 и 2x - 5у - 34 = 0 и
уравнение одной из его диагоналей х + 3у - 6 = 0. Найти уравнение второй диагонали.
Ответ : 3x  y  23  0;
46
2.27. Найти точку Е пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются
точки А(3,1), В(7, 5) и С(5, -3). Ответ :E3;1
2.28. Записать уравнения прямых, проходящих через точку А(-1, 1) под углом 45° к
прямой 2x + 3y = 6. Ответ : x  5 y  6  0; 5 x  y  4  0
2.29. Даны уравнения высот треугольника ABC 2x - 3y + 1 = 0, х + 2у + 1 = 0 и
координаты его вершины А(2, 3). Найти уравнения сторон АВ и АС треугольника.
Ответ : 2 x  y  1  0  AB; 3x  2 y  12  0  AC
2.30. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х - 2у = 0, x - у - 1 = 0 и точка
пересечения его диагоналей М(3, -1). Найти уравнения двух других сторон.
Ответ : x  y  7  0; x  2 y  10  0
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Запишите уравнения осей координат.
Общее уравнение прямой.
Условие параллельности и перпендикулярности прямых.
Запишите уравнения прямых, параллельных осям координат.
Сформулируйте условие параллельности прямых.
Сформулируйте условие перпендикулярности прямых.
Как найти угол между прямыми?
Как найти расстояние между прямыми?
Практическая работа №9
Составление уравнений кривых второго порядка, их построение
Цель: Проверить уровень усвоения материала по составлению уравнений кривых второго
порядка (окружности, эллипса, параболы, гиперболы) и их построению.
Задания
1. Составить канонические уравнения:
а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В - точки, лежащие на кривой, F - фокус, а большая (действительная) полуось, b - малая (мнимая) полуось, ε - эксцентриситет, y=±kx уравнения асимптот гиперболы, D - директриса кривой, 2с - фокусное расстояние).
Вариант
1.
2.
Эллипс
b = 15, F(-10, 0)
Гипербола
а =13, ε = 14/13
b = 2, F(
а = 7, ε =
k = 3/4, ε = 5/4
, 0)
3.
A(3, 0), В(2,
4.
ε=
5.
2а = 22, ε =
6.
b=
7.
а = 4, F = (3, 0)
8.
b = 4, F = (9, 0)
9.
10.
A(0,
)
, А(-5, 0)
A(
ε = 7/8, A(8,0)
D: у = - 2
,
)
ось симметрии Ох и
A(4, -8).
D: x = -2
b=
, F(-11, 0)
а = 5, ε = 7/5
,1)
k=
A(3,
D: x = 6
D: у = -4
, ε = 11/10
), B(
D: у = 1
ось симметрии Оx и A(27, 9).
k = 2/3, 2с =
k = 3/4, 2а = 16
,ε=
), В(
, 3), B(
Парабола
D: х = - 4
D: х = 5
,6)
D: у = 4
47
11.
2а = 24, ε =
k=
12.
b = 2, ε =
k =12/13, 2a = 26
13.
14.
а = 6, F(-4, 0)
b = 7, F(5, 0)
b = 3, F(7, 0)
а = 11, ε = 12/11
A(
k =1/2, ε =
15.
, 1/3),
D: у = -1
16.
В(
, 1/2);
ε = 3/5, A(0, 8)
17.
2а = 22, ε = 10/11
k=
18.
b = 5, ε = 12/13
k = 1/3, 2а = 6
19.
20.
21.
а = 9, F(7, 0)
b = 5, F(-10, 0)
b = 6, F(12, 0)
а = 9, ε = 4/3
22.
A(0, -2), В(
ε = 2/3, A(-6, 0)
23.
2а = 50, ε = 3/5
24.
b=
А(
, 1)
k=
A(
k=
, 0), В(
, 0), В(
, 2)
28.
ε = 5/6, A(0,
29.
2а = 30, ε = 17/15
k=
, 2с =18
, ε = 7/9
k=
, 2а = 12
A(-2,
).
D: x = -3/8
D: x = 13
D: y = 4
b = 44, F(-7, 0)
b = 4, F(-11, 0)
A(-3, 0), B(1,
)
)
k=
,ε=
A(
, 1), B(
D: у = 1
ось симметрии Оу и
A(4, 1).
ось симметрии Оу и
, 2с = 30
k = 5/6, 2а = 12
, ε = 7/8
D: у = 9
ось симметрии Ох и
A(-7, 5).
ось симметрии Оу и
A(-9, 6).
D: х = -1/4
D: х = 12
D: у = 5
, ε =11/9
а =13, F(-5, 0)
b = 7, F(13, 0)
b=
, l)
, 2с=12
25.
26.
27.
30.
ось симметрии Оx и
A(-7, -7).
ось симметрии Ох и
A(-5, 15).
D: х = -7
D: х = 10.
, 2с =10
, 0)
D: y = -3
ось симметрии Оу и
A(4, -10)
ось симметрии Оу и A(-45,
15).
2. Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки и имеющей
центр в точке А.
2.1. Вершины гиперболы 12x2 - 13у2 = 156, A(0, -2).
2.2. Вершины гиперболы 4х2 – 9y2 = 36, A(0, 4).
2.3. Фокусы гиперболы 24y2 – 25x2 = 600, A(0, -8).
2
2.4. О(0, 0), A - вершина параболы у2 = 3(x - 4). Ответ : x  4  y 2  16
2.5. Фокусы эллипса 9x2 + 25у2 = 1, A(0, 6).
2.6. Левый фокус гиперболы Зх2 – 4y2 = 12, A(0, -3).
2.7. Фокусы эллипса Зx2 + 4у2 = 12, A - его верхняя вершина.
2.8. Вершину гиперболы х2 - 16у2 = 64, A(0, -2).
2.9. Фокусы гиперболы 4x2 - 5у2 = 80, A(0, -4).
2.10. O(0, 0), A - вершина параболы у2 = - (х +5)/2.
2.11. Правый фокус эллипса 33x2 + 49y2 = 1617, A(1, 7).
2.12. Левый фокус гиперболы Зx2 - 5у2 = 30, A(0, 6).
2.13. Фокусы эллипса 16x2 - 41у2 = 656, A - его нижняя вершина.
2.14. Вершину гиперболы 2x2 - 9у2 = 18, A(0, 4).
2.15. Фокусы гиперболы 5x2 - 11у2 = 55, A(0, 5).
2.16. В(1, 4), A - вершина параболы у2 = (х - 4)/3.
2.17. Левый фокус эллипса 3x2 + 7y2 = 21, А(-1, -3).
48
2.18. Левую вершину гиперболы 5х2 – 9y2 = 45, A(0, -6).
2.19. Фокусы эллипса 24x2 – 25y2 = 600, A - его верхняя вершина.
2.20. Правую вершину гиперболы Зx2 - 16у2 - 48, A(1, 3).
2.21. Левый фокус гиперболы 7x2 - 9у2 = 63, A(-1, -2).
2.22. B(2, -5), A - вершина параболы х2 = -2(у + 1).
2.23. Правый фокус эллипса x2 + 4y2 = 12, A(2, -7).
2.24. Правую вершину гиперболы 40x2 - 81у2 = 3240, A(-2, 5).
2.25. Фокусы эллипса x2 + 10y2 = 90, А - его нижняя вершина.
2.26. Правую вершину гиперболы Зx2 - 25у2 = 75, A(-5, -2).
2.27. Фокусы гиперболы 4x2 - 5у2 = 20, A(0, -6).
2.28. В(3, 4), А - вершина параболы у2 = (х + 7)/4.
2.29. Левый фокус эллипса 13x2 + 49y2 = 837, A(1, 8).
2.30. Правый фокус гиперболы 57x2 - 64у2 = 3648, А(2, 8).
3. Составить уравнение линии, каждая точка М которой удовлетворяет заданным
условиям.
3.1. Отстоит от прямой х = -6 на расстоянии, в два раза большем, чем от точки А(1, 3).
3.2. Отстоит от прямой х= -2 на расстоянии, в два раза большем, чем от точки А(4, 0).
3.3. Отстоит от прямой у = -2 на расстоянии, в три раза большем, чем от точки A(5, 0).
3.4. Отношение расстояний от точки М до точек А(2, 3) и В(-1, 2) равно 3/4.
3.5. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A(4, 0) и В(-2, 2) равна 28.
3.6. Отстоит от точки A(1, 0) на расстоянии, в пять раз меньшем, чем от прямой х = 8.
3.7. Отстоит от точки A(4, 1) на расстоянии, в четыре раза большем, чем от точки
В (-2, -1).
3.8. Отстоит от прямой х = -5 на расстоянии, в три раза большем, чем от точки A(6, 1).
3.9. Отстоит от прямой у = 7 на расстоянии, в пять раз большем, чем от точки A(4, -3).
3.10. Отношение расстояний от точки М до точек A(-3, 5) и В(4, 2) равно 1/3.
3.11. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A(-5, -1) и В(3, 2) равна 40,5.
3.12. Отстоит от точки A(2, 1) на расстоянии, в три раза большем, чем от прямой х = -5.
3.13. Отстоит от точки A(-3, 3) на расстоянии, в три раза большем, чем от точки В(5, 1).
3.14. Отстоит от прямой х = 8 на расстоянии, в два раза большем, чем от точки A(-1, 7).
3.15. Отстоит от прямой х = 9 на расстоянии, в четыре раза меньшем, чем от точки
A(-1, 2).
3.16. Отношение расстояний от точки М до точек A(2, -4) и В(3, 5) равно 2/3.
3.17. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A(-3, 3) и B(4, 1) равна31.
3.18. Отстоит от точки A(0, -5) на расстоянии, в два раза меньшем, чем от прямой х = 3.
3.19. Отстоит от точки A(4, -2) на расстоянии, в два раза меньшем, чем от точки B(1, 6).
3.20. Отстоит от прямой х = - 7 на расстоянии, в три раза меньшем, чем от точки A(1, 4).
3.21. Отстоит от прямой х = 14 на расстоянии, в два раза меньшем, чем от точки A(2, 3).
3.22. Отношение расстояний от точки М до точек A(3, -2) и В(4, 6) равно 3/5.
3.23. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A (-5, 3) и В (2, -4) равна 65.
3.24. Отстоит от точки A(3, -4) на расстоянии, в три раза большем, чем от прямой х = 5.
3.25. Отстоит от точки A(5, 7) на расстоянии, в четыре раза большем, чем от точки
В(-2,1).
3.26. Отстоит от прямой х = 2 на расстоянии, в пять раз большем, чем от точки A (4, -3).
3.27. Отстоит от прямой х = -7 на расстоянии, в три раза меньшем, чем от точки A (3, 1).
3.28. Отношение расстояний от точки М до точек A (3, -5) и В (4, 1) равно 1/4.
3.29. Сумма квадратов расстояний от точки М до точек A(-1, 2) и В (3, -1) равна 18,5.
3.30. Отстоит от точки A(1, 5) на расстоянии, в четыре раза меньшем, чем от прямой х=-1
49
Контрольные вопросы
1. Запишите каноническое уравнение эллипса.
2. Запишите каноническое уравнение гиперболы.
3. Запишите каноническое уравнение параболы.
4. Что называется эксцетриситетом эллипса?
5. Запишите уравнения асимптот гиперболы.
Самостоятельная работа
Вариант 1


Даны векторы a (9;2;1) и b (4;3;0) (для № 1-5).
 
7. Найти a  b .(Ответ: 24)
 
 24 

8. Найти a  b . Ответ : 
 5 86 

9. Найти a 2 .(Ответ: 86)

10. Найти b .(Ответ: 5)

  

  
f  3a .(Ответ:
11. Найти
координаты
векторов
c  a b ,
d  a b ,
c13;1;1, d 5;5;1, f  27;6,0 )
12. В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0),
B (3; -4), C (-3; 4). Определить расстояние между точками A и B, B и C, A и C.(Ответ:
AB  5, BC  10, AC  5 )


Вариант 2


Даны векторы a (3;2;1) и b (3;0;4) (для № 1-5).
 
7. Найти a  b .(Ответ:-5)
 
1
8. Найти a  b .(Ответ: 
)
14

9. Найти a 2 .(Ответ: 14)

10. Найти b .(Ответ: 5)

  

  
f  3a .(Ответ:
11. Найти
координаты
векторов
c  a b ,
d  a b ,
c0;2;5, d  6;2;3, f 9;6,3)
12. В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0),
C (-3; 4), D (-2; 2) E (10; -3). Определить расстояние между точками C и D, A и D, D и E..
(Ответ: CD  5 , AD  2 2 , DE  13 )


Тест для самоконтроля по теме «Векторная алгебра»


1. Даны векторы а  2; 4;1 и с  1; 2; 0. Найти координаты суммы векторов.
а) 3; 6;1 b) 0; 6;1 c) 1; 2;1


2. Даны векторы а  2; 4;1 и с  1; 2; 0. Найти координаты разности векторов.
а) 3; 6;1 b) 0; 6;1 c) 1; 2;1


 
3. Даны векторы а  2; 4;1 и с  1; 2; 0. Найти координаты вектора а  2с .
а)  3; 8;1 b) 4; 8;1 c) 1; 2;1

4. Найти координаты вектора AB , если А 2; 4;  6 и B 2;  4; 8
50
a) 0;  4; 7 b) 2;  4; 2 c) 0; 4;  7

5. Найти длину вектора а  1; 2;  2
а) 4
b) 3
c) 1

6. Найти длину вектора AB , если А 5; 3; 1 и B 4; 5;  1
а) 3 b) 2
c) 1


х2 ; у 2 ; z 2  имеет вид:
b


а
х
;
у
;
z
1
1
1 и
7. Условие коллинеарности векторов
x
y
z
а) x1 x2  y1 y2  z1 z 2  0 b) x1 x2  y1 y2  z1 z 2 c) 1  1  1  m
x2
y2 z2

8. Укажите вектор, коллинеарный вектору а 2;  3;  1



a ) b 6;  9;  3
c) b  4; 6;  2
b) b 8; 12;  4 


9. Найти скалярное произведение векторов а 4;  3; 1 и b 5;  2;  3
а) 3
b) 12
c) 23




10. Найти координаты вектора а   i  3 j  5 k
a) 1;  3;  5 b)  1;  3; 5 c)  1; 3; 5


11. Условие перпендикулярности векторов а х1 ; у1 ; z1  и b х 2 ; у 2 ; z 2  имеет вид:
x
y
z
а) x1 x2  y1 y2  z1 z 2  0 b) x1 x2  y1 y2  z1 z 2 c) 1  1  1  m
x2
y2 z2


12. При каком значении m векторы а 1; 3;  2 и b  1; m; 4  векторы
перпендикулярны?
а) 5
b) 3
c) -3
13. Вершинами треугольника служат точки А 10;  2; 8 , B 8; 0; 7 и C 10; 2; 8 .
Найти длину стороны AB .
а) 4
b) 3
c) 1
14. Вершинами треугольника служат точки А 10;  2; 8 , B 8; 0; 7 и C 10; 2; 8 .
Найти длину стороны AC .
а) 4 b) 3
c) 1







 

15. Найти координаты вектора а  b , если а  3 i  2 j  5 k и а   2 i  3 j  4 k
a) 1; 5; 1 b) 5;  1;  9
c)  1; 3; 5



 

16. Найти координаты вектора а  b , если а  3 i  2 j  5 k
a) 1; 5; 1 b) 5;  1;  9 c)  1; 3; 5


 3; 6; 6
b
Найти
угол
между
векторами
и


а
2
;
2
;

1
17.
a) 45 b) 60  c) 90 
и




а   2i 3 j  4k
18. Даны точки А 3; 5; 6 и B  5; 1; 0 . Найти координаты середины отрезка А B
a) 4; 2; 3 b) 5;  2; 2 c)  4; 2;  3
Тест для самоконтроля по теме «Прямые»
1. Общее уравнение прямой имеет вид:
y  y1
x  x1
c) Ax  By  C  0

a) y  y1  kx  x1  b)
y 2  y1 x2  x1
51
2. Необходимое и достаточное условие параллельности прямых с угловыми
k
k
коэффициентами 1 и 2 :
a) k1  k 2
b) k1  k 2  1
c) k1  k 2  0
3. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых с угловыми
k
k
коэффициентами 1 и 2 :
a) k1  k 2
b) k1  k 2  1
c) k1  k 2  0
4. Расстояние от точки M 0 до прямой Ax  By  C  0 вычисляется по формуле:
A x0  B y 0  C
A x0  B y 0  C
a) d 
b) d 
c) d  A x0  B y 0  C
A2  B 2
A2  B 2  C 2
5. Укажите уравнение прямой параллельной y  5 x  6
a ) y   5 x b) 10 x  y  12  0 с) 10 x  2 y  8  0
6. Выберите уравнение, описывающее прямую, изображенную на рисунке
a )  2 x  3 y  0 b)
x
y
x
y

 1 c)
 1
3 2
2 3
y  5x6
7. Укажите уравнение прямой перпендикулярной прямой
1
a ) y   x b) 10 x  y  12  0 с) 10 x  2 y  8  0
5
8. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, если ее угловой
коэффициент k  5
a) 5 x  y  0 a ) x  5 y  0 c) 5 x  y  0
9. Указать точку, принадлежащую прямой 7 x  3 y  21  0
a) A  4; 13 b) A  3; 14 c) A   4; 13
10. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей с

осью О х угол 45 .
a ) x  y  0 b) x  y  0 c ) x  y  1  0
11. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
угловой коэффициент k  3 .
 5; 1 
и имеющей
a ) 3 x  y  0 a) 3 x  y 16  0 c) 3 x  y 16  0
Тест по теме «Кривые второго порядка»
1. Уравнение эллипса имеет вид:
52
x2
a2
2.
x2
a) 2
a
3.
x2
a) 2
a
y2
x2
y2

1
b
)

 1 c) y 2  2 px
b2
a2
b2
Уравнение гиперболы имеет вид:
y2
x2
y2
 2 1
b) 2  2  1 c) y 2  2 px
b
a
b
Уравнение параболы имеет вид:
y2
x2
y2
 2  1 b) 2  2  1 c) y 2  2 px
b
a
b
2
2
4. Найти радиус окружности x  y  4 y  5  0
a ) 7 b) 3 c ) 5
a)

x2
y2

1
5. Чему равна большая полуось эллипса 36 25
a ) 6 b) 11 с) 5
x2
y2

1
100 51
6. Найти эксцентриситет эллипса
a ) 6 b) 0, 3 c) 0,7
x2
y2

1
7. Чему равна действительная ось гиперболы 64 25
a ) 6 b) 18 с) 5
8. Найти эксцентриситет гиперболы
3
6
a) 14 b) c )
5
5
x2
y2

1
25 11
x2
y2

1
гиперболы 144 256
9. Записать уравнения асимптот
4
3
a ) y   x b) y   x c ) y   3 x
3
4
10. Записать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус
находится в точке F  3; 0 
a) y 2  2 x b) y 2 12 x c) y 12 x 2
2
2
11. Для гиперболы 16 x  9 y  144 найти расстояние между фокусами.
a ) 6 b) 10 с) 5
12. Найти координаты центра окружности
a)  4; 5  b)  5; 4  c)  2; 5 
x 2  y 2  8 x  10 y  8  0
13. Найти координаты радиус окружности
a ) 6 b) 10 с) 7
x 2  y 2  8 x  10 y  8  0
Тема 3.1. Пределы и непрерывность
(У3, З2)
Устный опрос
1. Дайте определения предела функции в точке.
2. Сформулировать свойства пределов
3. Какие типы неопределенностей вам известны?
53
4. Как избавиться о неопределенности
0
?
0
с
?
0
0
Чему равно значение предела функции при неопределенности ?
с
Сформулируйте первый и второй замечательный пределы.
Чему равна неопределенность вида с  ?
Чему равна неопределенность вида 0  с ?
5. Чему равно значение предела функции при неопределенности
6.
7.
8.
9.
Практическая работа № 10
Вычисление пределов, раскрытие неопределённостей
Цель: Проверить умения и навыки студентов в вычислении пределов, раскрытии
неопределенностей.
Задания
Найти указанные пределы.
1.
1.1.
1.3.
1.5.
1.7.
1.9.
1.11.
1.13.
1.15.
1.17.
1
8
5
ответ :
27
ответ : нет
ответ :
решения
ответ :
4
9
4
3
12
ответ :
5
8
ответ :
9
1
ответ :
5
6
ответ :
5
ответ :1
1.21.
ответ :
1.23.
1.4.
1.6.
1.8.
ответ :
1.19.
1.2.
1.10.
1.12.
1.14.
1.16.
1.18.
1.20.
1
7
ответ :
1.22.
9
1.24.
11
ответ :1
3
5
ответ : нет
ответ :
решения
ответ :
11
4
ответ :1
ответ : 1
13
4
9
ответ :
4
ответ :
ответ : 0
ответ : нет
решения
ответ : нет
решения
ответ :
9
19
54
1.25.
1.27.
1.29.
24
17
4
ответ :
3
22
ответ :
5
ответ :
1.26.
ответ : нет
решения
1.28.
ответ :
1.30.
17
23
7
ответ :
8
2.
2.1.
2.3.
2.5.
ответ :
ответ : 0
ответ : 0
2.9.
ответ : 2
2.11.
ответ :
2.13.
ответ : 0
2.19.
решения
2.23.
ответ :
2.29.
7
3
19
2
5
ответ :
7
ответ : нет
ответ :
2.27.
2.8.
ответ :
2.21.
2.25.
2.6.
5
23
ответ :
2.17.
2.2.
2.4.
2.7.
2.15.
1
13
11
48
11
4
4
ответ :
11
ответ : нет
решения
ответ : нет
решения
ответ : нет
решения
ответ : нет
решения
3
16
2.10.
ответ :
2.12.
ответ :
2.14.
ответ : 12
1
2
2.16.
ответ : нет
решения
2.18.
ответ : 3
2.20.
ответ :
2.22.
ответ : 6
2.24.
11
75
ответ : 0
2.26.
ответ : 0
13
2.28.
16
10
ответ :
2.30.
7
ответ : 0
ответ :
ответ :
48
29
3.
3.1.
3.2.
55
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
56
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
5.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
57
5.23.
5.24.
5.25.
5.26.
5.27.
5.28.
5.29.
5.30.
6.
6.1.
6.3.
6.5.
6.2.
ответ : 
8
48
7
6.4.
91
5
ответ :
6.6.
20
ответ :
1
10
ответ : 7
ответ : 
6.7.
ответ : 2 2 6.8.
6.9.
ответ :
6.11.
ответ : 2
6.13.
ответ :  3
ответ : 7
11
6.10.
286
6.12.
ответ : 3
3
2
ответ : 
ответ :
6.14.
ответ :
2 2
3
6.16.
ответ :
3
2
1
9
6.15.
ответ :
6.17.
ответ :
3
2
6.18.
ответ :
6.19.
ответ :
5
64
6.20.
ответ :
6.21.
ответ : 2
6.23.
ответ :
6.25.
6.22.
6
5
ответ : 5
6.24.
6.26.
6.27.
ответ :
1
6.28.
384
6.29.
ответ :
1
16
6.30.
2
8
1
7
1
12
ответ : 3 5
ответ :
25
24
ответ :
ответ :
ответ :
3
2
10
10  3
1
18
58
Контрольные вопросы
1. Дайте определения предела функции в точке.
2. Какие типы неопределенностей вам известны?
0
3. Как избавиться о неопределенности
?
0
с
?
0
0
5. Чему равно значение предела функции при неопределенности
?
с
4. Чему равно значение предела функции при неопределенности
Практическая работа № 11
Вычисление пределов с помощью замечательных пределов. Раскрытие
неопределенностей
Цель: Проверить знания и умения по вычислению пределов, сводящихся к замечательным.
Задания
Найти пределы.
k – порядковый номер в журнале
k x2
sin 3 x
tg (kх  3х) x 2
, 2) lim
,
3
)
lim
,
x  0 k  2  x
x0 sin 2 5 x
x 0
5x
1). lim
x
sin kx  sin 5 x
 k
4) lim 1   , 5) lim
,
x 0
x 
kx
x

6) lim
x 0
cos 2 x  cos kx
x
Задание 7.
7.1.
Ответ: e12
7.2.
7.3.
Ответ: e2
7.4.
Ответ: е 3
7.5.
Ответ: e10
7.6.
Ответ: е -15
7.7.
Ответ: e2
7.8.
Ответ: е 4
7.9.
Ответ: e9/2
7.10.
Ответ: е -14
7.12.
Ответ: е
7.11.
Ответ: e-15
Ответ: е -12
59
7.13.
Ответ: e-6
7.19.
Ответ: e-32 7.20.
7.18.
Ответ: е 15
Ответ: е -4
7.21.
Ответ: е
7.22.
Ответ: е 3
7.23.
Ответ: e-1
7.24.
Ответ: е -8/3
7.25.
Ответ: e5/2
7.26.
Ответ: е -1/3
7.27.
Ответ: e
7.28.
Ответ: е -2/3
7.29.
Ответ: е -2
7.30.
Ответ: е -3/2
Задание 8.
Ответ: 
8.1.
Ответ: 0
8.2.
8.3.
Ответ: 0
8.4.
Ответ: 0
Ответ: 0
8.5.
Ответ: 
8.6.
8.7.
Ответ: 
8.8.
8.9.
Ответ: 0
8.10.
8.11.
Ответ: 
8.12.
Ответ: 0
8.13.
Ответ: 0
8.14.
Ответ: 0
8.15.
Ответ: 0
8.16.
Ответ: 0
Ответ: 0
Ответ: 
Ответ: 
8.17.
Ответ: 0
8.18.
8.19.
Ответ: 0
8.20.
Ответ: 
8.21.
Ответ: 
8.22.
Ответ: 0
60
Ответ: 
8.23.
Ответ: 0
8.25.
8.24.
Ответ: 
8.26.
Ответ: 
8.27.
Ответ: 
8.28.
Ответ: 0
8.29.
Ответ: 0
8.30.
Ответ: 0
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте первый и второй замечательный пределы.
2. Чему равна неопределенность вида с  ?
3. Чему равна неопределенность вида 0  с ?
Практическая работа № 12
Классификация точек разрыва. Вычисление односторонних пределов
Цель: Проверить навыки и умения учащихся по вычислению пределов, раскрытию
неопределенностей, классификации точек разрыва.
Задания
1.Доказать, что функции f (x) и  (x ) при x> 0 являются бесконечно малыми одного порядка
малости.
1.1. f ( x)  tg 2 x,  ( x)  arcSinx
1.2. f ( x)  1  Cosx,  ( x)  3x 2
1.3. f ( x)  arctg 2 3x,  ( x)  4 x 2
1.4 f ( x)  sin 3x  sin x,  ( x)  5 x
1.5. f ( x)  cos 3x  cos x,  ( x)  7 x 2
1.6. f ( x)  x 2  cos 2 x,  ( x)  6 x 2
1.7. f ( x)  1  x  1,  ( x)  2 x
1.8. f ( x)  sin x  sin 5 x,  ( x)  2 x
3x
x
1.9. f ( x) 
,  ( x) 
1 x
4 x
2
3x
,  ( x)  7 x 2
1.10. f ( x) 
2 x
5x 3
1.11. f ( x)  2 x 3 ,  ( x) 
4 x
2
x
4x 2
,  ( x) 
1.12. f ( x) 
5 x
x 1
1.13. f ( x)  sin 8 x,  ( x)  arcSin 5 x
1.14. f ( x)  sin 3x  sin x,  ( x)  10 x
61
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
f ( x)  cos 7 x  cos x,  ( x)  2 x 2
f ( x)  1  cos x,  ( x)  8 x 2
f ( x)  3sin 2 4 x,  ( x)  x 2  x 4
f ( x)  tg( x 2  2 x),  ( x)  x 2  2 x
f ( x)  arcSin ( x 2  x),  ( x)  x 3  x
f ( x)  Sin 7 x  Sinx ,  ( x)  4 x
1.21. f ( x)  4  x ,  ( x)  3x
1.22. f ( x)  sin( x 2  2 x),  ( x)  x 4  8x
2x
1.23. f ( x) 
,  ( x)  2 x  x 2
3 x
x2
1.24. f ( x) 
,  ( x)  3x 3  x 2
7 x
1.25. f ( x)  sin( x 2  5x),  ( x)  x 3  25x
1.26. f ( x)  Cosx  Cos 3 x,  ( x)  6 x 2
1.27. f ( x)  arcSin 2 x,  ( x)  8 x
1.28. f ( x)  1  Cos4 x,  ( x)  x  Sin 2 x
1.29. f ( x)  9  x ,  ( x)  2 x
1.30. f ( x)  Cos3x  Cos5x,  ( x)  x 2
2.
Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.
3
5
ответ :
ответ :
2.1.
2.2.
5
3
2.3.
ответ :
7
2
2.5.
2.4.
2.6.
2.7.
ответ :
5
2
2.8.
2.9.
ответ :
2
3
2.10.
2.11.
ответ : 2
2.12.
2.13.
ответ :
3
2
2.14.
2.15.
ответ :
5
2
2.16.
1
12
2.17.
ответ :
2.19.
ответ : 48
2.20.
2.21.
ответ : 2
2.22.
2.18.
1
9
3
ответ :
2
3
ответ :
2
ответ :
ответ :1
9
2
4
ответ :
5
ответ :
ответ :
ответ :
1
4
1
2
ответ : 2
ответ :
5
2
62
2.23.
ответ :
2.25.
ответ :
2.27.
2.29.
3
2
5
2
1
ответ :
27
ответ :1
2.24.
2.26.
ответ : 2
ответ :
4
2
2.28.
2.30.
ответ :
5
3
3.
Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики.
 x  4, x  1,
 x  1, x  0
 2

3.1. f ( x)   x  2,1  x  1,
3.2. f ( x)  ( x  1) 2 ,0  x  2
 2 x , x  1.
 x  4, x  2


 x  2, x  1

3.3. f ( x)   x 21 ,1  x  1
 x  3, x  1

 x , x  0

3.4 . f ( x)   ( x  1) 2 ,0  x  2
 x  3, x  2

 2( x  1), x  1

3.5. f ( x)  ( x  1) 3 ,1  x  0
 x, x  0

 x , x  0

3.6. f ( x)   x 2 ,0  x  2
 x  1, x  2

 x 2  1, x  1

3.7. f ( x)  2 x,1  x  3
 x  2, x  3

 x  3, x  0

3.8. f ( x)   x  1,0  x  4
3  x, x  4

 1 x, x  0

3.9. f ( x)  0,0  x  2
 x  2, x  2

2 x 3 , x  0

3.10. f ( x)   x,0  x  1
2  x, x  1

 x  1, x  0

3.13. f ( x)   x 2 ,0  x  2
2 x, x  2



cos x, x  2

 
3.12. f ( x)  0,  x  
 2
2, x  


 x  1, x  0

3.14. f ( x)   x 2  1,0  x  1
 x, x  1

 x , x  0

3.15. f ( x)   x 2  1,0  x  2
 x  1, x  2

 x  3, x  0

3.16. f ( x)  1,0  x  2
 2
 x  2, x  2
sin x, x  0

3.11. f ( x)   x,0  x  2
0, x  2

63
 x  1, x  0

3.17. f ( x)  sin x,0  x  
3, x  

1, x  0

3.19. f ( x)  2,0  x  2
 x  3, x  2

 x  1, x  1

3.18. f ( x)   x 2  1,1  x  2
2 x, x  2

3 x  4, x  1

3.21. f ( x)   x 2  2,1  x  2
 x, x  2

 x, x  1

3.22. f ( x)  ( x  2) 2 ,1  x  3
 x  6, x  3

 x  1, x  1

3.23. f ( x)   x 2  2,1  x  2
 2 x , x  2

 x 3 , x  1

3.24. f ( x)   x  1,1  x  3
 x  5, x  3

 x, x  2

3.25. f ( x)   x  1,2  x  1
 x 2  1, x  1

 x  3, x  0

3.26. f ( x)   x 2  4,0  x  2
 x  2, x  2

0, x  1

3.27. f ( x)   x 2  1,1  x  2
2 x, x  2

 1, x  0

3.28. f ( x)  cos x,0  x  
1  x, x  

2, x  1

3.29. f ( x)  1  x,1  x  1
ln x, x  1

 x, x  0

3.30. f ( x)   x 3 ,0  x  2
 x  4, x  2

 x  2, x  2

3.20. f ( x)   x 3 ,2  x  1
2, x  1

4.
Исследовать данные функции на непрерывность в указанных точках
4.1.
f ( x)  2
1
x 3
 1,
x1  3, x2  4
1
x 3
4.2. f ( x)  5  1, x1  3, x2  4
x7
4.3. f ( x) 
, x1  2, x 2  3
x2
x5
4.4. f( f ( x) 
, x1  2, x 2  3
x3
4.5. f ( x)  4
4.6. f ( x)  9
1
3 x
1
2 x
 2,
,
x1  3, x2  2
x1  0, x2  2
1
4.7. f ( x)  2 x 5  1,
4.8. f ( x)  5
4.9. f ( x)  6
1
x 4
1
x 3
4.10. f ( x)  7
x1  5, x2  4
 1,
x1  3, x2  4
 3,
x1  3, x2  4
1
5 x
 1,
x1  5, x2  4
64
x3
,
x4
x5
4.12. f ( x) 
,
x2
4.11. f ( x) 
x1  5, x 2   4
x1  3, x 2  2
2
4.13. f ( x)  5 x 3 ,
x1  3, x2  4
2
4.14. f ( x)  4 x 1  3,
4.15. f ( x)  2
4.16. f ( x)  8
4.17. f ( x)  5
5
1 x
4
x 2
4
3 x
x1  1, x2  2
 1,
x1  0, x2  1
 1,
x1  2, x2  3
 1,
x1  2, x2  3
3x
, x1  5, x 2  4
x4
2x
4.19. f ( x)  2
, x1  1, x 2  2
x 1
4.18. f ( x) 
4.20. f ( x)  2
4.21. f ( x)  4
3
x2
3
x 2
 1,
x1  2, x2  1
 2,
x1  2, x2  3
2
4.22. f ( x)  3 x 1  2,
x1  1, x2  0
3
x4
4.23. f ( x)  5  1, x1  5, x2  4
x4
4.24. f ( x) 
, x1  2, x 2  1
x2
x4
4.25. f ( x) 
, x1  3, x 2  2
x3
x5
4.26. f ( x) 
, x1  3, x 2  4
x3
4
4.27. f ( x)  31 x  1, x1  1, x2  2
4x
4.28. f ( x) 
, x1  5, x 2   4
x5
2
4 x
4.29. f ( x)  6 , x1  3, x2  4
x 1
4.30. f ( x) 
, x1  2, x 2  3
x2
Контрольные вопросы
1.Какие величины называют бесконечно малыми одного порядка малости?
2. Какие величины называют эквивалентными бесконечно малыми ?
3. Какая функция называется непрерывной в точке?
4.Сколько известно вам точек разрыва функции, какие?
Самостоятельная работа № 1
Вариант 1
1. Вычислить предел функции:
65
x2  9
.
x 3 x 2  8 x  15
2. Вычислить предел функции:
x5
.
lim
x2 3x  6
3. Вычислить предел функции:
sin 17 x
.
lim
x  0 sin 12 x
4. Вычислить предел функции:
lim
x
 7 3
lim 1   .
x 
 x
Вариант 2
1. Вычислить предел функции:
x 2  x  20
.
lim
x 4
x 2  16
2. Вычислить предел функции:
3x  6
.
lim
x2 2 x  4
3. Вычислить предел функции:
sin 7 x
.
lim
x  0 sin 13 x
4. Вычислить предел функции:
x
 12  4
lim 1   .
x 
x

Вариант 3
1. Вычислить предел функции:
x 2  49
.
lim 2
x 7 x  5 x  14
2. Вычислить предел функции:
x2  4
.
lim
x 3 2 x  6
3. Вычислить предел функции:
sin 9 x
.
lim
x  0 sin 4 x
4. Вычислить предел функции:
x
 15  5
lim 1   .
x 
x

Вариант 4
1. Вычислить предел функции:
x 2  12 x  35
lim
.
x 5
x 2  25
2. Вычислить предел функции:
x2 1
.
lim
x 5 2 x  10
3. Вычислить предел функции:
66
sin 8 x
.
x  0 sin 19 x
4. Вычислить предел функции:
lim
2x
 4
lim 1   .
x 
x

Вариант 5
1. Вычислить предел функции:
x 2  3x  18
.
lim
x 6
x 2  36
2. Вычислить предел функции:
2x  3
.
lim
x  4 3 x  12
3. Вычислить предел функции:
sin 5 x
.
lim
x  0 sin 14 x
4. Вычислить предел функции:
3x
 10 
lim 1   .
x 
x

Вариант 6
1. Вычислить предел функции:
x 2  81
.
lim 2
x 9 x  11x  18
2. Вычислить предел функции:
3x  5
.
lim
x  6 2 x  12
3. Вычислить предел функции:
sin 19 x
.
lim
x  0 sin 3 x
4. Вычислить предел функции:
2x
 14 
lim 1   .
x 
x

Самостоятельная работа №2
Вариант 1
Исследовать функцию f ( x) 
1
на непрерывность в точке x0  0 .
x
Вариант 2
x 2
при
x  0,
Исследовать функцию f ( x)  
на непрерывность в точке x0  0
1
при
x

0

Вариант 3
Исследовать функцию f ( x)  x 2 на непрерывность в точке x0  0 .
67